Расчет на изгиб двутавра: Расчет двутавра на прогиб и изгиб

расчет нагрузки, несущая способность, прочность

• Нагрузка собственного веса
• Пример расчета двутавра
• Несущая способность
• Усиление

Двутавр – это металлопрофильная конструкция перекрытия, наклонная или горизонтальная, рассчитанная в первую очередь на изгиб. Прежде всего она находится под воздействием весовой нагрузки, направленной по вертикали. Фактически это первичное воздействие, которому должен противостоять прокатный профиль из металла.

Технические характеристики металлического профиля необходимы, чтобы их правильно применять в строительстве, ведь несмотря на большое разнообразие сфер применения, суть остается одна – создать надежную несущую конструкцию. Она позволяет преобразовывать архитектуру сооружений:

• увеличивает ширину пролетов зданий;
• значительно, примерно на 35%, уменьшить массу несущих конструкций;
• существенно увеличить рентабельность проектов.

Говоря о достоинствах конструкции, нельзя не отметить и минусы, хотя их немного.

Основные из них – это

• необходимость применять при создании ребер жесткости дополнительную арматуру;
• достаточно существенные трудозатраты, которые нужны для ее изготовления.

Однако, следует отметить, что с другой стороны дополнительные ребра жесткости дают возможность:

• уменьшить общую металлоемкость сварной металлоконструкции, так как ощутимо уменьшают толщину стенок. Таким образом удается понизить ее стоимость, но целиком сохранить механические характеристики;
• помимо этого облегченная конструкция экономична и с точки зрения устройства фундамента, поскольку после снижения общей массы можно использовать фундамент под БМЗ (быстровозводимые здания).

Чтобы найти двутавр, подходящий для конкретного случая, требуется произвести некоторые расчеты. Обычно для этого используют таблицы или онлайн калькуляторы. В их основе лежат заданные два параметра: расстояние от одной стены до другой и будущая нагрузка на строительную конструкцию.

Прочность двутавровой балки определяется такими параметрами, как:

• длина,
• метод закрепления,
• форма,
• площадь поперечного сечения.

Большее распространение получили изделия с буквой «Н» в сечении.

На заметку

Жесткость металлической конструкции двутавра в 30 раз превышает жесткость квадратного профиля, а прочность, соответственно, в 7 раз.

Длина данной металлоконструкции бывает разной, к примеру, в случае ГОСТ 8239-89 это 4 –12 метров, то есть в зависимости от сортамента размеры и вес балки двутавровой отличаются. Помимо длины величина веса определяется толщиной металла и размерами граней. Поэтому для выполнения различных расчетов было введено понятие «вес метра балки двутавровой».

При покупке сварной конструкции обязательно требуется расчет на прочность, а для конкретного использования еще и расчет на прогиб. Грамотный расчет нагрузки на двутавровую балку позволит обеспечить устойчивость конструкции к проектным воздействиям, то есть способность воспринимать их без разрушения.

Нагрузка собственного веса ↑

Чтобы определить в случае необходимости вес двутавровой балки пользуются специальными таблицами, где расписаны ее характеристики, к примеру, габариты, марка стали и т. д. В таблице представлена теоретическая масса 1 м профиля.

балка двутавровая размеры и вес (ГОСТ 8239-89)

Пример расчета двутавра ↑

Предположим необходимо рассчитать вес двутавра № 12 длиной в 3 метра. Согласно таблице условная масса погонного метра данного профиля равна 11,50 кг. Если перемножить полученные значения, то получим величину общей массы – 34,5 кг.

Точнее значение веса сварной металлоконструкции можно посчитать, используя специальные онлайн калькуляторы, один из которых предоставлен на нашем сайте в рубрике “Калькуляторы”.

В калькуляторе выбирают соответствующий номер двутавра и вводят необходимый метраж. Как видите, полученное значение больше рассчитанного нами на 0,12 кг.

Несущая способность ↑

Среди всех типов балок двутавровая имеет наибольшую прочность, более того, она устойчива к температурным перепадам.

Допустимая нагрузка на двутавр бывает указана на маркировке, как размер. Чем больше число, указанное в его наименовании, тем большую нагрузку может воспринимать балка.

Любой расчет предполагает изначальное знание размеров прокатного или сварного профиля, его длины и ширины. Проясним смысл значения ширины на примере самой популярной балочной опоры – колонны.

Пример расчета

Предположим, что в сечении колонны лежит квадрат со стороной 510 мм, тогда на нее можно будет опереть профиль, для которого ширина не может превышать 460 мм. Это связано с тем, что двутавр придется приваривать к железобетонной подушке, а для сварочных швов понадобится запас, по крайней мере, в 40 мм.

После определения ширины переходят к выбору профиля и расчету нагрузки, воздействующей на профиль. Она представляет собой совокупность воздействий от перекрытия, а также воздействий временного и постоянного характера.

На заметку

Нагрузку, выражающую величину нормативной нагрузки, собирают на длину 1 м профиля.

Но, расчет несущей способности двутавровой балки предполагает учет другого воздействия. Чтобы получить расчетную нагрузку, рассчитанное нормативное воздействие умножается на так называемый коэффициент прочности по нагрузке. Остается к результату прибавить уже подсчитанную массу изделия и найти его момент сопротивления.

Полученных данных достаточно, чтобы из сортамента подобрать профиль, необходимый для изготовления сварного профиля. Как правило, с учетом прогиба конструкции рекомендуется выбирать профиль выше на два порядка.

Важно

Сварная металлическая конструкция должна использовать примерно 70–80% от максимально допустимого прогиба.

Усиление ↑

Если несущая способность двутавра оказывается недостаточной, то возникает необходимость ее усиления. Для различных элементов сварной конструкции этот вопрос решается по-разному.

К примеру, для элементов, воспринимающих нагрузки типа растяжения, сжатия или изгиба, используют такой вариант усиления: увеличивают сечение, иначе говоря, повышают жесткость, скажем, приварив дополнительные детали.

Теоретически – это один из лучших вариантов усиления, однако, при его реализации не всегда удается получить требуемый результат. Дело в том, что элементы в процессе сварочных работ нагреваются, а это несет за собой уменьшение несущей способности.

В какой степени можно ожидать такого понижения зависит от размеров двутавра и режима и направления сварочных работ. Если для продольных швов максимальное понижение оказывается в пределах 15%, то для швов в поперечном направлении оно может достичь и 40%.

Внимание

Поэтому при усилении двутавра под нагрузкой категорически запрещено накладывать швы в направлении, поперечном к элементу.

Расчетно и экспериментально было доказано, что оптимального результата усиления под нагрузкой можно получить при максимальном напряжении в 0,8 R_y, то есть 80% расчетного сопротивления стали, которая была использована для изготовления двутавра.

© 2022 stylekrov.ru

Расчёт балок на прочность при изгибе

Задача 1

В некотором сечении балки прямоугольного сечения 20×30см М=28 кНм, Q=19 кН.

Требуется:

а) определить нормальное и касательное напряжения в заданной точке К, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 11 см,

б) проверить прочность деревянной балки, если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа.

Решение

а) Для определения σ_(К), τ_(К) и _maxσ,_maxτ потребуется знать величины осевого момента инерции всего сечения I_Н.О., осевого момента сопротивления W_Н.О., статического момента отсечённой части  и статического момента половины сечения S_max:

Тогда:

б) Проверка прочности:

— по условию прочности нормальных напряжений:

— по условию прочности касательных напряжений:

Задача 2

В некотором сечении балки М=10кНм, Q=40кН. Поперечное сечение – треугольное. Найти нормальное и касательное напряжения в точке, отстоящей от нейтральной оси на расстоянии 15 см.

где 

Тогда

где:

Тогда

Задача 3

Подобрать сечение деревянной балки в двух вариантах: круглое и прямоугольное (при h/b=2), если [σ]=10 МПа, [τ]=3 МПа, и сравнить их по расходу материала.

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем уравнения статики:

(1)          ∑М(В) = F·8 – М – А·6 + (q·6)·3 =0,

откуда 

(2)          ∑М(А) = F·2 – М + В·6 — (q·6)·3 =0,

откуда 

Iучасток   

∑М(С) = М(z₁) +F·z₁=0,

ММ(z₁) = —F·z₁= — 30 ·z₁ —

– уравнение прямой.

При z₁ = 0:      М = 0,

z₁ = 2:      М =- 60 кНм.

∑у= — F — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — F = -30 кН – постоянная функция.

II участок     

откуда

— уравнение параболы.

При z₂=0:     М = 0,

z₂=3м:  М = 30 · 3 – 5 · 3² = 90 — 45 = 45кНм,

z₂=6м:  М = 30 · 6 – 5 · 6² = 180 — 180 = 0.

∑у= Q(z₂) — q·z₂ + B= 0,

Q(z₂) = q·z₂ — B= 10·z₂ – 30 – уравнение прямой,

при  z₂ = 0:     Q = -30,

        z₂ = 6м:     Q = 10·6 – 30 = 30.

Определение аналитического максимума изгибающего момента второго участка:

из условиянаходим :

И тогда

Заметим, что скачок в эп.М расположен там, где приложен сосредоточенный момент М = 60кНм и равен этому моменту, а скачок в эп.Q – под сосредоточенной силой А = 60 кН.

Подбор сечения балок производится из условия прочности по нормальным напряжениям, куда следует подставлять наибольший по абсолютной величине изгибающий момент из эпюры М.

В данном случае максимальный момент по модулю М = 60кНм

откуда: :

а) сечение круглой формы d=?

б) сечение прямоугольной формы при h/b = 2:

тогда

Размеры сечения, определенные из условия прочности по нормальным напряжениям, должны удовлетворять также условию прочности по касательным напряжениям:

Для простых форм сечений известны компактные выражения наибольшего касательного напряжения:

— для круглого сечения 

— для прямоугольного сечения 

Воспользуемся этими формулами. Тогда

— для балки круглого сечения при :

— для балки прямоугольного сечения

Чтобы выяснить, какое сечение требует меньшего расхода материала, достаточно сравнить величины площадей поперечных сечений:

А_{прямоугольного} = 865,3см² < А_{круглого} = 1218,6см², следовательно, балка прямоугольного сечения в этом смысле выгоднее, чем круглого.

 

Задача 4

Подобрать двутавровое сечение стальной балки, если [σ]=160МПа, [τ]=80МПа. 

Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и составляем два уравнения статики для их определения:

(1)              ∑М(А) = – М₁– F  ·2 — (q·8)·4 + М₂ + В·6 =0,

откуда 

(2)      ∑М(В) = – М₁– А · 6 + F · 4 + (q·8)·2 + М₂ =0,

откуда 

Проверка:

∑у = А – F – q · 8 + В = 104 – 80 – 20 · 8 +136 = 240 – 240 ≡ 0.

∑М(С) = М(z₁) — М₁=0,

М(z₁) = М₁= 40 кНм – постоянная функция.   

∑у= — Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = 0.

II участок 

— парабола.

Приz₂=0:       М = 40 кНм,

z₂=1м:    М = 40 + 104 – 10=134кНм,

z₂=2м:    М = 40+ 104 · 2 – 10 · 2² = 208 кНм.

∑у=А — q·z₂ — Q(z₂) = 0,

Q(z₂) =А— q·z₂ = 104 –  20·z₂  – уравнение прямой,

при  z₂ = 0:       Q = 104кН,

        z₂ = 6м:    Q = 104 – 40 = 64кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0:       М = 24+40=-16 кНм,

z₃=2м:    М = 24 + 136·2 — 10 (2+2)² = 24 + 272 – 160 = 136кНм,

z₃=4м:    М = 24 + 136·4 – 10 (2+4)² = 24 + 544 – 360 = 208 кНм.

∑у=В — q(2+z₃ ) + Q(z₃) = 0,

Q(z₃) =- В + q(2+z₃ ) = -136 + 20 (2+z₃ )   – уравнение прямой,

при  z₃ = 0:        Q = -136 + 40 = — 94кН,

        z₃ = 4м:     Q = — 136 + 20 (2+4) = — 136 + 120 = — 16кН.

IV участок

— парабола.

z₄=0:       М = 0кНм,

z₄=1м:    М = – 10кНм,

z₄=2м:    М = — 40кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 20·z₄  – уравнение прямой.

Приz₄ = 0:       Q = 0,

        z₄ = 2м:     Q = 40кН.

Проверяем скачки в эпюрах:

а) В эпюре М скачок на правой опоре величиной 24кНм (от 16 до 40) равен сосредоточенному моменту М₂=24, приложенному в этом месте.

б) В эпюре Q три скачка:

первый из них на левой опоре соответствует сосредоточенной реакции А=104кН,

второй – под силой F=80кН и равен ей (64+16=80кН),

третий – на правой опоре и соответствует правой опорной реакции 136кН (94+40=136 кН)

Наконец, проектируем двутавровое сечение.

Подбор его размеров производится из условия прочности по нормальным напряжениям :

 

В сортаменте двутавровых профилей профиля с точно таким моментом сопротивления W_х нет. Есть № 40^а с W_х=1190 см³ и № 45^а с W_х=1430 см³

Попробуем  меньший из них. Если принять двутавр № 40^а, у которого W_х=1190 см³ , то наибольшее напряжение в опасном сечении будет:

и перенапряжение составитчто превышает рекомендуемую величину отклонения, равную 5%.

Поэтому приходится принимать ближайший больший размер двутавра, а именно №45^а, у которого W_х=1430 см³. В этом случае балка будет работать с недонапряжением:

что меньше [σ]=160МПа на  

Итак, принимается двутавр №45^а, у которого: W_х=1430 см³, I_х=32240см⁴, I_х: S_х=38,6см, d=11,5мм.

Далее необходима проверка прочности по касательным напряжениям с помощью условия прочности :

 

Это условие прочности выполняется, даже с избыточным запасом.

 

Задача 5

Подобрать сечение балки, рассмотрев шесть вариантов форм и три вида материалов (древесина, чугун, сталь).

Решение 

1.Определение опорных реакций 

∑М(А) = F · 2 + М₁ — М₂— q·6·7 + В · 8 =0,∑М(В) = F · 10 + М₁— М₂ – А · 8 + q·6·1 =0,Проверка:

∑у = – 20 – 40 ·6 +50+210 = — 260 + 260 ≡ 0.

2.Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

I участок

∑М(С) = М(z₁) + F·z₁=0,

М(z₁) = — F·z₁= -20·z₁.

При z₁=0:     М = 0,

        z₁=2м:  М = – 40кНм,

∑у= — F— Q(z₁) = 0,

Q(z₁) = — 20кН.

II участок

        z₂=0:      М = — 20 – 40 = -60 кНм,

z₂=4м:   М = 200 — 20 – 120 = 200 — 140 = 60кНм.

∑у=- F + А — Q(z₂) = 0,

Q =- F + А= -20+50=30кН.

III участок

— парабола.

Приz₃=0:      М = — 20·4= — 80 кНм,

z₃=2м:   М = 210·2 — 20·(2+2)² = 420 – 320 = 100кНм,

z₃=4м:   М = 210·4 – 20 · (2+4)² = 840 – 720 = 120кНм.

∑у= Q(z₃) + В — q·(2+z₃) = 0,

Q(z₃) = — В + q·(2+z₃) = — 210 + 40·(2+z₃) – уравнение прямой.

Приz₃ = 0:       Q = -130кН,

        z₃ = 4м:     Q = 30кН.

Q(z₀) = — 210 + 40·(2+z₀) = 0,

— 210 + 80 + 40·z₀ = 0,

40·z₀ = 130,

z₀ =3,25м,

IV участок

парабола.

Приz₄=0:      М = 0 кНм,

z₄=1м:   М = – 20кНм,

z₄=2м:   М = — 80кНм.

∑у=- q·z₄ + Q(z₄) = 0,

Q(z₄) =q·z₄ = 40·z₄  – уравнение прямой,

        z₄ = 0:        Q = 0,

        z₄ = 2м:     Q = 80кН.

3. Подбор сечений (опасное сечение по σ: |_maxМ|=131,25кНм,

опасное сечение по τ: |_maxQ|=130кН).

Вариант 1. Деревянное прямоугольное ([σ]=15МПа, [τ]=3МПа)

Принимаем: В=0,24м,

                         Н=0,48м.

Проверяем по τ:

Вариант 2. Деревянное круглое

Принимаем d=0,45м,

Проверяем по τ:

Вариант 3. Чугун : ([σ_Р]=30МПа, [σ_с]=120МПа, [τ]=15МПа)

Принимаем b=0,19м, тогда h=0,38м, d=0,076м.

Проверка по τ:

b(у)= b — d= 0,19 — 0,076 = 0,114м

Вариант 4. Сталь, двутавр : ([σ]=160МПа, [τ]=80МПа).

по сортаменту W_х=953см³. Это №40: I_x=19062см⁴, S_х=545см³, d=0,83см.

Проверка по τ:

Вариант 5. Сталь, круглая труба

Принимаем D=0,22м   →  d = 0,6·D =0,132м.

Проверка по τ:

Вариант 6. Сталь, прямоугольная труба  

b₁= b — 2t = b — 2·0,1b = 0,8b,

h₁= h — 2t  = 0,8h,

Принимаем b=0,13м, h=0,26м.

Проверка по τ:

Кстати: какое из сечений стальной балки выгодней по расходу материала?

Двутавр —  А = 72,6см² = 72,6·10^-4 = 0,00726м²,

круглая труба –

прямоугольная труба — 

Самый лёгкий: двутавр → самый выгодный с точки зрения изгиба.

 

Расчет двутавра на прогиб и изгиб

Калькулятор

Пример расчета

Калькуляторы по теме:

• Сбор нагрузок на балки перекрытия онлайн
• Расчет прямоугольной трубы
• Расчет квадратной трубы
• Расчет швеллера
• Расчет уголка
• Расчет деревянной балки
• Расчет двутавра на устойчивость.

Разновидности

Металлические конструкции отличаются по многим признакам. Это рекомендуется учитывать при выборе изделия.

По назначению

С помощью металлических балок можно создать качественное прочное перекрытие, выбрав один из вариантов.

1. 
   Монолитное. В опалубку заливается бетон, производится усиление решеткой из арматуры. Поверхность получается бесшовной, отличается высокой прочностью.

2. Монолитно-сборное. В этом случае помимо металлических балок используются бетонные блоки, которые укладываются на стальной профиль. Участки стыков заливаются бетоном.
3. Составное. Используется комбинация материалов, то есть на несущие металлические изделия укладываются плиты, доски, панели. Этот вариант предполагает создание дополнительного утепления и звукоизоляции поверхности.

По материалу: стальные и алюминиевые

Металлические конструкции могут изготовляться из разных материалов. Самыми популярными являются стальные и алюминиевые балки для перекрытий.

• Стальные изделия изготавливаются из сплава стали способом холодного или горячего катания. Стальные конструкции бывают нескольких видов: уголок, швеллер, двутавр. Из преимуществ стальных балок можно выделить огнеустойчивость, устойчивость к гниению и внешним факторам, высокую прочность.
  Основными недостатками являются: высокая стоимость, низкие показатели тепло и звукоизоляции, риск образования коррозии. Монтаж стальных конструкций невозможно осуществлять без привлечения специальной техники.
• Алюминиевые балки. При их изготовлении используется не просто алюминий, а его сплавы. В строительстве такие изделия применяются реже, чем стальные аналоги, так как они уступают по показателям устойчивости при сильных нагрузках. Чаще всего алюминиевые балки применяют при строительстве малогабаритных зданий. При возведении промышленных объектов изделия из данного металла применяются только в комбинации со стальными конструкциями.

По конструкции

В современном строительстве применяют несколько разновидностей металлических балок, различных по конструкции.

1. 
   Тавровые. Основное сечение представляет собой стенку и полку в виде буквы «Т».

2. Двутавровые. Сечение металлопроката выглядит как буква «Н». Изделие отличается большей жесткостью, чем тавровое, за счет того, что с противоположной стороны имеет дополнительную полку.
   Двутавровые элементы подразделяются на несколько видов, каждый из которых имеет маркировку:
3. У – узкополочные конструкции.
4. Д – среднеполочные изделия.
5. К – колонные балки. Ширина полки такого элемента может равняться высоте изделия.

Существуют двутавры не с параллельными, а с наклонными полками. Их классифицируют на специальные и обычные. Их характеристики регламентирует ГОСТ 19425-74.

6. Швеллер. Сечение элемента представляет собой букву «П». Эти балки считаются универсальными, применяются во всех сферах промышленности.

Инструкция к калькулятору

Обращаю ваше внимание, что в нецелых числах необходимо ставить точку, а не запятую, то есть, например, 5.7 м, а не 5,7. Также двутавр необходимо проверять на устойчивость (на заваливание от момента). Это можно сделать с помощью калькулятора, ссылка на который расположена выше (в списке «Калькуляторы по теме»). Если что-то не понятно, задавайте свои вопросы через форму комментариев, расположенную в самом низу.

Исходные данные

Расчетная схема:

Длина пролета (L) — минимальное расстояние между двумя крайними опорами или длина консоли.

Расстояния (A и B) — расстояния от опор до мест приложения нагрузок. Для 3 схемы А равна длине консоли балки, опирающейся на 2 опоры.

Нормативная и расчетная нагрузки — нагрузки, на которые рассчитывается квадратная труба. Рассчитать их можно с помощью следующих материалов:

• калькулятор по сбору нагрузок на балку перекрытия;
• пример сбора нагрузок на балку перекрытия.

Fmax — максимально возможный прогиб согласно таблицы E.1 СНиПа «Нагрузки и воздействия». Некоторые из них выписаны в таблицу 1.

Количество двутавров — этот показатель введен на случай, если балку перекрытия придется усилить еще такой же, положив ее рядом. То есть, если у вас одна балка, то указывается «один», если две рядом, то необходимо выбрать «две».

Расчетное сопротивление Ry— для каждой марки стали он свой. Наиболее распространенные значения приведены в таблице 2.

Размер двутавра — здесь следует выбрать профиль двутавра по тому или иному ГОСТу.

Что это такое и каких размеров бывают?

Балка является одним из основных элементов любой конструкции, ее функции – повысить устойчивость конструкции и укрепить ее. Балка (или ригель) состоит из полок и стенок различного размера, соединенных стыковыми швами с использованием сварки. Изготавливаются элементы на оборудованных предприятиях с использованием специальных станков.

Процедура изготовления осуществляется в несколько этапов, после чего готовое изделие проверяется на соответствие ГОСТам.

Металлические конструкции различаются по размерам, для удобства они имеют номера, с помощью которых можно подобрать необходимый материал для строительства.

Сфера применения

Металлические балки для перекрытий нашли свое применение в различных областях. Могут использоваться для:

• Укрепления кровли в жилом и промышленном строительстве.
• Создания межэтажных перекрытий.
• Устройства опор и различных колонн в промышленных сооружениях и архитектурных зданиях.
• Монтажа ангарных каркасов.
• Шахтовых стволов.
• Создания разнообразных железнодорожных вагонов.
• Строительства мостов, эстакад.
• Возведения металлических ферм.

На заметку: балки перекрытий из металла также можно использовать при строительстве малоэтажных частных домов.

Особенности процесса монтажа

Процедура устройства перекрытий с использованием металлических балок имеет определенные особенности, которые необходимо знать и четко соблюдать.

1. 
   Обязательно наличие четкой схемы постройки с произведенными расчетами на прочность и изгиб изделий.

2. К боковым граням балок крепятся бруски сечением 60х60, после чего размещается накат из досок.
3. Накат накрывается слоем утеплителя, выполняющего функции звуко и теплоизоляции.
4. Шаг между стальными балками не должен превышать 150 см, оптимальное расстояние – 100 см.
5. Глубина опирания концов металлических конструкций на стены – максимум 25 см.
6. Чтобы добиться большей звукоизоляции можно использовать не обычные, а пружинные скобы.

Характеристики

Балки перекрытий, в зависимости от технологии производства, имеют различные характеристики.

1. 
   Двутавры с наклонными полками. Угол уклона 6-12 градусов. Основные параметры:

   длина – 10-60 см;
2. ширина – 5,5-19 см;
3. толщина полки – 7,2 мм-1,8 см;
4. толщина стенки – 4,5мм-1,2 см.
5. Двутавры с параллельными гранями (ГОСТ 26020, СТО АСЧМ 20-93) имеют иные характеристики:
   длина — Б-1 – 100 Б-4;
6. толщина полок – 5,7 мм-3,3 см;
7. ширина профиля – 55 мм-32 см;
8. толщина стенки – 4,1 мм-1,95 см.
9. Широкополочные металлические конструкции имеют следующие характеристики:
   длина — 20Ш1- 70Ш5;
10. ширина профиля – 15-32 см;
11. толщина стенки – 6,0 мм- 2,3 см;
12. толщина полок – от 9 мм -3,65 см.
13. Колонные балки имеют следующие показатели:
    длина – 20 К1-40 К5;
14. ширина профиля – от 20 до 40 см;
15. толщина стенки – от 6,5 до 2,3 см;
16. толщина полок – 1-3,55 см.

Построение эпюр изгибающего момента и поперечной силы при изгибе

Полученные значения изгибающего момента и поперечной силы в двух сечениях (при положении x=0 и x=l) откладываем соответствующие ординаты, т.е. буквально строим графики обеих функций.

Что мы видим из построенных эпюр, какие выводы мы можем сделать:

• из эпюры поперечной силы видно, что она не меняется по всей длине и равна внешней силе F
• так как в начале координат x (т. е. справа) мы видим на эпюре «скачок» на величину этой силы, то в конце, в заделке скачок говорит о том, что реакция в заделке равна силе F
• на эпюре моментов график выходит из нуля координаты x (справа на балке) и момент тоже равен нулю
• по мере удаления сечения от силы влево момент растет и достигает своей наибольшей величины в заделке, где наблюдается такой же скачок как и на эпюре поперечной силы и равен (- F x). Это говорит о том, что момент в заделке равен именно этому значению

Что такое «скачок» на эпюре

Когда график начинается не из нуля или не из значения полученного на предыдущем участке, а имеет в одном и том же сечении x два разных значения — такой разрыв функции называется скачок. Т.е. если рассматривать график бесконечно близко слева и бесконечно близко справа мы получаем два разных значения как поперечной силы, так и момента. И этот скачок для поперечной силы должен равняться приложенной сосредоточенной силе, а для момента приложенному сосредоточенному моменту.

Вот и все секреты построения эпюр для моментов и поперечных сил. Конечно дальше немного усложняется сам процесс, но принцип остается тот же.

Дальше в видео представлены примеры построения эпюр для распределенной нагрузки изгибающего момента. Чтобы было проще показать разницу все собрано в одном видео:

Рубрики

Изгиб, Сопромат онлайн

Метки

внутренние усилия, внутренние усилия при изгибе, задачи курса сопротивление материалов, изгиб, изгиб балки, изгибающий момент, Как построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, краткий курс сопротивления материалов, поперечная сила, построение эпюр изгибающего момента, построение эпюр поперечной силы, правило знаков, правило знаков при изгибе, расчет балки, расчет балки на изгиб, Сопромат для чайников, Сопротивление материалов, сопротивление материалов краткий курс, сопротивление материалов примеры решения задач

• Сопротивление материалов
  Что такое сопромат
• Диаграмма растяжения стали на разрыв

Гипотезы сопротивления материалов Основные гипотезы сопротивления материалов

Виды опор и опорных реакций

Растяжение-сжатие

Как построить эпюры при растяжении-сжатии

Собственный вес при растяжении-сжатии

Растяжение сжатие сопромат

Изгиб

Эпюры моментов M(x) поперечных сил Q(x)

Расчет консольной балки на изгиб

Касательные напряжения и угол сдвига

Моменты инерции

Момент инерции сечения

Другие темы

Сложное сопротивление

Косой изгиб пример решения задач

Изгиб с растяжением — сжатием

Задачи на кручение

Репетитор по сопромату

Курсы по сопротивлению материалов

Отзывы

Отзывы про репетитора по сопромату и строймеху

Строймех

Строительная механика

Сказать спасибо

Помочь проекту

Форум

Курсы для инженера

Курсы для инженеров

Цены на все виды

В строительстве чаще всего используются двутавровые металлические балки. Средняя стоимость продукции представлена в таблице.

Наименование балки	Длина	Стоимость
двутавровая № 10	12 м	880
двутавровая № 10 Б-1	12 м	780
двутавровая № 12	12 м	900
двутавровая № 12 Б-1	12 м	660
двутавровая № 14	12 м	1050
двутавровая № 14 Б-1	12 м	740
двутавровая № 16	12 м	1300
двутавровая № 16 Б-1	12 м	980
двутавровая № 18	12 м	1280
двутавровая № 18 Б-1	12 м	1150
двутавровая № 20	12 м	1560
двутавровая № 25 Б-1	12 м	2150
двутавровая № 25 Ш-1	12 м	3500
двутавровая № 30	12 м	2600
двутавровая № 35	12 м	3300
двутавровая № 40	12 м	3500
двутавровая № 45 Б-1	12 м	5200

Выбор размера швеллера на примере

Пусть имеется швеллер, длина которой составляет 6 метров и он имеет шарнирное закрепление. На него действует распределенная нагрузка, величина которой составляет 250 кг/м. Расчет ведется в следующей последовательности:

1. Максимальное значение момента в профиле швеллера М = 9,81 х 250 х 6²/ 8 / 1000 = 11,04 кН∙м.
2. Необходимое значение момента сопротивления сечения швеллера, Wн = 11,04 х 1000 / 240 = 46,0 см3 (согласно СНиП 2-23-81 для стали С245 Ry = 240 МПа).
3. Подбираем по таблице ГОСТ размер швеллера с моментом сопротивления не ниже вычисленного значения 46,0 см3.

Это будет швеллер 12П (У) ГОСТ 8240-97 — значение момента сопротивления 50,8 см3 или швеллер гнутый 140х60х5 ГОСТ 8278-83 — значение момента сопротивления 47,8 см3.

Плюсы и минусы применения в зданиях

Конструкции из металла обладают рядом преимуществ, благодаря которым материал широко используется:

• повышенной прочностью;
• огнестойкостью;
• устойчивостью к внешним факторам;
• повышенной надежностью;
• большим периодом эксплуатации;
• возможностью усилить уже построенное здание;
• увеличенной несущей способностью.

Однако такие балки имеют и свои недостатки, которые также следует учитывать:

• сложность проведения строительных работ;
• необходимость задействовать тяжелую технику;
• металл может подвергаться коррозии;
• требуется производить сложные подсчеты, с чем у новичка могут возникнуть серьезные сложности.

Способы выполнить расчет и проверку на прогиб

Причина, по которой СНиПы устанавливают столь драконовские ограничения, проста и очевидна. Чем меньше деформация, тем больше запас прочности и гибкости конструкции. Для прогиба менее 0,5% несущий элемент, балка или плита все еще сохраняет упругие свойства, что гарантирует нормальное перераспределение усилий и сохранение целостности всей конструкции. С увеличением прогиба каркас здания прогибается, сопротивляется, но стоит, с выходом за пределы допустимой величины происходит разрыв связей, и конструкция лавинообразно теряет жесткость и несущую способность.

Просчитать прогиб конструкции можно несколькими способами:

• Воспользоваться программным онлайн-калькулятором, в котором «зашиты» стандартные условия, и не более того;
• Использовать готовые справочные данные для различных типов и видов балок, для различных опор схем нагрузок. Нужно только правильно идентифицировать тип и размер балки и определить искомый прогиб;
• Посчитать допустимый прогиб руками и своей головой, большинство проектировщиков так и делают, в то время как контролирующие архитектурные и строительные инспекции предпочитают второй способ расчета.

К сведению! Чтобы реально представлять, почему так важно знать величину отклонения от первоначального положения, стоить понимать, что измерение величины прогиба является единственным доступным и достоверным способом определить состояние балки на практике.
Измерив, насколько просела балка потолочного перекрытия, можно с 99% уверенностью определить, находится ли конструкция в аварийном состоянии или нет.

Требования

Все требования, предъявляемые к балкам из металла, четко обозначены в ГОСТах и СНиПах. Основными требованиями являются:

• Прочность. В зависимости от типа материала, используемого при изготовлении изделия, показатели прочности могут отличаться, но они должны соответствовать значениям, указанным в нормативных документах.
• Период эксплуатации. Металлические конструкции, согласно ГОСТ, должны прослужить минимум 80 лет.
• Устойчивость к коррозии. Готовые элементы должны быть дополнительно обработаны составами, предотвращающими образование коррозии.

Калькулятор расчета металлической двутавровой балки на прогиб, прочность

A1 6 ммА1 8 ммA1 10 ммА1 12 ммА1 14 ммА1 16 ммА1 18 ммА1 20 ммА3 35ГС 6 ммА3 35ГС 8 ммА3 35ГС 10 ммА3 35ГС 12 ммА3 35ГС 14 ммА3 35ГС 16 ммА3 35ГС 18 ммА3 35ГС 20 ммА3 35ГС 22 ммА3 35ГС 25 ммА3 35ГС 28 ммА3 35ГС 32 ммА3 35ГС 36 ммА3 25Г2С 8 ммА3 25Г2С 10 ммА3 25Г2С 12 ммА3 25Г2С 14 ммА3 25Г2С 16 ммА3 25Г2С 18 ммА3 25Г2С 20 ммА3 25Г2С 22 ммА3 25Г2С 25 ммА3 25Г2С 28 ммА3 25Г2С 32 ммА3 25Г2С 36 ммA500С 8 ммA500С 10 ммA500С 12 ммA500С 14 ммA500С 16 ммA500С 18 ммA500С 20 ммA500С 22 ммA500С 25 ммА500С 28 ммA500С 32 ммA500С 36 ммA500С 40 ммA400С 8 ммA400С 10 ммA400С 12 ммАт800 12 ммАт800 14 мм10, г/к12, г/к14, г/к16, г/к18, г/к20, г/к30, г/к36, г/к45, г/к24М30М36М45М10Б112Б114Б116Б120Б125Б130Б135Б140Б145Б150Б155Б160Б125Б230Б235Б240Б245Б255Б260Б220Ш125Ш130Ш135Ш140Ш145Ш150Ш130Ш235Ш240Ш250Ш220К125К130К135К140К120К225К230К235К240К220Б1 (09Г2С)25Б1 (09Г2С)30Б1 (09Г2С)35Б1 (09Г2С)40Б1 (09Г2С)45Б1 (09Г2С)50Б1 (09Г2С)55Б1 (09Г2С)60Б1 (09Г2С)25Б2 (09Г2С)30Б2 (09Г2С)35Б2 (09Г2С)40Б2 (09Г2С)45Б2 (09Г2С)55Б2 (09Г2С)20К1 (09Г2С)25К1 (09Г2С)30К1 (09Г2С)35К1 (09Г2С)25К2 (09Г2С)30К2 (09Г2С)35К2 (09Г2С)20Ш1 (09Г2С)25Ш1 (09Г2С)30Ш1 (09Г2С)35Ш1 (09Г2С)45Ш1 (09Г2С)30Ш2 (09Г2С)35Ш2 (09Г2С)50Ш2 (09Г2С)1,5х1250 г/к2,0х1250 г/к2,5х1250 г/к3,0х1250 г/к4,0х1500 г/к5,0х1500 г/к6,0х1500 г/к8,0х1500 г/к10,0х1500 г/к12,0х1500 г/к14,0х1500 г/к16,0х1500 г/к18,0х1500 г/к20,0х1500 г/к25,0х1500 г/к30,0х1500 г/к36,0х1500 г/к40,0х1500 г/к50,0х1500 г/к60,0х1500 г/к80,0х1500 г/к100,0х1500 г/к4,0х1500 г/к (09Г2С)5,0х1500 г/к (09Г2С)6,0х1500 г/к (09Г2С)8,0х1500 г/к (09Г2С)10,0х1500 г/к (09Г2С)12,0х1500 г/к (09Г2С)14,0х1500 г/к (09Г2С)16,0х1500 г/к (09Г2С)18,0х1500 г/к (09Г2С)20,0х1500 г/к (09Г2С)25,0х1500 г/к (09Г2С)30,0х1500 г/к (09Г2С)36,0х1500 г/к (09Г2С)50,0х1500 г/к (09Г2С)0,50х1250 х/к0,60х1250 х/к0,70х1250 х/к0,80х1250 х/к0,90х1250 х/к1,0х1250 х/к1,2х1250 х/к1,4х1250 х/к1,5х1250 х/к1,8х1250 х/к2,0х1250 х/к2,5х1250 х/к3,0х1250 х/к0,50х1250 х/к оц. 0,55х1250 х/к оц.0,70х1250 х/к оц.0,80х1250 х/к оц.1,0х1250 х/к оц.1,2х1250 х/к оц.1,5х1250 х/к оц.2,0х1250 х/к оц.3,0 мм (чечевица)4,0 мм (чечевица)5,0 мм (чечевица)6,0 мм (чечевица)8,0 мм (чечевица)ПВЛ-406ПВЛ-408ПВЛ-410ПВЛ-506ПВЛ-508ПВЛ-51025х25х4,032х32х4,035х35х4,040х40х4,045х45х4,045х45х5,050х50х5,063х63х5,063х63х6,070х70х6,075х75х5,075х75х6,075х75х8,080х80х6,080х80х8,090х90х7,090х90х8,0100х100х7,0100х100х8,0100х100х10,0110х110х8,0125х125х8,0125х125х9,0125х125х10,0125х125х12,0140х140х9,0140х140х10,0160х160х10,0160х160х12,0180х180х12,0200х200х12,0200х200х16,063х40х6,075х50х5,075х50х6,0100х63х6,0100х63х8,05П6,5П8П10П12П14П16П18П20П22П24П27П30П40П5У6,5У8У10У12У14У16У18У20У22У24У27У30У40У80х60х4,0100х50х4,0100х50х5,0120х50х3,0120х60х4,0120х60х5,0160х80х4,0180х80х5,0250х125х6,015х2,515×2,820х2,825х3,232х3,240х3,040х3,550х3,050х3,515×2,820х2,825х3,232х3,240х3,550х3,557х3,057х3,576х3,076х3,589х3,089х3,589х4,0102х3,0102х3,5102х4,0108х3,5108х4,0114х4,0114х4,5127х4,5133х4,0133х4,5159х4,0159х4,5159х5,0159х6,0219х4,5219х5,0219х6,0219х8,0273х5,0273х6,0273х7,0273х8,0325х6,0325х7,0325х8,0426х6,0426х7,0426х8,0426х9,0530х7,0530х8,0530х10,057х3,576х3,589х3,5108х3,5530х7,0530х8,0530х9,0530х10,0530х12,0630х8,0630х9,0630х10,0630х12,0720х8,0720х9,0720х10,0720х11,0720х12,0820х8,0820х9,0820х10,0820х11,0820х12,0530х7,0530х8,0530х9,0530х10,0530х12,0720х8,0720х9,0720х10,0720х11,0720х12,0820х9,0820х10,01020х10,01020х12,01020х14,01220х11,01220х12,01220х14,01420х14,057х3,557х4,057х5,057х6,076х3,576х4,076х5,076х6,083х4,089х3,589х4,089х5,089х6,0102х4,0102х5,0102х6,0108х4,0108х5,0108х6,0114х5,0114х6,0121х6,0127х5,0133х4,0133х4,5133х5,0133х6,0133х8,0146х5,0146х6,0159х5,0159х6,0159х7,0159х8,0168х6,0168х7,0168х8,0219х6,0219х7,0219х8,0219х10,0273х7,0273х8,0273х10,0325х8,0325х10,0377х9,0426х9,0426х10,010х2,014х2,016х2,016х3,018х2,018х3,020х2,022х2,022х2,522х3,025х2,025х3,027х3,028х3,028х4,028х7,032х3,034х3,538х3,038х4,040х3,040х3,542х3,042х5,045х3,045х6,048х3,051х2,551х3,057х3,060х3,063х4,015х1,520х1,520х2,025х1,525х2,030х1,530х2,040х1,540х2,040х2,540х3,050х2,050х3,050х4,060х2,060х3,060х4,080х3,080х4,080х5,0100×4,0100×5,0100×6,0120х4,0120х5,0120х8,0140х5,0140х6,0160х4,0160х5,0160х6,0180х8,0100х4,0100х5,0120х4,0120х5,0140х5,0140х6,0160х5,0160х6,0160х8,020х2,025х2,030х2,040х2,040х3,050х2,050х2,550х3,050х4,060х2,060х3,080х5,080х6,0100х5,0140х5,0140х6,028х25х1,530х20х1,540х20х1,540х20х2,040х25х1,540х25х2,050х25х1,550х25х2,050х25х2,550х30х2,060х30х2,060х30х2,560х30х3,060х40х2,060х40х2,560х40х3,080х40х2,080х40х3,080х40х4,080х60х4,0100х50х3,0100х50х4,0100х60х4,0120х60х4,0120x80x4,0120х80х6,0140x60x4,0150х100х6,0160х80х5,0160х120х4,028х25х2,040х20х2,040х25х2,050х25х2,050х25х2,560х30х2,060х30х2,560х40х2,060х40х2,580х40х2,080х60х4,0120х80х4,0150х100х6,0160х120х4,0Ø 6,5 мм (в бухтах)Ø 8 мм (в бухтах)Ø 10 мм (в бухтах)Ø 12 ммØ 14 ммØ 16 ммØ 18 ммØ 20 ммØ 22 ммØ 25 ммØ 28 ммØ 30 ммØ 32 ммØ 34 ммØ 36 ммØ 40 ммØ 42 ммØ 45 ммØ 50 ммØ 52 ммØ 56 ммØ 60 ммØ 70 ммØ 80 ммØ 90 ммØ 100 ммØ 110 мм10 мм12 мм14 мм16 мм18 мм20 мм25 мм20х4,025х4,025х5,030х4,030х5,040х4,040х5,040х6,050х5,060х5,060х6,080х6,0100х8,0

Расчет

Нагрузка на двутавровую балку таблица

Какие нагрузки выдерживает двутавровая балка?

Расчет металлоконструкций, необходимых для возведения сооружений промышленного назначения или другого масштабного строительства весьма сложен и включает в себя учет множества факторов. Прежде чем ответить на вопрос, какие нагрузки выдерживает двутавровая балка, инженеру или архитектору необходимо учесть, в частности, собственный вес конструкционного элемента, методику его крепления, длину свободных пролетов.

Что может дать правильная оценка нагрузки и выбор соответствующей маркировки двутавра?

Главное, что дает правильная оценка нагрузки на конструкции из двутавра и выбор соответствующего класса проката – экономическую эффективность строительства. Затраты будут оптимальны, все требования техники безопасности и критерии прочности перекрытия – выполнены. При этом можно получить дополнительные преимущества:

• значительно увеличить размер свободных пролетов,
• снизить массу несущих конструкций, данный показатель может достигать 35% при переходе с квадратного профиля на двутавр,
• повысить рентабельность, получая плановые конечные характеристики реализованного проекта в целом.

Для того чтобы увеличить предел нагрузки, которую способна выдержать двутавровая балка, применяют вспомогательные средства и методы.

Это может быть, к примеру, создание дополнительных ребер жесткости или усиление существующих. Последний способ применяется для длинных конструкций из двутавра только в продольном направлении.

Виды нагрузок

На каждую двутавровую балку в конструкции действуют следующие нагрузки: • собственный вес, • изгибающий момент, • поперечная сила.

От правильности выбора номера проката будет зависеть, выдержит ли двутавр планируемую нагрузку на перекрытие, и способен ли он эффективно применяться в той или иной металлоконструкции.

Как выбрать наиболее подходящий сорт проката?

Каждая двутавровая балка маркируется собственным номером, который сразу может дать информацию о собственном весе изделия. Найти такую информацию можно в отраслевых справочниках и ГОСТ 8239-89. Например:

• двутавр с номером 10 имеет массу 9,46 кг на погонный метр, при этом тонна проката – это 105,71 м балки,
• аналогичные показатели для проката №20 – 21 кг на метр и 47,62 м в тонне.

Данные собственного веса используются при расчете методик крепления конца балки и для правильного проектирования несущих конструкций. Расчет уровня нагрузки на каждый из двутавров перекрытия достаточно сложен, поэтому строители и архитекторы часто пользуются усредненными значениями, к примеру:

• для шестиметровых пролетов и нагрузке на перекрытие 300 кг на м.п. можно применять профиль 16, располагая балки с шагом 1 м,
• если применять при нагрузке в 300 профиль 10 с шагом в метр, величина пролета должна быть уменьшена до 4 метров,
• для профиля 20, расположенного с шагом 1.1 м в 6 м пролете, допускаются нагрузки на перекрытие в 500 кгм.п.

В общем случае данных, которые приводятся во множестве источников, достаточно для определения необходимого номера профиля. Однако на практике зачастую требуется точное определение нагрузки, которое должна выдерживать двутавровая балка.

Как сделать точный выбор?

Чтобы точно выбрать номер двутавра по необходимой нагрузке, необходимо:

1. Пересчитать давление на 1 погонный метр балки, учитывая необходимую нагрузку на перекрытие и его собственный вес.
2. По требованиям ГОСТ 8239-89 увеличить полученное значение на запас надежности (рекомендуемый коэффициент).
3. По таблице ГОСТ 8239-89 определить момент сопротивления, используя полученную перед этим цифру нагрузки.

После этого достаточно заглянуть в справочную таблицу ГОСТ 8239-89 и определить номер двутавра. Специалисты рекомендуют выбирать прокат на 2 номера выше расчетного, чтобы иметь возможность увеличивать шаг расположения балок до 1.1 метра.

Нагрузка на двутавровую балку таблица

8 (495) 456 99 99

8 (343) 456 99 99

8 (912) 456 99 99

8 (351) 456 99 99

Заказать двутавровую балку

• Главная
• Расчет двутавровой балки

Расчет двутавровой балки

Двутавровая балка довольно редко применяется в частном строительстве в силу своей формы. Поэтому примнется двутавр лишь, когда невозможно применение других профилей, например, швеллера или уголка. Двутавр может воспринимать гораздо большую нагрузку, чем перечисленные профили. Если Вам нужна именно мощная балка и двутавр рассматривается в качестве одного из основных вариантов, то в подборе профиля данный калькулятор будет не лишним. С его помощью Вы можете рассчитать двутавр не только на изгиб (по несущей способности), но и на прогиб (по деформациям).

Расчет двутавровой балки онлайн калькулятор

Для примерного расчёта прогиба на двутавровую балку калькулятор онлайн

Напишите нам и наши инженеры сделают точный

Расчет двутавровой балки на прочность, изгиб, кручение, прогиб, нагрузки и веса

Принимаем заказ на расчёт нагрузки на двутавровую балку 10.

Какую нагрузку выдерживает двутавр. Вес двутавровой балки – важный фактор несущей способности

Балка 20 . Применение. Виды. Расчёт двутавра .

Двутавровая балка – прокат, имеющий сечение буквы Н и означающий с латинского языка – «двурогая» с двух сторон («тавр» – бык). Расстояние между полками называют высотой, у двутавра 20го высота составляет около 200 мм или 20 см. Двутавр – это металлопрокат фасонного типа, изготавливаемый из строительной стали – ст3 и низколегированной стали 09Г2С.

Балка двутавровая 20 наиболее распространена в применении у строителей и монтажников, в первую очередь при устройстве каркасов с большими пролётами в зданиях, для перераспределения нагрузки с перекрытий на несущие конструкции. Её используют для мостостроительства, изготовления кранов, автомобилей, трубопроводов, самолётных ангаров, в железнодорожном строительстве и т. д. 20й профиль производят по 8239 ГОСТ двутавры стальные , госстандарту 26020-83, двутавр гост 19425-74 и техническим условиям СТО АСЧМ 20-93.

Двутавр 20й подразделяют по СТО АСЧМ 20 на нормальную балку 20Б с параллельными гранями полок, широкополочную балку 20Ш и 20К – для колонн. Двутавр СТО АСЧМ 20-93 с высотой 20 см имеет грани полок, которые параллельны. СТО двутавр производится НЛМК, который и разработал данный стандарт. По такому стандарту производится также балка 09Г2С , которая также подразделяется на нормальную балку, колонную и широкополочную. Металлопрокат из низколегированной стали может употребляться как при очень низкой температуре, так и при высоких температурах, не подвергаясь деформации.

Двутавр стальной 20Б1 имеет массу метра – 21,3 килограмм. Масса 20Ш1 составляет 30,6 кг в метре, вес колонной балки 20К1 – 41,4 кг, вес двутавра 20К2 – 49,9 кг. Параметры двутавра 20Б1: высота (h)- 200 мм, ширина полки (b)- 100 мм, толщина стенки (s) – 5,5 мм, толщина полки (t)- 8,0 мм. Широкополочный 20й профиль 20Ш1 имеет следующие характеристики: h – 194 мм, b- 150 мм, s – 6 мм, t – 9 мм. Колонная балка 20К1 обладает h 196 мм, b стенки – 199 мм, s стенки – 6,5 мм, t полки – 10, 0 мм.

Балка 20 по стандарту 19425 может быть монорельсовой (обозначается буквой М) и спец. (именуется буквой С). Этот ГОСТ распространяется на горячекатаные двутавры с полками, имеющими наклон внутренней поверхности полок. Монорельсовый двутавр, известный как кран балка, предназначена для крановых путей, как несущий мост в козловом или мостовом кранах, как подрельсовая балка. Такое изделие характеризуется высокой прочностью и способно противостоять большим нагрузкам, давлению, скручиванию. Специальная балка применима в стволе конструкций, которые обеспечивают движение подъёмных стволов, то есть для армирования стволов шахт, а также в сооружении лестниц и прокладке инженерных коммуникаций, креплении водоотливов.

Специальный профиль 20С имеет следующие параметры – двутавр размеры : высоту – 200мм, ширину полки – 100 мм, толщину стенки – 7 мм, толщину полки – 11,4 мм. Масса 1 м такого двутавра составляет 27,9 кг. Вес погонного метра балки в таблицах теоретический, он нужен для того,чтобы рассчитать самостоятельно вес целой балки или необходимое количество метров и штук двутавра. Итак, если балка 20 на складе металлоторгующей компании имеется длиной 12м, то чтобы выяснить вес одного хлыста, нужно двутавр вес 1 метра 27,9 умножить на 12м. Зная общее количество метров балки, легко можно посчитать общий вес необходимого металлопроката. На практике это лучше всего выяснить, уточнив у менеджеров компании АО «Металлоторг», которые кроме того подскажут стоимость металла, двутавр цена за метр, выпишут счёт, чтобы двутавр купить , и решат все текущие вопросы по загрузке и доставке.

Двутавр ГОСТ 8239 89 – на сортамент двутавров , имеющий отличие – наклон внутренних поверхностей полок. Такая балка с расстоянием между полками 200 мм имеет ширину этих полок – 100 мм, толщину металла посередине высоты – 5,2 мм, толщину полок 8,4 мм.

Какой двутавр лучше? Горячекатаный двутавр или сварной?

Чтобы выбрать между горячекатаной балкой 20 и сварным профилем с похожими параметрами, вычиляют момент сопротивления. Для этого учитывают нагрузку на перекрытие, непрерывную и краткосрочную нагрузку, используют табличные данные – коэффициент прочности и допустимый прогиб для несущих конструкций.

Технические характеристики металлического профиля необходимы, чтобы их правильно применять в строительстве, ведь несмотря на большое разнообразие сфер применения, суть остается одна – создать надежную несущую конструкцию. Она позволяет преобразовывать архитектуру сооружений:

• увеличивает ширину пролетов зданий,
• значительно, примерно на 35%, уменьшить массу несущих конструкций,
• существенно увеличить рентабельность проектов.

Говоря о достоинствах конструкции, нельзя не отметить и минусы, хотя их немного. Основные из них – это

• необходимость применять при создании ребер жесткости дополнительную арматуру,
• достаточно существенные трудозатраты, которые нужны для ее изготовления.

Однако, следует отметить, что с другой стороны дополнительные ребра жесткости дают возможность:

• уменьшить общую металлоемкость сварной металлоконструкции, так как ощутимо уменьшают толщину стенок. Таким образом удается понизить ее стоимость, но целиком сохранить механические характеристики,
• помимо этого облегченная конструкция экономична и с точки зрения устройства фундамента, поскольку после снижения общей массы можно использовать фундамент под БМЗ (быстровозводимые здания).

Чтобы найти двутавр, подходящий для конкретного случая, требуется произвести некоторые расчеты. Обычно для этого используют таблицы или онлайн калькуляторы. В их основе лежат заданные два параметра: расстояние от одной стены до другой и будущая нагрузка на строительную конструкцию.

Прочность двутавровой балки определяется такими параметрами, как:

• длина,
• метод закрепления,
• форма,
• площадь поперечного сечения.

Большее распространение получили изделия с буквой «Н» в сечении.

Жесткость металлической конструкции двутавра в 30 раз превышает жесткость квадратного профиля, а прочность, соответственно, в 7 раз.

Длина данной металлоконструкции бывает разной, к примеру, в случае ГОСТ 8239-89 это 4 –12 метров, то есть в зависимости от сортамента размеры и вес балки двутавровой отличаются. Помимо длины величина веса определяется толщиной металла и размерами граней. Поэтому для выполнения различных расчетов было введено понятие «вес метра балки двутавровой».

При покупке сварной конструкции обязательно требуется расчет на прочность, а для конкретного использования еще и расчет на прогиб. Грамотный расчет нагрузки на двутавровую балку позволит обеспечить устойчивость конструкции к проектным воздействиям, то есть способность воспринимать их без разрушения.

Нагрузка собственного веса

Чтобы определить в случае необходимости вес двутавровой балки пользуются специальными таблицами, где расписаны ее характеристики, к примеру, габариты, марка стали и т. д. В таблице представлена теоретическая масса 1 м профиля.

балка двутавровая размеры и вес (ГОСТ 8239-89)

Пример расчета двутавра

Предположим необходимо рассчитать вес двутавра № 12 длиной в 3 метра . Согласно таблице условная масса погонного метра данного профиля равна 11,50 кг. Если перемножить полученные значения, то получим величину общей массы – 34,5 кг.

Точнее значение веса сварной металлоконструкции можно посчитать, используя специальные онлайн калькуляторы.

В калькуляторе выбирают соответствующий номер двутавра и вводят необходимый метраж. Как видите, полученное значение больше рассчитанного нами на 0,12 кг.

Несущая способность

Среди всех типов балок двутавровая имеет наибольшую прочность, более того, она устойчива к температурным перепадам. Допустимая нагрузка на двутавр бывает указана на маркировке, как размер. Чем больше число, указанное в его наименовании, тем большую нагрузку может воспринимать балка.

Любой расчет предполагает изначальное знание размеров прокатного или сварного профиля, его длины и ширины. Проясним смысл значения ширины на примере самой популярной балочной опоры – колонны.

Предположим, что в сечении колонны лежит квадрат со стороной 510 мм, тогда на нее можно будет опереть профиль, для которого ширина не может превышать 460 мм. Это связано с тем, что двутавр придется приваривать к железобетонной подушке, а для сварочных швов понадобится запас, по крайней мере, в 40 мм.

После определения ширины переходят к выбору профиля и расчету нагрузки, воздействующей на профиль. Она представляет собой совокупность воздействий от перекрытия, а также воздействий временного и постоянного характера.

Нагрузку, выражающую величину нормативной нагрузки, собирают на длину 1 м профиля.

Но, расчет несущей способности двутавровой балки предполагает учет другого воздействия. Чтобы получить расчетную нагрузку, рассчитанное нормативное воздействие умножается на так называемый коэффициент прочности по нагрузке. Остается к результату прибавить уже подсчитанную массу изделия и найти его момент сопротивления.

Полученных данных достаточно, чтобы из сортамента подобрать профиль, необходимый для изготовления сварного профиля. Как правило, с учетом прогиба конструкции рекомендуется выбирать профиль выше на два порядка.

Сварная металлическая конструкция должна использовать примерно 70–80% от максимально допустимого прогиба.

Если несущая способность двутавра оказывается недостаточной, то возникает необходимость ее усиления. Для различных элементов сварной конструкции этот вопрос решается по-разному.

К примеру, для элементов, воспринимающих нагрузки типа растяжения, сжатия или изгиба, используют такой вариант усиления: увеличивают сечение, иначе говоря, повышают жесткость, скажем, приварив дополнительные детали.

Теоретически – это один из лучших вариантов усиления, однако, при его реализации не всегда удается получить требуемый результат. Дело в том, что элементы в процессе сварочных работ нагреваются, а это несет за собой уменьшение несущей способности.

В какой степени можно ожидать такого понижения зависит от размеров двутавра и режима и направления сварочных работ. Если для продольных швов максимальное понижение оказывается в пределах 15%, то для швов в поперечном направлении оно может достичь и 40%.

Поэтому при усилении двутавра под нагрузкой категорически запрещено накладывать швы в направлении, поперечном к элементу.

Расчетно и экспериментально было доказано, что оптимального результата усиления под нагрузкой можно получить при максимальном напряжении в 0,8 R y , то есть 80% расчетного сопротивления стали, которая была использована для изготовления двутавра.

Расчет нагрузки на двутавр – актуальность выполнения и основные методики

Двутавровая балка, как одна из разновидностей фасонного черного и цветного металлопроката, отличается широким сортаментом изделий. Поэтому в ходе проектирования и дальнейшего возведения конструкций с использованием двутавра надо сделать верный выбор. Он должен основываться на правильных расчетах. О том, как выполнить расчет нагрузки на двутавр читайте в нашей статье.

Сразу отметим что для расчетов понадобятся формулы, таблицы и знания. А если их нет, то лучше доверить все опытному и квалифицированному инженеру. Особенно если речь идет о двутавровой балке, которая применяется в нагружаемых конструкциях.

От этого напрямую зависит как качество строительства, так и безопасность эксплуатации возводимых объектов. Все параметры должны соответствовать действующим нормативным документам, обеспечивать рабочие расчетные характеристики металлоконструкции. Это обусловлено, прежде всего, сферой применения двутавровой балки, например, в качестве элемента перекрытий.

Расчет нагрузки на двутавр – основные параметры выбора

Эксплуатационные характеристики двутавра напрямую зависят от его профиля сечения и габаритов. Это во многом связано с особенностями самого металлопроката. Напомним, что двутавровая балка — это вид металлоизделий, состоящая из двух полок, соединенных стенкой. Стенку зачастую называют шейкой. Оттого так важны такие значения как:

• общая высота профиля (включая длину шейки и толщину двух полок),
• высота стенки двутавра,
• общая ширина каждой из полок,
• ширина одной части полки от шейки к краю (свесу),
• общая длина двутавра,
• толщина шейки (стенки),
• толщина полки с гранями, расположенными параллельно,
• средняя толщина проката с уклоном внутренних граней,
• радиус закругления перехода от полки к шейке (радиус сопряжения, внутреннего закругления),
• радиус закругления полки (ее кромки).

Помимо этого, следует учитывать и характеристики самого объекта. Все напрямую зависит от специфики применения двутавра. Но в основном это такой параметр как расчетная нагрузка. В ненагружаемых конструкциях используется двутавровая балка гораздо реже. Нужно еще учитывать шаг. Шаг – определенное расстояние, через него производится монтаж двутавровых балок параллельно друг к другу. И еще большое значение имеет расстояние между точками опоры, на которые укладывается двутавровая балка. Этот параметр называется пролетом.

Регламентированные значения по осям

Все расчеты выполняются на основании справочных значений нескольких важных параметров. Обозначим кратко основные. Начнем с момента инерции. Интересует его значение относительно пары центральных осей. Табличное значение, определяется таблицей сортамента, указанной в ГОСТах. Например, на территории России действует ГОСТ Р 57837-2017 для двутавра с параллельными гранями поломок. В других государствах СНГ есть ГОСТ 8239-89 для проката с уклоном внутренних граней. Существует и ряд других нормативных документов.

Порой необходимо учитывать и центробежный момент. В таблицах он отсутствует. Оттого что по умолчанию центробежный момент равняется 0 по обеим из осей. Используются параметры, определяющие инерцию, ее:

• радиус относительно одной из центральных осей,
• статический момент полусечения относительно оси,
• осевой момент.

Большое влияние на расчеты имеет такой параметр как расчетное сопротивление, обозначается Ry. Это тоже табличный параметр, он зависит напрямую от марки стали, которая используется при производстве двутавра. Например, углеродистая марка стали С235 имеет расчетное сопротивление 230 МПа. У других марок стали этот параметр будет отличаться.

Следующий важный параметр – модуль упругости. Тут все зависит от характеристик материала, из которого изготовлена двутавровая балка. Забыли отметить, но и расчетное сопротивление тоже зависит от этой характеристики. В классическом понимании – фасонный черный металлопрокат. А это значит, что модуль упругости E берется для стали. Он в таком случае равен 200000 МПа. Но может быть, например, по ГОСТ 13621-90 цветной металлопрокат. Плюс еще различные породы древесины. Там момент инерции будет другой. Такие особенности надо учитывать, когда выполняется расчет нагрузки на двутавровую балку.

В зависимости от конструкционных особенностей объекта порой возникает необходимость использования и других расчетных параметров. Берутся, как правило, табличные значения.

Расчет нагрузки на двутавр и несущая способность

Разработаны специальные таблицы. В них номер двутавра выбирается исходя из трех основных параметров:

• предполагаемой нагрузки, кг/м.п. (килограмм на метр погонный),
• величины пролета, о нем отмечали выше, м (метров),
• шага, с которым уложен двутавр, м (метров).

Под номером подразумевается высота профиля в сантиметрах (от 10 до 100 по действующей нормативной базе).

Предполагаемая нагрузка рассчитывается исходя из несущей способности изделий. Важно учитывать при этом технологию производства двутавра. Напомним, что он бывает горячекатаным, сварным, клепаным (если используется металл). Горячекатаный получается путем прокатки заготовки, сварной путем приваривания полок к стенке. В клепаной балке для соединения элементов применяются заклепки. Так вот если это сварной двутавр. В таком случае при расчете текущей несущей способности необходимо прибавлять порядка 30% дополнительно на прочность.

Саму расчетную нагрузку определяют следующим образом. Высчитывают такой параметр как давление на конструкцию. Учитывается при этом вес конструкции в пересчете на один погонный метр двутавровой балки. Затем полученное значение умножается на коэффициент надежности (напрямую зависит от разновидности двутавра и используемого ГОСТа). После этого на основании полученного значения из таблицы подбирают момент сопротивления. А уже по моменту сопротивления определяется номер профиля исходя из текущего сортамента. Рекомендуем перестраховаться и выбрать на два номера выше.

Важный момент. Несущая способность двутавровой балки устанавливается только и исключительно исходя из расчетной нагрузки. Использовать только одну нормативную нагрузку нельзя. Она выполнена без учета специфики возводимых металлоконструкций, их конструкционных особенностей и эксплуатационных параметров.

И последнее. Несущая способность учитывается при выполнении расчета в двутавре нагрузок на изгиб.

Прочность и прогиб двутавровой балки

Прочность двутавра определяется с учетом нормативных напряжений. В ходе этого выполняется построение так называемых эпюр внутренних усилий, кроме этого напряжений, а еще и перемещений. Они основываются на такие параметры как воздействие сил в продольной и поперечной плоскости, моментов (имеются в виду изгибающие и крутящие).

Как уже отмечали выше, большое значение имеют характеристики материала. Если речь о черном стальном прокате, то основополагающий критерий – марка стали. Если это древесина, то ее порода. Именно характеристики материала учитываются при расчете прочности. Лучше выбирать материалы с повышенной прочностью. Это в полной мере касается и марок стали. Учитывайте, что чем прочнее материал, тем меньше габариты двутавра. Такое положение вещей обозначает что снижается нагрузка на конструкцию в целом. Значение допустимого давления становится меньше. И последнее. Опытный и квалифицированный инженер всегда использует несколько способов определения прочности материала. Ведь надо прилагаемую силу обязательно разложить по осям. После установить максимальные моменты вокруг каждой из осей. На заключительном этапе полученные расчетным путем значения сравниваются.

Прогиб двутавра рассчитывается исходя из таких параметров как:

• нагрузка в кг/м (килограммах на метр), берется и расчетная, и нормативная нагрузка,
• пролет (расстояние между опорными точками в м (метрах),
• расчетное сопротивление (измеряется в МПа (мегапаскалях)).

Важный момент. Предельное значение прогиба определяется исходя из конструкционного предназначения двутавровой балки. Так, если двутавр применяется в межэтажных перекрытиях, то прогиб менее 1/250. А если это кровельные конструкции и перемычки, то 1/200. У других конструкционных элементов значения будут соответственно другие. Уменьшить величину прогиба можно только путем изменения исходных параметров. То есть использовать облегченные конструкции и уменьшить нагрузку. Второй вариант – уменьшить расстояние между двумя опорными точками, например, использовав дополнительную (промежуточную).

Можно ли обойтись без расчета прогиба?

Варианты ответа зависят от характеристик объекта и его функционального предназначения. Например, если это небольшая по высоте одноуровневая конструкция, особенно хозяйственного предназначения, то есть варианты. Первый – рассчитывать прогиб двутавра, второй – высчитывать несущую способность возводимых конструкций. Но многое зависит от отделочных материалов, используемых при финишной отделке, и их массы. Поэтому расчет прогиба лучше выполнять даже при индивидуальном строительстве частных домовладений, хозяйственных построек.

Важно понимать факт того что прогиб формируется и в углах поворота. Многое находится в зависимости от конструкции, ее:

• функционального предназначения,
• основных габаритов,
• характеристик используемых материалов, той же марки стали, как частный случай,
• физических параметров.

Формул расчета прогиба множество. На них подробно останавливаться в рамках нашей статьи смысла нет. Лишь отметим что многое зависит от разновидности нагрузки. Речь о направлении ее действия. Все дело в том, что на двутавр могут воздействовать разнонаправленные нагрузки. Как правило, это прогиб, направленный вниз, но бывают и другие. Причем иногда это совокупность разнонаправленных нагрузок. Тогда прогиб определяется по каждой из них отдельно.

Методики расчета прогиба могут быть использованы различные, например, с применением метода начальных параметров.

Расчет нагрузки на двутавр – ключевой параметр выбора этого вида изделий. Любая ошибка в расчетах или их игнорирование может привести к трагическим последствиям. Оттого к вопросу надо подходить ответственно, а выбор делать с запасом. Когда все расчеты будут сделаны и перепроверены – обращайтесь. У нас представлен широкий сортамент двутавровой балки. Поможем подобрать именно тот двутавр что нужен.

Таблицы расчета перекрытий

Расчет балок перекрытия

Расчет деревянных балок перекрытия в доме ведется по II предельному состоянию (по прогибам). Относительный прогиб 1/250 (по СНиП “Нагрузки и воздействия”). На практике это говорит о том, что балка перекрытия при нагружении ее равномерно распределенной нагрузкой 400 кг/м2 или 250, 200 кг/м2 в отдельных случаях, прогнется в центре на величину равную L/250, где L – расчетная длина балки (расстояние в свету между опорами).

Например, если расчетная длина балки 6 м (6000 мм), то прогиб в центре при максимальной нагрузке будет 6000/250 = 24 мм. Т.е. в данном примере 24 мм – максимально допустимый прогиб балки, при котором возможна комфортная эксплуатация перекрытия – не будет вибраций, скрипов, ощущения “батута”.

Ниже приведены таблицы соотношения типа двутавровых балок, шага их установки, расчетной нагрузки и максимального пролета, при которых выполняются данные условия.

• Балки серии W изготавливаются длиной 6 метров. Максимальный пролет, который они перекрывают 5,8м (при минимальном опирании 100 мм с двух сторон)
• Балки серии L изготавливаются длиной до 13,5 метров.
• Рекомендуемые шаги – 0,4 и 0,6 м для межэтажных перекрытий, 0,6 и 0,8 для чердачных перекрытий.
• Максимальный пролет – расстояние “в свету” между соседними опорами.
• Шаг балок – межосевое расстояние двух соседних балок.

Таблица расчета балок межэтажного и цокольного перекрытия

Расчет нагрузки 400 кг/м2 для деревянных перекрытий

Теги: #Нагрузка на двутавровую балку таблица

Расчет двутавра на прогиб и изгиб

Калькулятор

Пример расчета

Калькуляторы по теме:

• Сбор нагрузок на балки перекрытия онлайн
• Расчет прямоугольной трубы
• Расчет квадратной трубы
• Расчет швеллера
• Расчет уголка
• Расчет деревянной балки
• Расчет двутавра на устойчивость.

Эпюры M и Q. Сопромат. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, как построить. Изгиб.

Основные вопросы, которые рассмотрены в видео: — правило знаков при изгибе для моментов и поперечных сил. Откуда оно появилось и как его быстрее запомнить — что такое эпюра M и Q, эпюра изгибающего момента и поперечной силы. Как ней пользоваться и зачем нужна — пара простых лайфхаков как быстрее и проще запомнить методику построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил В этом видео уроке доступно и просто объясняется страшная тайна ))) как построить эпюры. После моего объяснения мои студенты обычно спрашивают: «Что так просто?» Да. Действительно построение эпюр при изгибе важная часть сопротивления материалов. И часто при объяснении преподаватели в ВУЗе делают это или не качественно. Это и не удивительно, ведь этот материал они могут излагать уже 3 раз за день. Или студента могло что-то отвлечь и важную деталь он упустил. Как построить Эпюры M и Q. Сопромат. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, Изгиб. Сопромат, Изгиб. Построение эпюр и определение внутренних усилий поперечная сила Q(x) и момент M(x). Понятие и правило знаков. Пример для консольной балки (консоли). 5:09 пример построения эпюр внутренних усилий при изгибе Q(x) — поперечной силы и M(x) — изгибающего момента Задаеть вопросы: — через сайт: https://stroymex.online — skype: zabolotnyiAN — email: [email protected] — комменты к видео Телеграм канал: https://t.me/sroymexOnline Не тратьте время зря, задавайте вопросы. Узнайте стоимость обучения: https://stroymex.online/usloviya-i-tsena-onlayn-obucheniya-sopromat-i-stroymeh. Получите первую консультацию бесплатно! Facebook: https://www.facebook.com/SopromatOnline

2019-11-19

Вот какие еще уроки по сопротивлению материалов вы найдете на моем сайте:

Load more

Гипотезы и определения при изгибе

Прежде всего начнем с определений:

Что такое балка? Балка — это стержень, длина которого значительно больше чем ширина и высота. При этом он испытывает деформацию изгиба.

балка — длина значительно больше ширины и высоты

Изгиб, что это? Это такой вид деформации, при котором происходит искривление продольной оси балки, но продольные волокна друг на друга не давят, а сечения плоские до изгиба остаются такими и после изгиба.

правило знаков при изгибе

На рисунке выше изображена схема для вывода формулы напряжений и демонстрация напряжений, которые возникают при чистом изгибе. Этот термин придется изложить в другой статье. А пока продолжим.

Эпюра — это график изменения величины, для которой он построен. Так эпюра изгибающего момента — это график изменения внутреннего усилия — изгибающего момента по длине балки. Используя этот график, построенный в масштабе, можно с помощь простых операций определить значение изгибающего момента в любой точке по длине балки. Эпюра поперечной силы — аналогично, график ее изменения внутреннего усилия поперечная сила по длине балки.

Инструкция к калькулятору

Обращаю ваше внимание, что в нецелых числах необходимо ставить точку, а не запятую, то есть, например, 5.7 м, а не 5,7. Также двутавр необходимо проверять на устойчивость (на заваливание от момента). Это можно сделать с помощью калькулятора, ссылка на который расположена выше (в списке «Калькуляторы по теме»). Если что-то не понятно, задавайте свои вопросы через форму комментариев, расположенную в самом низу.

Исходные данные

Расчетная схема:

Длина пролета (L) — минимальное расстояние между двумя крайними опорами или длина консоли.

Расстояния (A и B) — расстояния от опор до мест приложения нагрузок. Для 3 схемы А равна длине консоли балки, опирающейся на 2 опоры.

Нормативная и расчетная нагрузки — нагрузки, на которые рассчитывается квадратная труба. Рассчитать их можно с помощью следующих материалов:

• калькулятор по сбору нагрузок на балку перекрытия;
• пример сбора нагрузок на балку перекрытия.

Fmax — максимально возможный прогиб согласно таблицы E.1 СНиПа «Нагрузки и воздействия». Некоторые из них выписаны в таблицу 1.

Количество двутавров — этот показатель введен на случай, если балку перекрытия придется усилить еще такой же, положив ее рядом. То есть, если у вас одна балка, то указывается «один», если две рядом, то необходимо выбрать «две».

Расчетное сопротивление Ry— для каждой марки стали он свой. Наиболее распространенные значения приведены в таблице 2.

Размер двутавра — здесь следует выбрать профиль двутавра по тому или иному ГОСТу.

Методика выполнения расчета на прогиб

Прежде чем приступать к расчету, нужно будет вспомнить некоторые зависимости из теории сопротивления материалов и составить расчетную схему. В зависимости от того, насколько правильно выполнена схема и учтены условия нагружения, будет зависеть точность и правильность расчета.

Используем простейшую модель нагруженной балки, изображенной на схеме. Простейшей аналогией балки может быть деревянная линейка, фото.

В нашем случае балка:

1. Имеет прямоугольное сечение S=b*h, длина опирающейся части составляет L;
2. Линейка нагружена силой Q, проходящей через центр тяжести изгибаемой плоскости, в результате чего концы поворачиваются на небольшой угол θ, с прогибом относительно начального горизонтального положения, равным f;
3. Концы балки опираются шарнирно и свободно на неподвижных опорах, соответственно, не возникает горизонтальной составляющей реакции, и концы линейки могут перемещаться в произвольном направлении.

Для определения деформации тела под нагрузкой используют формулу модуля упругости, который определяется по соотношению Е=R/Δ, где Е – справочная величина, R— усилие, Δ— величина деформации тела.

Вычисляем моменты инерции и сил

Для нашего случая зависимость будет выглядеть так: Δ = Q/(S·Е). Для распределенной вдоль балки нагрузки q формула будет выглядеть так: Δ = q·h/(S·Е).

Далее следует наиболее принципиальный момент. Приведенная схема Юнга показывает прогиб балки или деформацию линейки так, если бы ее раздавливали под мощным прессом. В нашем случае балку изгибают, а значит, на концах линейки, относительно центра тяжести, приложены два изгибающих момента с разным знаком. Эпюра нагружения такой балки приведена ниже.

Чтобы преобразовать зависимость Юнга для изгибающего момента, необходимо обе части равенства умножить на плечо L. Получаем Δ*L = Q·L/(b·h·Е).

Если представить, что одна из опор жестко закреплена, а на второй будет приложен эквивалентный уравновешивающий момент сил Mmax = q*L*2/8, соответственно, величина деформации балки будет выражаться зависимостью Δх = M·х/((h/3)·b·(h/2)·Е). Величину b·h3/6 называют моментом инерции и обозначают W. В итоге получается Δх = M·х/(W·Е) основополагающая формула расчета балки на изгиб W=M/E через момент инерции и изгибающий момент.

Чтобы точно выполнить расчет прогиба, потребуется знать изгибающий момент и момент инерции. Величину первого можно посчитать, но конкретная формула для расчета балки на прогиб будет зависеть от условий контакта с опорами, на которых находится балка, и способа нагружения, соответственно для распределенной или концентрированной нагрузки. Изгибающий момент от распределенной нагрузки считается по формуле Mmax = q*L2/8. Приведенные формулы справедливы только для распределенной нагрузки. Для случая, когда давление на балку сконцентрировано в определенной точке и зачастую не совпадает с осью симметрии, формулу для расчета прогиба приходится выводить с помощью интегрального исчисления.

Момент инерции можно представить, как эквивалент сопротивления балки изгибающей нагрузке. Величину момента инерции для простой прямоугольной балки можно посчитать по несложной формуле W=b*h4/12, где b и h – размеры сечения балки.

Из формулы видно, что одна и та же линейка или доска прямоугольного сечения может иметь совершенно разный момент инерции и величину прогиба, если положить ее на опоры традиционным способом или поставить на ребро. Недаром практически все элементы стропильной системы крыши изготавливаются не из бруса 100х150, а из доски 50х150.

Реальные сечения строительных конструкций могут иметь самые разные профили, от квадрата, круга до сложных двутавровых или швеллерных форм. При этом определение момента инерции и величины прогиба вручную, «на бумажке», для таких случаев становится нетривиальной задачей для непрофессионального строителя.

Формулы для практического использования

На практике чаще всего стоит обратная задача – определить запас прочности перекрытий или стен для конкретного случая по известной величине прогиба. В строительном деле очень сложно дать оценку запасу прочности иными, неразрушающими методами. Нередко по величине прогиба требуется выполнить расчет, оценить запас прочности здания и общее состояние несущих конструкций. Мало того, по выполненным измерениям определяют, является деформация допустимой, согласно расчету, или здание находится в аварийном состоянии.

Совет! В вопросе расчета предельного состояния балки по величине прогиба неоценимую услугу оказывают требования СНиПа. Устанавливая предел прогиба в относительной величине, например, 1/250, строительные нормы существенно облегчают определение аварийного состояния балки или плиты.

Например, если вы намерены покупать готовое здание, простоявшее достаточно долго на проблемном грунте, нелишним будет проверить состояние перекрытия по имеющемуся прогибу. Зная предельно допустимую норму прогиба и длину балки, можно безо всякого расчета оценить, насколько критическим является состояние строения.

Строительная инспекция при оценке прогиба и оценке несущей способности перекрытия идет более сложным путем:

• Первоначально измеряется геометрия плиты или балки, фиксируется величина прогиба;
• По измеренным параметрам определяется сортамент балки, далее по справочнику выбирается формула момента инерции;
• По прогибу и моменту инерции определяют момент силы, после чего, зная материал, можно выполнить расчет реальных напряжений в металлической, бетонной или деревянной балке.

Вопрос – почему так сложно, если прогиб можно получить, используя для расчета формулу для простой балки на шарнирных опорах f=5/24*R*L2/(E*h) под распределенным усилием. Достаточно знать длину пролета L, высоту профиля, расчетное сопротивление R и модуль упругости Е для конкретного материала перекрытия.

Ответ прост — необходимо непросто рассчитать, но и сохранить на бумаге ход выполнения проверочного расчета, чтобы сделанные выводы о состоянии перекрытия можно было проверить и перепроверить по всем этапам проверки.

Совет! Используйте в своих расчетах существующие ведомственные сборники различных проектных организаций, в которых в сжатом виде сведены все необходимые формулы для определения и расчета предельного нагруженного состояния.

Напряжение и прогиб балки | МеханиКальк

Калькулятор

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.

---

Многие конструкции можно аппроксимировать прямой балкой или набором прямых балок. По этой причине анализ напряжений и прогибов в балке является важной и полезной темой.

В этом разделе рассматриваются поперечная сила и изгибающий момент в балках, диаграммы сдвига и момента, напряжения в балках, а также таблица общих формул прогиба балки.

Содержимое

Ограничения и граничные условия

Чтобы балка оставалась в статическом равновесии, когда к ней приложены внешние нагрузки, балка должна быть закреплена. Ограничения определяются в отдельных точках вдоль балки, и граничное условие в этой точке определяет характер ограничения. Граничное условие указывает, является ли луч фиксированным (ограниченным от движения) или свободным для перемещения в каждом направлении. Для двумерного луча интересующими направлениями являются направление x (осевое направление), направление y (поперечное направление) и вращение. Чтобы ограничение существовало в точке, граничное условие должно указывать, что хотя бы одно направление зафиксировано в этой точке.

Общие граничные условия показаны в таблице ниже. Для каждого граничного условия в таблице указано, является ли луч фиксированным или свободным в каждом направлении в точке, где определено граничное условие.

41

Граничное условие	Направление
	Осевое (X)	Поперечное (Y)	Вращение
Свободно	Свободно	Свободно	Свободно
Фиксированная	Фиксированная	Фиксированная	Фиксированная
ПРИНУТНАЯ		FIED	БЕСПЛАТНЫЙ
GUID ATALD X	БЕСПЛАТНЫЙ
GUID ATALD X	БЕСПЛАТНЫЙ
GUID x
.	Фиксированный	Свободный	Фиксированный
Ролик по оси X	Свободно	Фиксированный	Свободно
Ролик по оси Y	0041	Фиксированный	Свободный	Свободный

Если граничное условие указывает, что луч зафиксирован в определенном направлении, то в месте расположения граничного условия может существовать внешняя реакция в этом направлении. Например, если балка закреплена в направлении y в определенной точке, то в этой точке может возникнуть поперечная (y) внешняя сила реакции. Точно так же, если балку зафиксировать от вращения в определенной точке, то в этой точке может возникнуть внешний реактивный момент.

Основываясь на приведенном выше обсуждении, мы можем видеть, что фиксированное граничное условие может развивать осевые и поперечные силы реакции, а также момент. Точно так же мы видим, что закрепленное граничное условие может развивать осевые и поперечные силы реакции, но не может создавать реактивный момент.

Обратите внимание на условие свободной границы в таблице выше. Это граничное условие указывает, что луч может свободно двигаться в любом направлении в этой точке (т. е. он не зафиксирован и не ограничен ни в каком направлении). Следовательно, на данный момент ограничения не существует. Это подчеркивает тонкую разницу между ограничением и граничным условием. Граничное условие указывает фиксированное/свободное условие в каждом направлении в определенной точке, а ограничение — это граничное условие, в котором зафиксировано хотя бы одно направление.

Сила сдвига и изгибающий момент

Чтобы найти поперечную силу и изгибающий момент по длине балки, сначала решите внешние реакции при каждом ограничении. Например, консольная балка ниже имеет приложенную силу, показанную красной стрелкой, а реакции показаны синими стрелками при фиксированном граничном условии.

Внешние реакции должны уравновешивать приложенные нагрузки таким образом, чтобы балка находилась в статическом равновесии. После того, как внешние реакции определены, сделайте разрезы по длине балки и определите внутренние реакции в каждом разрезе сечения. (Силы реакции и моменты в разрезах сечения называются внутренними реакциями, поскольку они являются внутренними по отношению к балке.) Пример сечения показан на рисунке ниже:

Когда балка разрезается в сечении, при расчете внутренних реакций можно учитывать любую сторону балки. Выбранная сторона не влияет на результаты, поэтому выбирайте ту сторону, которая проще всего. На рисунке выше выбрана сторона балки справа от разреза сечения. Выбранная сторона отображается в виде синего участка луча, а участок, показанный серым цветом, игнорируется. Внутренние реакции на разрезе показаны синими стрелками. Реакции рассчитываются таким образом, чтобы рассматриваемое сечение балки находилось в статическом равновесии.

Соглашение о знаках

Важны знаки сдвига и момента. Знак определяется после разреза сечения и решения реакций для части балки по одну сторону от разреза. Перерезывающая сила в срезе сечения считается положительной, если она вызывает вращение выбранного сечения балки по часовой стрелке, и считается отрицательной, если вызывает вращение против часовой стрелки. Изгибающий момент в разрезе сечения считается положительным, если он сжимает верхнюю часть балки и удлиняет нижнюю часть балки (т. е. заставляет балку «улыбаться»).

На основании этого соглашения о знаках поперечная сила в разрезе сечения консольной балки в качестве примера на рисунке выше положительна, поскольку она вызывает вращение выбранного сечения по часовой стрелке. Момент отрицательный, так как он сжимает нижнюю часть балки и удлиняет верхнюю (т. е. заставляет балку «нахмуриться»).

На рисунке ниже показаны стандартные знаки для поперечной силы и изгибающего момента. Силы и моменты слева положительны, а справа отрицательны.

---

Ознакомьтесь с нашим калькулятором луча, основанным на методологии, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

Диаграммы сдвига и момента

Перерезывающая сила и изгибающий момент в балке обычно изображаются на диаграммах. Диаграмма сдвига показывает поперечную силу по длине балки, а диаграмма моментов показывает изгибающий момент по длине балки. Эти диаграммы обычно располагаются друг над другом, и комбинация этих двух диаграмм представляет собой диаграмму момента сдвига. Диаграммы поперечного момента для некоторых распространенных конечных условий и конфигураций нагрузки показаны в таблицах прогиба балки в конце этой страницы. Пример диаграммы поперечного момента показан на следующем рисунке:

Общие правила построения диаграмм поперечных моментов приведены в таблице ниже. Все правила этой таблицы показаны на рисунке выше.

Диаграмма сдвига

Диаграмма моментов

Точечные нагрузки вызывают вертикальный скачок на диаграмме сдвига. Направление скачка совпадает со знаком точечной нагрузки. Равномерно распределенные нагрузки приводят к прямой наклонной линии на диаграмме сдвига. Наклон линии равен величине распределенной нагрузки. Диаграмма сдвига горизонтальна для расстояний вдоль балки без приложенной нагрузки. Сдвиг в любой точке балки равен наклону момента в этой же точке:

Диаграмма моментов представляет собой прямую наклонную линию для расстояний вдоль балки без приложенной нагрузки. Наклон линии равен величине сдвига. Равномерно распределенные нагрузки приводят к параболической кривой на диаграмме моментов. Максимальные/минимальные значения момента возникают там, где линия сдвига пересекает ноль. Момент в любой точке балки равен площади под диаграммой сдвига до этой точки: М = ∫ В dx

Изгибающие напряжения в балках

Изгибающий момент М по длине балки можно определить по диаграмме моментов. Затем изгибающий момент в любом месте балки можно использовать для расчета изгибающего напряжения в поперечном сечении балки в этом месте. Изгибающий момент изменяется по высоте поперечного сечения в соответствии с формула изгиба ниже:

где M — изгибающий момент в интересующем месте по длине балки, I _c — центральный момент инерции поперечного сечения балки, а y — расстояние от нейтральной оси балки до интересующей точки по высоте. сечения. Отрицательный знак указывает на то, что положительный момент приведет к сжимающему напряжению над нейтральной осью.

Напряжение изгиба равно нулю на нейтральной оси балки, которая совпадает с центром тяжести поперечного сечения балки. Напряжение изгиба увеличивается линейно от нейтральной оси до максимальных значений на крайних волокнах вверху и внизу балки.

Максимальное изгибающее напряжение возникает на крайних волокнах балки и рассчитывается как:

где c — центроидальное расстояние поперечного сечения (расстояние от центроида до крайнего волокна).

Если балка асимметрична относительно нейтральной оси, так что расстояния от нейтральной оси до верха и до низа балки не равны, максимальное напряжение возникнет в самом удаленном месте от нейтральной оси. На рисунке ниже растягивающее напряжение в верхней части балки больше, чем сжимающее напряжение в нижней части.

Модуль поперечного сечения объединяет центральный момент инерции I _c и центральное расстояние с:

Преимущество модуля сечения заключается в том, что он характеризует сопротивление поперечного сечения изгибу в одном выражении. Модуль сечения можно подставить в формулу изгиба для расчета максимального напряжения изгиба в поперечном сечении:

---

Ознакомьтесь с нашим калькулятором луча, основанным на методологии, описанной здесь.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

Касательные напряжения в балках

Сила сдвига V по длине балки может быть определена по диаграмме сдвига. Сила сдвига в любом месте балки затем может быть использована для расчета напряжения сдвига по поперечному сечению балки в этом месте. Среднее касательное напряжение по поперечному сечению определяется выражением:

Напряжение сдвига изменяется по высоте поперечного сечения, как показано на рисунке ниже:

Напряжение сдвига равно нулю на свободных поверхностях (вверху и внизу балки) и максимально в центре тяжести. Уравнение для напряжения сдвига в любой точке, расположенной на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения, имеет вид:

где V — поперечная сила, действующая в месте поперечного сечения, I _c — центральный момент инерции поперечного сечения, b — ширина поперечного сечения. Все эти термины являются константами. Член Q — это первый момент площади, ограниченной точкой интереса и крайним слоем поперечного сечения:

Напряжения сдвига для нескольких распространенных поперечных сечений обсуждаются в разделах ниже.

Касательные напряжения в прямоугольных сечениях

Распределение касательного напряжения по высоте прямоугольного сечения показано на рисунке ниже:

Первый момент площади в любой заданной точке y ₁ по высоте поперечного сечения рассчитывается по формуле:

Максимальное значение Q приходится на нейтральную ось луча (где y ₁ = 0):

Касательное напряжение в любой заданной точке y ₁ по высоте поперечного сечения рассчитывается по формуле:

где I _c = b·h ³ /12 – центральный момент инерции поперечного сечения. Максимальное напряжение сдвига возникает на нейтральной оси балки и рассчитывается по формуле:

где A = b·h – площадь поперечного сечения.

Из предыдущего уравнения видно, что максимальное касательное напряжение в поперечном сечении на 50% выше, чем среднее напряжение V/A.

Касательные напряжения в круглых сечениях

Круглое сечение показано на рисунке ниже:

Уравнения для касательного напряжения в балке были выведены с использованием предположения, что касательное напряжение по ширине балки постоянно. Это предположение справедливо в центре тяжести круглого поперечного сечения, хотя нигде больше оно недействительно. Следовательно, хотя распределение напряжения сдвига по высоте поперечного сечения не может быть легко определено, максимальное напряжение сдвига в сечении (возникающее в центре тяжести) все же можно рассчитать. Максимальное значение первого момента Q, возникающее в центре тяжести, определяется выражением:

Затем максимальное напряжение сдвига рассчитывается по формуле:

где b = 2r — диаметр (ширина) поперечного сечения, I _c = πr ⁴ /4 — центроидальный момент инерции, A = πr ² — площадь поперечного сечения.

Касательные напряжения в сечениях круглых труб

Поперечное сечение круглой трубы показано на рисунке ниже:

Максимальное значение первого момента Q, возникающее в центре тяжести, определяется выражением:

Затем максимальное напряжение сдвига рассчитывается по формуле:

где b = 2 (r _o − r _i ) – эффективная ширина поперечного сечения, центроидальный момент инерции, а A = π (r _o ² − r _i ² ) площадь поперечного сечения.

Касательные напряжения в двутавровых балках

Распределение напряжения сдвига вдоль стенки двутавровой балки показано на рисунке ниже:

Уравнения для касательного напряжения в балке были выведены с использованием предположения, что касательное напряжение по ширине балки постоянно. Это предположение справедливо для стенки двутавровой балки, но неверно для полки (особенно там, где стенка пересекает полки). Тем не менее, стенка двутавровой балки принимает на себя подавляющую часть силы сдвига (примерно 90–98%, по Гиру), и поэтому можно консервативно предположить, что на стенку приходится вся сила сдвига.

Первый момент площади стенки двутавровой балки определяется по формуле:

Напряжение сдвига вдоль стенки двутавровой балки определяется по формуле:

где t _w — толщина стенки, а I _c — центральный момент инерции двутавровой балки:

Максимальное значение напряжения сдвига возникает на нейтральной оси ( y ₁ = 0 ), а минимальное значение напряжения сдвига в стенке возникает на внешних волокнах стенки, где она пересекает полки y ₁ = ±h _w /2 ):

---

PDH Classroom предлагает курс повышения квалификации на основе этой справочной страницы по анализу луча. Этот курс можно использовать для выполнения кредитных требований PDH для поддержания вашей лицензии PE.

Теперь, когда вы прочитали эту справочную страницу, заработайте за это признание!

Просмотреть курс сейчас:

Просмотреть курс

---

Таблицы прогиба балки

В приведенных ниже таблицах приведены уравнения для прогиба, наклона, сдвига и момента вдоль прямых балок для различных конечных условий и нагрузок. Вы можете найти исчерпывающие таблицы в таких справочниках, как Gere, Lindeburg и Shigley. Однако приведенные ниже таблицы охватывают большинство распространенных случаев.

Консольные балки

Консоль, торцевая нагрузка		@ х = L @ х = L В = +F М = ​​-F (L — х) M макс. = −FL @ х = 0
Консоль, промежуточная нагрузка		( 0 ≤ х ≤ а ) ( а ≤ х ≤ L ) @ х = L ( 0 ≤ х ≤ а ) ( а ≤ х ≤ L ) В = +F ( 0 ≤ х ≤ а ) В = 0 ( а ≤ х ≤ L ) М = ​​-F (а — х) ( 0 ≤ х ≤ а ) М = ​​0 (а ≤ х ≤ L)
Консоль, равномерно распределенная нагрузка		@ х = L @ х = L В = +w (L − x) В макс. = +wL @ х = 0 М = ​​-w (L — x) 2 / 2 M макс. = −wL 2 / 2 @ х = 0
Консоль, треугольная распределенная нагрузка		@ х = L @ х = L В макс. = +w 1 л / 2 @ х = 0 M макс. = −w 1 L 2 / 6 @ х = 0
Консоль, Конечный момент		@ х = L @ х = L М = ​​-М 0

Просто поддерживаемые балки

Простая опора, промежуточная нагрузка		( 0 ≤ х ≤ а ) Для a ≥ b: @ ( 0 ≤ х ≤ а ) @ х = 0 @ х = L В 1 = +Fb / L ( 0 ≤ х ≤ а ) В 2 = −Fa / L ( а ≤ х ≤ L ) M макс. = +Fab / L @ х = а
Простая опора, центральная нагрузка		(0 ≤ х ≤ L/2) @ х = L/2 (0 ≤ х ≤ L/2) @ х = 0 @ х = L В 1 = +F / 2 (0 ≤ х ≤ L/2) В 2 = −F / 2 (L/2 ≤ x ≤ L) M макс. = FL / 4 @ х = L/2
Просто поддерживаемый, 2 нагрузки на равном расстоянии от опор		( 0 ≤ х ≤ а ) ( а ≤ х ≤ L — а ) @ х = L/2 ( 0 ≤ х ≤ а ) ( а ≤ х ≤ L — а ) @ х = 0 @ х = L В 1 = +F ( 0 ≤ х ≤ а ) В 2 = −F ( L — а ≤ x ≤ L ) M макс. = Fa ( а ≤ х ≤ L — а )
Простая опора, равномерная распределенная нагрузка		@ х = L/2 @ х = 0 @ х = L В = w (L/2 − x) В 1 = +wL / 2 @ х = 0 В 2 = −wL / 2 @ х = L M макс. = ширина 2 / 8 @ х = L/2
Простая опора, момент на каждой опоре		@ х = L/2 @ х = 0 @ х = L М = ​​М 0
Простая опора, момент в одну опору		@ x = L (1 − √3/3) @ х = 0 @ х = L В = −М 0 / л М макс. = М 0 @ х = 0
Простая опора, центральный момент		(0 ≤ х ≤ L/2) (0 ≤ х ≤ L/2) @ х = 0 @ х = L В = +M 0 / L М = ​​М 0 х/л (0 ≤ х ≤ L/2) М макс. = М 0 / 2 @ х = L/2

Неподвижные-неподвижные балки

Фиксированный-Фиксированный, центральная нагрузка		(0 ≤ х ≤ L/2) @ х = L/2 В 1 = +F / 2 (0 ≤ х ≤ L/2) В 2 = −F / 2 (L/2 ≤ x ≤ L) М = ​​F (4x − L) / 8 (0 ≤ х ≤ L/2) М 1 = М 3 = −FL / 8 @ х = 0 и х = L М 2 = +FL / 8 @ х = L/2
Фиксированная-фиксированная, равномерная распределенная нагрузка		@ х = L/2 В = w (L/2 − x) В 1 = +wL / 2 @ х = 0 В 2 = −wL / 2 @ х = L М = ​​w (6Lx — 6x 2 — L 2 ) / 12 M 1 = M 3 = −wL 2 / 12 @ х = 0 и х = L М 2 = ШЛ 2 / 24 @ х = L/2

---

Подпишитесь на получение периодических обновлений о последних улучшениях:

---

Ссылки

1. Будинас-Нисбетт, «Машиностроение Шигли», 8-е изд.
2. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
3. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена PE», 13-е изд.
4. «Руководство по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

Простая гибка балки | Инженерная библиотека

На этой странице представлены разделы о простом изгибе балки из «Руководства по анализу напряжений», Лаборатория динамики полета ВВС, октябрь 1986 г.

Другие связанные главы из «Руководства по анализу стресса» ВВС можно увидеть справа.

А	=	площадь поперечного сечения
б	=	ширина секции
с	=	расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна
Е	=	модуль упругости
Ф ти	=	Предел текучести при растяжении
е б	=	расчетное первичное напряжение изгиба
f кр	=	расчетное критическое напряжение сжатия
Г	=	модуль упругости при сдвиге
ч	=	высота или глубина
я	=	момент инерции
Дж	=	постоянная кручения
л	=	длина
Л’	=	эффективная длина балки
М	=	приложенный изгибающий момент
М кр	=	критический момент
М фп	=	полностью пластиковый изгибающий момент
М г	=	изгибающий момент в начале текучести

Р	=	приложенная сосредоточенная нагрузка
В	=	статический момент поперечного сечения, \( \int_{A_1} y ~dA \)
к	=	сдвиговое течение
с	=	расстояние от центральной оси до точки приложения нагрузки
т ф	=	толщина фланца
т ш	=	толщина стенки
В	=	поперечная сила
х, у, з	=	прямоугольные координаты
у	=	прогиб балки из-за изгиба
р	=	радиус вращения
θ	=	наклон балки

1.

3.1 Простые балки на изгибе

Простые балки при упругом и пластическом изгибе рассматриваются в разделах 1.3.1.1 и 1.3.1.3 соответственно, а возможность поперечной неустойчивости глубоких балок при изгибе рассматривается в разделе 1.3.1.5.

1.3.1.1 Простые балки при упругом изгибе

В этом разделе рассматриваются простые балки при изгибе, для которых максимальное напряжение остается в области упругости.

Максимальное изгибающее напряжение в такой балке находится по формуле

$$ f_b = {Mc \над I} $$

(1-1)

в то время как сдвиговый поток определяется выражением

$$ q = { VQ \над I } $$

(1-2)

где \( Q = \int_{A_1} y~dA \). Использование этих уравнений показано в разделе 1.3.2.2.

Вертикальные и угловые перемещения простой балки при упругом изгибе задаются уравнениями (1-3) и (1-4) соответственно, где А и В — константы интегрирования. 92 + Ах + В $$

(1-3)

$$ \theta = {dy \over dx} = \int {M \over EI}~ dx + A $$

(1-4)

---

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

1.3.1.2 Пример задачи — простая балка при упругом изгибе

Дано : Консольная балка, показанная на рис. 1-1.

Найдите : Максимальные напряжения изгиба и сдвига.

Решение : Из уравнений статики можно получить диаграммы сдвига и момента на рисунке 1-2.

Поскольку c и I постоянны вдоль балки, максимальное изгибающее напряжение возникает в точке максимального изгибающего момента; и из уравнения (1-1), 92 $$

---

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

1.

3.1.3 Простые балки при гибке пластика

В некоторых случаях допустима деформация балки при изгибе. Если материал балки можно считать упруго-идеально пластичным, изгибающий момент при разрушении определяется выражением

$$ M_{fp} = K ~M_y $$

(1-5)

где M _y — это момент, вызывающий начальную деформацию крайних волокон, а K — коэффициент формы, указанный в Таблице 1-1.

Таблица 1-1: Значения коэффициента формы, K

Раздел
К	1,0 93 }\справа) $$

1.3.1.4 Пример задачи — простая балка при пластическом изгибе

Дано : Свободно опертая балка, показанная на рис. 1-4.

Найти : Нагрузка P, вызывающая полностью пластический изгиб.

Решение : преобразование уравнения (1-1) и замена изгибающего напряжения пределом текучести дает

$$ M_y = { F_y ~I \over c } = { 55000 (0,666) \over 1,0 } = 36 600 ~\text{in/lb} $$

Вставка значения K из таблицы 1-1 в уравнение (1-5) дает

$$ M_{fp} = K ~M_y = 1,5 (36 600) = 54 900 ~\text{дюйм/фунт} $$

Из статики максимальный момент на перекладине 10П. Таким образом, при полностью пластическом изгибе

$$ P = {M_{fp} \over 10} = 5490 ~\text{фунт} $$

1.3.1.5 Введение в поперечную неустойчивость глубоких балок при изгибе

Балки при изгибе при определенных условиях нагрузки и ограничения могут выйти из строя из-за поперечного выпячивания таким же образом, как и у колонн, нагруженных осевым сжатием. Однако консервативно получать изгибающую нагрузку, рассматривая сжатую сторону балки как колонну, поскольку этот подход не учитывает жесткость балки при кручении.

В общем, критический изгибающий момент для поперечной неустойчивости глубокой балки, как показано на рисунке 1-5, может быть выражен как

$$ M_{cr} = { K \sqrt{ E I_y GJ } \over L } $$

(1-6)

где J — постоянная кручения балки, а K — постоянная, зависящая от типа нагрузки и торцевого крепления. Таким образом, критическое сжимающее напряжение определяется выражением

$$ f_{cr} = { M_{cr} ~c \over I_x } $$

(1-7)

где с — расстояние от центральной оси до волокон крайней степени сжатия. Если это сжимающее напряжение попадает в пластический диапазон, коэффициент эквивалентной гибкости можно рассчитать как

$$ \left({ L’ \over \rho }\right) = \pi \sqrt{ E \over f_{cr} } $$

(1-8)

Фактическое критическое напряжение можно затем найти, введя кривые столбца главы 2 при этом значении (L’/ρ). Это значение напряжения не является истинным сжимающим напряжением в балке, но является достаточно точным, чтобы его можно было использовать в качестве ориентира при проектировании.

---

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил

---

1.3.1.6 Боковая неустойчивость глубоких прямоугольных балок при изгибе

Критический момент для глубоких прямоугольных балок, нагруженных в диапазоне упругости, нагруженных вдоль центральной оси, определяется выражением 92 \над L ч }\справа) $$

(1-10)

где K _u представлен в табл. 1-2.

Если балка не нагружена вдоль центральной оси, как показано на рисунке 1-6, вместо K _f в уравнении (1-10) используется скорректированное значение K’ _f . Этот фактор выражается как

$$ K_f’ = K_f ~(1-n) \left({s \over L}\right) $$

(1-11)

где n — константа, определенная ниже:

1. Для свободно опертых балок с сосредоточенной нагрузкой в ​​середине пролета n = 2,84.
2. Для консольных балок с сосредоточенной торцевой нагрузкой n = 0,816.
3. Для свободно опертых балок при равномерной нагрузке n = 2,52.
4. Для консольных балок при равномерной нагрузке n = 0,725.

---

Нужен калькулятор луча?

Попробуйте этот калькулятор луча.

• Расчет напряжений и прогибов в прямых балках
• Построение диаграмм сдвига и моментов
• Можно указать любую конфигурацию ограничений, сосредоточенных сил и распределенных сил 93) $$

  (1-14)

  Этот метод может применяться только в том случае, если нагрузка приложена к центральной оси.

  
  
  

  ---

  ---

  Механика материалов: изгиб – нормальное напряжение » Механика гибких конструкций

  ---

  исследования

  человек

  курсы

  7

  блог 102007

  Моменты площади

  Чтобы рассчитать напряжение (и, следовательно, деформацию), вызванное изгибом, нам нужно понять, где находится нейтральная ось балки, и как рассчитать второй момент площади для данного поперечного сечения.

  Давайте начнем с представления произвольного поперечного сечения — чего-то не круглого, не прямоугольного и т. д. 

  На изображении выше произвольная форма имеет площадь, обозначенную A . Мы можем посмотреть на небольшую дифференциальную область dA , которая существует на расстоянии x и y от начала координат. Мы можем посмотреть на первый момент площади в каждом направлении по следующим формулам:

  Первый момент площади — это интеграл длины по площади — это означает, что он будет иметь единицы длины в кубе [L ³ ]. Это важно, потому что помогает нам найти центр тяжести объекта. Центроид определяется как «среднее x (или y ) положение области». Математически это утверждение выглядит так:

  Крайняя правая часть приведенных выше уравнений будет очень полезна в этом курсе — она позволяет нам разбить сложную фигуру на простые формы с известными площадями и известным расположением центроидов. В большинстве инженерных сооружений есть хотя бы одна ось симметрии — и это позволяет значительно упростить нахождение центроида. Центр тяжести должен располагаться на оси симметрии . Например: 

  Для поперечного сечения слева мы знаем, что центроид должен лежать на оси симметрии, поэтому нам нужно найти только центр тяжести вдоль оси y . Поперечное сечение справа еще проще — поскольку центроид должен совпадать с осями симметрии, он должен быть в центре объекта.

  Теперь, когда мы знаем, как найти центр тяжести, мы можем обратить внимание на второй момент площади. Как вы, возможно, помните из предыдущего раздела о кручении, это определяется как:

  И, наконец, иногда нам нужно будет определить второй момент площади относительно произвольной оси x или y , которая не соответствует центроиду. В этом случае мы можем использовать теорему о параллельных осях для его вычисления. В этом случае мы используем второй момент площади относительно центроида плюс термин, который включает расстояния между двумя осями.

  Это уравнение называется теоремой о параллельных осях . Это будет очень полезно на протяжении всего курса. Как описано во вступительном видео к этому разделу, вычисление второго момента площади простой формы может быть простым. Для более сложных форм нам потребуется вычислить I путем вычисления отдельных I для каждой простой формы и объединения их вместе с использованием теоремы о параллельных осях.

  Диаграммы сдвига и момента

  Поперечная нагрузка относится к силам, которые перпендикулярны длинной оси конструкции. Эти поперечных нагрузок вызовут изгибающий момент M  , который вызывает нормальное напряжение , и поперечную силу  V , которая вызывает касательное напряжение . Эти силы могут и будут варьироваться по длине балки, и мы будем использовать 91 899 диаграмм сдвига и момента (диаграмма VM) 91 900 для извлечения наиболее подходящих значений. Построение этих диаграмм должно быть вам знакомо по статике , но мы рассмотрим их здесь. При исследовании балки с поперечной нагрузкой необходимо учитывать два важных момента:

  1. Как балка нагружена?
  • точечная нагрузка, распределенная нагрузка (равномерная или переменная), комбинация нагрузок…
  1. Как балка поддерживается?
  • свободно опертый, консольный, нависающий, статически неопределимый…

  Знание о нагрузках и опорах позволит вам начертить качественную диаграмму V-M, а затем статический анализ свободного тела поможет вам определить количественное описание кривых. Начнем с того, что вспомним наши соглашений о знаках .

  Эти соглашения о знаках должны быть знакомы. Если сдвиг вызывает вращение против часовой стрелки, он положительный. Если момент изгибает луч таким образом, что луч изгибается в «улыбку» или U-образную форму, он положительный. Лучший способ вспомнить эти диаграммы — это проработать пример. Начните с этой консольной балки — отсюда вы можете переходить к более сложным нагрузкам.

  Нормальное напряжение при изгибе

  Во многих отношениях изгиб и кручение очень похожи. Изгиб возникает из-за приложенной пары или изгибающего момента   M . Как и при кручении, при чистом изгибе в материале есть ось, на которой напряжение и деформация равны нулю. Это называется нейтральной осью . И, как и при кручении, напряжение уже не одинаково по сечению конструкции — оно меняется. Давайте начнем с того, что рассмотрим момент о z — ось изгибает конструкцию. В данном случае мы не будем ограничиваться круглыми сечениями – на рисунке ниже рассмотрим призматическое сечение.

  Прежде чем мы углубимся в математику изгиба, давайте попробуем понять его концептуально. Возможно, лучший способ увидеть, что происходит, — наложить изогнутую балку поверх оригинальной прямой балки.

  Теперь вы можете заметить, что нижняя поверхность луча стала длиннее, а верхняя поверхность луча стала короче. Также по центру луча длина вообще не изменилась – соответствует нейтральной оси. Повторяя это язык этого класса, мы можем сказать, что нижняя поверхность находится под напряжением, а верхняя поверхность находится под сжатием. Кое-что, что является немного более тонким, но все еще можно наблюдать из наложенного выше изображения, заключается в том, что смещение луча изменяется линейно сверху вниз, проходя через ноль на нейтральной оси. Помните, это именно то, что мы видели и при кручении — напряжение линейно менялось от центра к центру. Мы можем посмотреть на это распределение напряжений по поперечному сечению балки немного более явно:

  Теперь мы можем найти математическую связь между приложенным моментом и напряжением внутри балки. Мы уже упоминали, что балка деформируется линейно от одного края к другому — это означает, что деформация в направлении x увеличивается линейно с расстоянием вдоль оси y- (или по толщине балки). Таким образом, деформация будет максимальной при растяжении при y = -c (поскольку y=0 находится на нейтральной оси, в данном случае в центре балки), и будет максимальной при сжатии при y=c . Мы можем записать это математически следующим образом:

  Теперь это говорит нам кое-что о деформации, что мы можем сказать о максимальных значениях напряжения? Начнем с умножения обеих частей уравнения на E , модуль упругости Юнга. Теперь наше уравнение выглядит так:

  Используя закон Гука, мы можем связать эти величины с фигурными скобками под ними с напряжением в направлении x и максимальным напряжением. Что дает нам следующее уравнение для напряжения в направлении x-:

  Наш последний шаг в этом процессе — понять, как изгибающий момент связан с напряжением. Для этого вспомним, что момент — это произведение силы на расстояние. Если мы можем представить себе, что смотрим только на очень маленький элемент в луче, дифференциальный элемент, то мы можем записать это математически как:

  Поскольку в нашем уравнении есть дифференциалы, мы можем определить момент M , действующий на площадь поперечного сечения балки, путем интегрирования обеих частей уравнения. И если мы вспомним наше определение напряжения как силы на единицу площади, мы можем написать:

   

  Последний член в последнем уравнении — интеграл по y в квадрате — представляет второй момент площади относительно оси z (из-за того, как мы определили наши координаты). В декартовых координатах этот второй момент площади обозначается I (в цилиндрических координатах, помните, обозначался J ). Теперь мы можем, наконец, записать наше уравнение для максимального напряжения и, следовательно, напряжения в любой точке вдоль оси y , как:

   

  Важно отметить, что нижние индексы в этом уравнении и направление вдоль поперечного сечения (здесь оно измеряется вдоль и ) будут меняться в зависимости от характера проблемы, то есть направления момента — по какой оси находится луч. сгибаясь? Мы основывали наши обозначения на изображении изогнутой балки на первом изображении этого урока.

  Помните, в начале раздела я упомянул, что изгиб и кручение на самом деле очень похожи? На самом деле мы очень ясно видим это в последнем уравнении. В обоих случаях напряжение (нормальное для изгиба и сдвиговое для кручения) равно пар/момент ( M для изгиба и T для кручения), умноженных на положение вдоль поперечного сечения. , , потому что напряжение неравномерно по поперечному сечению  (с декартовыми координатами для изгиба и цилиндрическими координатами для кручения), все делится на второй момент площади поперечного сечения.

  Сводка

  На этом уроке мы узнали о моментах площади и диаграммах момента сдвига . Из первого момента площади поперечного сечения мы можем вычислить центроид . Мы узнали, как вычислить секундный момент площади в декартовых и полярных координатах, и мы узнали, как теорема о параллельной оси позволяет нам вычислить второй момент площади относительно центра тяжести объекта — это полезно для разбиения сложного поперечного сечения на несколько простых фигур и объединение их вместе. Мы пересмотрели концепцию 9Диаграммы сдвига и момента 1899 г. из статики. Эти диаграммы будут необходимы для определения максимальной силы сдвига и изгибающего момента вдоль сложно нагруженной балки, что, в свою очередь, потребуется для расчета напряжений и прогнозирования разрушения. Наконец, мы узнали о нормальном напряжении от изгиба балки. И напряжение, и деформация изменяются по поперечному сечению балки, при этом одна поверхность растягивается, а другая сжимается. Плоскость, проходящая через центр тяжести, образует нейтральную ось — вдоль нейтральной оси нет напряжений или деформаций. Напряжение является функцией приложенного момента и второго момента площади относительно оси, вокруг которой находится момент.

  Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы и выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат автору (авторам) и не обязательно отражают точку зрения Национальный научный фонд.

  Изгибы стальных балок стали проще

  Alasdair’s Engineering Pages © A. N. Beal 2019               www.anbeal.co.uk

  www.anbeal.co.uk

  Verulam, The Structural Engineer Vol. 70, № 12, 16 19 июня92

  Прогибы балок стали проще

  Г-н А. Н. Бил из Лидса прислал нам записку, предлагающую простую процедуру приблизительного ручного расчета прогибов стальных балок. Хотя его вклад оказался слишком длинным, чтобы быть включенным в Verulam целиком, сокращенная версия может заинтересовать многих читателей. Г-н Бил отмечает, что, хотя расчет изгибающих напряжений в балке вручную обычно не представляет труда, расчет прогибов может быть гораздо более трудоемким. Поскольку обычно нет необходимости знать отклонения с какой-либо большой степенью точности (в пределах 10%, вероятно, будет достаточно), предлагается следующий подход.

  Случай свободно опертой балки, несущей равномерную нагрузку, иллюстрирует этот подход.

  Если взять формулу прогиба (Δ = 5WL³/384EI) и выразить ее через изгибающий момент (M = WL/8), получится Δ = 5ML³/48EI.

  Теперь для стальной балки напряжение упругого изгиба fbt = M/Z, где Z = 2I/D, что дает fbt = MD/2I.
  (Z — модуль упругости, I — момент инерции, а D — общая глубина сечения.)

  Подстановка этого значения в формулу прогиба дает Δ = 5 fbtL³/24ED. При E 210 кН/мм² получается:

  Δ (мм) = 0,992 fbtL²/D . . . (1)

  Здесь fbt, L и D выражены в их обычных единицах Н/мм², м и мм соответственно.

  Для всех практических целей формула

  Δ = fbtL²/D . . . (2)

  удобен в использовании, легко запоминается и точен с точностью до 1%.

  Г-н Бил затем переходит к рассмотрению других распределений нагрузки, аналогичным образом связывая центральный прогиб Δ с экстремальным напряжением волокна fbt, что дает результаты, показанные в первом столбце результатов в таблице 1. Во втором столбце приведены значения для фиксированной нагрузки.2128 оконечных балок, которые, по мнению г-на Била, можно применять для оценки прогибов неразрезных балок.

  Наконец, г-н Бил иллюстрирует, как его процедура может быть использована для сложных нагрузок, путем расчета прогиба свободно опертой балки, нагруженной, как показано на рис. 1:

  рис. 1

  Центральный изгибающий момент, рассчитанный как 444,3 кНм.
  Для сечения балки Z = 2474 см³, D = 539,5 мм, что дает

  fbt = 179,6 Н/мм².

  Простое приближенное отклонение с использованием ур. (2) равно

  ΔAPP = 179,6 x 7²/539,5 = 16,3 мм = L/429 OK.

  Для более точной оценки, учитывая, что большая часть момента создается центральной точечной нагрузкой, мы можем взять коэффициент ближе к значению точечной нагрузки 0,8 (скажем, 0,85), что дает

  Δ = 0,85 fbt x L² /D = 13,9 мм

  Для сравнения, точный компьютерный анализ той же балки дал отклонение 13,8 мм.

  Поэтому для большинства практических целей нам нужно запомнить только четыре простые формулы для прогибов свободно опертых или неразрезных стальных балок, как показано в таблице 2.

  Эти формулы не только облегчают жизнь для простых равномерных и точечных нагрузок — они означают, что прогиб при более сложных схемах нагрузки можно рассчитать без труда. Они также особенно подходят для проверки «обратной стороны конверта» компьютерных конструкций. Лучше всего то, что их легко запомнить.

  Есть берущие?

  Оригинал данного документа можно получить по телефону

  www.istructe.org/thestructuralengineer

  Таблица 2	Прогиб
  	Распределенная нагрузка	Точечная нагрузка
  Просто- поддерживается	фбтL²/D	0,8fbtL²/D
  Фиксированный — закончился	0,6fbtL²/D	0,4fbtL²/D

  Δ = прогиб (мм)
  fbt = напряжение при максимальном прогибающем моменте (Н/мм²)
  L = пролет (м)
  D = глубина (мм)

  Таблица 1	Прогиб (мм)
  Загрузка	Просто поддерживается	Фиксированный — закончился
  	0,99fbtL²/D	0,60fbtL²/D
  	0,95fbtL²/D	0,56fbtL²/D
  	0,89fbtL²/D	0,51fbtL²/D
  	1,01fbtL²/D	0,66fbtL²/D
  	0,94fbtL²/D	0,53fbtL²/D
  	0,79fbtL²/D	0,40fbtL²/D
  	0,74fbtL²/D	0,38fbtL²/D

  Калькулятор расчета прочности двутавровой балки

  Калькулятор расчета прочности на напряжение двутавровой балки для расчета нормальное напряжение, напряжение сдвига и напряжение фон Мизеса в критических точках заданного поперечное сечение двутавровой балки.

  Поперечная нагрузка на двутавровую балку может привести к нормальным и касательным напряжениям. одновременно на любом поперечном сечении двутавра. Нормальное напряжение в данном поперечном сечении изменяется по отношению к расстояние y от нейтральной оси, и оно наибольшее в самой дальней точке от нервная ось. Нормальное напряжение также зависит от изгибающего момента в сечение и максимальное значение нормальных напряжений в двутавре возникает там, где изгибающий момент наибольший. Максимальное касательное напряжение возникает на нейтральной оси двутавровой балки, где поперечная сила максимальна.

  Примечание. Для получения дополнительной информации о тему см. в разделах «Касательные напряжения в тонкостенных элементах» и «Расчетные балок и валов на прочность» главы механики материалов .

  ВХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ
  Параметр	Значение
  Высота несущей балки [2c]
  Ширина структурной балки [w]
  I Толщина полки балки [t 1 ]
  Толщина стенки двутавровой балки [t 2 ]
  Сила сдвига [В]		кН фунт-сила
  Изгибающий момент [М]		Н*мкН*млфунт-сила*дюймфунт-сила*фут

  Примечание. V и M — поперечная сила и изгибающий момент в сечении, как показано на рис. рисунок.Посетить » Калькуляторы прогиба и напряжения конструкционной балки». Для расчета поперечной силы и изгибающего момента.

  Примечание. Предполагается, что конструкционная балка подвергается действию вертикальной поперечной силы в вертикальной плоскости симметрии.

  
  93 94

  РЕЗУЛЬТАТЫ
  Параметр	Значение
  Площадь поперечного сечения [A]
  Первый момент площади для сечения B [Q B ]	—
  Первый момент площади сечения D [Q D ]	—
  Расчет напряжения на участке A		МПапсикси
  Нормальное напряжение [σ x_A ]	—
  Напряжение сдвига [τ ху_А ]	—
  Напряжение фон Мизеса при A [σ v_A ]	—
  Расчет напряжения на участке B
  Нормальное напряжение в B [σ х_В ]	—
  Напряжение сдвига в B [τ xy_B ]	—
  Напряжение фон Мизеса в B [σ v_B ]	—
  Расчет напряжения на участке D
  Нормальное напряжение в D [σ x_D ]	—
  Напряжение сдвига при D [τ xy_D ]	—
  Напряжение фон Мизеса в точке D [σ v_D ]	—

  Примечание. Используйте точку «.» как десятичный разделитель.

  Примечание. Напряжения — это положительные числа, и это величины напряжений в луч. Он не различает растяжение или сжатие конструкции. луч.

  Примечание: Влияние концентрации напряжений не учитывается в расчетах.

  Двутавровая балка: Двутавровая балка — это тип балки часто используется в фермах в зданиях. Двутавровая балка обычно изготавливается из конструкционные стали методами горячей и холодной прокатки или сварки. Верхняя и нижняя пластины двутавровой балки называются полками, а вертикальная пластина, соединяющая полки, называется стенкой.

  Напряжение сдвига: Форма напряжения, действующая параллельно поверхности (поперечному сечению), имеет режущий характер.

  Как рассчитать прогиб балки — Полное руководство

  Доктор Шон Кэрролл

  |

  Обновлено: 12 июля 2022 г.

  |

  Учебник

  В этом учебном пособии вы узнаете, как рассчитать прогиб балки из первых принципов, используя дифференциальное уравнение кривой прогиба . Мы рассмотрим несколько методов расчета, в том числе метод под названием 9.1899 г. Метод Маколея , который значительно ускоряет процесс вычислений. Мы рассмотрим пару числовых примеров, прежде чем обсуждать, как мы можем использовать принцип суперпозиции и табличные формулы, чтобы еще больше ускорить процесс.

  Оглавление ниже даст вам представление о том, что мы рассмотрим, но это руководство в основном разделено на 3 части:

  1. Расчет прогиба балки путем интегрирования дифференциального уравнения кривой прогиба
  2. Ускорение этого процесса с помощью умной техники, называемой методом Маколея
  3. Самый практичный (и самый быстрый) подход, использующий табличные формулы и суперпозицию

  В этом руководстве много всего, так что дайте себе достаточно времени, чтобы разобраться с ним. После завершения вы будете знать почти все, что вам нужно для расчета отклонения балки и отклоненных форм. Если вы попали на этот пост и вам нужна таблица с формулами отклонения балки , посмотрите таблицу внизу страницы.

  • 1.0 Дифференциальное уравнение кривой отклонения
    • 1,1 «Маленькое отклонение». Предположение
    • 1.2. Линейное упругое предположение
  • 2.0. Момент в области 2
  • 2.3 Внутренний изгибающий момент в области 3
• 3.0 Интегрирование дифференциального уравнения кривой прогиба
  • 3.1 Нахождение константов интеграции
• 4.0. Расчет Балки. Отражение
  • 4.1 Проявление луча в середине простира
  • 4.2 Расположение максимального оттенка. Метод Маколея поможет?
• 6.0 Прогиб балки – пример метода Маколея
  • 6.1 Шаг 1: Установка основания
  • 6.2 Шаг 2: Построение выражения для с функциями сингулярности
  • 6. 3 Шаг 3: Интегрирование дифференциального уравнения кривой прогиба
  • 6.4 Шаг 4: Применение граничных условий и решение для констант интегрирования
• 7.0 Построение кривой изогнутой формы Частичные UDL и точечные моменты
  • 8.1 Реакции пучков
  • 8.2 Метод Маколея и заплаточная загрузка
  • 8.3 Метод Маколея и точечные моменты
  • 8.4 Построить выражение для с функциями сингулярности и проинтегрировать
  • 8.5 Plotting the deflected shape
  • 4.6 Maximum deflection between A and B
• 9.0 Using Superposition to Calculate Beam Deflection
  • 9.1 Uniformly Distributed Load
  • 9.2 Point Load #1
  • 9.3 Point Load #2
• Автор
• Д-р Шон Кэрролл

1.0 Дифференциальное уравнение кривой прогиба

Дифференциальное уравнение кривой прогиба используется для описания поведения при изгибе, поэтому оно возникает при изучении изгиба балки и потери устойчивости колонны. Уравнение просто описывает форму кривой прогиба элемента конструкции, подвергающегося изгибу. Итак, если измеряется расстояние вдоль балки и представляет собой отклонение балки, уравнение говорит:

(1)  

где – изгибная жесткость балки и описывает изгибающий момент в балке как функцию . В этом уроке мы не будем вдаваться в вывод уравнения, а сосредоточимся на его применении.

Наша цель состоит в том, чтобы использовать это уравнение для расчета отклонения балки, поэтому нам нужно дважды проинтегрировать уравнение, чтобы получить выражение для . Лучший способ разобраться с этим — рассмотреть пример.

1.1 Допущение о «малом отклонении»

Прежде чем мы рассмотрим приведенный ниже пример, нам нужно сформулировать предположения, на которых основан наш анализ. Во-первых, это так называемое предположение о «малом отклонении». Чтобы получить уравнение 1, мы сделали предположение, что прогиб нашей балки (или любой отклоняющейся конструкции, к которой мы применяем это уравнение) мал. Другими словами, если мы рассматриваем короткую изогнутую длину нашей балки, подвергающуюся отклонению, кривая длина должна быть приблизительно равна ее проекции длины на горизонтальную плоскость, .

Мы также должны предположить, что в любой точке вдоль нашей балки поворот балки достаточно мал, чтобы можно было сказать , т. е. угол поворота в точке примерно равен наклону кривой отклонения. В большинстве практических случаев отклонение является проблемой удобства эксплуатации, и мы ожидаем, что оно будет относительно небольшим и практически незаметным невооруженным глазом. Таким образом, это предположение о малом отклонении выполняется в большинстве случаев, но вы должны знать о его существовании.

1.2 Предположение о линейной упругости

Чтобы вывести уравнение 1, также предполагалось, что материал, из которого сделана балка, является линейно упругим и, следовательно, подчиняется закону Гука. Это должно быть так, потому что мы полагаемся на тот факт, что кривизна балки пропорциональна соответствующему изгибающему моменту. Это важно помнить, потому что наши уравнения прогиба станут неточными для пластических деформаций, что, вероятно, также сделает недействительным наше предположение о малом прогибе. Теперь, когда мы знаем границы, в которых мы работаем, мы можем использовать пример.

2.0 Уравнения для определения изгибающего момента

Рассмотрим свободно опертую балку на рис. 1 ниже. На балку действуют две точечные нагрузки и равномерно распределенная нагрузка. Наша задача – определить средний прогиб и максимальный прогиб. Обратите внимание, что поскольку балка нагружена несимметрично, максимальный прогиб не должен происходить в середине пролета. Статический анализ балки выявляет опорные реакции при и ,

   

Рис. 1. Свободно опертая балка.

Снова взглянув на дифференциальное уравнение кривой прогиба, мы видим, что нам нужны выражения, описывающие изгибающий момент как функцию от . Глядя здесь на нагрузку, отметим, что диаграмма изгибающих моментов не будет описываться одной непрерывной функцией. Наличие двух точечных нагрузок означает, что нам действительно понадобятся три уравнения, чтобы полностью описать, как изгибающий момент изменяется вдоль балки; Итак, будем рассматривать луч как три разные области:

• Область 1:
• Регион 2:
• Район 3:

где измеряется слева направо с исходной точкой в ​​позиции . Уравнения для получаются путем выполнения разрезов в конструкции для выявления внутреннего изгибающего момента, а затем оценки внутреннего изгибающего момента как функции с учетом моментного равновесия подконструкции. Если вы не уверены в чем-то из этого, ознакомьтесь с этой статьей о диаграммах сдвига и момента для освежения знаний.

2.1 Внутренний изгибающий момент в области 1

Чтобы оценить внутренний изгибающий момент в области 1, мы разрезаем конструкцию в этой области, чтобы выявить изгибающий момент. Наш разрез сделан на расстоянии справа от опоры , рис. 2.

Рис. 2. Каркас, созданный воображаемым разрезом, сделанным в области 1. Разрез показывает внутренний изгибающий момент в этой области, .

Теперь мы знаем, что подконструкция находится в равновесии под действием внутреннего сдвига (не показано) и внутреннего изгибающего момента. Таким образом, мы можем оценить момент равновесия, чтобы определить выражение для .

   

   

(2)  

Помните, что это уравнение справедливо для значений для .

2.2 Внутренний изгибающий момент в области 2

Теперь мы можем повторить процесс, чтобы определить соответствующее уравнение для области 2. На рис. 3 показана подконструкция, созданная разрезом для выявления внутреннего изгибающего момента.

Рис. 3. Каркас, созданный воображаемым разрезом, сделанным в области 2. Разрез показывает внутренний изгибающий момент в этой области, .

Оценивая сумму моментов относительно разреза, как указано выше,

   

   

(3)  

Еще раз отметим, что это уравнение справедливо для .

2.3 Внутренний изгибающий момент в области 3

Наконец, мы можем составить соответствующее уравнение для области 3, рис. 4 ниже.

Рис. 4. Каркас, созданный воображаемым разрезом, сделанным в области 3. Разрез показывает внутренний изгибающий момент в этой области, .

Оценка момента равновесия подконструкции,

   

   

(4)  

И снова для полноты отметим, что это уравнение справедливо только для .

3.0 Интегрирование дифференциального уравнения кривой прогиба

Теперь, когда мы установили, как изменяется изгибающий момент, мы можем подставить соответствующие выражения для в дифференциальное уравнение и выполнить интегрирование. После подстановки наших выражений в уравнение 1 мы имеем

(5)  

(6)

(7)

Интегрирование каждого выражения дает . Заметим также, что теперь у нас есть член в наших уравнениях, который соответствует наклону кривой прогиба. Нам нужно выполнить еще одно интегрирование, чтобы свести это обратно к самому смещению, . Это интегрирование дает

(11)  

(12)  

(13)  

Снова мы можем видеть, что это интегрирование дало нам еще 3 константы интегрирования, и . Всего у нас есть шесть неизвестных констант, которые нам нужно идентифицировать. Хорошая новость заключается в том, что теперь у нас наконец есть уравнение для отклонения в каждой области.

3.1 Нахождение констант интегрирования

Чтобы найти константы интегрирования, нам нужны некоторые условия или ограничения, которые мы можем представить в виде уравнения. Поскольку у нас есть шесть неизвестных для решения, нам понадобится 6 уравнений ограничений. Они следующие:

1. at , уклоны , в районах 1 и 2 одинаковы.
2. при , прогибы , в областях 1 и 2 одинаковы.
3. в , наклоны в областях 2 и 3 одинаковы.
4. при , прогибы , в областях 2 и 3 одинаковы.
5. в (опора А) прогиб равен нулю.
6. ат (опора D), прогиб равен нулю.

Первые четыре условия называются условиями сплошности и вытекают непосредственно из того факта, что балка и, следовательно, прогибы и уклоны являются непрерывными. Последние два являются классическими граничными условиями. Теперь мы можем использовать эти утверждения для построения шести уравнений, из которых можно определить константы интегрирования.

Условие (1)

При наклоны в областях 1 и 2 одинаковы. Поэтому мы можем приравнять уравнения 8 и 9 и подставить в .

   

(14)  

Условие (2)

При прогибы , в областях 1 и 2 одинаковы. Таким образом, приравнивая уравнения 11 и 12 к , мы получаем0004

   

(16)  

Условие (4)

При прогибы , в областях 2 и 3 одинаковы. Приравнивая уравнения 12 и 13 к ,

   

(17)  

Условие (5)

Пятое условие является стандартным граничным условием; при отклонении равен нулю. Таким образом, мы можем положить уравнение 11 равным нулю с ,

   

(18)  

Условие (6)

Последнее условие относится к другой границе; при прогибе также равен нулю. Таким образом, применяя это к уравнению 13 с дает,

   

(19)  

Теперь, когда у нас есть шесть уравнений, нам нужно использовать их для нахождения неизвестных констант. Безусловно, самый простой способ сделать это — расположить их в матричной форме и решить систему, обратив матрицу коэффициентов. Матричное представление системы:

(20)

. Вектор неизвестных констант получается как вручную это не сделаешь! Я буду использовать следующий код Python для выполнения операции в уравнении 21.

1 2 3 4 5 6 7 8 10 110004 12 13 14 2009 9000 15 9000 4000 40004 13 14 000 9000 15 9000 4000 4000 4000 40005 13 14 000 9000 15 9000 40004 13 14 000 9000 15

import numpy as np #Numpy для работы с массивами   #Определить каждую строку матрицы коэффициентов , -3, 0, 1, -1, 0] строка3 = [0, 1, -1, 0, 0, 0,] строка4 = [0, 6, -6, 0, 1, -1] строка5 = [0, 0, 0, 1 , 0, 0] row6 = [0, 0, 8, 0, 0, 1]   A = np. mat([row1,row2,row3,row4,row5,row6]) # Определить матрицу коэффициен

Если вы хотите установить Python на свой компьютер, вы можете прочитать эту лекцию. Это поможет вам настроить удобную среду кодирования Python. Предполагая, что вы сделали это или у вас есть собственный способ инвертирования матриц, константы оцениваются как 9.0004

   

4.0 Расчет прогиба балки

На этом этапе мы можем суммировать три уравнения, которые описывают прогиб в трех областях нашей балки:

(22)  

(23)  

(204) прогиб балки

Чтобы рассчитать прогиб балки в середине пролета, мы подставляем в уравнение 23, что дает нам

   

   

лучшее ощущение искривленной формы. На рис. 5 ниже показан график внутреннего изгибающего момента и отклоненной формы. Обратите внимание, что по оси Y отклонение является функцией .

Рис. 5. Свободно опертая балка, график изгибающего момента и график искривленной формы.

4.2 Расположение максимального прогиба балки

Из рис. 5 выше видно, что, несмотря на несимметричную нагрузку, максимальный прогиб происходит очень близко к середине пролета. Мы можем подтвердить точное местоположение максимального прогиба, признав, что в этом месте наклон кривой прогиба равен нулю. Другими словами, касательная к кривой прогиба в точке максимального прогиба будет горизонтальной и, следовательно, будет иметь нулевой наклон.

Из проверки мы знаем, что максимальное отклонение происходит в области 2. Но давайте предположим, что мы этого не знали. Мы можем приравнять каждое уравнение для наклона кривой прогиба, уравнения 8, 9 и 10 к нулю, и найти корни каждого уравнения, то есть значения x, при которых наклон равен нулю. Я позволю Python сделать здесь ручную работу…

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

#Определите полиномы p1 = np. poly1d([-10/3, 139,375/2, 0, -856,354]) #Region 1 p2 = np.poly1d([-60,37, 5 /2, 225, -1193.854]) #Регион 2 p3 = np.poly1d([-10/3, 14.375/2, 525, -2093.854]) #Регион 3   #Извлечь корень 4 04 = p1.r #Регион 1 rootRegion2 = p2.r #Регион 2 rootRegion3 = p3.r #Регион 3

Корни,

   

Значения, выходящие за границы соответствующего региона, могут быть немедленно отброшены. Это выходит только в районе 2. Как мы и подозревали, это очень близко к середине пролета. Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение 12, чтобы подтвердить значение максимального отклонения, но, поскольку мы уже рассчитали отклонение при , мы не будем этого делать.

5.0 Ускорение расчетов прогиба балки с помощью метода Маколея

Вы, вероятно, согласитесь, что до этого момента процесс вычислений был довольно трудоемким. Мы можем значительно ускорить весь процесс, используя метод, называемый методом Маколея . Он также известен как метод функции сингулярности , и мы рассмотрим его далее.

Мы видели, что основной процесс расчета прогиба балки включает в себя вычисление выражения для изгибающего момента как функции координаты вдоль балки. Мы можем подставить это выражение в дифференциальное уравнение кривой прогиба и выполнить двойное интегрирование, чтобы получить решение в замкнутой форме (уравнение) для прогиба как функции .

Теперь, поскольку наша диаграмма изгибающего момента не является непрерывной функцией , нам нужно было разбить нашу диаграмму изгибающего момента на сегменты, где каждый сегмент определяется одной непрерывной функцией. Двойное интегрирование, необходимое для каждого сегмента, дало две неизвестные константы интегрирования. Все это было прекрасно решаемо, но процесс, как правило, очень утомительный для всего, кроме очень простой загрузки.

5.1 Как помогает метод Маколея?

Здесь на помощь приходит метод Маколея. Я набросаю здесь заголовки — но это действительно будет иметь смысл только тогда, когда мы будем работать с примером в следующем разделе — так что не беспокойтесь, если последующее заставит вас почесать голову! Метод Маколея на самом деле является просто альтернативным методом или процессом, который мы можем использовать для оценки дифференциального уравнения кривой отклонения. Метод работает путем введения функции сингулярности (отсюда и альтернативное название), которая позволяет нам не принимать во внимание или игнорировать определенные члены в функции изгибающего момента.

Таким образом, вместо того, чтобы строить три различные функции для изгибающего момента в приведенном выше вопросе, мы могли бы построить одно уравнение для разрезания балки между C и D, тем самым зафиксировав влияние момента всех нагрузок на конструкцию. «Хитрость», которую вводит метод Маколея, заключается в том, что мы умножаем каждый член уравнения изгибающего момента на функцию сингулярности (ниже она будет иметь больше смысла), которую мы приравниваем к нулю, когда она имеет значение меньше единицы. То, как мы это реализуем, позволяет нам разумно исключить члены из уравнения момента, когда мы оцениваем участки балки, где эти члены не имеют значения.

Например, если мы разрезаем балку выше между B и C и рассматриваем равновесие подконструкции слева от разреза, точечная нагрузка будет учитываться в уравнении момента, но не будет. Метод Маколея просто позволяет нам построить единственное уравнение моментов и исключить любые нерелевантные члены. Этот метод приводит к тому, что мы выполняем двойное интегрирование в одном уравнении (а не в трех), что дает только две неизвестные константы интегрирования, что значительно снижает нашу рабочую нагрузку. В следующем разделе мы конкретизируем эту идею на примере.

6.0 Прогиб балки – пример метода Маколея

Чтобы продемонстрировать преимущества метода Маколея, давайте начнем с повторного анализа балки. Мы разобьем процесс на отдельные повторяющиеся шаги, которые вы сможете воспроизвести на других лучах.

6.1 Шаг 1: Настройка основания

Нам необходимо составить уравнение, описывающее внутренний изгибающий момент как функцию от . Для этого делаем разрез в конструкции на некотором расстоянии справа от левой опоры. Мы будем рассматривать крайний левый конец луча как начало нашей оси x.

Применяя метод Маколея, мы удостоверяемся, что разрезаем конструкцию в месте, которое позволяет нам учитывать все действия (приложенные силы и моменты) слева от разреза. Обычно это означает выполнение разреза на бесконечно малом расстоянии слева от правого конца балки. Обращая внимание на моменты разреза, обратите внимание, что все члены нашего рычага содержат . Это очень важно, поскольку эти члены плеча рычага будут рассматриваться как наши функции сингулярности.

Рис. 6: Подструктура для анализа методом Маколея

6.2 Шаг 2. Построение выражения для с функциями сингулярности

Принимая во внимание моменты, связанные с разрезом, и принимая во внимание вертикальную реакцию в точке A, которая ранее была определена как , получаем следующее выражение для , 

(25)  

Обратите особое внимание на слагаемые в квадратных скобках — это наши функции сингулярности. Метод Маколея гласит, что когда термины в скобках оцениваются как отрицательное число, мы рассматриваем член в скобках как ноль. Подумайте об этом на минуту – что это на самом деле говорит? Представьте, что мы делаем разрез в конструкции в точке, чтобы определить внутренний изгибающий момент в этом месте, принимая во внимание равновесие подконструкции слева от разреза. Естественно, в этом уравнении не будет фигурировать сила в точке С. «Правило», которое мы только что внедрили, подходит для этого, поскольку функция сингулярности для силы будет оцениваться как и, согласно методу Маколея, это будет исключено из уравнения! Следовательно, применив метод Маколея к моментному выражению, мы получим

(26)  

(27)  

Вы можете думать о том, что мы сделали до сих пор, как построить наиболее полное выражение для внутреннего изгибающего момента, а затем реализовать правило, которое позволяет нам исключать члены из выражения по мере необходимости .

6.3 Шаг 3: Интегрирование дифференциального уравнения кривой прогиба

Теперь мы можем подставить наше выражение для внутреннего изгибающего момента вместе с функциями сингулярности (которые на самом деле являются просто выражениями плеча рычага) в дифференциальное уравнение кривой прогиба и интегрируем уравнение.

(28)  

Прежде чем интегрировать, обратите внимание, что мы сохраняем функции сингулярности нетронутыми, а не расширяем их и не умножаем на члены слева от скобок. После двойного интегрирования получаем

(29)

(30)

, где и — константы интегрирования.

6.4 Шаг 4: Примените граничные условия и найдите константы интегрирования

Теперь мы можем применить наши граничные условия обычным способом для определения неизвестных констант и .

Граничное условие 1:

При прогибе . Заметим, что при , все наши функции сингулярности либо становятся нулевыми, либо отрицательными, что в соответствии с методом Маколея мы рассматриваем как нуль,

(31)  

Следовательно, .

Граничное условие 2: 

При , . Это граничное условие дает,

(32)  

Так как , мы заканчиваем с . Поэтому наше окончательное уравнение для отклонения принимает вид

(33)  

По сути, это означает конец процесса, и теперь мы можем использовать наше уравнение для оценки прогиба по мере необходимости. Так, например, давайте рассмотрим прогиб в середине пролета в точке . Подставив в наше уравнение и наблюдая за методом Маколея исключения членов, в которых функция сингулярности имеет отрицательное значение, мы получим

(34)

(35)

(36)

Мы можем подтвердить, что это то же самое значение, которое мы получили в нашем первом анализе. Однако нам нужно было только проинтегрировать одно уравнение и вычислить две неизвестные константы интегрирования. На этот раз процесс пошел намного быстрее. В двух словах, это метод Маколея — по сути, мы по-прежнему интегрируем дифференциальное уравнение кривой отклонения, просто делаем это немного умнее.

7.0 Построение отклоненной формы

После того, как мы получим уравнение для отклонения, отличным следующим шагом будет построение уравнения и визуализация отклоненной формы балки. Мы можем написать простой алгоритм для достижения этого. Я буду использовать Python внутри блокнота Jupyter, но вы можете использовать любой язык, который вам удобен. Если вы новичок в Python, взгляните на этот проект, который поможет вам приступить к работе практически без опыта.

Первое, что я делаю в пустой записной книжке Jupyter, — импортирую несколько пакетов, чтобы получить дополнительные функциональные возможности. В строке 2 ниже я импортирую Numpy, чтобы помочь мне работать с массивами чисел, а в строках 3-5 я импортирую Plotly, графическую библиотеку, которая помогает мне создавать красивые графики.

1 2 3 4 5 6

import plotly as np #Numpy для работы с массивами import plotly as py #Import Plotly import plotly.graph_objs as go #импорт объектов графика построение графиков (внутри блокнота Jupyter)

После этих предварительных действий мы можем перейти к ядру кода. В строках 3-6 ниже мы устанавливаем диапазон x-координат по длине луча. В строке 10 мы инициализируем контейнер для хранения значения отклонения по каждой координате x, а в строке 11 мы устанавливаем для цикла для циклического прохождения каждой координаты x и вычисления значения отклонения в каждой точке.

Мы разделили выражение для отклонения на разные части, что позволяет нам использовать , если условия , чтобы проверить, делает ли текущее значение функцию сингулярности нулевой или нет. Таким образом, мы реализуем метод Маколея и учитываем только соответствующие части уравнения отклонения для каждого положения на балке.

После выполнения всех условий тестирования и определения отклонения для текущего местоположения мы сохраняем это значение в строке 39.и перейти к следующему x-местоположению со следующей итерацией нашего цикла for и повторить процесс снова и снова.

1 2 3 4 5 6 7 8 10 110004 12 14 2009 9000 15 9000 40004 9000 4000 9000 9000 4000 4000 15 9000 4000 4000 40009 9000 4000 9000 9000 4000 4000 15 9000 40004 9000 4000 15 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

#Значения по умолчанию и инициализация span = 8 divs = 10000 #Разделить диапазон на это число точек данных delta = span/divs #Расстояние между точками данных X = np. arange(0,span + delta,delta) #Диапазон координат x EI = 1   #Пройтись по конструкции и вычислить прогиб в каждой точке Прогиб = np.zeros (len(X))  #Инициализируйте контейнер для хранения всех отклонений for i, x in enumerate(X):         deflection = 0       #Term 1, 3 и 5 x 0 0 4 if > 0 0 4 : 0 0 4 if > 0 0 4 :         #Реакция         дельта = (139.375/6)*x ** 3 отклонение = отклонение + Delta #UDL Delta = -(20/24)*x ** 4 отклонение = отклонение + Дельта # C1 Delta = -856,4*x отклонение = отклонение + Delta #термин 2 -75 кв. 3)**3         прогиб = прогиб + дельта #термин 4 -50 кН точечная нагрузка , если X -6> 0: Delta = -(50/6)*(X -6) ** 3 отклонение = отклонение + Delta     #Сохранить отклонение для этого местоположения     Отклонение[i] = отклонение/EI

Теперь, когда мы вычислили массив значений отклонения для каждой позиции вдоль балки, мы можем использовать Plotly для их визуализации. Приведенный ниже код является довольно стандартным кодом построения графиков для Plotly. Вы можете использовать любую программу или библиотеку для визуализации отклонения; все, что вы делаете, это строите диапазон значений x и y. Я включаю код ниже больше для полноты, чем что-либо еще.

1 2 3 4 5 6 7 8 10 110004 12 14 2009 9000 15 9000 40004 9000 4000 9000 9000 4000 4000 15 9000 4000 4000 40009 9000 4000 9000 9000 4000 4000 15 9000 40004 9000 4000 15 9000 4000 15 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29

#Определить объект макета layout = go.Layout(     title={‘текст’: «Отклонение»},     yaxis = dict(title=’Отклонение/EI (m)’),     xaxis = dict (title = ‘distance (m)’), showlegend = false ) #define строка отклонения Line = go. scatter ( x = x, y = отклонение, отклонение     mode=’lines’,     name=’Deflection’ )   #Определить горизонтальную линию для представления структуры . )

Рис. 7: Прогиб балки, полученный по методу Маколея.

Несмотря на то, что я использовал две разные библиотеки построения графиков для построения графика отклонения по результатам каждого анализа, мы все равно можем сравнить рисунки 5 и 7, чтобы убедиться, что мы достигли одного и того же результата.

8.0 Пример жесткого прогиба балки – метод Маколея с частичными UDL и точечными моментами

В предыдущем примере продемонстрированы преимущества метода Маколея по сравнению с нашим предыдущим подходом к расчету прогиба. Однако, прежде чем мы завершим наше обсуждение, нам, вероятно, следует поработать над более сложным примером вопроса. Это даст нам возможность рассмотреть частичные равномерно распределенные нагрузки (заплаточные нагрузки) и точечные моменты.

Чтобы использовать метод Маколея для борьбы с этими действиями, нам необходимо реализовать определенные стратегии. Имея это в виду, рассмотрите приведенную ниже структуру. Наша задача — построить изогнутую форму конструкции, как мы это делали в предыдущем примере. Мы также определим величину и положение максимального отклонения между точками A и B.

Рис. 8: Пример балки.

8.1 Реакции балки

Мы можем начать с расчета вертикальных реакций в точках A и B. Взяв сумму моментов относительно точки A,

(37)  

(38)  

(39)  

Оценка суммы сил в вертикальном направлении дает .

8.2 Метод Маколея и патч-нагрузка

Расположение нагрузок на нашей конструкции вызывает у нас две проблемы, которые нам необходимо рассмотреть, если мы собираемся использовать метод Маколея,

• тот факт, что распределенная нагрузка не работает весь путь до конца луча с правой стороны вызывает у нас проблему, которую мы решим далее.
• нужно учитывать существование момента — потому что у него нет плеча рычага, у нас, естественно, нет функции сингулярности, которую мы могли бы применить к нему — это простое решение, которое мы скоро увидим.

Давайте упростим для демонстрационных целей и представим, что на нашу балку действует только распределенная нагрузка. Мы можем установить подконструкцию слева от разреза, как показано ниже на рис. 9.

Рис. 9: Подконструкция только с равномерно распределенной нагрузкой.

Наше выражение для изгибающего момента в разрезе будет следующим:

(40)  

Обратите внимание, что в наше выражение входит полное UDL, , «запеченное» . Это означает, что это уравнение может быть справедливым только для значений . Обычно это не будет проблемой, потому что наши функции сингулярности обычно исключают влияние нагрузки, когда разрез находится слева от нагрузки. Однако обратите внимание, что функция сингулярности устраняет влияние UDL только тогда, когда . Так что есть окно, когда наше уравнение даст нам неправильный изгибающий момент.

Чтобы решить эту проблему, нам нужно, чтобы наша UDL всегда проходила до конца балки, другими словами, наш вертикальный разрез всегда должен проходить через любую UDL, применяемую к балке. Простой способ удовлетворить это требование — расширить нашу UDL до конца луча, а затем применить UDL в противоположном направлении, чтобы отменить влияние дополнительной UDL, которую мы добавили — это имеет больше смысла, когда вы видите ее в действии. , рис. 10 ниже.

Рис. 10: Подконструкция со всеми примерами нагрузки. Обратите внимание, что силы, выделенные зеленым цветом, являются результирующими нагрузками UDL.

Совместное влияние обоих UDL на рис. 10 такое же, как влияние одиночного UDL, показанного на рис. 8.

8.3 Метод Маколея и точечные моменты

момент не умножается на плечо рычага в нашем уравнении момента, и поэтому нет функции сингулярности, которая устраняла бы момент, когда он не вносит вклад в . В нашем примере эта проблема на самом деле никогда не возникает, потому что момент в точке C всегда будет фигурировать в уравнении для , т. е. мы никогда не оцениваем внутренний изгибающий момент слева от , потому что он приложен к концу балки.

Однако, чтобы проиллюстрировать проблему и найти решение для дальнейшего использования, давайте представим ту же балку с моментом, скажем, на рис. 11 ниже. В этом случае выражение внутреннего момента будет следующим:

(41)  

Рис. 11: Подконструкция с приложенным моментом в одной точке.

В настоящее время мы не можем исключить момент, когда . Однако, если мы введем плечо рычага «судо», мы получим функцию сингулярности, которая позволит нам применить метод Маколея к этому моменту и устранить его. Обратите внимание, что , поэтому мы никогда не изменяем величину момента, когда он должен появиться в нашем уравнении. Итак, полное выражение для внутреннего момента, к которому мы можем применить метод Маколея, равно

(42)  

Но, как мы уже говорили, нам не нужно реализовывать это «исправление» в нашем примере, потому что момент всегда будет фигурировать в нашем уравнении, поскольку он расположен на крайнем левом конце балки. Итак, разобравшись с этими двумя деталями, мы можем вернуться к решению нашего вопроса.

8.4 Постройте выражение для с функциями сингулярности и проинтегрируйте

У нас есть полная подконструкция со всеми нагрузками и плечами рычага, показанная на рис. 10 выше. Взяв моменты о разрезе, мы можем построить наше выражение следующим образом:

(43)  

Теперь мы подставляем это выражение в наше дифференциальное уравнение кривой прогиба,

(44)  

Интегрируя, чтобы получить выражение для наклона,

(45)  

Интегрируя снова, чтобы получить наше выражение для смещения,

(46)  

Граничное условие 1: :

Применение граничного условия для смещения в A дает,

(47)  

Граничное условие 2: :

Граничное условие для смещения в точке B дает,

(48)  

Решая совместные уравнения граничного условия, получаем и . Поэтому наше окончательное выражение для смещения луча получается как

(49)

8.5 Построение отклоненной формы

Мы будем использовать ту же технику, что и раньше, для построения отклоненной формы. Приведенный ниже код структурирован так же, как код, который мы видели выше, но его содержание явно изменено, чтобы представить наше новое уравнение отклонения. Код для построения графика одинаков и не повторяется ниже.

1 2 3 4 5 6 7 8 10 110004 12 14 2009 9000 15 9000 40004 9000 4000 9000 9000 4000 4000 15 9000 4000 4000 40009 9000 4000 9000 9000 4000 4000 15 9000 40004 9000 4000 15 9000 4000 15 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 30 9000 31 28 30 31 28 29 30 9000 31 0004 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54

#Значения по умолчанию и инициализация span = 16 divs = 10000 #Разделить диапазон на это число точек данных delta = span/divs #Расстояние между точками данных X = np. arange(0,span + delta,delta) #Диапазон координат x EI = 1   #Пройтись по структуре и вычислить отклонение в каждой точке Deflection = np.zeros(len(X))  #Инициализируйте контейнер для хранения всех отклонений for i, x in enumerate(X):         deflection = 0   1  Term и 7     если x > 0: #moment Delta = -(60/2)*x ** 2 отклонение = отклонение + дельта #C1 Delta = -765*x отклонение = отклонение + дельта #Term 2 — Реакция в A     если x-3 > 0:         дельта = (123,5/6)*(x-3)**3         прогиб = прогиб + дельта 3 — 5    Термин кН/м UDL, действующая вниз , если X -5> 0: Delta = -(50/24)*(x -5) ** 4 отклонение = отклонение + Delta #термин 4 -100 кв. -11> 0: Delta = -(100/6)*(x -11) ** 3 отклонение = отклонение + Дельта #термин 5 -50 кН/м UDL действует вверх , если x -9 > 0:         дельта = (50/24)*(x-9)**4         отклонение = отклонение + дельта #Term 6-Реакция при B , если X-13> 0: Delta = (251,5/6)*(X-13) ** 3 отклонение = отклонение + Delta # Термин 7 — C2 Отражение = отклонение + 2565 #УДАЛЕНИЕ В этом месте отклонение [I] = отклонение/EI

Рис. 12. Изогнутая форма балки. Обратите внимание, что при расчете жесткость на изгиб EI для удобства принимается равной 1.

Может показаться странным, что точечная нагрузка в точке G никогда напрямую не фигурирует в нашем внутреннем уравнении изгибающего момента, . Однако его влияние учитывается косвенно через реакции в точках А и В. Убедиться в этом можно, просто увеличив точечную нагрузку до скажем и повторив расчет. Это потребует от вас расчета новых реакций, переоценки констант интегрирования и небольшого изменения блока кода выше, чтобы зафиксировать изменения — но это не так трудоемко, как кажется. Я построил сравнение двух отклонений на рис. 13 ниже.

Рис. 13: Сравнение формы деформации для точечной нагрузки 75 кН в точке G (синий) и точечной нагрузки 100 кН в точке G (зеленый) ожидать.

4.6 Максимальный прогиб между A и B

Последнее, чем мы хотим заняться, — это определение местоположения и величины максимального прогиба между A и B. Это относительно легко получить, так как максимальный прогиб происходит там, где наклон искривленная форма равна нулю. К счастью, у нас уже есть уравнение для наклона, так что нам просто нужно приравнять его к нулю и найти x… Легче сказать, чем сделать! Взгляните еще раз на уравнение (повторяющееся сверху),

(50)  

Решить это уравнение алгебраически для слишком сложно. Гораздо более практичный подход состоит в том, чтобы определить интересующую область визуально, скажем, между метрами, и использовать метод проб и ошибок, то есть подставить значения в уравнение и посмотреть, какое из них делает уравнение равным нулю. В средние века это можно было сделать вручную, но, к счастью для нас, вместо этого мы можем поставить на работу робота — с помощью скрипта Python!

Наш подход будет заключаться в использовании цикла для цикла для цикла вдоль каждой позиции на балке и вычисления наклона почти так же, как мы вычисляли отклонение. В конце каждой итерации цикла мы проверяем, изменился ли знак наклона с отрицательного на положительный. Если это так, это означает, что точка нулевого наклона была пересечена между предыдущей и текущей итерацией. Возьмем x-позицию на текущей итерации как точку, в которой наклон был равен нулю и, следовательно, место максимального прогиба.

1 2 3 4 5 6 7 8 10 110004 12 14 2009 9000 15 9000 40004 9000 4000 9000 9000 4000 4000 15 9000 4000 4000 40009 9000 4000 9000 9000 4000 4000 15 9000 40004 9000 4000 15 9000 4000 15 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 30 9000 31 28 30 31 28 29 30 9000 31 0004 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

previousSlope = 0 #Наклон из предыдущей итерации (инициализируйте значение)   for i, x in enumerate(X):       slope = 0 #Наклон, рассчитанный на этой итерации #термин 1 — момент , если x> 0: Delta = -60*x Slope = Slope + Delta #термин 2 — реакция на , если x -3> 0 :         дельта = (123,5/2)*(x-3)**2         наклон = уклон + дельта         дельта = -(50/6)*(x-5)**3 Slope = Slope + Delta #термин 4 -100 кН точка нагрузки , если X -11> 0: Delta = -(100/2)*(x -11) ** 2 Slope = Slope + delta             #Условие 5 – 50 кН/м UDL воздействует вверх     если x-9 > 0:         delta = (50/6)*(x-9 отклонение)** +   delta              #Term 6 — Реакция на B     если x-13 > 0: Delta = (251,5/2)*(x -13) ** 2 Slope = Slope + Delta #термин 7 — C1 Slope = наклон — 765 #test для изменения в подписать наклон , если i> 0 и x> 7,5 и x <10: , если предыдущий склоп <= 0 и наклон> 0: местоположение = x Предыдущий Слоп = наклон #Update Значение предыдущего Слопа для следующая итерация   # Напечатайте оператор, чтобы показать конечный результат print(‘Максимальное отклонение между A и B происходит при x={one} m’. format(one=round(location,3)))

Наш сценарий выводит следующую текстовую строку:

Максимальное отклонение между A и B происходит при x=7,781 м

Теперь мы можем подставить это значение в наше уравнение отклонения и получить отклонение в этом месте ,

(51)  

(52)  

Это завершает анализ метода Маколея. Во времена компьютеризированного структурного анализа нам редко приходится обрабатывать подобное отклонение, но все же приятно оставаться в курсе фундаментальных принципов. Далее мы рассмотрим несколько еще более быстрых способов определения отклонения балки, полностью исключающих исчисление.

9.0 Использование суперпозиции для расчета прогиба балки

Выше мы видели, как определить прогиб балки из первых принципов. Это дало нам полное представление об отклонении, но даже после применения метода Маколея процесс расчета отклоненной формы по-прежнему был относительно длительным.

Мы можем использовать принцип суперпозиции, чтобы получить ответ для прогиба середины пролета намного быстрее, используя табличные формулы для прогиба балки. Эти формулы уже были определены и сведены в таблицы для обычных случаев нагрузки с использованием только что продемонстрированного нами метода. Некоторые из наиболее распространенных уравнений отклонения приведены в таблице ниже.

Рис. 14. Таблица прогиба балки с некоторыми распространенными схемами нагрузки на балку.

Опираясь на принцип суперпозиции, мы можем оценить прогиб в середине пролета для каждой нагрузки отдельно, а затем просто добавить или наложить прогибы вместе. Это даст тот же результат, что и указанный выше.

9.1 Равномерно распределенная нагрузка

Рассмотрим формулу прогиба балки под действием равномерно распределенной нагрузки, рис. 15,

(53)  

При , эта формула оценивается как

Рис. 15. Свободно опертая балка с равномерно распределенной нагрузкой.

9.2 Точечная нагрузка № 1

Формула для прогиба балки под действием одноточечной нагрузки, рис. 16, где расстояние меньше расстояния до положения, в котором оценивается прогиб, составляет

(54)  

Получается

Рис. 16. Свободно опертая балка, подверженная точечной нагрузке на расстоянии от левой опоры и от правой опоры.

9.3 Точечная нагрузка #2

Наконец, оценивая формулу для прогиба, где , рис.

Рис. 17. Свободно опертая балка, подверженная точечной нагрузке на расстоянии от левой опоры и от правой опоры.

Суммируя три среднепролетных прогиба, получается,

   

Конечно, это то же самое значение, которое мы получили выше. Построив эти уравнения, мы можем дополнительно визуализировать вклад каждой нагрузки в общую деформированную форму, рис. 18.

Рис. 18. Общая деформированная форма, полученная как суперпозиция отдельных прогибов от каждой нагрузки, рассматриваемой отдельно.

Итак, на этом мы завершаем обсуждение отклонения балки. В конце концов, вам решать, какой подход вы решите использовать для расчета прогибов. Конечно, есть и другие методы, которые вы можете использовать для оценки отклонения, но в любом случае хорошо иметь представление о том, как мы можем это сделать, исходя из первых принципов.