Определение усилий в стержнях фермы: Расчет усилий в стержнях фермы

Расчет усилий в стержнях фермы

Сервис ЭПЮРЫ ОНЛАЙН / РАСЧЕТ ФЕРМЫ может помочь Вам расчитать любую ферму, а если она является статически определимой (а фермы в большинстве случаев делают статически определимыми) — то и расписать уравнения равновесия во всех узлах фермы, как показано на рисунке.

Кроме этого, сервис выдает усилия в стержнях фермы в табличном виде

Поскольку количество стержней бывает большое, расстояния неудобные, то напрямую вводить данные в расчетчике долго. Для упрощения мы создали ГЕНЕРАТОР ОДНОСКАТНОЙ ФЕРМЫ, в котором достаточно указать основные размеры фермы — и расчетная схема будет создана автоматически.

Если уж Вы решили самостоятельно расчитать ферму (даже с помощью этого сайта), неплохо бы ознакомиться с основными понятиями в теории расчета ферм 🙂

Фермой называется конструкция, состоящая из стержней, соединённых между собой шарнирами, которые называются узлами фермы

. Внешняя нагрузка на ферму передаётся через эти узлы. Каждый стержень в ферме находится в условиях простого осевого растяжения – сжатия, но общая деформация фермы – изгибная, то есть ферма работает на изгиб.

 

Пролет фермы — это расстояние  между опорами. Расстояние между узлами фермы по горизонтали называется панелью фермы и обозначается d.

Выполнить расчет фермы, это значит, что в первую очередь нужно определить  усилия в стержнях фермы. Общепринятые обозначения усилий в стержнях фермы:

O – усилие в стержнях верхнего пояса,

U – усилие в стержнях нижнего пояса,

V – усилие в стойках,

D – усилие в раскосах.

Расчет фермы начинают с определения опорных реакций. Опорные реакции в ферме определяются как в простой балке, работающей на изгиб.

Для определения усилий в стержнях ферм существуют несколько способов. Рассмотрим некоторые из них (аналитические):

а) Способ моментной точки. Применяется, когда можно разрезать ферму на две части так, чтобы в разрез попало три стержня. Для нахождения усилия в одном из них необходимо найти точку пересечения двух других разрезанных стержней (

моментная точка) и записать уравнение равновесия (сумма моментов всех сил вокруг этой точки)  любой отсечённой части фермы.

б) Способ проекций. Применяется, когда можно разрезать ферму на две части так, чтобы в разрез попало три стержня. При нахождении  усилия в одном  из них  два  других  стержня   оказываются  параллельны  (т.е. моментная точка оказывается в бесконечности). Записывается  сумма проекций сил на вертикальную ось У любой отсечённой части фермы. Способ проекций чаще всего применяется для нахождения усилий в раскосах или стойках фермы с параллельными поясами.

в) Способ вырезания узлов. Применяется, когда два предыдущих способа не неприменимы, т.е. нельзя провести сечение через три стержня. Данный способ заключается в вырезании узла, к которому принадлежит искомый стержень и рассмотрении равновесия этого узла.

ПЕРЕЙТИ К РАСЧЕТУ ОДНОСКАТНОЙ ФЕРМЫ >>

2.Способы определения усилий в стержнях фермы.

Расчет фермы, как и всякой статически определимой системы начинается с определения опорных реакций, Это делают обычным способом как в балке, составляя уравнения равновесия для фермы в целом. После этого приступают к определению усилий в стержнях.

Основной метод состоит в отделении части фермы и рассмотрения ее равновесия. Этот метод разрезовприменялся и в решении задач сопротивления материалов.

Последовательность действий была определена еще в курсе теоретической механики, когда изучалась статика системы сил на плоскости.

1.Проводят мысленно разрез фермы, который должен проходить, вообще говоря, не более, чем через три стержня, в том числе и через тот, усилие в котором следует определить.

2. Отбрасывают левую или правую часть фермы относительно разреза (удобнее отбрасывать ту часть, к которой приложено большая часть нагрузок).ли вырезается узел, то он просто изывается из фермы.

3. Заменяют действие отброшенной части продольными усилиями в разрезанных стержнях, полагая их все растягивающими ( действующими “от узла”).

4. Составляют уравнение равновесия так, чтобы искомое усилие входило в него как единственное неизвестное.

5. Решают уравнение, находят усилие. Если результат получается со знаком плюс, то стержень растянут, если минус – сжат.

Итак, метод общий – метод разрезов. Но при составлении уравнения равновесия нужно применить такой способ, Который позволяет избежать решения системы совместных уравнений. Различают несколько таких способов: способ моментной точки, способ проекций и способ вырезания узлов.

В строительной механике часто применяют “фирменные” обозначения усилий в стержнях. Буквой О обозначают усилие в элементах верхнего пояса, U– в элементах нижнего пояса,D– в раскосах,V- в стойках. Этим буквам придается два индекса, соответствующих номерам узлов по концам стержня. Некоторые из этих букв оказываются “перегруженными содержанием”. Например, буквойVобозначают вертикальную составляющую опорной реакции и работу внешних сил. Поэтому усилия в стержнях фермы можно обозначать одной буквой (обычноS) с двумя индексами.

Определим усилия в стержнях фермы, показанной на рис.4.2.

Опорные реакции определим как в балке с пролетом, равным пролету фермы:

-V_B V_B =

Рис.4.2

Найдем усилие O₁₂ .Проведем сечениеI–I(рис.4.2 а).

Отбросим левую часть фермы. и заменим Рис.4.2

ее действие на оставшуюся правую часть неизвестными усилиями О₁₂ ,D₁₅ иU₆₅ , полагая их растягивающими (рис.4.2.b).

Уравнение равновесия нужно составить так , чтобы в него вошло усилие О

12 и не вошлиD₁₅ иU₆₅ . Для этого следует взять момент всех сил, приложенных к правой части фермы, относительно точки 5, играющей в данном случае роль моментной точки.

Таким образом, для определения усилия О₁₂примененспособ моментной точки.

За моментную принимают ту точку, в которой пересекаются все неинтересующие нас стержни , попавшие в сечение..Следовательно, в разрез могут попасть иn стержней, если n-1 пересекаются в одной точке. (рис. 4.3).

Найдем усилие в раскосеD

15.

Проводим то же сечение I–I. Изложенный выше способ здесь не применим: моментную точку придется

Рис.4.3

искать на пересечении стержней О₁₂ иU₆₅ , а они параллельны. Поэтому составляем уравнение другого вида: проектируем все силы, приложенные к правой части фермы, на вертикаль, применяяспособ проекций:

Найдем усилие V₂₅.

Провести разрез фермы на две части так, чтобы он прошел через стойку 2-5 и еще через два стержня не удается. Поэтому проводят сечение II–II, применяя

способ вырезания узлов(рис.4.4).

Проектируя все силы на вертикаль, получаем

Рис.4.4

Применяя способ вырезания узлов, нужно помнить, что для системы сходящихся сил можно записать только два уравнения равновесия. Поэтому в вырезаемом узле не должно быть более двух стержней с неизвестными усилиями.

До начала определения усилий в элементах фермы полезно выявить те стержни, усилия в которых при заданной нагрузке равны нулю. Такие стержни называют

нулевыми.

Правила определения нулевых стержней следуют из уравнений равновесия.

Если в узле сходится два стержня и узел не нагружен, то усилия в обоих стержнях равны нулю (рис.4.5a). Проектируя силы на направление, получаем

S₁= 0. После этого из проекции на направлениеS₂Рис.4.5

следует, что и S₂= 0.

Если в узде сходятся три стержня , два из которых лежат на одной прямой и узел не нагружен (рис.4.5b), то усилие в ответвляющемся стержне равно нулю (S₁ = 0), а два других равны между собой (S₂=S₃ ). Первое заключение следует из уравнения равновесия, втрое – получаем, проектируя все силы на прямую, вдоль которой действуют силыS

2 иS₃ .

Пользуясь этими правилами легко установить, что все стержни, перечеркнутые одной чертой в ферме на рис.4.6, нулевые.

Рис.4.6

14. Определение усилий в стержнях ферм.

Это графический способ расчета усилий в стержнях фермы. Построение диаграммы Максвелла-Кремоны заключается в построении силовых многоугольников, построенных для всех узлов фермы, в один чертеж так, чтобы ни одно из усилий не повторялось дважды (рис. 3). При расчете фермы   способом Максвелла-Кремоны следует придерживаться следующей последовательности действий: Определить реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело. Отбросить опоры и изобразить все приложенные к ферме внешние силы, включая реакции опор, так чтобы эти векторы располагались вне контура фермы. Части плоскости, ограниченные контуром фермы и линиями действия внешних сил, а так же те, что ограниченны стержнями фермы, обозначить буквами; узлы обозначить римскими цифрами, стержни — нумеруем арабскими. Построить замкнутый многоугольник внешних сил, откладывая силы в том порядке, в котором они встречаются при обходе фермы (направление произвольно) силы обозначаются малыми буквами, соответствующими обозначениям смежных участков плоскости. Последовательно, на том же рисунке, построить силовые многоугольники для каждого узла (узлы выбираются таким образом, чтобы число неизвестных усилий в стержнях равнялось двум), направление обхода узла должно совпадать с направлением обхода плоскости. Стержень считать сжатым, если направление, указанное известными силами, направлено к узлу, в противном случае стержень растяну Измерить на диаграмме отрезки, изображающие искомые усилия в стержнях фермы, и найти усилия, учитывая принятый масштаб сил.

§3 Определение усилий в стержнях фермы методом сечений (методом Риттера).

Этим методом удобно пользоваться для определения усилий в отдельных стержнях фермы, например, для проверочных расчетов (рис. 4) При расчете методом сечении рекомендуется такая последовательность действии: 1.         Определить реакции опор, пользуясь уравнениями равновесия для всей фермы, рассматриваемой как твердое тело, находящееся под действием плоской системы сил. 2.       Ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стержня, в которых (или в одном из которых) требуется определить усилия, и рассматривают равновесие одной из этих частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, т. е., считая их растянутыми. 3.       Затем составляются уравнения равновесия так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие. 4.       Из полученных уравнений находятся неизвестные усилия в стержнях; если в ответе получается знак «-», то это означает, что стержень сжат, а не растянут.

Глава 2.Расчет плоской фермы на подвижную нагрузку. Содержание главы представляет из себя решение задачи на расчет плоской фермы при подвижной нагрузке. Задача: Рассчитать на прочность (т. е. подобрать площадь сечения) стержни 1, 2, 3, определив предварительно опасное положение силы Р=50 тонн, движущейся по нижнему поясу фермы; нагрузка , при движении груза, передается только на узлы фермы. Принять допустимое напряжение сигма =1600 кг/см². Для определения усилий в стержнях сначала необходимо найти реакции опор А и В. Для этого мысленно отбросим опоры и заменим их действие на ферму реакциями r_a и r_b. Составим условия равновесия: 0<=х=>4с Проверим правильность полученных реакций: åF_ky=R_A+R_B-P=0,   0=0 Проведем сечение конструкции так, как указано на рис.1, и рассмотрим равновесие левой части фермы (рис.2), заменяя действие на нее правой части силами, направленными вдоль стержней (соответственно N₀, N₂, N₃) . Составим условия равновесия, учитывая, что нагрузка движется слева направо, а «х» есть изменение расстояние от опоры до узла, в котором приложена сила. Найдем усилия в стержнях для случая, когда   0<=х=>с Рассмотрим теперь случай, когда 2с<=х=>4с (рис. 3). Так как нагрузка передается только на узлы, то условия равновесия будут иметь следующий вид: Таким образом, найдены усилия в стержнях 2 и 3. Для того, чтобы найти усилие в стержне 1 , применим метод вырезания узлов. Вырежем узел I. (Рис.4) Составим условия равновесия, учитывая, что 0<=х=>с. åF_ky = N₂ +N_1*cos(45°) — P = 0;     Û   N₁= (P – Px/ 4c)Ö2 Составим условия равновесия, учитывая, что 2с<=х=>4с. åF_ky = N₂ +N_1*cos(45°)  = 0;     Û   N₁= (P – Px/ 4c)Ö2 Можно сделать вывод, что усилие в стержне 1 не зависит от точки приложения груза. Изобразим наглядно изменения усилий в стержнях при подвижной нагрузке.  Для стержня 1: Из графиков легко можно определить наиболее опасные положения груза для каждого из рассматриваемых стержней, а, следовательно, и определить оптимальные площади сечений для них. Площадь сечения (обозначим ее буквой S) элемента конструкции должна быть больше или равна отношению усилия, прилагаемого к этому элементу, к допустимому напряжению. Для стержня 1: наиболее опасно положение груза при х= 0, тогда абсолютное значение усилия N₁(0)»70.710 (т), а S₁ =70710 (кг) / 1600 (кг/см²) » 44.194 см²Для стержня 2: наиболее опасно положение груза при х= 2с, тогда абсолютное значение усилия N₂(2c)=25 (т), а S₁=25000 (кг) / 1600 (кг/см²)= 15.625 см²Для стержня 3: наиболее опасно положение груза при х= с, тогда абсолютное значение усилия N₃(с)»37.5 (т), а S₃ =37500 (кг) / 1600 (кг/см²) » 23.4375 см² Таким образом, можно сделать вывод, что стержень 1 подвергается наибольшему воздействию, из трех исследуемых стержней. Задача решена.

Расчет ферм с примерами решения и образцами выполнения

Содержание:

1. Ферма и их расчет
2. Метод вырезания узлов
3. Метод Риттера
4. Расчет плоских ферм
5. Основные понятия о плоских фермах
6. Условие жесткости фермы
7. Статически определенные фермы
8. Метод вырезания узлов
9. Метод Риттера
10. Фермы. Способы определения усилий в стержнях ферм
11. Простейшие фермы
12. Определение усилий в стержнях фермы
13. Способ вырезания узлов
14. Способ Риттера

Фермой называется шарнирно-стержневая геометрически неизменяемая конструкция. 

Плоская ферма – частный случай пространственной конструкции, у которой один из поперечных размеров либо мал по сравнению с другими размерами, либо не существенен для распределения внутренних усилий.

Реальная ферма, может не иметь идеальных шарнирных соединений в узлах, соединения стержней между собой в узлах являются жесткими, а не шарнирными, с помощью сварки, заклепок, болтов или других скреплений.

Плоские фермы конструируют таким образом, что приложенная к ферме нагрузка передается в узлах, вследствие чего, в сечениях элементов ферм не возникают поперечные силы и изгибающие моменты, стержень работает только на продольные усилия – растяжение или сжатие, и, следовательно, реакции стержней будут направлены вдоль этих стержней.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Ферма и их расчет

Ферма — это жесткая конструкция, которая состоит из прямолинейных стержней, соединенных между собой шарнирами. Место, где стержни соединяются друг с другом, носит название узла фермы. Внешняя нагрузка прикладывается к ферме только в ее узлах. Ферма состоит из идеальных стержней, то есть тонких, однородных, невесомых
стержней, на концах которых шарниры, которые работают на растяжение или на сжатие.
Мы будем рассматривать фермы, в которых оси всех стержней и векторы внешних сил содержатся в одной плоскости, то есть, плоские фермы. Помимо этого, конструктивно ферма состоит из стержней, которые образуют собой треугольники, то есть в конструкции фермы нет лишних стержней. такие фермы являются жесткими и статически определенными. В них число стержней n и число узлов m всегда связано таким соотношением

n = 2m – 3 .

Расчет фермы сводится к определению ее опорных реакций и усилий в стержнях.

Рассмотрим простую плоскую ферму (рис. 1.26).

Как видно из схемы — это плоская конструкция, которая состоит из 7 стержней, которые соединяются в 5 узлах. В узлах I и V ферма имеет опоры (в I-ом узле — неподвижная шарнирная опора; в V-м — подвижная шарнирная опора), к II и к IV узлу фермы приложены внешние нагрузки в виде сосредоточенных сил  и ( = 30 kH; = 10 kH). Линейные и угловые размеры фермы данные на схеме (α = 45º). Оси плоской декартовой системы координат I xy показаны на схеме фермы.

Первый этап расчета фермы — это определение ее опорных реакций. Определяют опорные реакции, рассматривая ферму в целом, как твердое тело с приложенными внешними силами. Тогда, условно освобождая ферму от связей (опор) и заменяя их соответствующими реакциями (в узле I это реакции _I, _I; в узле V — _V), имеем плоскую систему произвольных сил, для которой можно использовать условия равновесия и составить систему уравнений равновесия:

Из первого уравнения системы вычисляем неизвестную реакцию X_I. она равна

X_I = P₂ = 10 kH.

Из последнего уравнения вычисляем реакцию R_V:

Далее, из второго уравнения является возможность вычислить последнюю неизвестную
величину Y_I. Она будет равняться

Y_I = P₁ – R_V = 30 – 5 = 25 kH.

Таким образом, вычислено искомые реакции опор фермы. Теперь необходимо определить неизвестные усилия в стержнях фермы. существует несколько способов определения этих усилий, графические и аналитические. Мы рассмотрим два аналитические методы: метод вырезания узлов и метод сечений (или метод Риттера). Рассмотрим последовательно эти методы.

Метод вырезания узлов

Этот метод заключается в последовательном вырезании (мысленно) узлов фермы,
начиная с узла где совпадают два стержня с неизвестными внутренними усилиями. Таким образом, каждый узел — это плоская система сходящихся сил, для которой можно составить два уравнения равновесия, из которых определяют неизвестные усилия в этих двух стержнях.

При применении этого метода принимается правило, согласно которому реакции
стержней направляются от узлов. Если же при определении реакции стержня произойдет, что она имеет отрицательный знак, то этот стержень сжат и действительное направление его реакции ориентировано к узлу.

Определим данным методом усилия в стержнях фермы, приведенной на рис. 1.26. Вырезаем сначала узел I (рис. 1.27). Кроме реакций _I и _I  к нему приложены неизвестные реакции стержней 1 и 2, которые обозначаются и и направление которых, по правилу, от узла. Покажем в этом вырезанном узле I оси координат xIy и угол α. Как видно из схемы, узел и находится в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил с двумя неизвестными усилиями: и . Составим для узла и уравнения равновесия,
используя условия равновесия для плоской системы сходящихся сил в виде. Будем иметь

Из второго уравнения определяем усилия S₁. Оно равно

Как видим, стержень 1 сжатый усилиям 35,3 kH. С первого уравнения определим неизвестное усилие S₂

S₂ = – X_I– S₁ sinα = –10 – (– 35,3 · 0,707) = – 10 + 25,00 = 15,00 kH .

Таким образом, стержень 2 растянутый усилием 15,00 kH.

Далее вырезаем узел ІІ (рис. 1.28). В этом узле сосредоточены внешняя сила и усилия трех стержней ,  и . Причем неизвестные усилия только в двух стержнях — в 3 () и в 4 (). Также предварительно считаем, что стержни 3 и 4 растянуты, и их усилия и
направлены от узла ІІ. Усилия же в стержне 1 уже определено ранее, при вырезании первого узла, и не только установлено ​​его значение, но и то, что он сжат, поэтому направление его реакции будет к узлу ІІ. Проведем через узел ІІ оси координат xy и покажем угол α.

Составим для узла ІІ уравнения равновесия, также используя условия, аналогичные предыдущим.

Из второго уравнения определяем усилия S₃. Оно будет равняться

Как видим, стержень 3 сжатый усилиям 7,00 kH. Направление реакции S₃ — к узлу ІІ.

Из первого уравнения находим усилия S₄. Оно равно

S₄ = –S₁ sinα – S₃ cosα = – 35,30 · 0,707 – (–7,00)0,707 = – 25,00 + 5,0 = – 20,00 kH.

Таким образом, стержень 4 сжатый усилием 20,00 kH.

Далее вырезаем узел IV (рис. 1.29). Он находится под действием внешней силы и усилий в стержнях 4, 5 и 7. Усилия в стержне 4 определено и его направление — к узлу, а потому неизвестны — только усилия  и . Проведем через узел IV оси координат xy и покажем угол α. Направления усилий в стержнях 5 и 7 — от узла IV. Составим для узла IV уравнения равновесия, также используя условия равновесия:

Решаем систему, для чего из второго уравнения выразим усилия S₅ через усилия S₇. Оно будет равняться

Теперь подставим значение S₅ в первое уравнение системы. Будем иметь

S₇ cosα – (– S₇)cosα – P₂ + S₄ = 0.

Отсюда

Стержень 7 сжатый усилием 7,00 kH. Теперь есть возможность найти усилие S₅. Оно равно

S5 = – S₇ = 7,00 kH.

Стержень 5 растянутый усилием 7,00 kH.

Теперь, для окончательного определения усилий в стержнях фермы, что рассматривается, необходимо вырезать узел V. К узлу V приложена реакция , усилия , которое направлено к узлу, и неизвестно усилию , которое направляем от узла. Составим для узла V уравнения равновесия, используя условия равновесия:

Как видим, для определения последнего неизвестного усилия S₆  достаточно решить первое уравнение системы. Найдем S₆ :

S₆  = S₇ cosα = 7,00 · 0,707 = 5,00 kH.

Стержень 6 растянутый усилием 5,00 kH.

Данные расчетов заносим в таблицу 1.1. Знак при определенном усилии в стержне показывает характер его нагрузки. Если он положительный («+»), То стержень растянут, если отрицательный («–»), то стержень сжат.

Метод Риттера

Рассмотрим второй аналитический метод определения усилий в стержнях плоской фермы. Это метод Риттера, или метод сечений.

Данный метод имеет несколько преимуществ по сравнению с рассмотренным ранее
методом вырезания узлов. Здесь нет необходимости составлять большое количество уравнений равновесия узлов, особенно когда ферма многостержневая. Кроме того, в случае неточности расчета какого-то стержня, в дальнейшем эта ошибка накапливается при расчетах других стержней. Метод Риттера лишен этих неудобств.

Особенность применения этого метода состоит в том, что условно делается сечение всей фермы, при этом в сечении должно быть не больше, чем три стержня с неизвестными усилиями. Тогда рассматривается равновесие одной из частей фермы, а вторая часть отбрасывается. Действие стержней, которые попали в сечение, заменяем их реакциями. предварительно считается, что эти стержни также растянуты, то есть их усилия направлены от узлов. Опорные реакции фермы определяются так же, как и при
применении метода вырезания узлов.

Определим усилия в 4, 5 и 6 стержнях фермы, сделав сечение и рассматривая равновесие правой части фермы (рис. 1.31). Вместо указанных стержней прикладываем в узле IV усилия и а в узле V — усилие . Направления указанных усилий — от узлов. К данной части фермы приложена внешняя сила и реакция . Покажем оси прямоугольной декартовой системы координат Vxy и угол α. Как видим, данная часть
фермы находится в равновесии под действием плоской системы произвольных сил, а
для этого составим для нее уравнения равновесия, используя условия равновесия. Согласно методу Риттера надо составлять уравнения равновесия, как суммы моментов сил относительно тех точек, где пересекаются линии действия большего количества неизвестных усилий. В данном случае такими точками будут точки ІІІ и IV. В отношении этих точек возьмем моменты сил.

Будем иметь

Вычислим неизвестные усилия. Из первого уравнения — усилия S₅:

Из второго уравнения — усилия S₄. Оно будет равняться

Таким образом, стержень 4 сжатый усилиям 20,00 kH, направление усилия S₄ будет противоположный тому, который был показан на рис. 1.31.

Расчет плоских ферм

Фермой называется конструкция, состоящая из стержней, соединённых между собой на концах шарнирами и образующих геометрически неизменяемую систему. Шарнирные соединения стержней фермы называют её узлами. Если оси всех стержней фермы лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской.

Основные понятия о плоских фермах

Фермой называется геометрически неизменная конструкция, состоящая из прямолинейных стержней, соединенных в узлах шарнирами (рис. 8.1).

Основная задача, о которой будет идти речь далее, заключается в определении внутренних усилий, возникающих в стержнях фермы под действием внешних активных сил.

Приведенное определение фермы имеет одно существенное упрощение, которое позволяет усилия в стержнях фермы находить методами теоретической механики. Этим упрощением является допущение о шарнирном соединение стержней фермы.

В реальных фермах стержни соединены жестко с помощью электросварки, клепки и тому подобное. Однако, как показывают исследования в строительной механике, сделано допущение о способе соединения стержней фермы  позволяет найти приближенное значение усилий с достаточной точностью.

Фермы используются в качестве несущих конструкций в различных сооружениях: в мостах, в перекрытиях зданий, в подъемных кранах, каркасах самолетов тому подобное.

Места соединения стержней фермы называются узлами, а те узлы, которыми ферма опирается на основу — опорными узлами. Стержни, размещены по верхнему контуру фермы, образуют верхний пояс, а по нижнем — нижний пояс (См. Рис. 8.1).

Вертикальные стержни называются стойками, а наклонены — раскосами.

Фермы бывают пространственные и плоские. Если оси всех стержней фермы лежат в одной плоскости, такая ферма называется плоской, если нет — то пространственной. В этом разделе ограничимся рассмотрением только плоских ферм.

Расчет ферм существенно упрощается, если сделать такие допущения:
1) трения в шарнирах отсутствует;
2) заданные силы, действующие на ферму, лежат в плоскости фермы и приложенные в узлах;
3) собственный вес стержней малый по сравнению с заданными силами и ею можно пренебречь.

Если выполнять эти условия, каждый стержень фермы будет работать на растяжение или сжатие и не испытывать деформации изгиба, в чем и есть преимущество фермы как строительной конструкции. Действительно, при условии, что все усилия приложены в узлах фермы и отсутствует трение в шарнирах, каждый стержень будет находиться под действием только двух сил, которые приложены к его концов. Согласно с первой аксиомой статики, при равновесии линия действия этих сил должна проходить через их точки приложения. Итак, силы, приложенные к стержню фермы, будут обязательно направлены вдоль стержня, и поэтому приводить его сжатие или растяжение.

Сделанные допущения оправданы тем, что, во-первых, трения в шарнирах малое по сравнению с заданными силами и им можно пренебречь; во-вторых, если сила приложена не у узле фермы, то ее можно разложить на составляющие, которые будут приложены в узлах.

Для того чтобы ферму можно было использовать как несущую конструкцию в инженерных сооружениях, необходимо обеспечить ее жесткость.

Определим условия, при которых ферма будет жесткой (геометрически неизменной).

Условие жесткости фермы

Найдем наименьшее число стержней N, необходимых для построения геометрически неизменяемой (жесткой) фермы, которая имеет n узлов.

Простой, геометрически неизменной фермой является конструкция, состоит из трех узлов, соединенных тремя стержнями. для жесткого присоединения каждого из последующих узлов необходимо два стержня (Рис. 8.2). Полученная таким образом новая конструкция  также будет геометрически неизменной фермой.

Следовательно, для обеспечения жесткости фермы (т.е. исключения относительных
перемещений стержней) необходимо, чтобы число стержней равнялось

то есть 

Пример неизменной жесткой фермы показано на рис. 8.3, а.

Если число стержней то конструкция будет геометрически переменной (рис. 8.3, б), а если то ферма будет содержать лишние стержни (рис. 8.3, в).

Уравнение (8.1) называется условием жесткости фермы. Заметим, что равенство (8.1) является необходимым условием жесткости фермы, но не достаточным. Для конструкции, изображенной на рис. 8.3, г, условие (8.1) выполняется, но эта система геометрически переменная. Для обеспечения геометрической неизменности фермы условие (8.1) должно выполняться как для всей фермы, так и для отдельных ее частей (решеток).

Статически определенные фермы

Статическую определенность фермы устанавливают по количеству реакций опор и числом стержней фермы.

Заметим, что ферма является неизменной системой, поэтому, как известно из предыдущего, неизвестных опорных реакций не должно быть более трех. В противном случае задача определения опорных реакций для данной фермы является статически неопределенной.

Рассчитывая фермы, кроме трех неизвестных реакций, нужно еще определить усилия в стержнях фермы. Выясним, сколько независимых уравнений статики можно составить для определения этих неизвестных сил. для этого используем метод вырезания узлов.

На каждый вырезанный узел фермы будет действовать плоская система сходящихся сил, которая состоит из внешних сил (активных и реакций связей) и внутренних усилий в стержнях. Поэтому система сил, приложенная к узлу, должна удовлетворять двум уравнениям равновесия  

Следовательно, при равновесии фермы, которая имеет n узлов, все действующие на ферму
внешние силы и усилия в стержнях должны удовлетворять 2n уравнением.

С равновесия отдельных узлов фермы следует равновесие фермы в целом, а потому три уравнения равновесия  записанные для всей фермы, будут линейными комбинациями первых уравнений, которые являются независимыми.

К 2n уравнениям будут входить три неизвестные реакции связей и внутренние усилия в стержнях. Из этих уравнений можно найти — неизвестных внутренних усилий в стержнях. Если число стержней фермы эти усилия могут быть определены из уравнений статики, и такая ферма называется статически определенной; если усилия в стержнях с помощью одних лишь уравнений статики абсолютно твердого тела определить невозможно и ферма будет статически неопределенной. Заметим, что условие жесткости фермы (8.1) действительно для плоской фермы и является условием статической определенности.

Методы нахождения усилий в стержнях статически неопределенных ферм рассматриваются в курсах сопротивления материалов и строительной механики. В курсе
теоретической механики рассматривают только статически определенные фермы.

Существует три основных метода нахождения усилий в стержнях статически определенных ферм: вырезания узлов Риттера и графический (построения
диаграммы Максвелла-Кремоны).
Остановимся только на двух аналитических методах.

Метод вырезания узлов

Суть метода вырезания узлов заключается в том, что рассматриваем равновесие каждого узла в отдельности. Для этого вырезаем узлы фермы, прикладываем к ним соответствующие внешние силы и реакции стержней и составляем уравнение
равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Поскольку в начале расчета фермы неизвестно, какие стержни фермы растянуты, а какие сжаты, условно допускаем, что все стержни растянуты. В этом случае реакции стержней направляем от узлов. Если в результате вычислений получим значение реакций некоторых стержней со знаком минус, то это будет означать, что эти стержни сжаты. Найденные реакции стержней по модулю равны внутренним усилием в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов определяется по условию: число неизвестных сил, приложенных к узлу, не должно превышать количества уравнений равновесия сил, то есть двух.

Проиллюстрируем этот метод на конкретном примере.

Задача 1. Найти усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. 8.4, методом вырезания узлов, если к узлу D фермы приложено вертикальную силу

Решение. В этой ферме число узлов n = 8, а число стержней N = 13. Итак, условие (8.1) выполняется и ферма является жесткой без лишних стержней, то есть статически определенной.

Составим уравнения равновесия для всей фермы и найдем реакции опор А и В:

Переходим к определению усилий в стержнях. Условно вырежем все узлы фермы, сохраняя последовательность, указанную выше. реакции стержней обозначим через (рис. 8.5). На основе закона равенства действия и противодействия

Для сил, которые совпадают в каждом узле, составим последовательно уравнения равновесия. Расчет начнем с узла А, в котором приложены только две неизвестные силы и 

Равновесие последнего узла В можно не рассматривать, поскольку все усилия  найдены. Если правильно найдены все усилия, то условия равновесия узла В будут выполняться тождественно.

Полученные усилия в стержнях 1, 4, 8 и 12 отрицательные, и это означает, что стержни сжаты.

Усилия в отдельных стержнях загруженной фермы, как видно из приведенного примера, могут равняться нулю. Такие стержни принято называть нулевыми.

Сформулируем леммы, которые позволяют найти нулевые стержни плоской фермы, не проводя ее расчета.

Лемма 1. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся два стержни, то усилия в этих стержнях равны нулю.
Лемма 2. Если в незагруженном узле плоской фермы сходятся три стержни, два из которых расположены на одной прямой, то усилия в третьем стержни равна нулю. Усилия в первых двух стержнях равны между собой.
Лемма 3. Если в узле плоской фермы сходятся два стержня и к узлу приложена внешняя сила, линия действия которой совпадает с осью одного из стержней, то усилия в этом стержни равна по модулю приложенной силе, а усилия во втором стержне равна нулю.

Довести эти леммы предлагается самостоятельно.

Методом вырезания узлов выгодно пользоваться тогда, когда нужно найти усилия во всех стержнях фермы. Этот метод хоть и простой, но громоздкий и нерациональный в тех случаях, когда нужно найти усилия не во всех стержнях фермы, а только в отдельных. Например, для нахождения усилий только в одном стержне приходится рассматривать
последовательно равновесие определенного количества узлов, пока не будет найдено усилия в нужном стержни. Этот недостаток отсутствует в методе Риттера.

Метод Риттера

Метод Риттера состоит в том, что после нахождения реакций опор ферму условно разрезают на две части так, чтобы в сечении было не более трех стержней с неизвестными усилиями, и рассматривают равновесие одной из частей фермы. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, направляя их вдоль разрезанных стержней от узлов, то есть считают, что стержни розтянути (как в методе вырезания узлов).

На часть фермы, которую рассматриваем в равновесии, будут действовать внешние силы и реакции разрезанных стержней. Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия.

Уравнение выгодно записывать в виде равенства нулю суммы моментов всех сил относительно трех разных центров,которые являются точками, в которых попарно пересекаются разрезанные стержни или их продолжение. Эти точки носят название точек Риттера. В каждое из уравнений моментов относительно трех точек Риттера будет входить лишь одно неизвестное, а именно усилия в том стержни, ось которого через эту точку не проходит. Покажем это на примере.

Задача 2. Методом Риттера найти усилия в стержнях 4, 5 и 6 фермы, изображенной на рис. 8.4.

Решение.Реакции опор фермы найдены в предыдущем примере Условным сечением разделим ферму на две части по стержнях 4, 5, 6 (рис. 8.4) и рассмотрим равновесие левой от сечения части фермы.

Действие правой части на левую заменяем реакциями и(Рис. 8.6).

Для плоской системы сил, которая действует на левую часть фермы, составляем три уравнения равновесия:

где и  — точки Риттера, которые показаны на рис. 8.6.

Индексация точек Риттера  выбрана так, что уравнение моментов, записанное относительно каждой точки , содержит только одно неизвестное усилиев стержне под номером

Решая эту систему уравнений, получим:

Величины найденных усилий совпадают с полученными ранее методом вырезания узлов.

Аналогично можно найти усилия и в других стержнях фермы. Из приведенного примера видно, что уравнение равновесия не связаны между собой, а потому для нахождения усилий в одном стержне достаточно составить лишь одно из этих уравнений.

Фермы. Способы определения усилий в стержнях ферм

Основными способами определения усилий в стержнях ферм являются: — способ вырезания узлов; — способ сечений Риттера; — графический способ определения усилий в стержнях фермы с помощью построения диаграммы Максвелла-Кремоны; — метод построения веревочного многоугольника.

Простейшие фермы

Фермами называются конструкции, которые состоят из прямолинейных стержней, которые соединены между собой шарнирами и образуют неизменную геометрическую фигуру (рис. 4.1). При расчете ферм весом стержней пренебрегают и считают, что шарниры размещены только на концах стержней; нагрузки, действующие на ферму, приложенные в шарнирах (т.е. в узлах фермы). В этом случае каждый стержень фермы испытывает усилия, действующие вдоль оси стержня, то есть будет растянут или сжат.

С всего класса геометрически неизменных ферм без лишних стержней выделим простые фермы. Их построение происходит так: рассматривается основной треугольник, к нему двумя стержнями присоединяется новый шарнир (узел) и и. д. В дальнейшем будем изучать простые, плоские фермы, где их стержни расположены в одной плоскости.
 По своему назначению зачастую фермы делятся на мостовые, стропильные и крановые (рис. 4.1). Установим зависимость между количеством стержней и количеством шарниров (узлов) в простых фермах.
 Рассуждаем так: для образования основного треугольника нужно три стержня и три шарнира. Для образования каждого из остальных шарниров (узлов) необходимо два стержня для постоянного соединения с основой фермы. Итак, общее количество стержней в простой ферме с учетом трех стержней основного треугольника определяется так:

                                                                                                             (4.1)

Основной задачей расчета простых ферм является определение усилий в стержнях фермы, которые являются внутренними силами, возникающими в стержнях под действием внешних сил. Эту задачу можно решить методами теоретической механики.

Определение усилий в стержнях фермы

Ограничимся двумя способами определения усилий в стержнях простой фермы: способом
вырезания узлов (графически-аналитический метод) и способом Риттера (аналитический метод).

Способ вырезания узлов

Этот способ заключается в том, что каждый узел вырезается из
фермы и рассматривается отдельно как таковой, что находится в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил и усилий разрезанных стержней. Система сил, действующей на узел, является плоской системой сходящихся сил, которая находится в равновесии; следовательно, силовой многоугольник, построенный из этих сил, должен быть замкнутым. Построение силовых многоугольников (треугольников) следует начинать с узла, в которых сходятся два стержня, тогда построением замкнутого треугольника (третья сторона отвечает известной заданной силе, прилагаемой в узле) найдутся усилия в этих двух стержнях. После этого можно переходить к следующему узлу и т. Д. Каждый следующий узел выбирается так, чтобы в нем сходилось не более двух стержней с неизвестными усилиями. Так графически будут определены усилия во всех стержнях. Если усилия разрезанных стержней направлены по стержнях в сторону узла, то они сжимающие, в противном случае — растяжимые.
 Формально условия равновесия узлов фермы включают в себя условия равновесия фермы в целом, то есть позволяют найти и внешние реакции. Более того, предварительное определение внешних реакций фермы существенно упрощает решения задачи. Рассмотрим способ вырезания узлов на примере расчета усилий в стержнях фермы, показанной на рис. 4.2.

Пример 1. В узле В фермы приложена сила  Опорами фермы будут шарнир А и каток С. Определить: реакции опор , усилия стержней в узлах А и D.
 Решение. Рассмотрим ферму как твердое тело, которое находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил  (в этом случае реакция шарнира  будет параллельная силам  и , иначе система сил , а следовательно, сама ферма не была бы в равновесии). Проведем ось параллельно силам системы и составим условия равновесия в виде (3.21)

откуда найдем 

Определение усилий в стержнях начнем с рассмотрения узла А, в котором сходятся два стержня: 1 и 7. Строим замкнутый треугольник из сил ,  (рис. 4.2). Для этого в соответствующем масштабе строим вектор, равный вектору реакции , с конца которого проводим прямую, параллельную стержню АВ, а с начала — прямую, параллельную стержню AD. С построенного треугольника находим усилия  и . Изображая эти усилия в узле А,  видим, что направлено к узлу А по стержню АВ, следовательно, оно — тяговое, а усилия S7 направлено от узла А по стержню AВ, то есть оно — растяжимое. Растяжимое усилия обозначается знаком плюс, а сжимающее — знаком минус. Теперь рассмотрим равновесие сил в узле , в котором остаются только две неизвестные силы:   и . Реакция стержня 7, который выходящий из узла равна и противоположная по направлению его же реакции, но приложена в узле А. Опять строим замкнутый треугольник сил: откладываем силу  , с ее конца проводим прямую, параллельную стержню 2, сначала — прямую, параллельную стержню 6, и определяем величины и направления усилий и . Аналогично можно определить другие усилия:

Неудобство этого способа заключается в его громоздкости, поскольку приходится строить  столько многоугольников, сколько узлов в ферме. Объединение разных многоугольников сил в одну диаграмму осуществили независимо друг от друга английский физик Максвелл и итальянский геометр Кремона, в честь которых эту диаграмму назван диаграммой Максвелла — Кремоны.

Способ Риттера

Этот способ позволяет найти усилия в любом стержни фермы независимо от усилий в других стержнях. Однако предварительно необходимо определить реакции опор фермы.
Способ Риттера состоит в том, что ферма рассекается на две части так, чтобы в сечении было не более трех стержней с неизвестными усилиями,  которые не сходятся в одном узле. Отвергая отсеченную часть фермы и рассматривая равновесие той части, оставшейся под действием приложенных внешних сил и усилий, которые заменяют действие рассеченных стержней, получим для этой части фермы три уравнения равновесия с тремя неизвестными усилиями. Чаще всего эти уравнения являются условиями равенства нулю алгебраических сумм моментов  сил относительно  трех разных центров моментов, за которые выбирают точки парного пересечения рассеченных стержней с числа перерезанных. Эти точки называются точками Риттера.
Если два стержня из трех рассеченных параллельны, то одна точка Риттера удаляется в бесконечность. Тогда  составляют два уравнение моментов сил и одно уравнение проекций сил на ось,  перпендикулярную к параллельным стержням.

Пример 2. Определить усилия в стержнях 1, 2, 3 фермы, если  а другие размеры показано на рис. 4.3.
 Решение. Найдем реакции в опорах фермы и . Реакция катка В направлена ​​по нормали к опорной плоскости, а поскольку на ферму действует система параллельных сил то и реакция шарнира А будет параллельной этим:

Отсюда находим  Проведем сечение через стержни 1,2,3 и рассмотрим равновесие той части рассеченной фермы, в которой приложено меньшее количество сил. В рассматриваемом случае — это правая часть фермы. Усилия в рассеченных стержнях условно считаем растяжимыми и направлением в сторону части, отбрасываются. Итак, в отсеченной части фермы уравновешивается плоская система сил 

Для определения усилия соответствующей точкой Риттера будет точка К, а уравнение равновесия примет вид:

Для определения усилия точкой Риттера является точка В, для определения усилия — точка D, а соответствующие уравнения равновесия имеют вид:

Подставляя необходимые данные, находим 
Итак, усилия — растяжимое, — сжимающее (тяговое) , — нулевое (при заданной нагрузке стержень 2 не работает, но с конструкции его изъять нельзя, поскольку нарушится жесткость конструкции и не выполнится условие (4.1)). В завершение сравним методы Максвелла — Кремоны и Риттера, несмотря на их различие, которое заключается в том, что первый метод относится к графическим, а второй — к аналитическим. Как видно из предыдущего изложения, усилия методом вырезания узлов определяются последовательно, переходя от одного узла к соседнему. Поэтому неизбежно накопление ошибок, связанных с неточностью проведение параллельных прямых. Следует отметить, что накопление этих ошибок можно избежать при решении задачи чисто аналитическим способом, составляя уравнения равновесия для системы сходящихся сил, приложенных в узлах фермы.

Но, с другой стороны, взаимосвязь между построением новых вершин диаграммы Максвелла — Кремоны и положением предыдущих, следует рассматривать как определенное ограничение погрешностей, позволяет избежать грубых
ошибок.
 Метод Риттера в отличие от предыдущего не приводит к накоплению ошибок, так как все усилия определяются независимо друг от друга, но одновременно не дает возможности заметить грубые ошибки, которые могут случиться при исчислении.

Очевидно, лучшая методика определения усилий в стержнях фермы заключаться в сочетании методов Максвелла — Кремоны и Риттера. Например, все усилия определяются по методу Максвелла — Кремоны и некоторые из них проверяются методом Риттера.

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет усилий в стержнях фермы
9. Пространственная система сил
10. Произвольная пространственная система сил
11. Плоская система сходящихся сил
12. Пространственная система сходящихся сил
13. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
14. Естественный способ задания движения точки
15. Центр параллельных сил
16. Параллельные силы
17. Система произвольно расположенных сил
18. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
19. Кинематика
20. Кинематика твердого тела
21. Движения твердого тела
22. Динамика материальной точки
23. Динамика механической системы
24. Динамика плоского движения твердого тела
25. Динамика относительного движения материальной точки
26. Динамика твердого тела
27. Кинематика простейших движений твердого тела
28. Общее уравнение динамики
29. Работа и мощность силы
30. Обратная задача динамики
31. Поступательное и вращательное движение твердого тела
32. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
33. Сферическое движение твёрдого тела
34. Движение свободного твердого тела
35. Сложное движение твердого тела
36. Сложное движение точки
37. Плоское движение тела
38. Статика твердого тела
39. Равновесие составной конструкции
40. Равновесие с учетом сил трения
41. Центр масс
42. Колебания материальной точки
43. Относительное движение материальной точки
44. Статические инварианты
45. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
46. Динамика системы материальных точек
47. Общие теоремы динамики
48. Теорема об изменении кинетической энергии
49. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
50. Потенциальное силовое поле
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Определение усилий в стержнях ферм

При расчете ферм со стержнями из уголков или тавров предполагается, что в узлах системы — идеальные шарниры, оси всех стержней прямолинейны, расположены в одной плоскости и пересекаются в узле в одной точке (в центре узла). Стержни такой идеальной системы работают только на осевые усилия. Напряжения, найденные по этим усилиям, являютсяосновными. В связи с фактической жесткостью узловых соединений в стержнях фермы возникают дополнительные напряжения, которые при отношении высоты сечения стержня к его длине, равном 1/10, расчетом не учитываются, так как они не влияют на несущую способность конструкции. В фермах со стержнями, имеющими повышенную жесткость и эксплуатирующимися при низкой температуре, влияние жесткости соединений в узлах более значительно. Поэтому для двутавровых, трубчатых и Н-образных сечений стержней расчет ферм по шарнирной схеме допускается при отношении высоты сечения к длине не более 1/10 для конструкций, эксплуатируемых при расчетной температуре -40 °С и выше, и не более 1/15 при расчетной температуре ниже -40 °С. При превышении этих отношений надлежит учитывать дополнительные изгибающие моменты в стержнях от жесткости узлов. При этом осевые усилия можно определять по шарнирной схеме, а дополнительные моменты определять приближенно. В верхних поясах стропильных ферм при беспрогонной кровле (равномерное распределение нагрузки на поясе фермы) моменты допускается определять по формулам:

• 
  пролетный момент в крайней панели

М1=qd21 / 10

• 
  пролетный момент промежуточных панелей

М1=qd21 / 12

• 
  момент в узле (опорный)

Мon=qd2 1 / 18, где q – величина распределенной нагрузки ; d – длина панели.

Кроме того, в стержнях фермы возникают напряжения от моментов в результате неполного центрирования стержней в узлах. Эти напряжения, не являющиеся основными, как правило, расчетом не учитываются, так как по малости допускаемых в фермах эксцентриситетов они лишь незначительно влияют на несущую способность ферм.

Смещение оси поясов ферм при изменении сечений не учитывается, если оно не превышает 1,5 % высоты пояса.

Расчет ферм следует выполнять на ЭВМ, что позволяет рассчитать любую схему фермы на статические и динамические нагрузки с учетом моментов жесткости узлов и смещения осей стержней.

ЭВМ автоматически выдает расчетные усилия в стержнях с учетом требуемых сочетаний нагрузок и может выполнить подбор сечений стержней из наиболее распространенных сварных и прокатных профилей.

При отсутствии ЭВМ усилия в стержнях ферм удобнее всего определять графическим методом, т. е. построением диаграмм Максвелла — Кремоны.

Если ферма работает на подвижную нагрузку, то максимальное усилие в стержнях фермы определяют по линии влияния.

В соответствии с классификацией сочетаний нагрузок (основные и особые) усилия определяют отдельно для каждого вида сочетаний и несущую способность стержней определяют по окончательному расчетному наибольшему усилию.

Рекомендуется результаты статического расчета записывать в таблицу, в которой должны быть приведены значения усилий от постоянной нагрузки, от возможных комбинаций временных нагрузок (например, от одностороннего нагружения снегом), а также расчетные усилия как результат суммирования усилий при не выгоднейшем нагружении для всех возможных сочетаний нагрузок.

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Узнать стоимость

Определение усилий в стержнях плоской фермы. Метод Риттера — Мегаобучалка

Фермой называется геометрически неизменная шарнирно-стержневая конструкция.
Ферма называется плоской, если все стержни фермы лежат в одной плоскости.
Определенность или устойчивость фермы отображает зависимость количества узлов и стержней фермы:
Ферма определена, устойчивая

K = 2N — 3 ;

Ферма является неопределенной, имеет лишние стержни

K > 2N — 3 ;

Ферма неустойчивая и является механизмом

K< 2N — 3 .

При расчете фермы трением в узлах и весом стрежней пренебрегают, или распределяют вес стержней по узлам.
Все внешние нагрузки (силы) к ферме прикладывают только в узлах, поэтому все стержни фермы испытывают или сжатие, или растяжение.
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.
Для определения реакций опор составляют и решают три уравнение равновесия, считая ферму абсолютно твердым телом под действием известных внешних нагрузок (активных сил) и неизвестных реакций опор (реактивных сил).
Для определения усилий в стержнях ферм существует 2 метода.

Метод Риттера

Метод Риттера заключается в том, что ферму разделяют на две части сечением, проходящим через три стрежня, в которых нужно определить усилия, и рассматривают равновесие одной из частей. Действие отброшенной части заменяют соответствующими силами, которые направляют вдоль разрезанных стержней от узлов.
Потом составляют уравнение равновесия для плоской произвольной системы сил
Точка Риттера(центр моментов) – это такая точка для каждого с трех рассеченных стрежней, в которой пересекаются два других стержня данного сечения, например точка К – точка Риттера для определения усилия в стержне 6.
Относительно точки Риттера составляют уравнение суммы моментов выбранной части фермы.
В случае, если стержни не имеют точки пересечения, т.е. являются параллельными, составляется уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил выбранной части фермы на ось, перпендикулярную этим стержням.

Определение усилий в стержнях плоской фермы.Метод вырезания узлов

Фермой называется геометрически неизменная шарнирно-стержневая конструкция.
Ферма называется плоской, если все стержни фермы лежат в одной плоскости.
Определенность или устойчивость фермы отображает зависимость количества узлов и стержней фермы:
Ферма определена, устойчивая

K = 2N — 3 ;

Ферма является неопределенной, имеет лишние стержни

K > 2N — 3 ;

Ферма неустойчивая и является механизмом

K< 2N — 3 .

При расчете фермы трением в узлах и весом стрежней пренебрегают, или распределяют вес стержней по узлам.
Все внешние нагрузки (силы) к ферме прикладывают только в узлах, поэтому все стержни фермы испытывают или сжатие, или растяжение.
Расчет фермы сводится к определению опорных реакций и усилий в ее стержнях.
Для определения реакций опор составляют и решают три уравнение равновесия, считая ферму абсолютно твердым телом под действием известных внешних нагрузок (активных сил) и неизвестных реакций опор (реактивных сил).
Для определения усилий в стержнях ферм существует 2 метода.

Метод вырезания узлов

Метод вырезывания узлов заключается в том, что мысленно вырезают узлы фермы, прикладывая к ним соответствующие внешние силы, реакций опор и реакции стрежней, и составляют уравнение равновесия сил, приложенных к каждому узлу.
Вырезается узел с 2-мя неизвестными усилиями, так как в каждом узле составляется сходящаяся система сил, соответственно, составляют два уравнение равновесия
Условно допускают, что все стержни растянуты, т.е. реакции стержней направлены от узлов.

Система сходящихся сил − это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
Система сходящихся сил эквивалентная одной силе – равнодействующей, которая равняется векторной сумме сил и приложенная в точке сечения линий их действия.

Центр тяжести тела

Пределение усилий в стержнях фермы

Из довольно большого числа способов определения уси­лий в стержнях ферм чаще всего применяются на практике три способа:

1. Способ вырезания узлов;

2. Метод Риттера – метод сечений;

3. Графический метод — построение диаграммы Максвелла-Кремоны.

Способ вырезания узлов заключается в том, что для опре­деления усилий во всех стержнях фермы необходимо вырезать последовательно узлы фермы и, рассматривая равновесие уз­лов, определить усилия в стержнях, сходящихся в рассматри­ваемом узле. При этом нужно начинать вырезать узел, в кото­ром сходятся только два стержня, а далее последовательно вырезаются узлы, в которых сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями.

Метод Риттера заключается в том, что ферма мысленно рассекается на две части. Рассматривая условия равновесия какой-либо отсеченной части и составляя соответствующие уравнения, мы можем оп­ределить неизвестные усилия во всех перерезанных стержнях, если их число равно трем (по числу уравнений равновесия, ко­торые можно составить для плоской системы сил). Эти урав­нения желательно составить таким образом, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное усилие в стержне. Та­ким уравнением оказывается в различных случаях либо урав­нение моментов относительно определенной точки (способ «моментной точки»), либо уравнение проекции на какую-либо ось («способ проекций»).

Способ проекций, как правило, применяется при расчете ферм с параллельными поясами.

Способ моментной точки применяется главным образом в тех случаях, когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом перерезанными оказались три ее стержня, на­правления осей которых не пересекаются в одной точке.

Для определения усилия в каком-либо стержне необходи­мо разрезать ферму так, чтобы в разрез, кроме данного стер­жня, попали еще два других (оси которых не сходятся с ним в общей точке), после чего из уравнения моментов относитель­но точки пересечения осей этих двух стержней можно легко определить усилия в данном стержне.

Точка пересечения осей двух стержней, относительно которой составляется уравнений моментов, называется момент­ной..

В начале расчета фермы иногда удается сразу отметить стержни, усилия в которых при данной нагрузке равны нулю. Такие стержни называются нулевыми.

Признаков нулевых стержней два:

1). Если в узле сходятся два стержня, не лежащих на одной прямой (рис. 5.6.), и внешних сил к узлу не приложено, то усилия в обоих стержнях будут равны нулю.

Рис. 5.6. Первый признак нулевого стержня

 

2). Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, а третий примыкает к ним под некоторым углом (рис. 5.7.), а внешних сил к узлу не приложено, то усилие в примы­кающем третьем стержне равно нулю.

Рис. 5.7. Второй признак нулевого стержня

Частный случай второго признака:

Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, а третий примыкает к ним под некоторым углом, и по направлению третьего стержня к узлу приложена сила (рис. 5.8.), то усилие в примыкающем третьем стержне равно при­ложенной к узлу силе.

Рис. 5.8. Частный случай второго признака

Графический метод определения усилий в стержнях фермы – построение диаграммы Максвелла-Кремоны.

Сущность графического метода определения усилий в стер­жнях фермы состоит в построении силового многоугольника для каждого из узлов ферм.

При этом силовых многоугольников будет столько, сколько узлов в ферме. Этот метод довольно трудоемок, т.к. требует большое количество графических построений. Целесообразно строить все многоугольники сил не отдельно для каждого узла, а вместе, что позволяет диаграмма Максвелла-Кремоны.

Порядок определения усилий в ферме графическим способом с помощью построения диаграммы Максвелла-Кремоны:

1. Вычерчиваем ферму в строгом соответствии с масштабом длин.

2. Определяем величину и направление опорных реакций ана­литическим или графическим способом.

3. Нумеруем поля расчетной схемы: — внешние поля — заглав­ными буквами латинского алфавита; внутренние поля — араб­скими цифрами.

4. Строим в масштабе сил многоугольник внешних сил, дей­ствующих на ферму, обходя ферму по часовой стрелке. Сипы обозначаем соответствующими полями, примыкающими к данной силе.

5. Строим диаграмму усилий для стержней фермы, для чего:

а) обходим по часовой стрелке узел, в котором сходится два стержня и строим силовой многоугольник для этого узла. Усилия в стержнях нумеруем соответствующими полями. Построение следует начинать с известных сил и наносить все силы в том порядке, в каком они встречаются при обхо­де данного узла по ходу части стрелки.

б) переходим к следующему узлу, в котором сходится не более 2-х стержней с неизвестными усилиями и повторяем предыдущее построение, и т.д.

6. Контролем правильности построения является параллельность последнего стержня на ферме последнему соответ­ствующему отрезку на диаграмме.

7. Определяем усилие в стержнях фермы. Для этого измеря­ем отрезки, соответствующие стержням фермы на диаграм­ме и в соответствии с масштабом сил вычисляем величину усилия.

8. Определяем знаки усилий в стержнях фермы. При опреде­лении знака усилия читаем наименование стержня, обходя узел по часовой стрелке (1-2).

В такой же последовательности (допустим 1-2) читаем наи­менование усилия на диаграмме усилий. Направление чтения определит направление действующего

усилия: к узлу (–), от узла (+).

9. Все полученные данные о величине и знаке усилия в стерж­нях сводятся в таблицу.

10. Производим сравнение результатов аналитического и гра­фического расчетов и вычисляем погрешность производи­мых расчетов.

Пример расчета 5.1.

Определить усилия в отмеченных стержнях фермы аналитическим и

графическим способом.

Для определения усилий необходимо вычертить схему фермы с указанием конкретных геометричес­ких размеров и нагрузок.

l=24 м b=4 м F=10 кН d=4 м

Рис. 5.9.Расчетная схема фермы

 

Аналитический расчет фермы

1. Определение опорных реакций

На рис. 5.9. представлена ферма, условия опирания которой такие же, как у простой балки. Такая ферма называется ба­лочной. Как и у простых балок, в балочных фермах при дей­ствии вертикальных нагрузок возникают только вертикальные опорные реакции. Их определение производится так же, как и в простых балках.

Вертикальные опорные реакции можно определить, пользу­ясь только 2-мяуравнениями статики:

1) Σ М_А = 0; 2) Σ М_В= 0,

где Σ М_А — сумма моментов всех сил относительно точки А;

Σ М_В — сумма моментов всех сил относительно точки В.

Раскрыв значение Σ М_А и Σ М_В, получим:

Vв·l — F· 5d — F· 4d — F· 3d — F· 2d — F· d = 0

V_A·l — F· 5d — F· 4d — F· 3d — F· 2d — F· d = 0

Из первого уравнения определим величину опорной реакции V_В:

Vв = 25 кН

Из второго уравнения определим величину вертикальной реакции V_A:

V_A = 25 кН.

После вычисления опорных реакций следует убедиться в правильности их определений, т.к. ошибка в определении их приведет к ошибкам и в определении внутренних усилий в стер­жнях фермы.

Для проверки правильности полученных результатов реко­мендуется составить третье уравнение равновесия, которое не использовалось при определении опорных реакций.

Если вертикальные опорные реакции определены верно, то сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна быть тождественно равна нулю, т.е.

ΣFу = 0;

V_A + V_B-5F =25 +25 -5·10 = 0.

Результаты проверки свидетельствуют о том, что верти­кальные опорные реакции определены верно.

2. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов.

В рассматриваемом примере (рис. 5.9.) нулевыми стержня­ми фермы являются стержни 2-3 (из рассмотрения узла 2) и 8-7 (из рассмотрения узла 8) по первому признаку нулевых стержней.

Стержень 3-14 также нулевой по второму признаку нуле­вых стержней (из рассмотрения узла 14 рис. 5.10.).

 

Рис. 5.10. Равновесие узла 14

Пользуясь частным случаем второго признака нулевых стержней, можно определить без вычисления усилия в стер­жнях 4—13, 5—12. Усилия в стержне 4-13 равно— F, т.е. N_4-13= —F; знак (—) указывает на то, что стержень сжат. И действи­тельно, рассматривая узел 4, мы можем убедиться в том (рис. 5.11.).

Рис. 5.11. Равновесие узла 4

Вырезав узел, показываем направление усилий от узла, т.е. предполагаем, что все стержни растянуты.

Выбираем оси ко­ординат таким образом, чтобы одна из осей (ось х)совпала с направлением усилий N_4-13 и N_4-13

Составляем уравнение равновесия всех сил, сходящихся в одной точке.

Это уравнение должно включить в себя только одно неизвестное усилие N_4-13. Для этого спроектируем все силы на вертикальную ось у:

-F- N_4-13 =0; N_4-13 = — F = -10 кН.

Рассуждая таким же образом, определяем усилие в стер­жне 5—12.

N_5-12 = F .

Усилие в стержне 1-14 определяем способом вырезания узла. Вырезаем узел 1 и рассматриваем его равновесие. В данном узле сходятся 3 стержня, но неизвестных усилий только два (N_1-3 и N_1-14). Усилие N_1-2 = 0 (по первому признаку нуле­вых стержней, рассматривая узел 2).

Выбираем оси координат так, чтобы одна из осей (ось х) совпала с направлением «ненужного» нам усилия (N_1-3).

Проектируем все силы на ось У и составляем уравнение:

Рис. 5.12. Равновесие узла 1

ΣFу = 0;

V_A·cosα — N_1-14·sinα = 0 N_1-14 = V_A·cosα / sinα = V_A ·ctgα

сtgα = 4 / 4 = 1 из геометрических размеров фермы.

N_1-14 = 25 кН.

3. Метод сечений.

Усилия в стержнях 5-6,5-11,7-11,10-11 определяем спосо­бом рассечения (метод Риттера). Для определения усилий в стержнях 5-6 и 5-11 рассекаем ферму сечением n- n (рис. 5.13.).

Рассматриваем равновесие одной отсеченной части фермы. Лучше рассматривать правую от сечения часть, так как на нее действует меньше сил.

Действие левой отброшенной части фермы на правую за­меним усилиями в рассеченных стержнях. Усилия направляем от узлов, предполагая стержни растянутыми. Усилие в стерж­не 5-6 определяем способом моментной точки. Этой точкой является узел 11.

Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на данную часть фермы относительно точки 11.

Рис. 5.13. Равновесие правой части фермы (сечение n- n)

∑M₁₁=0

N_5-6·h — F·d + V_B ·2d = 0

N_5-6 = (F·d — V_B ·2d) / h = (10·4 – 25· 2 ·4) = — 40 кН.

Знак минус указывает на то, что стержень 5-6 — сжат.

Усилие в стержне 5-11 способом моментной точки опреде­лить нельзя, т.к. положение ее неизвестно (точка пересечения стержней 5-6 и 11-12 находится в бесконечности). Поэтому для определения усилия N_5-11 используем способ проекций.

Спроектируем все силы, действующие на правую часть фермы, на вертикальную ось. Составим уравнение равнове­сия:

ΣFу = 0;

N_5-11·sinα — F- F + V_B = 0

N_5-11 = (2 F — V_B) / sinα₁

sin α₁ = tg α₁ / (√ 1 + tg² α₁) = 1 / 1,41

N_5-11 = — 7,05 кН (стержень 5-11 сжат).

 

Для определения усилий в стержнях 7-11 и 10-11 рассечем ферму сечением m-m и рассмотрим равновесие правой отсе­ченной части (рис.5.14.).

Рис. 5.14. Равновесие правой части фермы (сечение m- m).

Для определения усилия в стержне 10-11 используем спо­соб моментной точки. Такой точкой является узел 7. Со­ставляем уравнение моментов относительно точки 7.

∑M₇ = 0

N_10-11 ·h — V_B ·d = 0

N_10-11 = V_B ·d / h = 25· 4 / 4 = 25 кН (растянут)

Для определения усилий в стержне 7-11 используем способ проекций. Спроектируем все силы на вертикальную ось и со­ставим уравнение:

ΣFу=0;

Проектируя на вертикальную ось все силы, тем самым ис­ключаем из уравнения проекций два усилия N_6-7 и N_10-11, и в уравнение входит только одно неизвестное усилие:

N_7-11 ·cosβ – F + V_B = 0

N_7-11 = (F — V_B) / cosβ

cosβ = 0,707

N_7-11 = (25 – 10) / 0,707 = 21,15 кН (стержень 7-11 растянут).

---

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

1.5: Внутренние силы в плоских фермах

Глава 5

Внутренние силы в плоских фермах

5.1 Введение

Ферма — это конструкция, состоящая из прямых тонких элементов, соединенных на своих концах с помощью пальцев или шарниров без трения. Ферму можно разделить на простую, составную или сложную. Простая ферма — это ферма, построенная из трех тонких элементов, образующих базовую треугольную ячейку. Дополнительные соединения могут быть сформированы в ферме путем последующего добавления двух элементов за раз к базовой ячейке, как показано на рисунке 5.1а. Составная ферма состоит из двух или более простых ферм, соединенных вместе, как показано на рисунке 5.1b. Сложная ферма не является ни простой, ни сложной, как показано на рис. 5.1c; его анализ более тщательный, чем у ранее заявленных ферм.

Рис. 5.1. Классификация ферм.

5.2 Типы ферм

Ниже приведены примеры различных типов ферм для мостов и крыш.

Рис. 5.2. Часто используемые мостовые фермы.

Рис. 5.3. Обычно используемые стропильные фермы.

5.3 Детерминированность и устойчивость ферм

Условия определенности, неопределенности и неустойчивости ферм можно сформулировать следующим образом:

где

м = количество стержней.

r = количество опорных реакций.

j = количество стыков.

5.4 Допущения при анализе ферм

1. Стержни на концах соединены бесфрикционными штифтами.

2. Стержни прямые, поэтому на них действуют только осевые силы.

3. Деформации стержней под нагрузками незначительны и незначительны, чтобы вызвать заметные изменения в геометрии конструкции.

4. Нагрузки прикладываются только к соединениям из-за расположения элементов.

5.5 Совместная идентификация и обозначение силы элементов

Соединения фермы можно обозначить с помощью букв или цифр, в зависимости от предпочтений аналитика.Тем не менее, необходимо поддерживать последовательность в выбранном способе идентификации, чтобы избежать путаницы во время анализа. Сила стержня может быть представлена ​​любой буквой ( F или N или S ) с двумя нижними индексами, обозначающими элемент. Например, сила стержня F, _AB в ферме, показанной на рисунке 5.4, является силой в соединительных соединениях элемента A, и B .

Рис. 5.4. Идентификация соединения ( a ) и сила стержня ( b ).

Пример 5.1

Классифицируйте фермы, показанные на рисунках 5.5–5.9, как стабильные, определенные или неопределенные, и укажите степень неопределенности, когда это необходимо.

Рис. 5.5. Ферма.

r = 3, м = 9, j = 6. Из уравнения 3.5, 9 + 3 = 2 (6). Статически определен.

Рис. 5.6. Ферма.

r = 3, м = 10, j = 6.Из уравнения 3.5: 10 + 3> 2 (6). Статическая неопределенность до 1 °.

Рис. 5.7. Ферма.

r = 3, м = 9, j = 6. Из уравнения 3.5, 9 + 3 = 2 (6). Статически определен.

Рис. 5.8. Ферма.

r = 3, м = 24, j = 14. Из уравнения 3.5, 24 + 3 <2 (14). Статически нестабилен.

Рис. 5.9. Ферма.

r = 5, м = 11, j = 7.Из уравнения 3.5: 11 + 5> 2 (7).

Сатически неопределенный до 2 °.

5.6 Методы анализа ферм

Существует несколько методов расчета фермы, но два наиболее распространенных — это метод соединения и метод сечения (или момента).

5.6.1 Соглашение о знаках

При расчете фермы отрицательная осевая сила элемента означает, что элемент или соединения на обоих концах элемента находятся в состоянии сжатия, в то время как положительная осевая сила элемента указывает, что элемент или соединения на обоих концах элемента находятся в состоянии растяжения.

5.6.2 Анализ ферм методом стыков

Этот метод основан на том принципе, что если структурная система представляет собой тело в равновесии, то любое соединение в этой системе также находится в равновесии и, таким образом, может быть изолировано от всей системы и проанализировано с использованием условий равновесия. Метод соединения включает последовательную изоляцию каждого соединения в системе фермы и определение осевых сил в элементах, встречающихся в соединении, с применением уравнений равновесия.Подробная процедура анализа этим методом изложена ниже.

Процедура анализа

• Проверьте стабильность и определенность конструкции. Если ферма устойчивая и детерминированная, то переходите к следующему шагу.

• Определите реакции опоры в ферме.

• Определите элементы нулевой силы в системе. Это неизмеримо уменьшит вычислительные затраты, связанные с анализом.

• Выберите соединение для анализа. Ни в коем случае не должно быть более двух неизвестных сил стержня в анализируемом соединении.

• Нарисуйте диаграмму изолированного свободного тела выбранного соединения и обозначьте осевые силы во всех элементах, встречающихся в соединении, как растягивающие (т. Е. Как отталкивающие от соединения). Если это первоначальное предположение неверно, определенная осевая сила элемента будет отрицательной в анализе, что означает, что элемент находится в состоянии сжатия, а не растяжения.

• Примените два уравнения Σ F _x = 0 и Σ F _y = 0, чтобы определить осевые силы стержня.

• Продолжите анализ, переходя к следующему стыку с двумя или меньшим количеством неизвестных сил стержня.

Пример 5.2

Используя метод соединения, определите осевую силу в каждом элементе фермы, показанном на рисунке 5.10a.

Рис. 5.10. Ферма.

Решение

Поддерживающие реакции. Применяя уравнения статического равновесия к диаграмме свободного тела, показанной на рисунке 5.10b, опорные реакции можно определить следующим образом:

Анализ суставов.Анализ начинается с выбора соединения с двумя или меньшим количеством неизвестных сил стержня. Схема свободного тела фермы показывает, что соединения A, и B удовлетворяют этому требованию. Чтобы определить осевые силы в элементах, встречающихся в соединении A , сначала изолируйте соединение от фермы и укажите осевые силы элементов как F _AB и F _AD, , как показано на рисунке 5.10c. Первоначально предполагается, что две неизвестные силы являются растягивающими (т.е. отрываясь от сустава). Если это первоначальное предположение неверно, вычисленные значения осевых сил будут отрицательными, что означает сжатие.

Анализ стыка A .

После завершения анализа соединения A, соединение B или D можно проанализировать, так как есть только две неизвестные силы.

Анализ стыка D .

Анализ стыка B .

5.6.3 Члены нулевой силы

Сложный анализ фермы можно значительно упростить, если сначала определить «элементы с нулевым усилием». Элемент с нулевым усилием — это элемент, который не подвергается какой-либо осевой нагрузке. Иногда такие элементы вводятся в стропильную систему, чтобы предотвратить коробление и вибрацию других элементов. Расстановки ферменных элементов, которые приводят к элементам с нулевым усилием, перечислены ниже:

1.Если существует неколлинеарность между двумя элементами, встречающимися в соединении, которое не подвергается никакому внешнему воздействию, тогда эти два элемента являются элементами с нулевым усилием (см. Рисунок 5.11а).

2. Если три стержня встречаются в стыке без внешней силы, а два стержня лежат на одной прямой, третий элемент является стержнем с нулевым усилием (см. Рисунок 5.11b).

3. Если два элемента встречаются в соединении, и приложенная сила в соединении параллельна одному элементу и перпендикулярна другому, то элемент, перпендикулярный приложенной силе, является элементом с нулевой силой (см. Рисунок 5.11c).

Рис. 5.11. Члены с нулевой силой.

5.6.4 Анализ ферм по методике раздела

Иногда определение осевой силы в определенных элементах ферменной системы методом соединения может быть очень сложным и трудоемким, особенно когда система состоит из нескольких элементов.В таких случаях использование метода секционирования может сэкономить время и, следовательно, предпочтительнее. Этот метод заключается в пропускании воображаемого участка через ферму так, чтобы он делил систему на две части и прорезал элементы, осевые силы которых требуются. Затем определяются осевые силы стержня с использованием условий равновесия. Подробная процедура анализа этим методом представлена ​​ниже.

Порядок анализа ферм по методике раздела

• Проверьте стабильность и определенность конструкции.Если ферма устойчивая и детерминированная, то переходите к следующему шагу.

• Определите реакции опоры в ферме.

• Сделайте воображаемый разрез в конструкции, чтобы он включал элементы, осевые силы которых требуются. Воображаемый разрез делит ферму на две части.

• Приложите силы к каждой части фермы, чтобы удерживать ее в равновесии.

• Выберите любую часть фермы для определения сил стержня.

• Примените условия равновесия для определения осевых сил стержня.

Пример 5.3

Используя метод сечения, определите осевые силы в элементах CD , CG и HG фермы, показанной на рисунке 5.12a.

Рис. 5.12. Ферма.

Решение

Поддерживающие реакции. Применяя уравнения статического равновесия к диаграмме свободного тела на рис. 5.12b, опорные реакции можно определить следующим образом:

Анализ методом сечения.Сначала воображаемый участок проходит через ферму так, что он прорезает элементы CD , CG и HG и разделяет ферму на две части, как показано на рисунках 5.12c и 5.12d. Силы стержня обозначаются как силы растяжения (т. Е. Отрывающие от соединения). Если это первоначальное предположение неверно, расчетные силы стержня будут отрицательными, показывая, что они находятся в состоянии сжатия. Для анализа можно использовать любую из двух частей. Левая часть будет использоваться для определения сил стержня в этом примере.Применяя уравнение равновесия к левому сегменту фермы, осевые силы в элементах можно определить следующим образом:

Осевая сила в элементе CD . Чтобы определить осевую силу в элементе CD, найдите момент относительно соединения в ферме, где только CD будет иметь момент относительно этого соединения, а все остальные отрезанные элементы не будут иметь момента. При внимательном рассмотрении будет установлено, что соединение, соответствующее этому требованию, — это соединение G . Таким образом, если взять момент около G , можно предположить следующее:

Осевая сила в стержне HG .

Осевая сила в стержне CG . Осевое усилие в элементе CG определяется с учетом вертикального равновесия левой части. Таким образом,

Краткое содержание главы

Внутренние силы в плоских фермах: Фермы — это структурные системы, состоящие из прямых и тонких элементов, соединенных на концах. Допущения при расчете плоских ферм включают следующее:

1. Элементы ферм соединены на концах бесфрикционными штифтами.

2. Элементы прямые и подвергаются действию осевых сил.

3. Деформации элементов небольшие и незначительные.

4. Нагрузки в фермах действуют только на их стыки.

Элементы фермы могут подвергаться осевому сжатию или осевому растяжению. Осевое сжатие элементов всегда считается отрицательным, а осевое растяжение всегда считается положительным.

Фермы могут быть внешне или внутренне детерминированными или неопределенными. Внешне определенные фермы — это фермы, неизвестные внешние реакции которых могут быть определены с помощью только уравнения статического равновесия.Внешне неопределенные фермы — это фермы, внешняя неизвестная реакция которых не может быть полностью определена с помощью уравнений равновесия. Чтобы определить количество неизвестных реакций сверх уравнения равновесия для неопределенных ферм, необходимо сформулировать дополнительные уравнения, основанные на совместимости частей системы. Внутренне определенные фермы — это фермы, элементы которых расположены так, что образуется ровно столько треугольных ячеек, сколько предотвращает геометрическую нестабильность системы.

Формулировка устойчивости и определенности в фермах выглядит следующим образом:

м + r <2 j Конструкция неустойчивая

м + r = 2 j Структура определенная

м + r > 2 j Конструкция неопределенная

Методы анализа ферм: Двумя распространенными методами анализа ферм являются метод соединения и метод сечения (или момента).

Метод соединения : Этот метод включает изоляцию каждого соединения фермы и учет равновесия соединения при определении осевой силы элемента. Для определения осевых сил стержня используются два уравнения: F _x = 0 и ∑ F _y = 0. Соединения последовательно изолированы для анализа на основе принципа, согласно которому количество неизвестных осевых сил стержня должно никогда не может быть больше двух в рассматриваемом стыке в трасте самолета.

Метод секции: Этот метод подразумевает пропускание воображаемой секции через ферму, чтобы разделить ее на две секции. Силы стержня определяются с учетом равновесия части фермы по обе стороны от сечения. Этот метод выгоден, когда осевые силы в определенных элементах требуются в ферме с несколькими элементами.

Практические задачи

5.1 Классифицируйте фермы, показанные на рисунке P5.С 1а по рисунок P5.1r.

P5.1. Классификация ферм.

5.2 Определите усилие в каждом элементе ферм, показанных на рисунках P5.2 — P5.12, используя метод соединения.

Рис. P5.2. Ферма.

Рис. P5.3. Ферма.

Рис. P5.4. Ферма.

Рис. P5.5. Ферма.

Рис. P5.6. Ферма.

Рис.P5.7. Ферма.

Рис. P5.8. Ферма.

Рис. P5.9. Ферма.

Рис. P5.10. Ферма.

Рис. P5.11. Ферма.

Рис. 5.12. Ферма.

5.3 Используя метод сечения, определите силы в элементах, помеченных X ферм, показанных на рисунках P5.13 — P5.19.

Рис. P5.13. Ферма.

Рис. P5.14. Ферма.

Рис.P5.15. Ферма.

Рис. P5.16. Ферма.

Рис. P5.17. Ферма.

Рис. P5.18. Ферма.

Рис. P5.19. Ферма.

(PDF) Расчет усилия стержня ферменной конструкции

122 Saragih., Purba & Winarno / Jurnal Teknologi (Science & Engineering) 77:22 (2015) 121-128

к другому с применением закона балансировки соединений,

Fx = 0 и Fy = 0.Соединение, которое может быть рассчитано на

, — это такое соединение, которое имеет максимум две неизвестные силы на стержне

и одно минимальное известное усилие на стержне

. Если условие не выполняется, то одно или несколько

сил стержня должны быть предварительно рассчитаны с помощью

, применяя закон балансировки секций [2].

Microsoft Excel Solver (сокращенно MES) — это один из

инструментов из MS Excel, который использует алгоритмы или методы решения

для моделирования ряда переменных в

таким образом, чтобы в то же время он соответствовал

определенной целевой функции и

определенной функции ограничения [3,5].

Существует много литературы, в которой обсуждаются программы MES

в различных секторах, особенно в бизнесе, и

в технических секторах. Все приложение может быть разделено на

на две категории, а именно на категорию

линейного программирования и категорию нелинейного программирования

. Если целевая функция или функция препятствия

имеет мощность единицы, или обе имеют мощность

единицы, то это называется линейным программированием, а если они

имеют мощность более одного, это называется не —

линейное программирование [4].

В случае линейного программирования или нелинейного программирования

существует несколько примеров использования MES

для решения таких задач, как: кратчайший маршрут,

максимальный поток, минимально затратный емкостной поток,

квадратичные и стохастические программы [5].

Другими примерами применения MES для решения задач линейного программирования

являются определение процентного содержания материала

при планировании комбинированного агрегата

, решение задачи управления транспортировкой

при определении оптимума

маршрут доставки товаров и определить

решений задачи сетевого планирования.В дополнении

некоторые примеры приложения MES в случае нелинейного программирования

включают в себя определение

уравнения интенсивности дождя и оценку расхода

труб в системе замкнутой сети трубопроводов

[ 6].

Программа MES также используется для оптимизации значений

«весового ассоциата» искусственной нейронной сети для

моделирования речного стока в водохранилище, и

было выполнено с хорошими результатами [7].

Исследователи не нашли публикации

, в которой специально обсуждается применение MES для

, рассчитывающего силы стержня конструкции фермы с использованием метода соединения

.

Если оба вышеперечисленных метода (метод соединения из

Ritter и метод оптимизации из MS Excel) объединены в

, то очень возможно разработать новый альтернативный метод

для расчета сил стержня

ферменная конструкция.

Цели экспериментов заключаются в следующем:

a) Создать оптимизирующую модель, которая одновременно

удовлетворяет потребности во входных данных для программы MES

и закона равновесия соединений, и в дальнейшем

именуется моделью оптимизации решателя. (сокращенно

как SOM)

b) Для расчета сил стержня конструкции фермы

с использованием программы MES на основе вышеуказанного SOM

c) Для расчета тех же усилий стержня, но для этой цели используется метод Ritter

проверки

d) Применять развивающийся метод при расчете линии влияния

2.0 ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ

2.1 Типы ферм и FBD

Перед моделированием исследователи сначала определили диаграмму свободного тела (FBD)

конструкции фермы, которая была завершена с такими внешними силами. На основании

литературных исследований, в этом письме было зарегистрировано 10 типов конструкции фермы

(3 типа представляют ферму крыши, а

7 типов представляют порядок / каркас моста), которые должны быть проанализированы с использованием метода, разработанного в этой статье. .

Конфигурация десяти типов представлена ​​в таблице

1, где наименьший номер стержня — 21, наибольший

— 49, а наименьший номер узла

— 12 точек, а наибольший. составляет 26 баллов. Левая половина

частей десяти FBD представлена ​​на Рисунке 1 до

Рисунка 10.

Данные в таблице 1 показывают, что десять типов конструкции фермы

, которые были проанализированы, безусловно, являются статическими

, потому что каждый тип соответствует следующим условиям

:

Нм = 2 * Nc — Nr

Где:

Nm = номер элемента фермы (столбец 5)

Nc = номер соединения или узла (столбец

6)

Nr = величина реакции опоры (= 3,

, поскольку они расположены на шарнире и сверните

пьедестал)

2.2 Приложение нагрузок

Для каждого типа ферм моста, который считается, предполагается, что нагрузка

в 1 кН действует вертикально вниз в точке

, которая расположена внизу

в середине пролета. Причина выбора места расположения такой нагрузки

состоит только в том, чтобы быть симметричным, поэтому

, что будет представлена ​​только половина результата расчета

.

В то время как для всех типов стропильных ферм применяется преобладающая конфигурация

, в этом случае предполагается, что нагрузка 2 кН

работает вертикально вниз на любом соединении между

двумя сторонами скамеечки для ног.На обоих соединениях скамейки для ног

(или соединении над подставкой для ног) исследователи

предположили, что нагрузка 1 кН работает в том же направлении

. На основе FBD и приложения загрузки была рассчитана реакция размещения

. Конфигурация нагрузки

и реакция наложения

всех типов фермы представлена ​​в таблице 2.

Таблица 1 Конфигурация 10 типов расчетных ферм

Анализ фермы

— изучение методов с примерами

🕑 Время чтения: 1 минута

Изучите методы анализа фермы на примерах.В статье поясняется анализ ферм по способам стыков и по методам сечения. Мы знаем основы равновесия тел; Теперь обсудим фермы, которые используются для изготовления устойчивых несущих конструкций. Примерами этого являются стороны мостов или высоких телебашен или башен, по которым проходят электрические провода. Принципиальная схема конструкции на стороне моста изображена на рисунке 1. Структура, показанная на рисунке 1, по существу является двухмерной структурой.Это известно как плоская ферма. С другой стороны, микроволновая печь или вышка для мобильных телефонов — это трехмерная конструкция. Таким образом, есть две категории ферм — плоские фермы, как на сторонах моста, и космические фермы, такие как телебашни. В этом курсе мы сконцентрируемся на плоских фермах, в которых базовые элементы склеены в плоскости. Чтобы проиллюстрировать структуру плоской фермы, позвольте мне взять тонкий стержень (12) между точками 1 и 2 и прикрепить его к фиксированному штифтовому соединению в точке 1 (см. Рисунок 2).Теперь я вставляю штифт (штифт 2) в точку 2 на верхнем конце и навешиваю на него груз W. Вопрос в том, если мы хотим удерживать вес в этой точке, какие еще минимальные опоры мы должны предоставить? Для стержней делаем только штифтовые соединения (мы предполагаем, что все находится в этой плоскости и конструкции не опрокидываются по бокам). Поскольку стержень (12) имеет тенденцию вращаться по часовой стрелке, мы останавливаем движение точки 2 вправо, присоединяя к ней стержень (23), а затем останавливаем перемещение точки 3 вправо, соединяя ее с точкой 1 другим стержнем (13).Все соединения в этой конструкции — штыревые. Однако, несмотря на все это, вся конструкция все еще имеет тенденцию поворачиваться по часовой стрелке, потому что на нее действует крутящий момент из-за W. Чтобы противодействовать этому, мы прикрепляем колесо к точке 3 и ставим его на землю. Это минимум, который нам необходим для удержания веса на месте. Треугольник из стержней составляет основу плоской фермы. Примечание: Здесь можно спросить, зачем нам нужен горизонтальный стержень (13). Это потому, что в противном случае точка 3 будет продолжать двигаться вправо, делая всю конструкцию нестабильной.На стержень (13) действуют две силы: одна вертикальная сила, создаваемая колесом, а другая — на конце 2. Однако эти две силы не могут быть коллинеарными, поэтому без стержня (13) система не будет находиться в равновесии. Как правило, в ферме каждое соединение должно быть связано как минимум с тремя стержнями или двумя стержнями и одной внешней опорой. Давайте теперь проанализируем силы в только что сформированной структуре. Для простоты я считаю, что длины всех стержней равны. Чтобы получить силы, я смотрю на все силы на каждом штифте и нахожу условия, при которых штифты находятся в равновесии.Первым делом отметим, что каждый стержень находится в равновесии под действием двух сил, приложенных штифтами на их концах. Как я обсуждал в предыдущей лекции, в этой ситуации силы должны быть коллинеарными и, следовательно, только вдоль стержней. Таким образом, каждый стержень находится под действием растягивающей или сжимающей силы. Таким образом, стержни (12), (23) и (13) испытывают силы, как показано на рисунке 3. Обратите внимание, что мы приняли все силы как сжимающие. Если действительные силы растягивающие, ответ будет отрицательным.Теперь посмотрим на штифт 2. На штифт 2 действуют только силы F ₁₂ из-за стержня (12) и F ₂₃ из-за стержня (23). Кроме того, он тянется вниз грузом W. Таким образом, силы, действующие на штифт 2, выглядят так, как показано на рисунке 4. Применение условия равновесия к штифту (2) дает Давайте теперь посмотрим на вывод 3 (см. Рисунок 4). Он находится в равновесии под действием сил F ₂₃ , нормальной реакции N и горизонтальной силы F ₁₃ . Применение условия равновесия дает Поскольку направление F ₁₃ оказывается отрицательным, направление должно быть противоположным предполагаемому.Баланс сил в вертикальном направлении дает Таким образом, мы видим, что этими тремя стержнями удерживается вес. Конструкция определена и удерживает вес на месте. Даже если мы заменим штифтовые соединения небольшой пластиной (известной как косынка) с двумя или тремя штифтами в них, анализ останется в значительной степени таким же, потому что штифты расположены так близко друг к другу, что они почти не создают никаких моментов в суставах. Даже если стержни сварены вместе в местах соединения, с большой степенью точности большая часть силы передается продольно на стержни, хотя некоторый очень небольшой (незначительный) момент создается стыками и может быть результатом возможного изгиба стержней. .Теперь мы готовы построить ферму и проанализировать ее. Мы собираемся построить его, складывая вместе все больше и больше треугольников. Как видите, когда мы складываем эти треугольники, член шарнира j и количество стержней (стержней) m связаны следующим образом:

m = 2j — 3

Это делает ферму статически определимой. Это легко понять следующим образом. Сначала рассмотрите всю ферму как одну систему. Если он должен быть определен статически, на нем должны быть только три неизвестные силы, потому что для сил в плоскости существует три состояния равновесия.Зафиксируйте один из его концов штифтовым соединением и поместите другой на ролик (ролик также дает дополнительное преимущество в том, что он может помочь отрегулировать любое изменение длины элемента из-за деформаций). Если мы хотим определить эти внешние силы и силу в каждом элементе фермы, общее количество неизвестных составит м + 3 . Мы решаем эти неизвестные, записывая условия равновесия для каждого штифта; таких уравнений будет 2j . Чтобы система была определимой, мы должны иметь m + 3 = 2j , что является условием, приведенным выше.Если мы добавим еще членов, они станут избыточными. С другой стороны, меньшее количество стержней сделает ферму нестабильной и она разрушится при нагрузке. Это произойдет потому, что ферма не сможет обеспечить необходимое количество сил для выполнения всех условий равновесия. Статически определенные фермы известны как простые фермы. Упражнение 1: На рисунке 5 показаны три обычно используемые фермы по сторонам мостов. Покажите, что все три из них — простые фермы.Вы спросите, зачем мы ставим на мосты фермы. Как покажет наш дальнейший анализ, они распределяют нагрузку по всем элементам и тем самым делают мост более прочным. Теперь мы хотим получить силы, возникающие в различных плечах фермы при внешней нагрузке. Это делается при следующих предположениях:

1. Если средняя линия элементов фермы встречается в точке, эта точка считается шарнирным соединением. Это очень удачное предположение, потому что, как мы видели ранее, вводя ферму (треугольник с шарнирным соединением), нагрузка передается на другой элемент фермы, так что силы остаются по существу коллинеарными с элементом.
2. Все внешние нагрузки прилагаются к штыревым соединениям.
3. Вес всех элементов поровну делится на соединительные штифты.

Существует два метода определения сил в элементах фермы — метод соединений и метод сечений. Начнем с метода стыков:

Анализ фермы — Метод соединений: В методе соединений мы смотрим на равновесие штифта в соединениях. Поскольку силы параллельны на штифте, нет уравнения момента, а только два уравнения равновесия, а именно.. Поэтому мы начинаем наш анализ с точки, где имеется одна известная нагрузка и не более двух неизвестных сил. Вес каждого элемента разделен на две половины, которые поддерживаются каждым штифтом. В какой-то мере мы уже упоминали этот метод при введении ферм. Проиллюстрируем это двумя примерами. Пример 1: В качестве первого примера я беру ферму ABCDEF, как показано на рисунке 6, и загружаю ее в точке E на 5000N. Длина мелких элементов фермы составляет 4 м, а длина диагональных элементов — м.Теперь я найду силы в каждом элементе этой фермы, считая их невесомыми. Мы принимаем каждую точку за шарнирное соединение и начинаем уравновешивать силы на каждом из штифтов. Поскольку контакт E имеет внешнюю нагрузку 5000N, можно начать с него. Однако точка E имеет более 2 неизвестных сил, поэтому мы не можем начать с E. Поэтому сначала рассматриваем ферму в целом и находим реакции земли в точках A и D, потому что тогда в точках A и D их останутся только две неизвестные силы. . Горизонтальная реакция Nx в точке A равна нулю, потому что на систему нет внешней горизонтальной силы.Чтобы найти N ₂ , я использую момент около A, чтобы получить что через уравнение дает Что касается метода соединений, давайте теперь начнем с штифта А и уравновесим различные силы. Мы уже прогнозируем направление и показываем их примерно в точке А (рисунок 7). Все углы, которые образуют диагонали, составляют 45 °. Единственные уравнения, о которых мы сейчас беспокоимся, — это уравнения баланса сил. Имейте в виду, что сила, действующая на стержни AB и AF, будет противоположна силам, действующим на штифт (закон Ньютона III ^rd ).Следовательно, сила на элементе AB является сжимающей (отталкивает штифт A), тогда как сила на AF является растягивающей (притягивает A к себе). Далее я рассматриваю соединение F, в котором известна сила AF, а две силы BF и FE неизвестны. Для пинты F Затем я перейду к точке B, так как теперь там есть только две неизвестные силы. В точке B Отрицательный знак показывает, что, хотя мы показали, что F _BE сжимает, на самом деле он растягивается. Затем я рассматриваю точку C и уравновешиваю там силы. Я уже предвидел направление сил и показал, что F _CE является растягивающим, а F _CD — сжимающим. Затем я перехожу к выводу D, где нормальная реакция — N, и уравновешиваю силы.Таким образом были определены силы в различных элементах фермы. Они есть Вам может быть интересно, как мы получили все силы, не используя уравнения во всех суставах. Напомним, так мы получили условие статической определенности. Нам не нужно было использовать все сочленения, потому что мы уже рассмотрели систему в целом и получили оттуда два уравнения. Таким образом, одно соединение — в данном случае E — не подлежит анализу. Однако, учитывая, что ферма определена статически, все эти силы также должны уравновешиваться в точке E, где была приложена нагрузка.Я оставлю это вам в качестве упражнения. Затем я спрашиваю, как бы изменилась ситуация, если бы каждый элемент фермы имел вес. Предположим, что каждый элемент весит 500 Н, тогда, предполагая, что нагрузка делится поровну между двумя штифтами, удерживающими элемент, нагрузка на ферму будет выглядеть, как показано на рисунке 8 (нагрузка из-за веса, как показано красным). За исключением точек A и D нагрузка из-за веса составляет 750 Н; в точках A и D — 500N. Теперь внешняя реакция на каждом конце будет. Дополнительные 2000 Н можно рассчитать либо из уравнения момента, либо сразу, зная, что новый добавленный вес идеально симметричен относительно центра фермы и, следовательно, будет поровну разделен между двумя опорами.Для уравновешивания сил на других штифтах мы следуем той же процедуре, что и выше, учитывая при этом, что каждый штифт теперь имеет внешнюю нагрузку из-за веса каждого элемента. Я найду силы в каком-нибудь элементе фермы. Глядя на вывод A, получаем Затем мы переходим к точке F и видим, что силы равны Аналогичным образом можно решить и другие штифты в ферме, и я оставляю это вам в качестве упражнения. Продемонстрировав вам метод соединения, мы перейдем к рассмотрению метода секций, который непосредственно передает силу на желаемый элемент фермы.

Анализ фермы — Метод сечения: Как следует из названия, в методе секций мы делаем секции через ферму, а затем вычисляем силу в элементах фермы, через которые выполняется разрез. Например, если я возьму задачу, которую мы только что решили в методе соединений, и сделаю сечение S ₁ , S ₂ (см. Рисунок 9), мы сможем определить силы в элементах BC, BE и FE. с учетом равновесия части слева или справа от секции.Позвольте мне сейчас проиллюстрировать это. Как и в случае метода соединений, мы начинаем с определения реакций внешней опоры фермы, рассматривая ее как твердое тело в целом. В данном конкретном случае это дает N в D и N в A. Теперь давайте рассмотрим сечение фермы слева (см. Рисунок 10). Поскольку вся эта секция находится в равновесии,. Обратите внимание, что теперь мы используем все три уравнения равновесия, поскольку силы в отдельных элементах не совпадают.Направление силы в каждом элементе можно в значительной степени угадать при осмотре. Таким образом, сила в секции элементов BE должна быть направлена ​​вниз, потому что нет другого элемента, который мог бы дать направленную вниз силу, чтобы уравновесить реакцию N в точке A. Это ясно говорит нам, что F BE является растягивающим. Точно так же, чтобы противодействовать крутящему моменту вокруг B, создаваемому силой Н, в A, сила на FE также должна быть от F до E. Таким образом, эта сила также является растягивающей. Если мы теперь рассмотрим баланс крутящего момента относительно A, N и F _FE не даст никакого крутящего момента относительно A.Таким образом, чтобы противодействовать крутящему моменту, создаваемому F _BE , сила на BC должна действовать в направлении B, тем самым делая силу сжимающей. Давайте теперь посчитаем отдельные силы. F _FE рассчитать проще всего. Для этого мы возьмем момент о B. Это дает 4 × = 4 × F FE F FE = N Затем мы вычисляем F _BE . Для этого воспользуемся уравнением. Это дает Наконец, чтобы вычислить F _BC , мы можем использовать либо уравнение относительно A, либо Таким образом, мы определили силы в этих трех элементах напрямую, без расчета сил, идущих от одного сустава к другому, и сэкономили много времени и усилий в этом процессе.Силы в правой секции будут противоположны силам в левой секции в точках, через которые секция разрезана. Это можно использовать для проверки нашего ответа, и я оставляю это вам в качестве упражнения. После этой иллюстрации позвольте мне описать шаги, которые предпринимаются для определения сил в элементах фермы методом сечений: 1. Сделайте разрез, чтобы разделить ферму на секции, пропуская разрез через элементы там, где требуется усилие. 2. Сделайте разрез через три элемента фермы, потому что с тремя уравнениями равновесия, а именно.мы можем решить максимум за три силы. 3. Примените условия равновесия и найдите желаемые силы. В применении метода сечений изобретательность заключается в том, чтобы сделать правильный. Метод после способа прямого вычисления желаемой силы, избегая тяжелой работы, связанной с применением метода суставов, где нужно решать для каждого сустава.

3 Методы анализа ферм | Engineersdaily

Прежде чем обсуждать различные методы анализа ферм, было бы уместно сделать краткое введение.
Конструкция, состоящая из нескольких стержней, соединенных на концах и образующих устойчивый каркас, называется фермой. Обычно предполагается, что нагрузки и реакции действуют на ферму только в местах соединения. Ферма обычно состоит из треугольных элементов с стержнями на верхнем поясе при сжатии и стержнями вдоль нижнего пояса при растяжении. Фермы широко используются для строительства мостов, длиннопролетных крыш, электрических башен и космических конструкций.
Фермы статически определены, когда все силы стержня могут быть определены только из уравнений статики.В противном случае ферма статически неопределима. Ферма может быть статически (внешне) определенной или неопределенной по отношению к реакциям (более 3 или 6 реакций в 2D или 3D задачах соответственно).

Условные обозначения

Для расчета фермы предполагается, что:

• Стержни штыревые.
• Шарниры шарниры бесфрикционные.
• Нагрузки прилагаются только к суставам.
• Напряжение в каждом элементе постоянное по всей его длине.

Цель анализа фермы — определить реакции и силы стержня. Методы, используемые для проведения анализа с помощью уравнений равновесия и рассмотрения только частей конструкции путем анализа ее диаграммы свободного тела для решения неизвестных.

1. Метод соединений для анализа фермы

Начнем с предположения, что все участники находятся в напряженной реакции. Натяжной элемент испытывает тянущие силы на обоих концах стержня и обычно обозначается положительным знаком (+ ve).Когда на элемент действует толкающая сила с обоих концов, говорят, что стержень находится в режиме сжатия и обозначается отрицательным (-ve) знаком.

В методе суставов виртуальный разрез делается вокруг сустава, и часть разреза выделяется в виде диаграммы свободного тела (FBD). Используя уравнения равновесия Fx = 0 и ∑ Fy = 0, неизвестные силы стержня могут быть решены. Предполагается, что все элементы соединены вместе в форме идеального стержня и что все силы находятся в напряжении (положительные реакции).

Воображаемое сечение можно полностью обвести вокруг стыка фермы. Сустав стал свободным телом, находящимся в равновесии под действием приложенных к нему сил. Уравнения H = 0 и ∑ V = 0 могут быть применены к соединению для определения неизвестных сил в элементах, встречающихся там. Очевидно, что на стыке этих двух уравнений можно определить не более двух неизвестных.


Простая модель фермы, опирающаяся на шарнирную и роликовую опоры на конце. Каждый треугольник имеет одинаковую длину L и равносторонний, где угол θ равен 60 ° на каждом угле.Опорные реакции Ra и Rc можно определить, взяв момент в точке A или C, тогда как Ha = 0 (отсутствие другой горизонтальной силы).

Вот несколько простых рекомендаций для этого метода:

1. Сначала нарисуйте диаграмму свободного тела (FBD),
2. Решите реакции данной структуры,
3. Выберите стык с минимальным количеством неизвестных (не более 2) и проанализируйте его с ∑ Fx = 0 и ∑ Fy = 0,
4. Переходите к остальным соединениям и снова сосредотачивайтесь на соединениях, которые имеют минимальное количество неизвестных,
5. Проверьте силы стержня в неиспользуемых соединениях с ∑ Fx = 0 и ∑ Fy = 0,
6. Запишите в таблицу силы стержня, будь то реакция растяжения (+ ve) или сжатия (-ve).

Рисунок, показывающий 3 выбранных соединения в точках B, C и E. Силы в каждом элементе можно определить из любого соединения или точки. Лучше всего начать с выбора самого простого соединения, такого как соединение C, где реакция Rc уже получена и только с двумя неизвестными силами FCB и FCD. Оба могут быть оценены с помощью правил ∑ Fx = 0 и ∑ Fy = 0. На стыке E есть 3 неизвестных силы FEA, FEB и FED, которые могут привести к более сложному решению по сравнению с 2 неизвестными значениями.Для целей проверки соединение B выбирается так, чтобы показать, что уравнение x Fx равно y Fy, что приводит к нулевому значению, Fx = ∑ Fy = 0. Состояние каждого элемента должно быть четко указано, например, находится ли он в напряжении (+ ve) или в состоянии сжатия (-ve).

Тригонометрические функции:

Угол между стержнем x и z…

1. Cos θ = x / z
2. Син θ = y / z
3. Желто-коричневый θ = y / x

2. Метод сечения для анализа фермы

Метод сечения — эффективный метод, когда необходимо определить силы во всех элементах фермы.Если требуются только несколько стержневых сил фермы, самый быстрый способ определить эти силы — использовать метод секций. В этом методе воображаемая линия разреза, называемая сечением, проводится через устойчивую и определенную ферму. Таким образом, секция разделяет ферму на две отдельные части. Поскольку вся ферма находится в равновесии, любая ее часть также должна быть в равновесии. Можно рассматривать любую из двух частей фермы и применять три уравнения равновесия Fx = 0, ∑ Fy = 0 и ∑ M = 0 для определения сил стержня.


При использовании той же модели простой фермы детали будут такими же, как на предыдущем рисунке, с двумя разными профилями опор. В отличие от совместного метода, здесь нас интересует только определение значения сил для стержня BC, EC и ED.
Несколько простых рекомендаций:

1. Пропустите секцию максимум через 3 элемента фермы, 1 из которых является желаемым элементом, разделяющим ферму на 2 полностью отдельных части,
2. В 1 части фермы возьмите моменты относительно точки (в стыке), где 2 стержня пересекаются, и решите для силы стержня, используя ∑ M = 0,
3. Решите другие 2 неизвестных, используя уравнение равновесия для сил, используя ∑ Fx = 0 и ∑ Fy = 0.

Примечание: 3 силы не могут быть одновременными, иначе это не может быть решено. Виртуальный разрез вводится через единственные обязательные элементы, которые находятся вдоль элементов BC, EC и ED. Во-первых, следует определить опорные реакции Ra и Rd. И снова для решения этой проблемы требуется хорошее суждение, где проще всего было бы рассмотреть либо левую, либо правую сторону. Измерение момента в суставе E (виртуальная точка) по часовой стрелке для всей правой части было бы намного проще по сравнению с суставом C (левая часть).Затем либо соединение D, либо C можно рассматривать как точку момента, либо использовать метод соединения, чтобы найти силы стержня для FCB, FCE и FDE. Примечание: каждое значение состояния элемента должно быть четко указано, находится ли он в состоянии растяжения (+ ve) или сжатия (-ve).

3. Графический метод анализа фермы (диаграмма Максвелла)

Метод соединений может быть использован как основа для графического анализа ферм. Графический анализ был разработан с помощью многоугольников силы, нарисованных в масштабе для каждого соединения, а затем силы в каждом элементе были измерены от одного из этих многоугольников сил.Однако количество линий, которые необходимо нарисовать, можно значительно уменьшить, если наложить различные многоугольники силы. Полученная диаграмма фермы известна как диаграмма Максвелла.

Вот простые рекомендации, чтобы нарисовать диаграмму Максвелла напрямую:

1. Решите реакции на опорах, решив уравнения равновесия для всей фермы,
2. Поверните по часовой стрелке вокруг внешней стороны фермы; нарисуйте силовой многоугольник в масштабе для всей фермы,
3. Возьмите каждое соединение по очереди (одно за другим), затем нарисуйте многоугольник сил, рассматривая последовательные соединения, на которые действуют только две неизвестные силы,
4. Измерьте величину силы в каждом элементе диаграммы,
5. Наконец, обратите внимание, что работа продолжалась от одного конца фермы к другому, так как это используется для проверки баланса и соединения с другим концом.

Простая треугольная ферма со степенью угла, θ составляет 60 ° на каждом углу (равностороннем) и одинаковой длины элемента, L на 2 типах опор. Опять же, оценка реакции опоры играет важную роль в решении любых структурных проблем. В этом случае значение Hb равно нулю, так как на него не влияют никакие горизонтальные силы. Процедура решения этой проблемы может быть довольно сложной и требует воображения. Он начинается с обозначения промежутков между силами и стержнями в примере, показанном выше; реакция Ra и приложенная сила P обозначены как пространство 1 и продолжают движение по часовой стрелке вокруг фермы.Для каждого члена, например, между пробелами 1 и 5 будет член AC и так далее. Примечание. Выберите подходящий масштаб для построения диаграммы Максвелла.

В заключение, внутренние реакции фермы, а также силы на стержнях могут быть определены любым из этих трех методов. Тем не менее, когда речь идет о более сложных конструкциях, методы соединения становятся наиболее предпочтительным методом.

Дополнительная информация по теме:
☞ Анализ фермы

Поставьте лайк и поделитесь этой статьей на facebook:

3 метода анализа ферм Оставьте свои комментарии ниже для любых улучшений или предложений.Мы будем рады принять ваш ценный вклад.

Страница не найдена | MIT

Перейти к содержанию ↓

• Образование
• Исследовать
• Инновации
• Прием + помощь
• Студенческая жизнь
• Новости
• Выпускников
• О MIT
• Подробнее ↓
  • Прием + помощь
  • Студенческая жизнь
  • Новости
  • Выпускников
  • О MIT

Меню ↓ Поиск Меню Ой, похоже, мы не смогли найти то, что вы искали!
Попробуйте поискать что-нибудь еще! Что вы ищете? Увидеть больше результатов

Предложения или отзывы?

двух- и трехуровневых элементов

двух- и трехуровневых элементов

Элементы с двумя и тремя усилиями

---

Существует много типов конструктивных элементов.Это было замечено в предыдущая лекция о том, что условие поддержки имеет значительное влияние от поведения конкретного элемента. Выявление определенных типы структурных элементов, которые имеют отличные характеристики. Если элемент имеет штифты или шарнирные опоры на обоих концах и не несет никакой нагрузки между ними, он называется двухсиловым элементом . Эти элементы могут иметь только два силы, действующие на них на их шарнирах. Если на тело действуют только две силы то есть в равновесии, то они должны быть равными по величине, коллинеарными и противоположное по смыслу.Это известно как принцип двух сил . Принцип двух сил применяется к ЛЮБОМУ члену или структуре, у которых есть только на него действуют две силы. Это легко определить, просто посчитав количество мест, где силы действуют на этот член. (ПОМНИТЕ: реакции считается силами!) Если они действуют в двух местах, то это двухсиловой элемент.

Одним из уникальных аспектов этих элементов является то, что линия действия равнодействующих сил, действующих на два конца элемент ДОЛЖЕН проходить по центральной линии структурного элемента.Если они нет, элемент не будет в равновесии! Таким образом, даже если загрузка существует на обоих концах и состоит только из одного из компонентов (например, F _{x или y} ), равнодействующей всех сил, действующих на двойную силу член проходит через центральную линию члена.

Большинство, но не все, двухсиловые элементы прямые. Прямые элементы обычно подвергаются растяжению или сжатию. Эти члены другие геометрические формы будут иметь изгиб поперек (или внутри) их сечения в дополнение на растяжение или сжатие, но принцип двух сил все еще применяется.Там БЕЗ ИСКЛЮЧЕНИЙ !!!

Некоторыми распространенными примерами двухсиловых элементов являются колонны, стойки, подвески, раскосы, балочные элементы фермы, цепи и вантовые подвесные системы. Какие еще есть?

Рассмотрим простой Показана система. Это упрощение указанной лампы. Нагрузка на точка F — подвесной светильник. Все стыки считаются закрепленными. Если элемент BC изолирован, можно увидеть, что силы, действующие только на точки C и B.Это означает, что это двухсиловой элемент. Линия действий силы в точке C также должны проходить через точку B; аналогично сила в точке B должен также пройти через точку C. Если сила в точке B не прошла через точку C (B ‘на диаграмме) сила вызовет момент около точка C и равновесие было бы невозможно. Потому что две силы равные по величине, коллинеарные и противоположные по смыслу, двухсиловые элементы действуют только при чистом растяжении или чистом сжатии. Опоры, такие как кабели, имеют тенденцию хорошо работают два силовых элемента.

Если на тело в равновесии действуют три непараллельные силы, он известен как трехсиловой элемент . Три силы взаимодействуют с структурный элемент очень специфическим образом, чтобы поддерживать равновесие. Если трехсиловой элемент находится в равновесии, а силы не параллельны, они должны быть параллельны. Следовательно, направления действия всех трех сил действующие на такой член должны пересекаться в общей точке; любая сила следовательно, уравновешивает две другие силы.Член с тремя силами часто является элементом, имеющим одну нагрузку и две реакции. Эти члены обычно имеют силы, вызывающие изгиб, а иногда и дополнительное напряжение и сжатие. Наиболее распространенный пример элемента с тремя усилиями — простой луч.

В примере лампы также есть трехсиловой элемент как часть ее конструкции. система.

Если один изолирует элемент AF в раме, соединенной штифтами, с справа, можно увидеть, что у него есть силы, действующие в трех точках: A, C и F. Схема системы свободного тела представлена ​​на диаграмме ниже.Величина и направление действия силы при F, 10 тысяч фунтов, известны. Линия действия силы в точке C известна, потому что она должна быть равна и противоположно силе C двухсилового элемента CB. Линия действий сил в точке F и точке C пересекаются в точке X. Линия действия силы в точке A также должны проходить через точки A и X. (Почему это?)

Линии действия реакций в точках A и C имеют теперь определено. Проблема установления их смысла и величины останки.Смысл этих сил может быть интуитивно понятен в этом пример, но это не всегда так. Принцип трех сил , продемонстрировано пошагово, покажет, насколько просто установить как смысл, так и величина реакций системы трех сил:

1. Изобразите вектор нагрузки в удобном масштабе.
   
2. Выберите любую из других сил и проведите линию, параллельную ей. сила через головку вектора нагрузки.
   
3. Через хвост вектора нагрузки проведите линию, параллельную оставшейся сила. (Если эти линии вытянуты достаточно далеко в каждом направлении, они образуют замкнутый многоугольник).
6. Нанесите стрелки на векторы, чтобы они теперь были соединены голова к хвосту. Полигон силы теперь готов; стрелки показывают смысл, а векторы можно масштабировать, чтобы определить величину.

Если бы предполагалось, что линия действия силы противодействия через точку A приняла направление, отличное от точки X, система не будет параллельной системой сил.Хотя это могло быть в силовом равновесии, это не было бы в момент равновесия, потому что сумма моментов о ЛЮБОЙ точке больше не будет нуля. Это можно увидеть ниже.

Ниже приведен пример разрешения опоры. сила для простой ламповой системы.

Третий вектор силы проведен по линии действия проходя через вторую опору. Теперь смысл и направление известны. Если бы диаграмма была нарисована в масштабе, величина всех сил могла бы быть быть просто определенным с использованием любого графического метода разрешения силы.

Три-форс Участники

Вопросы для размышления

хммм …..

Домашние задания

Дополнительное чтение

Schaeffer, R.E. Элементарные конструкции для архитекторов и строителей. Глава 2.
Schodek, Daniel. Структуры, второе издание. С. 41 — 44.

---

Авторские права © 1995, 1996 Крис Х. Любкеман и Дональд Петинг
Авторские права © 1997 Крис Х. Любкеман

Есть ли у мандолин анкерные стержни?

Раскрытие информации: некоторые ссылки в статье ниже могут быть партнерскими ссылками.Это означает, что я могу заработать небольшую комиссию, если вы нажмете на них и сделаете покупку.

В большинстве струнных инструментов с резной шейкой используется анкерный стержень, который помогает защитить гриф от деформации и изгиба. Анкерные стержни являются важным компонентом этих инструментов для поддержания целостности инструмента. Но разве мандолине с такой короткой массивной шеей вообще нужен анкерный стержень?

У большинства качественных мандолин есть анкерный стержень, который укрепляет шейку и защищает ее от изгиба под давлением натяжения струны.Некоторые более дешевые мандолины не имеют анкерных стержней и, следовательно, не имеют усиления, чтобы шея оставалась прямой и выровненной. Без анкерного стержня даже короткая шейка мандолины со временем могла деформироваться.

Здесь есть довольно прямолинейная физика, которая может помочь объяснить, почему у некоторых мандолин есть анкерные стержни, а у других нет, что может помочь вам решить, хотите ли вы этого в своей мандолине.

Анкерные стержни

Анкерный стержень — это часть, добавляемая к грифу струнных инструментов, используемая для укрепления и стабилизации грифа.Они создают сопротивление натяжению струн, возникающему при настройке и игре на инструменте. Без них натяжение струн тянет гриф вверх и в конечном итоге принимает дугообразную форму. Изогнутая шея тогда вызовет проблемы с настройкой и интонацией. В то время как небольшой поклон — это нормально, слишком большой наклон может затруднить игру на инструменте. Когда он эффективен, анкерный стержень удерживает шею прямо и позволяет минимизировать изгиб.

При изготовлении инструмента производители часто используют стальной стержень или тонкий стержень внутри шейки для анкерного стержня .Эти современные анкерные стержни могут регулироваться, а могут и не быть регулируемыми, в зависимости от того, что использовалось или как был построен инструмент, но большинство из них регулируются, сделаны с помощью гайки на одном или обоих концах, которые регулируют натяжение при повороте. Эти корректировки помогают исправить любые возникшие деформации.

Почему анкерные стержни работают

Когда к шейке инструмента прилагается сила, независимо от материала, с ним на самом деле происходят две разные вещи. Сторона, которая становится внутренней частью изгиба, подвергается сжатию, а противоположная сторона — внешняя часть изгиба — подвергается растяжению.Но в какой-то момент между ними существует место, где не происходит ни сжатия, ни растяжения. Это считается нейтральной осью … и поэтому входит в анкерный стержень.

Установка анкерного стержня в шейку поможет сохранить баланс противоположных сил сжатия и растяжения. Теоретически он должен вообще предохранять шею от сгибания, хотя на самом деле это не всегда практично. Но анкерные стержни сконструированы таким образом, чтобы вы могли вернуть их в более стабильное и поддерживающее положение при неправильном выравнивании.

Анкерные стержни для мандолин

В то время как у некоторых мандолин есть анкерные стержни, у других их нет, и необходимость в анкерных стержнях в мандолинах является довольно поляризованным спором среди музыкантов. Некоторые люди клянутся ими, а другие считают их ненужными. В конечном итоге все сводится к двум основным моментам: размеру грифа и целостности инструмента в целом.

Особенность мандолин в том, что у них 8 стальных струн, и эти струны подвергают инструмент значительному натяжению.На шею мандолины оказывается большое давление, и анкерный стержень может помочь шее со временем не выровняться.

Некоторые старинные мандолины, которые вы можете найти сегодня, вероятно, были созданы мастером, обладающим практическими знаниями о механике этого (возможно, только этого) инструмента. Кроме того, качество древесины, из которой изготавливались эти старые мандолины и другие инструменты, было намного лучше, чем древесина, доступная и используемая сегодня. Таким образом, можно найти мандолину, у которой не только нет анкерного стержня, но и он не нужен.

В наши дни можно найти много людей, которые в качестве хобби конструируют мандолины и другие струнные инструменты. (Возможно, вы один из них и читаете это, чтобы определить, нужно ли вам возиться с анкерной шпилькой.) Доски чатов в Интернете наполнены мнениями о необходимости их использования в мандолинах, и, так сказать, некоторым кажется, необходимы, в то время как другие будут возражать против них.

Вот видео, сделанное строителем-любителем, в котором приводится аргумент в пользу анкерных стержней и показано, как вы поместите анкерный стержень в мандолину, которую строите сами.

Действительно, некоторые аргументы очень логичны и кажутся доказанными, например, аргумент о том, что короткая шея не требует анкерного стержня или что качество используемой древесины повлияет на необходимость анкерного стержня или другого армирования. потому что крепкую, прочную древесину не так легко вывести из формы (вспомните винтажный пример). Кроме того, обратное сопоставление волокон — это практичный метод, который, кажется, естественным образом работает для сохранения прямой и хорошо выровненной шейки.

Но эти аргументы наиболее верны для мандолин и других струнных инструментов с более короткой длиной грифа. Это, опять же, связано с физикой изгиба (сжатия и растяжения), которая говорит нам, что величина давления и силы, необходимая для сгибания короткой шейки мандолины, намного превышает возможности струн, поэтому деформирование не должно происходить. даже случаются. Но по мере того, как шейки инструмента становятся длиннее в семействе струн, потребность в анкерной шпильке возрастает.

Есть и другие факторы, которые могут вызвать искривление шеи, например, влажность и температура.

Нужна ли мне анкерный стержень в моей мандолине?

Как правило, мандолина будет играть правильно, когда шея плоская и ровная, поэтому вам выгодно, чтобы шея мандолины была выровнена. И хотя у мандолины действительно более короткая шея, которая защищает ее от экстремальных изгибов, такие вещи, как температура и влажность или даже ваша техника игры, также могут повлиять на ваш инструмент и вызвать деформацию и изгиб. По этим причинам вы можете подумать о покупке мандолины с анкером.Если вы собираете мандолину, подумайте о том, чтобы установить в нее анкерный стержень.

Вы можете найти мандолины с анкерной шпилькой или без нее от известных производителей, и большинство из них будут регулируемыми. Если анкерный стержень не используется, то шея будет усилена чем-нибудь, обычно полосой из углеродного волокна или, возможно, несколькими кусками многослойной древесины, спрессованными вместе. Обычно вы можете определить, есть ли у мандолины анкерный стержень, посмотрев на нее, так как гайка (которую поворачивают для регулировки) может быть видна.

На рисунке ниже вы можете видеть, что регулировка анкерного стержня на моей мандолине Ibanez доступна с передней бабки. Это наиболее распространенное место для регулировки анкерного стержня, и для регулировки требуется всего лишь поворот гаечного ключа.

Как отрегулировать изогнутую шейку с помощью анкерного стержня

Неправильное использование или неправильная регулировка анкерного стержня может привести к еще большему изгибу шейки инструмента (вероятно, не мандолины из-за его размера) или может привести к поломке анкерного стержня.

Откровенно говоря,

и сломанная анкера — это настоящий кошмар как для инструмента, так и для музыканта.

Так как же выпрямить изогнутую шею и отрегулировать анкерный стержень? Начните с удаления или ослабления струн. Если гайка труднодоступна, вам может потребоваться найти ее под небольшой крышкой на передней бабке.

Как только вы это сделаете и шейка будет выпрямлена, затяните гайку (которая затягивает анкерный стержень). Любые корректировки должны быть небольшими, так как простой поворот на или может быть очень эффективным.