Расчет простой статически определимой плоской фермы – Основы расчёта ферм: ручной и машинный счёт

    Содержание

    Основы расчёта ферм: ручной и машинный счёт

     Что такое фермаФермами называют плоские и пространственные стержневые конструкции с шарнирными соединениями элементов, загружаемые исключительно в узлах. Шарнир допускает вращение, поэтому считается, что стержни под нагрузкой работают только на центральное растяжение-сжатие. Фермы позволяют значительно сэкономить материал при перекрытии больших пролётов.

    Основные элементы ферм

    Рисунок 1

    Фермы классифицируются:

    • по очертанию внешнего контура;
    • по виду решётки;
    • по способу опирания;
    • по назначению;
    • по уровню проезда транспорта.

    Также выделяют простейшие и сложные фермы. Простейшими называют фермы, образованные последовательным присоединением шарнирного треугольника. Такие конструкции отличаются геометрической неизменяемостью, статической определимостью. Фермы со сложной структурой, как правило, статически неопределимы.

    Для успешного расчёта необходимо знать виды связей и уметь определять реакции опор. Эти задачи подробно рассматриваются в курсе теоретической механики. Разницу между нагрузкой и внутренним усилием, а также первичные навыки определения последних дают в курсе сопротивления материалов.

    Рассмотрим основные методы расчёта статически определимых плоских ферм.

    Способ проекций

    На рис. 2 симметричная шарнирно-опёртая раскосная ферма

    пролётом L = 30 м, состоящая из шести панелей 5 на 5 метров. К верхнему поясу приложены единичные нагрузки P = 10 кН. Определим продольные усилия в стержнях фермы. Собственным весом элементов пренебрегаем.

    Расчет простейшей фермы

    Рисунок 2

    Опорные реакции определяются путём приведения фермы к балке на двух шарнирных опорах. Величина реакций составит R (A) = R (B) = ∑P/2 = 25 кН. Строим балочную эпюру моментов, а на её основе — балочную эпюру поперечных усилий (она понадобится для проверки). За положительное направление принимаем то, что будет закручивать среднюю линию балки по часовой стрелке.

    Балочная схема и эпюры

    Рисунок 3

    Метод вырезания узла

    Метод вырезания узла заключается в отсечении отдельно взятого узла конструкции с обязательной заменой разрезаемых стержней внутренними усилиями с последующим составлением уравнений равновесия. Суммы проекций сил на оси координат должны равняться нулю. Прикладываемые усилия изначально предполагаются растягивающими, то есть направленными от узла. Истинное направление внутренних усилий определится в ходе расчёта и обозначится его знаком.

    Рационально начинать с узла, в котором сходится не более двух стержней. Составим уравнения равновесия для опоры, А (рис. 4).

    F (y) = 0: R (A) + N (A-1) = 0

    F (x) = 0: N (A-8) = 0

    Очевидно, что N (A-1) = -25кН. Знак «минус» означает сжатие, усилие направлено в узел (мы отразим это на финальной эпюре).

    Условие равновесия для узла 1:

    F (y) = 0: -N (A-1)N (1−8)∙cos45° = 0

    F (x) = 0: N (1−2) + N (1−8)∙sin45° = 0

    Из первого выражения получаем N (1−8) = —N (A-1)/cos45° = 25кН/0,707 = 35,4 кН. Значение положительное, раскос испытывает растяжение. N (1−2) = -25 кН, верхний пояс сжимается. По этому принципу можно рассчитать всю конструкцию (рис. 4).

    Последовательный расчет

    Рисунок 4

    Метод сечений

    Ферму мысленно разделяют сечением, проходящим как минимум по трём стержням, два из которых параллельны друг другу. Затем рассматривают равновесие одной из частей конструкции. Сечение подбирают таким образом, чтобы сумма проекций сил содержала одну неизвестную величину.

    Проведём сечение I-I (рис. 5) и отбросим правую часть. Заменим стержни растягивающими усилиями. Просуммируем силы по осям:

    F(y) = 0: R(A) — P + N(9−3)

    N(9−3) = P — R(A) = 10 кН — 25 кН = -15 кН

    Стойка 9−3 сжимается.

    Метод сечений. Способ моментной точки.

    Рисунок 5

    Способ проекций удобно применять в расчётах ферм с параллельными поясами, загруженными вертикальной нагрузкой. В этом случае не придётся вычислять углы наклона усилий к ортогональным осям координат. Последовательно

    вырезая узлы и проводя сечения, мы получим значения усилий во всех частях конструкции. Недостатком способа проекций является то, что ошибочный результат на ранних этапах расчёта повлечёт за собой ошибки во всех дальнейших вычислениях.

    Способ моментной точки

    Способ моментной точки требует составлять уравнение моментов относительно точки пересечения двух неизвестных сил. Как и в методе сечений, три стержня (один из которых не пересекается с остальными) разрезаются и заменяются растягивающими усилиями.

    Рассмотрим сечение II-II (рис. 5). Стержни 3−4 и 3−10 пересекаются в узле 3, стержни 3−10 и 9−10 пересекаются в узле 10 (точка K). Составим уравнения моментов. Суммы моментов относительно точек пересечения будут равняться нулю. Положительным принимаем момент, вращающий конструкцию по часовой стрелке.

    m(3) = 0: 2d∙R(A) — d∙P — h∙N(9−10) = 0

    m(K) = 0: 3d∙R(A) — 2d∙P — d∙P + h∙N(3−4) = 0

    Из уравнений выражаем неизвестные:

    N(9−10) = (2d∙R(A) — d∙P)/h = (2∙5м∙25кН — 5м∙10кН)/5м = 40 кН (растяжение)

    N(3−4) = (-3d∙R(A) + 2d∙P + d∙P)/h = (-3∙5м∙25кН + 2∙5м∙10кН + 5м∙10кН)/5м = -45 кН (сжатие)

    Способ моментной точки позволяет определить внутренние усилия независимо друг от друга, поэтому влияние одного ошибочного результата на качество последующих вычислений исключено. Данным способом можно воспользоваться в расчёте некоторых сложных статически определимых ферм (рис. 6).

    Способ моментной точки

    Рисунок 6

    Требуется определить усилие в верхнем поясе 7−9. Известны размеры d и h, нагрузка P. Реакции опор R(A) = R(B) = 4,5P. Проведём сечение I-I и просуммируем моменты относительно точки 10. Усилия от раскосов и нижнего пояса не попадут

    в уравнение равновесия, так как сходятся в точке 10. Так мы избавляемся от пяти из шести неизвестных:

    m(10) = 0: 4d∙R(A) — d∙P∙(4+3+2+1) + h∙O(7−9) = 0

    O(7−9) = -8d∙P/h

    Аналогично можно рассчитать остальные стержни верхнего пояса.

    Признаки нулевого стержня

    Нулевым называют стержень, в котором усилие равно нулю. Выделяют ряд частных случаев, в которых гарантированно встречается нулевой стержень.

    • Равновесие ненагруженного узла, состоящего из двух стержней, возможно только в том случае, если оба стержня нулевые.
    • В ненагруженном узле из трёх стержней одиночный (не лежащий на одной прямой с остальными двумя) стержень будет нулевым.

    Признаки нулевого стержня

    Рисунок 7

    • В трехстержневом узле без нагрузки усилие в одиночном стержне будет равно по модулю и обратно по направлению приложенной нагрузке. При этом усилия в стержнях, лежащих на одной прямой, будут равны друг другу, и определятся расчётом N(3) = -P, N(1) = N(2).
    • Трехстержневой узел с одиночным стержнем и нагрузкой, приложенной в произвольном направлении. Нагрузка P раскладывается на составляющие P’ и P» по правилу треугольника параллельно осям элементов. Тогда
      N(1)
      = N(2) + P’, N(3) = -P».

    Признаки нулевого стержня

    Рисунок 8​

    • В ненагруженном узле из четырёх стержней, оси которых направлены по двум прямым, усилия будут попарно равны N(1) = N(2), N(3) = N(4).

    Пользуясь методом вырезания узлов и зная правила нулевого стержня, можно проводить проверку расчётов, проведённых другими методами.

    Расчёт ферм на персональном компьютере

    Современные вычислительные комплексы основаны на методе конечного элемента. С их помощью осуществляют расчёты ферм любого очертания и

    геометрической сложности. Профессиональные программные пакеты Stark ES, SCAD Office, ПК Лира обладают широким функционалом и, к сожалению, высокой стоимостью, а также требуют глубокого понимания теории упругости и строительной механики. Для учебных целей и подойдут бесплатные аналоги, например Полюс 2.1.1.

    В Полюсе можно рассчитывать плоские статически определимые и неопределимые стержневые конструкции (балки, фермы, рамы) на силовое воздействие, определять перемещения и температурное воздействие. Перед нами эпюра продольных усилий для фермы, изображённой на рис. 2. Ординаты графика совпадают с полученными вручную результатами.

    Эпюра продольных усилий

    Рисунок 9

    Порядок работы в программе Полюс

    • На панели инструментов (слева) выбираем элемент «опора». Размещаем помещаем элементы на свободное поле кликом левой кнопки мыши. Чтобы указать точные координаты опор, переходим в режим редактирования, нажав на значок курсора на панели инструментов.
    • Двойной клик по опоре. Во всплывающем окне «свойства узла» задаём точные координаты в метрах. Положительное направление осей координат — вправо и вверх соответственно. Если узел не будет использоваться в качестве опоры, установите флажок «не связан с землёй». Здесь же можно задать приходящие в опору нагрузки в виде точечной силы или момента, а также перемещения. Правило знаков такое же. Удобно разместить крайнюю левую опору в начале координат (точка 0, 0).
    • Далее размещаем узлы фермы. Выбираем элемент «свободный узел», кликаем по свободному полю, точные координаты прописываем для каждого узла в отдельности.
    • На панели инструментов выбираем «стержень». Кликаем на начальном узле, отпускаем кнопку мышки. Затем кликаем на конечном узле. По умолчанию стержень имеет шарниры на двух концах и единичную жёсткость. Переходим в режим редактирования, двойным кликом по стержню открываем всплывающее окно, при необходимости изменяем граничные условия стержня (жёсткая связь, шарнир, подвижный шарнир для опорного конца) и его характеристики.
    • Для загружения ферм используем инструмент «сила», нагрузка прикладывается в узлах. Для сил, прикладываемых не строго вертикально или горизонтально, устанавливаем параметр «под углом», после чего вводим угол наклона к горизонтали. Альтернативно можно сразу ввести значение проекций силы на ортогональные оси.
    • Программа считает результат автоматически. На панели задач (вверху) можно переключать режимы отображения внутренних усилий (M, Q, N), а также опорных реакций (R). Результатом будет эпюра внутренних усилий в заданной конструкции.

    В качестве примера рассчитаем сложную раскосную ферму, рассмотренную в методе моментной точки (рис. 6). Примем размеры и нагрузки: d = 3м, h = 6м, P = 100Н. По выведенной ранее формуле значение усилия в верхнем поясе фермы будет равно:

    O(7−9) = -8d∙P/h = -8∙3м∙100Н/6м = -400 Н (сжатие)

    Эпюра продольных усилий, полученная в Полюсе:

    Эпюра продольных усилий

    Рисунок 10

    Значения совпадают, конструкция смоделирована верно.

    Список литературы

    1. Дарков А. В., Шапошников Н. Н. — Строительная механика: учебник для строительных специализированных вузов — М.: Высшая школа, 1986.
    2. Рабинович И. М. — Основы строительной механики стержневых систем — М.: 1960.

    planken.guru

    Расчет простой плоской статически определимой фермы

    Для фермы требуется определить усилия в  стержнях.Дано: ферма, у которой

    2015-01-10 16-14-56 Скриншот экрана

    Ферму вычерчиваем в масштабе. Усилия направляем от сечений (или от узла), предполагая растянутыми.

    2015-01-10 16-17-19 Скриншот экрана

    Решение:

    1. Определяем реакции в ферме. Можно изобразить балочную аналогию и найти реакции, как в балке.

    2015-01-10 16-19-14 Скриншот экрана

    Проверка выполняется, значит, реакции определены верно.

    2. Определение усилий в стержнях фермы.

    1) 2015-01-10 16-21-58 Скриншот экрана

    Стержень принадлежит нижнему поясу, проводим сечение I, находим моментную точку 4 (в ней пересекаются два других стержня в этом сечении), составляем уравнение моментов относительно этой точки левой отсеченной части фермы:

    2015-01-10 16-24-55 Скриншот экрана

    2) 2015-01-10 16-26-59 Скриншот экрана

    Стержень принадлежит верхнему поясу, проводим сечение I, находим моментную точку 10, составляем уравнение моментов относительно этой точки левой отсеченной части фермы:

    2015-01-10 16-28-54 Скриншот экрана Знак говорит о том , что стержень сжат.

    3)  2015-01-10 16-29-56 Скриншот экрана

    Стержень принадлежит нижнему поясу, проводим сечение II, находим моментную точку 10, составляем уравнение моментов относительно этой точки левой отсеченной части фермы: 2015-01-10 16-47-22 Скриншот экрана Знак говорит о том ,что стержень сжат.

    где   2015-01-10 16-42-34 Скриншот экрана (плечо искомого усилия ) находим из геометрических соображений или по масштабу.

    4) 2015-01-10 16-55-01 Скриншот экрана

    Стержень является раскосом, проводим сечение II, находим моментную точку C (крайняя левая точка фермы), составляем уравнение моментов относительно этой точки левой отсеченной части фермы:

    2015-01-10 16-58-17 Скриншот экрана (сжат), где  2015-01-10 16-59-34 Скриншот экрана(плечо искомого усилия ) находим из геометрических соображений или по масштабу;

    5) 2015-01-10 17-01-58 Скриншот экрана

    Стержень является стойкой, проводим сечение III, находим моментную точку C, составляем уравнение моментов  относительно этой точки левой отсеченной части фермы: 2015-01-10 17-10-42 Скриншот экрана (растянут)

    6) 2015-01-10 17-11-50 Скриншот экрана Стержень является раскосом, проводим сечение I, применяем способ проекций, т.к. два других разрезанных стержня параллельны, составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось  левой отсеченной части фермы: 2015-01-10 17-13-27 Скриншот экрана (сжат)

    7)  2015-01-10 17-15-08 Скриншот экрана   

    Стержень является стойкой, проводим сечение IV, применяем способ проекций, т.к. два других разрезанных стержня параллельны, составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось  правой отсеченной части фермы:

    2015-01-10 17-16-35 Скриншот экрана (сжат)

    8)  2015-01-10 17-19-10 Скриншот экрана 

    Стержень является стойкой, применяем способ вырезания узлов, т.к. два других способа применить невозможно (нельзя разрезать ферму через три стержня), составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось для узла 9:

    2015-01-10 17-20-40 Скриншот экрана2015-01-10 17-21-35 Скриншот экрана

    9)  2015-01-10 17-22-21 Скриншот экрана  

    Стержень является стойкой, применяем способ вырезания узлов, составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось для узла 6:

    2015-01-10 17-23-44 Скриншот экрана2015-01-10 17-24-26 Скриншот экрана (сжат)

    10)  2015-01-10 17-25-51 Скриншот экрана 

    Стержень является стойкой, применяем способ вырезания узлов, составляем уравнение проекций сил на вертикальную ось для узла 12:

    2015-01-10 17-26-53 Скриншот экрана2015-01-10 17-27-28 Скриншот экрана (сжат)

    11) 2015-01-10 17-28-22 Скриншот экрана  

    Стержень является стойкой, применяем способ вырезания узлов, составляем уравнение проекций сил на  вертикальную ось для узла 3:

    2015-01-10 17-30-20 Скриншот экрана

    2015-01-10 17-31-25 Скриншот экрана (растянут)

     

     

    prosopromat.ru

    Расчет статически определимой фермы | ПроСопромат.ру

    Статически определимая ферма. Задача. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d=2м; h=3м; =16м; F=5кН.

    Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

    2018-12-21_15-45-46

    Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции RА и RВ.

    Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

    2018-12-21_15-47-19

    Если загрузка фермы несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесияМА=0 (находим RВ), МВ=0 (находим RА), у=0 (проверка).

    Теперь обозначим элементы фермы:

    «О» — стержни верхнего пояса (ВП),

    «U» — стержни нижнего пояса (НП),

    «V» — стойки,

    «D» — раскосы.

    С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О4 — усилие в стержне верхнего пояса; D2 – усилие в раскосе и т.д.

    Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

    2018-12-21_15-48-05

    Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О2, D1, U2 (стержни второй панели), усилие в стойке V2, а также усилие в срединной стойке V4 . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

    1. Метод моментной точки (метод Риттера),
    2. Метод проекций,
    3. Метод вырезания узлов.

    Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

    2018-12-21_15-48-58

    Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням — О2, D1, U2. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

    Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

    Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

    Определим усилие в стержне О2.

    Моментной точкой для О2будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D1 и U2 .

    Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

    2018-12-21_15-51-41

    О2мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О2 – сжат.

    Далее в скобках будет указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

    Определяем усилия в стержне U2. Для U моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня — О2 и D1.2018-12-21_15-53-44

    Теперь определяем моментную точку для D1. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О2 и U2 не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

    Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D1 потребуется знать угол α. Определим его.2018-12-21_16-02-11

    Определим усилие в правой стойке V2. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни  О3, V2, U2. Рассмотрим левую часть.

    2018-12-21_16-02-50

    Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.

    2018-12-21_16-03-47

    Теперь определим усилие в срединной стойке V4. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов. Стойка V4 примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V4 направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

    2018-12-21_16-04-42

    Узел 11.

    Проецируем усилия на координатные оси

    х=0,   —U4+ U5=0,   U4= U5

    у=0,    V4=0.

    Таким образом, стержень V4 — нулевой.

    Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0.

    Правила определения нулевых стержней — смотреть здесь.

    Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

    Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения.

    2018-12-21_16-09-38

    prosopromat.ru

    8. СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ ФЕРМЫ

    М = Rс . d = RЕ . d ,

    76

    Пример 7. 7

    От заданной нагрузки определить опорные реакции (рис. 7. 16).

    Решение:

    Расчленяем систему на три части АD, DВЕ и ЕС.

    Рассматриваем равновесие диска ЕС, к которому приложен сосредоточенный момент М.

    Так момент, т.е. пара сил может быть уравновешена только парой, имеющей противоположное направление вращения и численно равная моменту, получим:

    М

    Rс = RЕ = —- . d

    Равновесие диска DВЕ рассматривается под действием трех сил: RЕ′ = — RЕ, Rв и RD′, линии действия которых должны пересекаться в точке К, а силовой треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнутым.

    Равновесие диска АD рассматривается под действием двух сил: RА и RD = — RD′, т.е. RА = — RD (рис. 7. 16).

    Пример 7.8

    От заданной нагрузки графически определить опорные реакции в следующих системах (рис. 7. 17, 7. 18) самостоятельно.

    8.1. Основные понятия о ферме и усилиях в ее стержнях

    Фермой называется конструкция, расчетная схема которой представляет собой геометрически неизменяемую систему, состоящую из прямолинейных стержней, соединенных в узлах полными идеальными (без трения) шарнирами.

    В реальных фермах стержни в узлах соединяются жестко, а не шарнирно. Однако допущение о шарнирном соединении стержней значительно упрощает расчет ферм. При этом результаты вычислений достаточно точно соответствуют действительности, весом стержней по сравнению с нагрузкой, действующей на ферму, можно пренебречь и рассматривать их как невесомые. Нагрузка обычно прикладывается в узлах фермы.

    При узловой нагрузке в прямолинейных стержнях фермы возникают только продольные реакции или усилия N, вызывающие растяжение или сжатие стержней. Определение усилий в стержнях является одной из основных задач при расчете ферм.

    Ферма называется плоской, если оси всех ее стержней лежат в одной плоскости, совпадающей с плоскостью действия внешних сил (с силовой плоскостью). Ниже рассматривается расчет только плоских ферм.

    Стержни плоской фермы (рис. 8. 1, а), расположенные по внешнему контуру образуют верхний и нижний пояс фермы, а стержни, соединяющие их, образуют решетку фермы. Вертикальные стержни решетки называются стойками, а наклонные – раскосами.

    77

    На каждый стержень фермы (рис. 8. 1, б) со стороны узлов действует уравновешенная система сил (F1 = — F2, F1 = F2 = F), направленных вдоль оси стержня. Эти силы вызывают либо растяжение, либо сжатие стержня. Согласно аксиоме действия и противодействия усилие N стержня при растяжении направлено от узлов, а при сжатии – к узлам. При этом модуль усилия N = F1 =

    =F2 = F. Если узлы не оказывают силового воздействия на стержень, т.е. F1 =

    =F2 = 0, то усилие в нем отсутствует (N = 0).

    8.2. Условие геометрической неизменяемости и статической определимости фермы

    Необходимым условием геометрической неизменяемости фермы является равенство:

    где С – число стержней, а У – число полных шарнирных узлов фермы. Действительно, один стержень, который является неизменяемой частью

    фермы, имеет два узла, а последующие узлы фермы присоединяются двумя стержнями, не лежащими на одной прямой. Таким образом, общее число

    стержней в геометрически неизменяемой ферме равно:

    С = (У – 2) . 2 + 1 = 2У – З .

    Чтобы усилия в стержнях фермы определялись только методами статики, она должна быть статически определимой. Условие статической определимости фермы то же самое, что и условие ее геометрической неизменяемости (8. 1).

    В самом деле, рассматривая плоскую геометрически неизменяемую ферму, как одно твердое тело под действием произвольной системы сил, будем иметь три неизвестных опорных реакции и С неизвестных усилий в стержнях фермы, т.е. всего неизвестных будет С + З. При этом для каждого узла фермы, находящегося под действием сходящихся сил (усилий, опорных реакций или активных сил), можно составить только два уравнения равновесия статики:

    n n

    ∑ Хi = 0 , ∑ Уi = 0 ,

    i=1 i=1

    а всего таких уравнений будет 2У. Приравнивая число неизвестных числу уравнений, получаем условие статической определимости фермы:

    С + З = 2У ,

    или

    а..

    Верхний пояс

    ойСтка

    Р

    с

    о

     

    к

     

    с

     

    а

     

    Нижний пояс

    б. F1

    N Растянут N F2

    F1

    N Сжат

    N F2

     

    Неработает

     

     

    N = 0

     

    а.

     

     

     

    6

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    P1

     

    0

     

     

     

     

     

    N6

    4

    ЕP2

    7

     

     

     

     

    3

    N8

     

     

    3

    N1

    b

    N5

     

    N9

    N11

    N12

     

     

    N3

     

    N7

     

     

     

    XA 1

    aN2

     

     

     

    6 N13

    8

    2

    N4

    5

    N10

    A

     

    В

     

    P3

     

    4

     

    4

     

    4

     

    4

     

     

     

     

     

     

     

     

    6

     

     

     

     

     

     

    б.

     

     

     

    1

     

     

    0

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    ЕP2

     

     

     

     

     

     

    y

     

    3

    P

    N6

    4

     

    N8

    7

     

     

     

     

    N1

     

     

     

    N12

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    N1

     

    b

    N5

     

    N

     

    N9

    N11

     

     

     

     

     

    N5

    N9

     

     

     

     

     

     

    N3

     

     

     

     

    1

     

     

     

     

     

    7

     

     

    N12 8

    XA

    a

     

     

     

     

     

     

     

     

    6

     

    A

     

     

    2

    N4

     

    4 5 N10

    N10

     

    В N13

     

     

    2

    N2

     

     

    P3

     

     

    N

     

     

     

    N

     

     

     

     

     

    YA RB

     

    a

    N2

    x

     

     

     

     

    г.

    y

     

     

    N3

     

     

     

     

     

    N1

    a

    N2

     

     

     

    x

     

    д.

    y

     

     

    N2

     

     

    x

    a

     

     

     

     

     

     

    N1

    P

    x

     

     

    а.

     

     

    N4

    5

    N9

    4

     

     

     

    2 N

     

     

    N2

    N1

    A

    N3

    N11 N8

    N7

    1

    N10

    B N6

    3

     

     

     

     

     

     

     

     

    P

    RA

     

    RB

     

     

     

     

     

     

     

    в.

     

     

     

    P1

     

     

     

     

    h4

     

     

     

     

     

     

    N1

     

     

     

     

     

     

    2a h2 a

    2

     

     

     

     

    N3

     

    2

    3

     

     

    RA 3

    N2

    1

     

     

     

     

     

     

     

    a=6м

    3

     

     

    б.

    P1 1

    P2 2

     

     

    N4

     

     

     

    N1

     

     

     

     

     

     

     

    a

     

     

    2

     

     

     

     

     

    N3

    N6

     

    2

    A

    N2

    N5

    P3

    B

    RA 3

    1 3

    23

    3

    RB

    г.

    y

    N4

    4

     

     

     

     

     

    9

    N6

    g

    4

     

     

     

     

     

     

     

     

    0

     

     

     

     

    Е

    N5

     

     

     

    1

     

    RB

     

     

    3

    3

     

     

     

    79

    8.3. Методы расчета фермы

    Для определения усилий в стержнях статически определимых ферм разработаны различные аналитические и графические методы. С появлением быстродействующих электронных вычислительных машин (ЭВМ) в настоящее время преимущественно используются аналитические методы расчета ферм. Рассмотрим два наиболее простых из них: метод вырезания узлов и метод сечений (метод Риттера).

    8.3.1. Метод вырезания узлов

    Суть метода состоит в том, что при определении усилий в стержнях фермы рассматривают равновесие каждого узла, мысленно вырезая его из фермы. Влияние рассеченных стержней на узел заменяют их усилиями, предполагая при этом, что все стержни фермы испытывают растяжение, т.е. усилия изображают стрелками от узлов (рис. 8. 1, б). Если в результате вычислений усилие получается со знаком «плюс», то стержень действительно растянут, если со знаком «минус», то стержень не растянут, а сжат.

    Искомые усилия определяют из уравнений равновесия сил, приложенных к рассматриваемому узлу:

    n n

    ∑ Хi = 0 , ∑ Уi = 0 , (8. 2)

    i=1

    i=1

    Поскольку для каждого узла плоской фермы можно составить только два уравнения равновесия, то расчет начинают с двухстержневого узла (число неизвестных должно быть равно числу уравнений), переходя затем к следующим узлам, где с учетом найденных усилий неизвестны снова два усилия. Если предварительно определить опорные реакции фермы, рассматривая ее, как одно твердое тело, то согласно выражению (8.1) для определения усилий во всех стержнях потребуется 2У – З уравнений вида (8.2), т.е. необходимость в составлении трех последних уравнений отпадает. Однако, составив их в качестве проверки, полезно убедиться, что эти уравнения обращаются в тождества.

    Недостатком метода вырезания узлов является то, что погрешности вычислений накапливаются от узла к узлу и при грубых вычислениях проверка равновесия последнего по ходу расчета узла фермы не будет выполняться.

    Пример 8. 1

    Определить методом вырезания узлов усилия в стержнях плоской статически определимой фермы (рис. 8. 2, а), если Р1 = 12 кН, Р2 = 8 кН, Р3 = 14 кН.

    Решение:

    1. Проверяем выполнение условия (8. 1).

    Число стержней в ферме С = 13, а число шарнирных узлов У = 8, т.е. получаем: С = 2У – З, 13 = 2 . 8 – 3, 13 = 13. Следовательно, ферма является геометрически неизменяемой и статически определимой.

    80

    2. Определяем реакции опор фермы ХА, УА и Rв, составляя уравнения равновесия статики:

    ∑Х= 0 , ХА + Р2 Sin 60° = 0 ,

    ∑У= 0 , УА – P1 – Р2 Соs 60° + Rв – Р3 = 0 ,

    ∑МА = 0 , – P1 . 4 + Р2 Sin 60° . 3 – Р2 Соs 60° . 8 + Rв . 12 – Р3 . 16 = 0 ,

    откуда,

    Rв = 10,268 кН , УА = 9,732 кН , ХА = 6,928 кН .

    Проверка:

    ∑М4 = 0 ,

    ∑М4 = ХА . 3 – УА . 8 + P1 . 4 + Rв . 4 – Р3 . 8 = 6,928 . 3 – 9,732 . 8 + 12 . 4 +

    +10,268 . 4 – 4 . 8 = 109,856 – 109,856 = 0

    Следовательно, реакции опор определены верно.

    3. Определяем усилия в стержнях фермы, рассматривая равновесие каждого ее узла (рис. 8. 2, б), начиная с двухстержневого узла 1. Нумерацию узлов 1, 2 …, 8 составляем так, чтобы при переходе от одного узла к другому в нем были неизвестны только два усилия. В каждом узле искомые усилия

    определяем из уравнений равновесия: ∑ Х= 0 , ∑ У= 0 .

     

     

    3

    3

     

     

    4

     

    Sin α = Cos β = ———— = —- = 0,6 ; Cos α = Sin β = —- = 0,8

     

    √ 32 + 42

    5

     

     

    5

    Узел 1:

    ∑ У= УА + N1 Sin α = 0 ,

    N1 = — 16,22 кН

     

    ∑ Х= ХА + N1 Соs α + N2 = 0 ,

    N2 = 6,048 кН

    Узел 2:

    ∑ Х= 0 , — N2 + N4 = 0 , N4 = 6,048 кН

     

     

    ∑ У= 0 , N3 = 0

     

     

     

     

    Узел 3:

    ∑ У= — N1 Соs β — N3 – Р1 – N5 Соs β = 0 , N5 = — 3,78 кН

     

    ∑ Х= — N1 Sin β + N5 Sin β + N6 = 0 ,

    N6 = — 9,952 кН

    Узел 4:

    ∑ Х= — N6 – Р2Соs 60° + N8 = 0 ,

    N8 = — 3,024 кН

     

    ∑ У= — N7 – Р2Sin 60° = 0 ,

    N7 = — 4 кН

    Узел 5:

    ∑ У= N5 Sin α + N7 + N9 Sin α = 0 ,

    N9 = 10,447 кН

     

    ∑ Х= — N4 -N5 Соs α + N9 Соs α + N10 = 0 , N10 = — 5,333 кН

    Узел 6:

    ∑ Х= — N10 + N13 = 0 , N13 = 5,333 кН

     

    ∑ У= N11 + Rв = 0 ,

    N11 = — 10,268 кН

    Узел 7: ∑ Х= — N8 – N9 Соs α + N12 Соs α = 0 ,N12 = 6,667 кН

    studfile.net

    3.19. Пример расчета статически определимой фермы

    Определить усилия во всех стержнях статически определи­мой фермы (рис. 3.72):

    Рис. 3.72

    1). Кинематический анализ:

    А. W=З×D−З×П−2×Ш− С =3×13−3×0−2×18−3=0,

    Система может быть неизменяемой;

    Б. Структурный анализ:

    Очевидно, что мы имеем дело с неизменяемой систе­мой (см. табл.2.1).

    2). Определение опорных реакций:

    m1 = Р1×3 + Р2× 4 + Р3×6 + Р4×8 + Р5×12 − y8× 16 = 0;

    откуда y8 = 56 кН.

    m8 = y1×16 + Р1× 3 − Р2×4 + Р3×6 − Р4×8 − P5×4 = 0;

    откуда y1=3.44 кН.

    xi = x1+ Р1 + Р3= 0; откуда x1=− Р1 − Р3= −4 кН.

    Проверка:

    yi = 3.44 −Р2 − Р4− P5 + 7.56 = 0.

    3). Определение усилий во всех стержнях:

    Отметим нулевые стержни (2-3) и (7-6): N2-3= 0, N7-6 =0.

    Для определения усилий в остальных стержнях воспользу­емся методом вырезания узлов. Отметим, что начинать следует с узлов, в которых сходятся не более двух стержней с неиз­вестными усилиями.

    Узел 1:

    Рис. 3.73

    Далее переходим к узлу 2:

    Рис. 3.74

    Затем имеем возможность рассмотреть узел 3:

    (ось  перпендикулярна направлению 1−3−5)

    Рис. 3.75

    Таким образом могут быть определены усилия во всех стерж­нях фермы. Окончательные результаты расчета изображены на рис. 3.76.

    Рис. 3.76

    Выборочная проверка правильности определения усилий зак­лючается в рассмотрении того узла, равновесие которого не было использовано при определении усилий (например узел 4):

    Рис. 3.77

    3.20. Расчет ферм на внеузловую нагрузку

    При возведении покрытия на практике иногда невозможно избежать внеузлового нагружения фермы (например при недостат­ке или отсутствии плит с шириной, равной длине панели фермы и т.п.). При этом в элементах фермы, непосредственно подвержен­ных действию этой нагрузки, помимо продольных сил «N», возни­кают изгибающий момент «М» и поперечная сила «Q»(рис.3.78).

    Рис. 3.78

    В стержнях верхнего пояса «СD» и «DВ» возникают внутрен­ние усилия «М» и «Q», приближенно соответствующие простым балкам на двух шарнирных опорах (индекс «о»).

    В таких случаях расчет ведут в следующей последователь­ности:

    1). Производится расчет каждого элемента, загруженного внеузловой нагрузкой, как для простой однопролетной балки.

    2). Заданная ферма загружается узловой нагрузкой (рис.3.79), по величине равной полученным значениям опорных реакций от внеузловой нагрузки в простых балках, и производится обычный расчет фермы (определяются продольные усилия).

    Рис. 3.79

    3). В стержнях, подверженных действию внеузловой нагруз­ки, сечение подбирается по известной из курса «Сопро­тивление материалов» форму­ле:

    = N/А ± М/WR;

    Во всех других элементах фермы, подбор сечений произ­водится по упомянутой ранее формуле:

    = N/АR

    Заметим, что для сжатых и сжато-изогнутых элементов фер­мы необходимо провести дополнительный расчет на устойчивость.

    Внеузловая нагрузка на фермы является экономически невы­годной (перерасход материала), поэтому на практике для умень­шения длины панели применяют либо составные, либо шпренгельные фермы.

    studfile.net

    Расчет статически определимых ферм. Общие понятия.

    Ферма это динамичная геометрически неизменяемая система, состоящая из прямых стержней соединенных между собой идеальными шарнирами.

    Бывают железобетонные, металлические, деревянные.

    Совокупность стержней, ограничивающих ферму сверху, называется верхним поясом (1) , снизу – нижним поясом (2). Внутренние стержни образуют решетку, вертикальные стержни называются стойками (3), наклонные – раскосами (4).

    В качестве генеральных размеров ферм принимают:

    — длину пролета l – расстояние между опорами

    — высоту h – наибольшее расстояние между по вертикали между узлами поясов

    — длину панели d – расстояние между узлами верхних или нижних поясов

    Оптимальные размеры ферм при .

    Классификация ферм.

    I. По назначению: — мостовые;

    — крановые;

    — строительные.

    II. По очертанию поясов:

    а) с параллельными поясами

    б) полигонные

    в) треугольные

    г) криволинейные

    III. По типу решетки:

    а) Раскосая решетка с нисходящими и восходящими раскосами.

    б) Треугольная решетка.

    в) Полураскосая (применяют при высоких фермах)

    г) Шпренгельная.

    IV Сложные:

    а) с консолями

    б) многопролетные

    Расчет простых ферм. Понятие о расчетной схеме фермы.

    Наиболее простой расчетной схемой фермы является стержневая конструкция, в которой все стержни соединены в узлах идеальными шарнирами, а нагрузки в виде сосредоточенных сил приложены только в узлах. В стержнях фермы возникают только продольные усилия, а изгибающие моменты и перерезывающие силы равны нулю.

    Расчет фермы заключается в определении расчетных продольных усилий в стержнях от действия расчетных нагрузок.

    Определение опорных реакций.

    Для определения опорных реакций используем уравнение статики:

    ∑MA = 0 =>VB

    ∑MB = 0 => VA

    Проверка: ∑Y = 0

    Предварительно всю внешнюю нагрузку нужно привести к узловой и распределить ее между верхним и нижним поясами фермы.

    Пример.

    1. Заданную распределенную нагрузку приводим к погонной:

    qn= q*в=4*6=24 кН/м

    в – расстояние между фермами.

    1. Распределяем погонную нагрузку на узловую:

    Рузл = qn*d=24*2=48 кН

    Рузл крайн = 0,5Рузл=24 кН

    1. Распределяем нагрузку на верхние и нижние узлы:

    1. Определяем опорные реакции.

    Проверка:

    Определение усилий в стержнях фермы аналитическим способом.

    Этот способ основан на рассмотрении равновесия отсеченной части фермы и использовании различных видов уравнений равновесия.

    При проведении сечений нужно помнить, что:

    — сечение должно разделить ферму на две части;

    — сечение, как правило, должно проходить не более чем через три стержня.

    Существует 4 аналитических способа:

    а) способ моментных точек;

    б) способ проекций;

    в) способ вырезания узлов;

    г) способ замены стержней (для сложных ферм).

    Способ моментных точек (способ Риттара).

    Применяется в тех случаях, когда при рассечении фермы на две части разрезаются 3 стержня с неизвестными усилиями, не сходящиеся в одной точке. Если при определении усилий в одном из стержней 2 других стержня не параллельны между собой, то точка их пересечения является моментной для искомого усилия. Этот способ и способ проекций позволяют определять усилия в стержнях ферм независимо от усилий в соседних стержнях, так как соответствующие уравнения равновесия содержат всего одно неизвестное.

    Разрезаем ферму сечением к-к. Отбрасываем правую часть. Взамен показываем усилия в стержнях, считая их растягивающими. А – моментная точка для усилия N1

    О – моментная точка для усилия N3

    Составляем уравнения равновесия:

    — сжат.

    Замечание:

    — из геометрических соображений.

    Достоинства: удобен, универсален, можно найти усилия в любом стержне.

    studfile.net

    расчет статически определимой фермы

    МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

    Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

    УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

    В. К. Манжосов

    РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ

    Методические указания

    УДК 624.04(076) ББК 38.121я7

    М 23

    Рецензент канд. техн. наук, доцент А. Н. Черный

    Одобрено секцией методических пособий научно-методического совета университета.

    Манжосов, В. К.

    М23 Расчет статически определимой фермы : методические указания. – Ульяновск : УлГТУ, 2010. – 36 с.

    Составлены в соответствии с учебными программами по дисциплине «Строительная механика» для направления «Строительство». Методические указания предназначены для выполнения расчетно-проектировочных и контрольных заданий, предусмотренных рабочими программами по дисциплине.

    Работа подготовлена на кафедре теоретической и прикладной механики.

    УДК 624.04(076) ББК 38.121я7

    Учебное издание МАНЖОСОВ Владимир Кузьмич

    РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ

    Методические указания

    Редактор М. В. Теленкова

    Подписано в печать 01.102010. Формат 60×84/16. Усл. печ. л. 2,09. Тираж 100 экз. Заказ 1038.

    Ульяновский государственный технический университет, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32.

    Типография УлГТУ, 432027, Сев. Венец, 32

    Манжосов В. К., 2010.Оформление. УлГТУ, 2010

    2

    СОДЕРЖАНИЕ

     

    РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ..…………………

    4

    1. Основные понятия………………………………………………….

    4

    2.Расчет статически определимой фермы с одноярусными шпрен-

    гелями……………………………………………………………….. 6

    2.1. Задание для расчета статически определимой фермы………

    6

    2.2. Кинематический анализ………………………………………

    6

    2.3. Определение усилий в стержнях заданной панели………….

    6

    2.3.1. Определение усилий в стержнях панели основной

    6

    фермы…………………………………………………………..

    2.3.2. Определение усилий в стержнях шпренгеля…………

    8

    2.3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели….

    10

    2.4. Построение линий влияния усилий для стержней панели…

    10

    2.4.1. Построение линий влияния усилий для стержней

    10

    заданной панели основной фермы……………………………

    2.4.2.Линии влияния продольных сил в шпренгельных стержнях……………………………………………………… 13

    2.4.3.Линии влияния усилий в стержнях 3-й панели на уча-

     

     

     

    стках (1

    10 ), ( 9 2 ), ( 2 10 )……………………………… 16

    2.5.Определение усилий в стержнях 3-й панели по линиям

    влияния и сопоставление с аналитическими данными………….. 17

    3.Расчет статически определимой фермы с двухъярусными шпрен-

    гелями …………………………………………………………….. 19

    3.1. Задание для расчета статически определимой фермы………

    19

    3.2. Кинематический анализ………………………………………

    20

    3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели………….

    20

    3.3.1. Определение усилий в стержнях панели основной

     

    фермы…………………………………………………………..

    20

    3.3.2. Определение усилий в стержнях шпренгеля…………

    22

    3.3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели….

    24

    3.4. Построение линий влияния усилий для стержней панели…

    24

    3.4.1. Построение линий влияния усилий для стержней

     

    заданной панели основной фермы……………………………

    25

    3.4.2.Линии влияния продольных сил в шпренгельных стержнях……………………………………………………… 28

    3.4.3.Линии влияния усилий в стержнях 4-й панели на

    участках

     

    (11

     

     

     

     

     

    5 ),

    (12 1 ),

    2 ),

    ( 2 12 ),

    ( 2

    1 ),

    (1

    ( 5 4 ), (1 4 )………………………………………………….

    31

     

     

    3.5.Определение усилий в стержнях 4-й панели по линиям

    влияния и сопоставление с аналитическими данными………….

    32

    РЕКОМЕНДУЕМЫЙ СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………..……………

    34

    СХЕМЫ РАСЧЕТНЫХ ЗАДАНИЙ………………………………………

    35

    3

     

    РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМОЙ ФЕРМЫ 1. Основные понятия

    Плоские фермы представляют собой стержневые системы, состоящие из отдельных, обычно прямолинейных, стержней, соединенных между собой в узлах фермы. В большинстве случаев соединения стержней фермы в узлах являются жесткими (с помощью сварки, заклепок, болтов и других скреплений). Точный расчет фермы с такими узлами достаточно сложен, так как такая ферма является много раз статически неопределимой системой.

    Однако, если нагрузка фермы приложена в узлах, то расчет фермы можно значительно упростить, условно заменив жесткие узлы фермы шарнирными соединениями. Точные расчеты показывают, что такая замена допустима, так как при сосредоточенных нагрузках, приложенных в узлах, усилия, возникающие в шарнирной ферме, мало отличаются от усилий в ферме с жесткими узлами.

    В данной работе изложена последовательность расчета плоской статически определимой, геометрически неизменяемой шпренгельной фермы.

    Статически определимой является ферма, когда для определения усилий в ее стержнях достаточно уравнений статического равновесия.

    Геометрически неизменяемой является ферма, у которой перемещение ее точек возможно лишь в связи с деформацией ее элементов. Простейшей статически определимой, геометрически неизменяемой системой является шарнирный треугольник (рис. 1.1, а).

    а) б)

    Рис. 1.1. Статически определимая, геометрически неизменяемая стержневая система

    Более сложная статически определимая, геометрически неизменяемая система может быть образована путем последовательного присоединения узлов, причем каждого двумя стержнями, не лежащими на одной прямой (рис. 1.1, б).

    Зависимость между числом узлов K и числом стержней С для получения простейшей плоской статически определимой и геометрически неизменяемой фермы может быть определена по формуле

    C 2K 3 .

    Если число стержней C 2K 3, то это показывает, что ферма в своем составе не имеет минимального количества стержней, необходимого для образования геометрически неизменяемой системы.

    По конструктивным соображениям раскосы фермы удобно располагать

    так, чтобы они составляли со стойками и поясами углы, близкие к 45o . При увеличении высоты фермы увеличивается длина панелей. Устройство больших

    4

    панелей вызывает увеличение массы технологической части сооружения на этих панелях.

    Задача увеличения высоты фермы может быть рациональна решена при введении в состав каждой панели дополнительных двухопорных ферм – шпренгелей (рис. 1.2, б, в), опирающихся на узлы основной фермы (рис. 1.2, а).

    а) Схема фермы без шпренгелей (основная ферма)

    б) Схема фермы с одноярусными шпренгелями

    в) Схема фермы с двухъярусными шпренгелями Рис. 1.2. Схемы статически определимых ферм

    Различают одноярусные шпренгели (рис. 1.2, б), передающие нагрузку в узлы грузового пояса, и двухъярусные шпренгели (рис. 1.2, в), передающие нагрузку в узлы противоположного пояса.

    Элементы (стержни) ферм, в состав которых входят одноярусные шпренгели, делят на следующие три категории:

    1)элементы, принадлежащие только основной ферме. Усилия в этих стержнях определяются расчетом основной фермы; эти усилия не меняются при включении в ферму шпренгелей;

    2)элементы, принадлежащие только шпренгелям. Усилия в них могут быть найдены из уравнений равновесия, составляемых для отдельных частей шпренгеля, который при этом можно рассматривать как самостоятельную двухопорную ферму;

    3)элементы, принадлежащие одновременно основной ферме и шпренгелю. Усилие в каждом из них равно сумме двух усилий, одно из которых возникает в элементе основной фермы, а другое – в слившемся с ним элементе шпренгеля.

    5

    Элементы (стержни) ферм, в состав которых входят двухъярусные шпренгели, делятся на четыре категории: из них первые три те же, что и для ферм с одноярусными шпренгелями. Элементами четвертой категории являются те из элементов основной фермы (первой категории), линии влияния для которых имеют различный вид при перемещении единичной силы по верхнему грузовому поясу или по нижнему грузовому поясу.

    2.Расчет статически определимой фермы с одноярусными шпренгелями

    2.1. Задание для расчета статически определимой фермы

    Для заданной статически определимой фермы, нагруженной силами Р в узлах нижнего грузового пояса (рис. 2.1), требуется:

    1.Произвести кинематический анализ.

    2.Определить усилия в стержнях заданной панели (третьей панели).

    3.Построить линии влияния усилий для стержней заданной панели.

    4.Определить усилия по линиям влияния и сопоставить их с усилиями, найденными аналитически.

    Рис. 2.1. Расчетная схема фермы

    2.2.Кинематический анализ

    Цель кинематического анализа – выяснить геометрическую неизменяемость сооружения. Геометрическая неизменяемость сооружения обеспечивается в том случае, если степень свободы сооружения равна нулю.

    Определим степень свободы фермы w по формуле

    w 2K C C0 ,

    где K число узлов фермы, C число стержней фермы, C0 число опорных

    стержней.

    Так как К = 26, С = 49, C0 = 3, то степень свободы фермы w равна

    w 2 26 49 3 = 0.

    Ферма является статически определимой и геометрически неизменяемой.

    2.3. Определение усилий в стержнях заданной панели

    2.3.1. Определение усилий в стержнях панели основной фермы

    Отбросим шпренгельные элементы и образуем основную ферму (рис. 2.2). Нагрузку, приложенную к шпренгелям, распределим в узлы основной фермы.

    6

    Рис. 2.2. Расчетная схема фермы без шпренгельных элементов

    Врезультате в узлах 8, 9, 10, 11 и 12 действуют силы по 2P , а на опоры А

    иВ действуют силы по 0,5P . Из уравнений равновесия в виде равенства нулю

    суммы моментов сил относительно узла А: M A (Pi ) 0 , следует

    (RB 0,5P) 6d 2P(d 2d 3d 4d 5d) 0 ,

    RB 6d 0,5P 6d 2P 15d 0 , RB 5,5P .

    Из уравнений равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла В: M B (Pi ) 0 , следует

    (RA 0,5P) 6d 2P(d 2d 3d 4d 5d) 0RA 6d 0,5P 6d 2P 15d 0 , RA 5,5P .

    Сечением I рассечем стержни 3-4, 3-10, 9-10 и отбросим правую от сечения часть фермы (рис. 2.3).

    Рис. 2.3. Расчетная схема левой части основной фермы

    Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 10: M10 (Pi ) 0 , следует

    (N3 4 )oc d (RA 0,5P) 3d 2P 2d 2P d 0 ,

    откуда

    (N3 4 )oc (RA 0,5P) 3 2P 2 2P 15P 4P 2P 9P .

    Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы моментов сил относительно узла 3: M3 (Pi ) 0 , следует

    (N9 10 )oc d (RA 0,5P) 2d 2P d 0 ,

    7

    откуда

    (N9 10 )oc (RA 0,5P) 2 2P 8P .

    Для левой части фермы (рис. 2.3) из условия равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует, что

    (RA 0,5P) 2P 2P (N3 10 )oc cos 45o 0 .

    Из данного равенства

    (N

    3 10

    )oc

    (RA 0,5P) 2P 2P

     

    P

    =

    2P

    2 P.

     

     

    cos 45o

     

    2 / 2

    2

     

    Вырежем узел 9 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.4).

    Рис. 2.4. Схема сил, сходящихся в узле 9 основной фермы

    Из условия равновесия узла 9 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует, что

    (N9 3 )oc 2P 0 ,

    (N9 3 )oc 2P .

    Вырежем узел 4 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.5).

    Рис. 2.5. Схема сил, сходящихся в узле 4 основной фермы

    Из условия равновесия узла 4 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует, что

    (N4 10 )oc 0 .

    Последнее равенство означает, что стержень (4-10) не загружен.

    2.3.2. Определение усилий в стержнях шпренгеля

    Вернемся теперь к исходной расчетной схеме (рис. 2.1). Изобразим шпренгель третьей панели на рис. 2.6 в виде двухопорной фермы.

    Из условия равновесия шпренгеля реакции в опорах

    8

    Рис. 2.6. Расчетная схема шпренгеля

    Рис. 2.7. Схема сил, сходящихся в узле 9

    третьей панели

    шпренгеля

    Рассмотрим равновесие сил в узле 9 шпренгеля (рис. 2.7).

    Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует, что

     

     

     

     

     

     

     

    R (N

    )ш sin 45o

    0 ,

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    9

     

     

     

    9 1

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    откуда

     

     

     

    (N

     

     

     

    R9

     

     

    P

     

     

     

    2

     

    P .

     

     

     

     

     

    sin 45o

    2

     

     

    2

     

     

     

     

     

     

     

    9 1

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Из уравнения равновесия в виде равенства нулю суммы проекций сил на

    ось x : Pix 0 ,

    следует

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    (N

     

    )ш (N

     

    )ш cos 45o 0 ,

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    9 2

     

     

     

     

    9 1

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    откуда

     

    (N

    (N

     

     

    cos 45o

    2

     

    P

     

    2

    0,5P .

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    9 2

     

     

     

     

    9 1

     

     

     

     

     

     

    2

     

     

     

     

     

    2

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Из условия симметрии шпренгельного элемента и его нагружения следует,

    что

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    (N

    )ш (N

     

     

    2

     

     

    P ,

     

    (N

     

    (N

     

    )ш 0,5P .

     

     

     

     

     

     

     

    10 1

     

     

    9 1

     

     

     

    2

     

     

     

     

     

     

    10 2

     

     

     

    9 2

    Вырежем узел 2 и рассмотрим силы, образующие в этом узле систему сходящихся сил (рис. 2.8).

    Рис. 2.8. Схема сил, сходящихся в узле 2 фермы

    Из условия равновесия сил в узле 2 в виде равенства нулю суммы проекций сил на ось y : Piy 0, следует

     

     

     

     

    (N

    )ш P 0 , (N

     

    P .

     

     

     

     

     

     

    2

    1

     

    2

    1

     

     

     

     

    Таким образом, в стержнях шпренгеля 3-й панели

     

     

    (N

    2

    P 0,707P , (N

    )ш 0,5P ;

     

    (N

     

    )ш (N

    )ш 0,707P ;

     

     

     

     

    9 1

    2

     

     

     

     

    9 2

     

    10 1

     

    9 1

     

     

    (N

    (N

     

    )ш 0,5P ;

     

    (N

     

    P .

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    10 2

     

    9 2

     

    2

    1

     

     

    9

    2.3.3. Определение усилий в стержнях заданной панели

    Рис. 2.9. Схема для определения сил в стержнях третьей панели

    Усилия в стержнях заданной панели (рис. 2.9), совмещенных со стержнями шпренгеля, вычисляются суммированием усилий в стержнях основной фермы и усилий в соответствующих стержнях шпренгеля:

    Ni Niос Niш ,

    где N i – усилие в i-м стержне заданной фермы, Nioc – усилие в i-м стержне основ-

    ной фермы, Niш – усилие в стержне шпренгеля, совпадающим с i-м стержнем

    основной фермы.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    Для третьей панели получим следующие

    значения

    усилий в

    стержнях

    (рис. 2.9)

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    N

    3 4

    N oc

     

    9P,

    N

    9 3

    N oc 2P ,

    N

     

     

    N oc

    2P,

    N

    N ш P,

     

     

     

    3 4

     

     

     

     

     

    9 3

     

    3 1

    3 10

     

     

     

     

    2

    1

    2 1

    N

    4 10

    N oc

    0,

    N

     

    N ш

    0,707P,

    N

     

    N oc

     

    N ш

    8P 0,5P 8,5P ;

     

     

    4 10

     

     

     

    9 1

    9 1

     

     

    9 2

    9 10

     

    9 2

     

     

     

    N

     

     

    N oc

     

    N ш

     

     

    8P 0,5P 8,5P ;

    N

     

     

    N oc N ш

     

     

    2P 0,707P 0,707P .

     

    10 2

    10 9

     

    10 2

     

     

     

     

     

    1 10

     

    3 10

     

    1 10

     

     

     

     

     

    2.4. Построение линий влияния усилий для стержней панели.

    Линии влияния усилий в стержнях заданной панели строятся при перемещении единичной силы по узлам нижнего грузового пояса фермы, схема которой приведена на рис. 2.10.

    Рис. 2.10. Расчетная схема фермы

    2.4.1. Построение линий влияния усилий для стержней заданной панели основной фермы

    Вначале построим линии влияния в стержнях для третьей панели основной фермы, схема которой без шпренгельных элементов изображена на рис. 2.11.

    Рис. 2.11. Расчетная схема фермы без шпренгельных элементов

    10

    studfile.net

    Related Articles

    Мансарда лестница: Лестница на мансарду, винтовая мансардная складная лестница (цена), купить компактную раскладную лесенку в дом (Москва)

    Содержание Наружная лестница на мансарду — МансардыЗа и против лестницы на мансарду с улицыКакие размеры должны быть у лестницыЛестницы из разных материаловкак сделать, расчет, особенности устройства и выбор дизайна, фото примеры лестниц мансардных из дерева и металлаКонструкции и места установки лестниц на мансардный этажВиды конструкций лестниц на мансардный этажМонтаж лестниц на мансардный этаж внутри и […]
    Читать далее

    Кровельный аэратор что это такое: Аэратор кровельный, что это такое?

    Содержание Аэратор кровельный, что это такое?Как устроен аэраторОсобенности установки аэратораПреимущества кровли с аэраторамичто это такое. Установка кровельного аэратораОткуда берется влагаНазначение аэратораПоследствия скопления влаги под кровлейМягкая кровля (рубероид)Виды аэраторовДля мягкой кровлиДля металлочерепицыДля профнастилаМонтаж аэратораАктуальные профессиональные советыЧто такое кровельный аэратор и как его выбратьКонструкция и назначение кровельного аэратораАэратор вентиляционный кровельный должен быть устойчивым к: Основные функции аэраторов:Как выбрать […]
    Читать далее

    Пол бетонный утеплить: Как утеплить бетонный пол в частном доме своими руками – Утеплитель для пола по бетону

    Содержание Утепление бетонного пола, утеплитель для пола по бетону под стяжку ТЕХНОЛОГИЯ УТЕПЛЕНИЯ БЕТОННОГО ПОЛА Теплоизоляция пола подвального помещения Теплоизоляция полов первых этажей Утепление бетонного пола в частном домеУтепление бетонного пола волокнистыми материаламиУтепление бетонного пола полистироломУтепление бетонного пола напыляемыми материаламиКак лучше утеплить бетонный пол — СамСтройТеплоизолируем бетонный пол: чем утеплить поверхность бетонного основанияХарактеристики теплоизоляционных материалов […]
    Читать далее

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

    Search for: