Момент балки – Расчет балки на прогиб ℹ️ построение эпюр, формулы, параметры расчетов, определение максимальной нагрузки и изгиба, примеры решения задач, онлайн-калькулятор

Как определить крутящий момент в балке

При расчете сборных или монолитных железобетонных балок (ригелей) всегда нужно внимательно относиться к крутящему моменту. Очень часто расчет на кручение требует увеличить сечение или армирование балки. Сечение балки при кручении эффективней увеличивать в ширину (увеличение балки по высоте дает малый эффект), оптимально при кручении уходить от прямоугольного сечения к квадратному.

В каких ситуациях в балке возникает крутящий момент?

1) Если на балку опирается перекрытие только с одной стороны – оно своим весом пытается крутить балку в сторону пролета перекрытия.

2) Если на балку опирается перекрытие с двух сторон, но пролет этих перекрытий разный – тогда нагрузка от перекрытия с большим пролетом перевешивает в свою сторону и крутит балку.

3) Если на балку опирается перекрытие равных пролетов, но нагрузки на этих перекрытиях отличаются (разное назначение помещений, наличие оборудования на перекрытии и т.п.) – тогда балка также прокручивается в сторону большей нагрузки.

4) Если вдоль балки действует вертикальная нагрузка (например, от веса перегородки), сбитая в сторону от оси балки.

Рассмотрим определение крутящего момента на примерах.

Пример 1. Монолитное балочное перекрытие. Необходимо определить крутящий момент в крайней балке. Суммарная нагрузка от веса монолитного перекрытия и всех нагрузок на нем равна: qн = 675 кг/м² (нормативная) и qр =775 кг/м² (расчетная).

Расчет ведется на 1 погонный метр балки.

В монолитном перекрытии связь перекрытия с балками жесткая. При такой схеме расчетный пролет перекрытия равен пролету плиты в свету между балками L₀ = 2,8 м, а нагрузка от плиты на балку передается в месте примыкания балки к перекрытию.

Найдем нагрузку на 1 п.м балки от половины пролета плиты 2,8/2 = 1,4 м:

Рн = 675∙1,4 = 945 кг/м;

Рр = 775∙1,4 = 1085 кг/м.

Крутящий момент в балке рассчитывается умножением вертикальной нагрузки на эксцентриситет – расстояние от оси приложения этой нагрузки до оси, проходящей через центр тяжести балки. В нашем случае эксцентриситет равен половине ширины балки, т.е. 100 мм = 0,1 м.

Итак, определяем крутящий момент в балке (на 1 п.м балки):

Мн = 945∙0,1 = 94,5 кг∙м/м;

Мр = 1085∙0,1 = 108,5 кг∙м/м.

Пример 2. Сборное перекрытие опирается на балку с двух сторон. С одной стороны пролет перекрытия 6 м и есть пригруз в виде перегородки, опирающейся параллельно балке; с другой стороны пролет перекрытия 3,6 м. Нагрузка от перегородки  0,65 т/м, расстояние от оси балки до перегородки 1,5 м. Нагрузка от собственного веса перекрытия 0,3 т/м². Нагрузка на перекрытии: постоянная 0,1 т/м²; временная 0,3 т/м². Ширина балки 0,3 м. Глубина опирания плит перекрытия на балку 0,14 м.

Расчет ведется на 1 п.м балки.

Определим расчетный пролет каждого перекрытия и найдем точку приложения нагрузки от перекрытия на балку.

Плита опирается на балку на 140 мм. Нагрузка от плиты на этой площади распределена не равномерно, а по треугольнику. Максимально плита давит со стороны пролета (с края балки), а к краю плиты нагрузка сходит к нулю. Чтобы привести эту распределенную нагрузку к сосредоточенной, нужно принять ось приложения этой сосредоточенной нагрузки – в центре тяжести треугольника, на расстоянии 1/3 от края балки. У нас получается, что расстояние от края балки до сосредоточенной нагрузки 140/3 = 47 мм, а расстояние от этой нагрузки до оси, проходящей через центр тяжести балки 150 – 47 = 103 мм. Расстояние между сосредоточенными нагрузками равно расчетному пролету плиты L₀, который для наших плит будет равен:

— для плиты 6 м: L₀ = 6000 – 2∙103 = 5794 мм;

— для плиты 3,6 м: L₀ = 3600 – 2∙103 = 3394 мм.

Построим эпюры поперечных сил для наших плит.

Равномерно-распределенная нагрузка на 1 погонный метр плиты равна:

— нормативная qн = 1∙(0,3 + 0,1 + 0,3) = 0,7 т/м;

— расчетная qр = 1∙(1,1∙0,3 + 1,1∙0,1 + 1,2∙0,3) = 0,8 т/м.

Сосредоточенная нагрузка от перегородки на плите Nн = 0,65 т/м (нормативная) и Nр = 1,1∙0,65 = 0,72 т/м (расчетная) находится на расстоянии 1500 мм от оси балки и на расстоянии 1500 – 103 = 1397 мм от принятой нами точки опоры плиты, через которую проходит ось передачи вертикальной нагрузки на балку.

Схема для нормативных нагрузок будет следующая (так как плиты опираются шарнирно, то каждую из них нужно посчитать по отдельной схеме):

Левая плита разбита на два участка: 1-2 и 2-3, правая плита представляет собой один участок 4-5.

В правой плите мы сразу можем найти значения поперечной силы:

Q = 0,5∙qL₀ = 0,5∙0,65∙3,394 = 1,1 т.

Построим эпюру для правой плиты:

Значение поперечной силы на опоре (в точке 4) равно искомой нагрузке, которую плита передает на балку: Р₄= 1,1 т (направлена вниз).

Теперь разберемся с эпюрой для левой плиты. Так как помимо распределенной нагрузки у нас есть сосредоточенная сила, у нас будет несколько больше операций.

Для удобства расчета левой плиты заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей силой N:

N_1-2 = 0.65∙4,397 = 2,86 т;

N_2-3 = 0,65∙1,397 = 0,91 т.

Зная, что в шарнирно-опирающейся плите моменты на опоре равны нулю, составим уравнение равновесия, чтобы найти реакции на опоре.

ΣМ₁ = 0:

2,86∙2,199 + 0,65∙4,397 + 0,91∙5,096 – R₃∙5,794 = 0, откуда найдем реакцию:

R₃ = -13.78/5,794 = 2,38 т.

ΣМ₃ = 0:

0,91∙0,698 + 0,65∙1,397 + 2,86∙3,595 – R₁∙5,794 = 0, откуда найдем реакцию:

R₁ = 11,82/5,794 = 2,04 т.

Строить эпюру поперечных сил в плите для определения крутящего момента в балке нам не нужно, т.к. найденная нами реакция на опоре R

Теперь у нас есть все исходные данные для определения крутящего момента.

Определим нормативный крутящий момент путем умножения сил на плечо. Принимаем силу, вращающую балку против часовой стрелки со знаком «+», а по часовой – со знаком «-«:

Мн = 2,38∙0,103 – 1,1∙0,103 = 0,13 т∙м/м – нормативный крутящий момент, приходящийся на 1 п.м балки.

Расчетный крутящий момент находится точно так же.

Пример 3. Вдоль балки расположена перегородка, которая сбита относительно оси балки на 150 мм. Перекрытие опирается на балку с двух сторон, пролеты перекрытия и нагрузки – одинаковые. Толщина перегородки 0,12 м, материал кирпич (1,8 т/м³), высота 3 м.

Расчет ведем на 1 погонный метр балки.

Определим вертикальную нагрузку от перегородки:

0,12∙3∙1,8 = 0,65 т/м – нормативная нагрузка;

1,1∙0,65 = 0,72 т/м – расчетная нагрузка.

Определим крутящий момент в балке путем умножения силы на плечо:

Мн = 0,65∙0,15 = 0,1 т∙м/м;

Мр = 0,72∙0,15 = 0,11 т∙м/м.

Добавить комментарий

Реакции, эпюры и перемещения в балках

Опорные реакции, эпюры поперечных сил и изгибающих моментов а также линейные и угловые перемещения для простых балок при изгибе.

Консольные балки

Сосредоточенный изгибающий момент на конце консольной балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Сосредоточенная сила на конце консольной балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Равномерно распределенная нагрузка по всей длине консоли

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Двухопорные балки

Сосредоточенный изгибающий момент на левой опоре двухопорной балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Сосредоточенный изгибающий момент в пролете балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Сосредоточенная поперечная сила в пролете балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Сосредоточенная поперечная сила в середине пролета балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Равномерно-распределенная поперечная нагрузка по длине пролета балки

Опорные реакции

Линейные и угловые перемещения

Обозначения в сопромате >
Примеры решения задач >
Краткая теория >

Построение эпюры изгибающих моментов — Лекции и примеры решения задач технической механики

Рассмотрим порядок построения эпюры изгибающих моментов M

Ранее для данной балки уже были рассмотрены примеры определения опорных реакций и построения эпюры поперечных сил Q_y.

Покажем найденные опорные реакции и выбранную систему координат.

Для построения эпюры изгибающих моментов M_x запишем их выражение по каждому силовому участку и рассчитаем их значения на границах участков. При этом воспользуемся методом сечений.

Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:
Расчеты для построения эпюр балки

Нумерацию силовых участков балки, сечения и другие вспомогательные обозначения примем из расчета эпюры Q

Рассмотрим I силовой участок:

Выбрав левую часть балки, отбросим ненадолго правую, и запишем имеющиеся данные.

I с.у. (AB) 0 ≤ z₁≤ 0,5м

Внутренний изгибающий момент в указанном сечении равен сумме всех внешних моментов, воздействующих на рассматриваемую часть балки.

Здесь на момент в рассматриваемом сечении влияют только опорные реакции M и R, то есть сумма моментов состоит из двух слагаемых.

По правилу знаков момент, который стремится сжать верхние слои балки, принимается положительным, следовательно:

M_xI=Σm_i=M+R∙z₁=30+60z₁

В выражении переменная z₁ в первой степени, поэтому эпюра M_x на первом участке будет иметь вид прямой линии.

Видео про знаки моментов при изгибе

Рассчитаем значения M_xI на границах участка, т.е. при z₁=0 и при z₁=0,5м

M_xI (z₁=0)=30кНм
M_xI (z₁=0,5м)=60кНм

Переходим на второй силовой участок:

Рассекаем балку в произвольном месте участка и рассматриваем её правую часть.

Эта часть балки изгибается силой F и распределенной нагрузкой q.

II с.у. (BC) 0 ≤ z₂ ≤ 1м
M_xII=Σm_i=-q∙z₂(z₂/2)+F∙z₂= -50∙z₂²+40∙z₂

Получено выражение с переменной z₂ во второй степени, значит, эпюра M_x на втором участке будет иметь вид параболы.

Видео про построение эпюр

Для построения параболы требуется как минимум три точки. Этими точками будут значения M_x на границах и в середине II силового участка, то есть при z₂=0, z₂=1м и z₂=0,5м.

M_xII(z₂=0)=0
M_xII(z₂=0,5м)=7,5кНм
M_xII(z₂=1м)= -10кНм

По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов M_x (готовую эпюру Q_y перенесем из ранее рассмотренной задачи)

I с.у. (AB) 0 ≤ z₁ ≤ 0,5м.
M_xI=30+60z₁ (прямая)
M_xI(z₁=0)=30кНм
M_xI(z₁=0,5м)=60кНм

II с.у. (BC) 0 ≤ z₂ ≤ 1м
M_xII= -50z₂²+40z₂ (парабола)
M_xII(z₂=0)=0
M_xII(z₂=0,5м)=7,5кНм
M_xII(z₂=1м)= -10кНм

Прежде чем соединять отмеченные точки эпюры параболой, обратите внимание на эпюру поперечных сил Q_y.

Q_y — первая производная от M_x. Поэтому в том месте, где Q_y пересекает базовую линию (т.е. Q_y=0) на эпюре M_x будет экстремум.

Видео про расчет экстремума эпюры

Рассчитаем значение экстремума эпюры M_x на II участке балки.

Для этого:

1. Выражение Q_yII приравняем к нулю
   Q_yII=100z₂-40=0
2. Выразим из него z₂
   z₂=40/100=0,4м
3. Подставим z₂ в выражение для M_{xII
   MxIIэкстр(z2=0,4м)= -50∙0,4²+40∙0,4=8кНм}

Отметив эту точку в области эпюры где Q_y=0 соединим ее с тремя другими параболой.

Эпюра изгибающих моментов построена. Проверка эпюры M_x.

Расчеты на прочность >
Другие примеры решения задач >

Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов

Эпюрами поперечных сил и изгибающих моментов называют графические изображения функций Q и M по длине балки при изгибе.

Посмотреть подробные примеры построения эпюр >>

Эпюры строятся для визуального представления распределения внутренних силовых факторов и определения опасных (т.е. наиболее нагруженных) с точки зрения прочности участков бруса.

Рассмотрим некоторые примеры на построение эпюр в балках:

Эпюры при чистом изгибе

Для консольной балки:

Рис. 1

имеем два силовых участка (AB и BC) и на каждом из них, применяя метод сечений, будем рассматривать, например правую от сечения часть, используя формулы и правило знаков для расчета внутренних силовых факторов.

Отсчет координаты z можно вести от единого начала координат или для каждого силового участка в отдельности.
I силовой участок (BC): 0 ≥ z₁ ≥ 2a (рис. 2 а,г)

Рис. 2

т.е. Q(z₁)=0 на всем участке, а M(z₁)=m=const.
Ординаты эпюр Q и M со знаком плюс (+) будем откладывать вверх от нулевой (базовой) линии, при этом эпюру M будем строить на сжатых волокнах.

II силовой участок (AB): 2a ≥ z₂ ≥ 5a (рис. 2 а,д)

Откладывая на границах участков в сечениях C, B и A значения полученных ординат Q и M, строим эпюры (рис. 2 б, в).

Более нагруженным оказался участок AB, он и является опасным: M_max=|2m|.
Так как поперечные силы Q по всей длине балки равны нулю, балка испытывает чистый изгиб.

Эпюры при поперечном изгибе

Построение эпюр Q и M для балки, изображенной на рис. 3

Рис. 3

проводим аналогично, но рассматривать будем левые от сечений части, т.к. в правые войдут реакции в заделке, что несколько усложняет вычисления.

I силовой участок (AB): 0 ≥ z₁ ≥ l₁ (рис. 4, а, г)
Q(z₁)= F=const, на всем участке постоянная величина,
M(z₁)=F×z₁, уравнение прямой, график строим по двум граничным точкам:
M(z₁=0)=F×0=0 – в сечении A;
M(z₁=l₁)=F× l₁ — в сечении B.

Рис. 4

II силовой участок (BC): l₁ ≥ z₂ ≥ (l₁+ l₂) (рис. 4, а, д)
Q(z₂)= F-F=0;
M(z₂)=F×z₂— F×(z₂— l₁)=F ×l₁=const.
Построив эпюры Q и M по всей длине балки (рис. 4 а, б, в), видим, что на первом участке — деформация прямого поперечного изгиба, т.к. Q≠0, M≠0; а на втором – прямого чистого изгиба.

Опасным является сечение B, в котором действуют Q_max=F, M_max=Fl₁.

Геометрическая проверка эпюр

Геометрическая проверка правильности построения эпюр Q и M по дифференциальным зависимостям заключается в следующем:
Для всех силовых участков находим:

где α, β – углы наклона касательных к эпюрам Q и M относительно оси абсцисс (базовой линии).
На участке “AB” α₁=0 (линия эпюры Q горизонтальна), следовательно,

распределенная нагрузка отсутствует;

функция M (z₁) – возрастающая.

На участке “BC”:

Так как все дифференциальные проверки выполняются, эпюры построены верно.

Эпюры для двухопорных балок

Рассматривая расчетные схемы такого типа, как двухопорная балка (рис. 5),

Рис. 5

необходимо вначале найти опорные реакции и только потом строить эпюры.

Определим реакции в обеих опорах, для этого используем два независимых уравнения статики, т.к. у нас плоская система параллельных сил.

Обычно, рекомендуется использовать суммы моментов вокруг опорных точек, например: ∑M_A=0 и ∑M_B=0.

Записываем уравнения и находим значения реакций:

Чтобы убедиться в правильности полученных значений необходимо провести «арифметическую проверку» тождества по оставшемуся из зависимых уравнений: ∑F_Y=0 или ∑M_С=0.

Проверим через сумму сил, приложенных к балке (включая найденные опорные реакции). Она должна равняться нулю (при округлении значений, может появиться погрешность).

Для построения эпюр рассмотрим два силовых участка:

Рис. 6

I участок (AC): 0 ≥ z₁ ≥2a (рис. 6, а, г)
Q(z₁)=R_A-qz₁ — прямая, которую строим по двум граничным точкам:

M(z₁)=R_Az₁-qz₁(z₁/2)= R_Az₁-qz₁²/2 – парабола.

Строим эту кривую по трем точкам: по двум граничным (0 и 2a) и z*, которая соответствует M_max(z*), и дифференциальной зависимости:

Определяем экстремум эпюры M на участке:

II участок (BC): 0 ≥ z₂ ≥ a (рис. 6, а, д)
Q(z₂)= -R_B= -2/3qa;
M(z₂)=R_Bz₂,
M(z₂=0)=0,
M(z₂=a)=2/3qa².
Выполним проверку дифференциальных зависимостей.
I силовой участок: 0 ≥ z₁ ≥ 2a

— направлена вниз, функция Q(z₁) – убывающая.

— проверка визуально: чем больше угол наклона β₁, тем больше значение Q(z₁).

II силовой участок: 0 ≥ z₂ ≥ a.

следовательно, q=0.

функция M(z) – убывающая.
Все проверки выполнены, следовательно, эпюры построены верно.
По эпюрам видно, что опасных сечений два (рис. 6):
По моменту при z₁*=4/3a

По силе в сечении «A»

После построения и проверки эпюр можно приступать к расчетам балки на прочность и жесткость.

Подробные примеры построения эпюр >
Лекции по сопромату >
Примеры решения задач >

Расчет многопролетной балки методом моментов

Пример расчета железобетонной плиты перекрытия по балкам

Планируется перекрытие по балкам в помещении размерами 5х8 метров. Если использовать 4 балки — дополнительные опоры, то плита будет представлять собой 5 пролетную балку. При этом шаг между балками можно выбирать, руководствуясь эстетическими соображениями, т.е. принять одинаковый шаг для всех балок. А если потолки в последствии будут зашиваться, то шаг балок лучше выбирать из конструктивных соображений. Дальнейший расчет будет произведен для балок, расположенных с одинаковым шагом. Расчет параметров таких балок приводится отдельно.

Рассмотрим следующую расчетную схему:

Рисунок 313.1

Монолитная плита по балкам, показанная на рис. 313.1 а), представляет собой 5 пролетную неразрезную балку, на которую будет действовать как минимум два вида нагрузок: постоянная и временные. Как правило к постоянной нагрузке относится собственный вес конструкции, а вес стяжки и напольного покрытия относятся к временной нагрузке. При расчете однопролетных балок это принципиального значения не имеет, так как учитываются все действующие нагрузки. При расчете же многопролетных балок следует учитывать возможные максимально неблагоприятные сочетания нагрузок. Варианты приложения таких нагрузок показаны на рис. 313.1. г) и д). Потому для упрощения расчетов с использованием указанных расчетных схем, вес стяжки и напольного покрытия можно отнести к постоянной нагрузке.

Таким образом расчетное значение постоянной нагрузки составит:

q_п = (0.08·1 + 0.11·0.17/1.62)2500·1.1 + 200 = 251.7 +200 = 451.7 кг/м

где γ_н = 1.1 — коэффициент надежности по нагрузке.

Значение нормативной временной нагрузки на перекрытие определяется по СНиП 2.01.07-85 «Нагрузки и воздействия», и составляет 150 кг/м². Тогда с учетом коэффициента надежности по нагрузке, при таком значении нормативной нагрузки составляющем γ_н = 1.3 (1.4 по старым нормам), расчетное значение временной нагрузки составит

q_в = 150·1·1.3 = 195 ≈ 200 кг/м

Примечание: Устройство перегородок, установка тяжелого инженерного оборудования и другие дополнительные значительные нагрузки данным расчетом не предусматриваются.

Теперь, когда действующие нагрузки определены, осталось только рассчитать плиту:

1. Расчет на действие постоянной нагрузки

Расчетная схема для данного расчета представлена на рис. 313.1 б). Так как нагрузка во всех пролетах одинаковая, длина пролетов одинаковая и жесткость балки во всех пролетах одинаковая, то система уравнений трех моментов значительно упростится и будет иметь следующий вид:

2M_B(2l) + M_Cl = — 6·86.0542l;

M_Bl + 2M_C(2l) + M_Dl = — 6·86.0542l;

            M_Cl + 2M_D(2l) + M_El = — 6·86.0542l; (316.1)

M_Dl + 2M_E(2l) = — 6·86.0542l;

где

R^ф₁ = R^ф₂ = R^ф₃ = R^ф₄ = A^ф + В^ф = 2ql³/24 = 451.7·1.512²·l/12 = 86.0542l

тогда

4M_B + M_C = — 516.3256;

M_B + 4M_C + M_D = — 516.3256;

M_C + 4M_D + M_E = — 516.3256;

M_D + 4M_E = — 516.3256;

Принимаем а_B = 1, тогда согласно формул (315.4):

а_C = — 2(1 + 1) = -4;

a_D = — 2(1 + 1)a₂ — a₁ = 15

a_E = — 2(1 + 1)a₃ — a₂ = -56

тогда

М_Е = — 516.3256l(a_B + a_C +a_D +a_E)/(l(a_D + 4a_E) = — 516.3256(1 — 4 + 15 — 56)/(15 — 4·56) = — 22718.327/209 = — 108.7 кгс·м (ql²/9.5)

Подставляя полученное значение в последнее уравнение системы (316.1) получим следующее значение момента:

M_D = 4·108.7 — 516.3256 = — 81.5256 кгс·м (ql²/12.67)

Так как наша балка является симметричной и приложенная нагрузка является симметричной, то значение момента на опоре С должно быть равно значению момента на опоре D, а значение момента на опоре В должно быть равно значению момента на опоре Е. Проверяем:

M_С = 4·81.5256 + 108.7 — 516.32 = — 81.5232 кгс·м

M_В = (81.5232 — 516.32)/4 = — 108.7 кгс·м 

Так как значения сошлись (небольшие расхождения не учитываем), то дальнейшую проверку в принципе можно не выполнять. Для определения моментов в пролетах определим значения опорных реакций, исходя из следующих условий:

Для первого и последнего (1 и 5) пролетов:

Аl — ql²/2 = Fl — ql²/2 = M_B = M_E A = F = (M_B + ql²/2)l = (-108.7 + 451.7·1.512²/2)1.512 = 269.5936 кгс

Так как максимальный момент в пролетах будет действовать в сечении, где поперечные силы будут равны 0, то расстояние от начала балки до рассматриваемого сечения составит:

A — qx = 0; x = A/q = 269.5936/451.7 = 0.5968 м (0.3947l)

Максимальный момент в этом сечении будет равен:

M_1,5 = Ax — qx²/2 = 269.59·0.5968 — 451.7·0.5968²/2 = 80.45 кгс·м (ql²/12.835)

Момент посредине 1 и 5 пролета будет равен:

M_1,5(l/2) = Al/2 — q(l/2)²/2 = 269.59·1.512/2 — 451.7·(1.515/2)²/2 = 74.73 кгс·м (ql²/13.82)

Для 2 и 4 пролетов:

2Al + Bl — q(2l)²/2 = M_C; B = Е = (M_C — 2Al + q(2l)²/2)l = ( — 81.52 — 2·269.59·1.512 + 451.7· 4.5723)/1.512 = 772.845 кгс

А + В — qx = 0; x = (A + B)/q = (269.59 + 772.845)/451.7 = 2.3078 м (или 2.3078 — 1.512 = 0.7958 м (0.526l) от опоры В)

M_2,4 = Ax + B(x — l) — qx²/2 = 269.59·2.3078 + 772.845·0,7958 — 451.7·2.3078²/2 = 34.326 кгс·м (ql²/30.1)

Для 3 пролета:

3Al + 2Bl +Сl — q(3l)²/2 = M_D; C = (M_D — 3Al — 2Bl + q(3l)²/2)l = ( — 81.52 — 3·269.59·1.512 — 2·772.845·1.512 + 451.7· 10.2876)/1.512 = 665 кгс

А + В +C — qx = 0; x = (A + B + C)/q = (269.59 + 772.845 + 665)/451.7 = 3.78 м (или 3.78 — 2·1.512 = 0.756 м (l/2) от опоры С)

M₃ = Ax + B(x — l) + C(x — 2l) — qx²/2 = 269.59·3.78 + 772.845·2,268 + 665·0.756 — 451.7·3.78²/2 = 47.57 кгс·м (ql²/21.71)

На основании этих данных мы можем построить эпюру моментов для плиты:

Рисунок 316.1

2. Проверка по деформациям

Если мы правильно определили значения моментов и опорных реакций, то прогибы на промежуточных опорах должны быть равны 0. Проверим прогиб на опоре В. Для основной балки с опорами А и В угол поворота на опоре А равен фиктивной опорной реакции, деленной на жесткость, для вспомогательной балки с опорами А и В, угол поворота на опоре А зависит от значения момента на опоре В, тогда:

EIΘ_А = — ql³/24 + ql³/(6·9.5) = — 33ql³/1368 = — ql³/41.45

тогда прогиб на опоре В составит:

EIf_B = Θ_Al + Al³/6 — ql⁴/24 = — 451.7·33·1.512⁴/1368 + 269.5936·1.512³/6 — 451.7·1.512⁴/24 = — 56.948868 + 155.31514 — 98.36622 = 0.00005 ≈ 0

В данном случае, как и в предыдущем, небольшая погрешность набежала из-за того, что при расчетах мы использовали округленные данные.

Примечание: если есть сомнения в правильности расчетов, то следует проверить прогибы на всех опорах.

3. Расчет на действие временной нагрузки, действующей по всей длине плиты

Так как временная нагрузка при варианте загружения, показанном на рис. 313.1. в) будет действовать по всей длине плиты, то для определения моментов в пролетах и на опорах достаточно умножить значения, полученные при расчетах на действие постоянной нагрузки на отношение временной нагрузки к постоянной:

k = q_в/q_п = 200/451.7 = 0.44277 ≈ 0.443

Таким образом суммарные моменты на опорах и в пролетах при действии постоянной и временной равномерно распределенных нагрузок, действующих по всей длине балки, будут составлять:

М^б+в = М^б(1 + k) = 1.443М^б

Тогда

М^б+в_В = М^б+в_Е = — 108.7·1.443 = — 156.85 кгс·м

М^б+в_С = М^б+в_D = — 81.53·1.443 = — 117.65 кгс·м

М^б+в₁ = М^б+в₅ = 80.45·1.443 = 116.1 кгс·м

М^б+в_1(l/2) = М^б+в_5(l/2) = 74.73·1.443 = 107.83 кгс·м

М^б+в₂ = М^б+в₄ = 34.33·1.443 = 45.54 кгс·м

М^б+в₃ = 47.57·1.443 = 68.64 кгс·м

Эпюра моментов при действии временной нагрузки по схеме в) ничем не будет отличаться от эпюры, показанной на рис. 316.1. Суммарная эпюра от действия постоянной нагрузки и временной по схеме в) будет иметь такой же вид, изменятся только значения моментов. А если временная нагрузка будет приложена так, как показано на схеме г) или д), то суммарная эпюра изменит свой вид, но сначала следует определить значения моментов.

4. Расчет на действие временной нагрузки, действующей по схеме г)

При выбранной схеме загружения изменится сумма фиктивных опорных реакций. Так как нагрузка будет действовать через пролет, то сумма фиктивных опорных реакций уменьшится в 2 раза и составит:

R^ф₁ = R^ф₂ = R^ф₃ = R^ф₄ = A^ф + 0 или 0 + В^ф = ql³/24 = 200·1.512²·l/24 = 19.0512l

Если мы разделим это значение, на значение фиктивной опорной реакции при действии постоянной нагрузки, то получим:

19.0512l/86.0542l = 0.22138 = k/2

Это позволяет не решать еще раз систему уравнений, а сразу определить значения моментов на опорах при временной нагрузке по схеме г)

М^г_В = М^г_Е = — 108.7·0.22138 = — 24.064 кгс·м

М^г_С = М^г_D = — 81.53·0.22138 = — 18.049 кгс·м

М^г₁ = М^г₅ = 80.45·0.22138 = 17.81 кгс·м

Так как во 2 и 4 пролетах временная нагрузка отсутствует, то момент в этих пролетах будет отрицательным и значение момента посредине пролета будет равно:

М^г_2(l/2) = М^г_4(l/2) = (М_В + М_С)/2 = — (24.064 + 18.049)/2 = — 21.06 кгс·м

М^г₃ = 47.57·0.22138 = 10.53 кгс·м

5. Расчет на действие временной нагрузки, действующей по схеме д)

Как ни странно, но при схеме загружения д) сумма фиктивных реакций не изменится, а значит и не изменятся значения моментов на опорах, а изменятся только значения моментов в пролетах:

М^д_1(l/2) = М^д_5(l/2) = М_В/2 = — 24.064/2 = — 12.032 кгс·м

М^д₂ = М^д₄ = 34.33·0.22138 = 7.6 кгс·м

М^д₃ = М_С = М_D = — 18.049 кгс·м

6. Построение огибающей эпюры моментов

На основании полученных данных мы можем построить так называемую «огибающую» эпюру моментов, т.е. такую эпюру, на которой будут учтены значения моментов в пролетах при временной нагрузке по схемам г) и д). Другими словами мы на основную эпюру «М^б+в» наложим эпюры «М^б+г» и «М^б+д«. Огибающая эпюра нужна нам для того, чтобы определить пределы, в которых изгибающий момент будет вызывать растяжение верхней зоны сечения плиты.

Дополнительных данных будет не так уж и много

М^б+д_1(l/2) = 74.73 — 12.032 = 62.7 кгс·м

М^б+г₂ = 34.326 — 21.06 = 13.266 кгс·м

М^б+д₃ = 47.47 — 18.049 = 29.52 кгс·м

М^б+г_В = М^б+д_В = — 108.7 — 24.064 = — 132.76 кгс·м

М^б+г_С = М^б+д_С = — 81.53 — 18.049 = — 99.58 кгс·м

Огибающая эпюра для выбранных расчетных схем будет выглядеть так:

Рисунок 316.2

Теперь, когда максимальные значения моментов на опорах и в пролетах определены, подобрать требуемую арматуру для всех пролетов не сложно.

Например, для первого пролета на приопорном участке потребуется армирование при h₀ = 6 см и при R_b = 117·0.9 = 105.3 кг/см²:

a_m = 156.9/(1·0.06²·1053000) = 0.0414

A_s = 105.3·100·6(1 — √‾(1 — 2·0.0414)) / 3600 = 0.742 см².

Получается, что даже для самого нагруженного участка плиты шириной 1 м достаточно 4 стерженей d = 5 мм с площадью 0.79 см². При этом коэффициент армирования получается:

μ% = 100·0.79/100·6 = 0.13 %

что в 2-4 раза меньше рекомендуемого. С учетом того, что в остальных пролетах и на остальных опорах момент меньше, мы можем уменьшить высоту плиты. Согласно СНиП 2.01.03-84 п.5.3 толщина плит междуэтажных перекрытий в жилых зданиях должна быть не менее 5 см. Согласно п.5.5 высота защитного слоя при высоте конструкции до 100 мм — не менее 10 мм и не менее диаметра арматуры. Исходя из этих требований мы можем принять высоту плиты 6 см, а расстояние а = 1.5 см, что обеспечит высоту защитного слоя 10 мм даже при диаметре арматуры 10 мм. Тогда при h_o = 4.5 см

a_m = 156.9/(1·0.045²·1053000) = 0.0736

A_s = 105.3·100·4.5(1 — √‾(1 — 2·0.0736)) / 3600 = 1.007 см².

Тогда для армирования приопорных участка (опоры В и Е) достаточно 4 стерженей d = 6 мм с площадью 1.13 см², для надежности можно принять 5 стержней диаметром 6 мм и высоту h_o = 4.7 см.

Такое уменьшение высоты плиты приведет к ощутимому изменению значения постоянной нагрузки, но также и к изменению параметров тавровой балки. Поэтому и плита и балки при таком изменении параметров нуждаются в перерасчете.

Уточненное расчетное значение постоянной нагрузки составит:

q_п = (0.06·1 + 0.11·0.24/1.62)2500·1.1 + 200 = 210+200 = 410 кг/м

Значение временной нагрузки оставляем без изменения. Тогда при соотношении нагрузок 410/451.7 = 0.91 значение расчетных моментов при максимальной нагрузке составит:

М^б+в_В = М^б+в_Е = — 156.85·0.91 = — 142.34 кгс·м

М^б+в_С = М^б+в_D = — 117.65·0.91 = — 106.8 кгс·м

М^б+в₁ = М^б+в₅ = 116.1·0.91 = 105.4 кгс·м

М^б+в_1(l/2) = М^б+в_5(l/2) = 107.83·0.91 = 97.9 кгс·м

М^б+в₂ = М^б+в₄ = 45.54·0.91 = 41.3 кгс·м

М^б+в₃ = 68.64·0.91 = 62.3 кгс·м

Уточненная огибающая эпюра моментов будет выглядеть так:

Рисунок 316.3

Примечание: Следует учитывать, что в чистом виде эти данные можно применить только для первого и последнего метров плиты. Так как железобетонные балки, на которые опирается плита, в отличие от стен — опор А и F, будут прогибаться и чем ближе к середине, тем больше прогиб будет стремиться к максимальному. Такой прогиб будет приводить к перераспределению моментов. Для приближенных расчетов можно уменьшить значение моментов на опорах В и Е на 10% и на столько же увеличить значение моментов в 1 и 5 пролете. Более точный учет влияния проседающих опор — отдельная история.

Согласно Пособия по проектированию «Армирование элементов монолитных железобетонных зданий» 2007 года издания толщину балочных плит в перекрытиях жилых и общественных зданий с отношением сторон l₂/l₁ >2 следует принимать не менее 70 мм, а защитный слой бетона — не менее 20 мм. В целом это очень правильное требование, однако оно не предусматривает возможную разницу в длине пролетов, а шаг ребер —  балок 1.6 м является довольно частным. Тем не менее при использовании для бетонной смеси щебня с крупностью зерен более 30 мм это требование следует выполнять.

Статически неопределимые балки. Уравнения трех моментов

1. Двухпролетная балка

Рисунок 315.1. Приведение двухпролетной балки к основной и вспомогательной системам при методе моментов.

1. Когда мы рассекаем балку на промежуточной статически неопределимой опоре (рис. 315.1.б)), мы получаем две статически определимых балки с общей опорой В (рис.315.1.в)). Рассчитать такие балки — не проблема, а для удобства расчетов даже созданы соответствующие таблицы, пример такой таблицы можно посмотреть здесь. Балки, показанные на рисунке 315.1.в), являются элементами основной системы. Балки, показанные на рисунке 315.1.г), являются элементами вспомогательной системы.

2. Под действием приложенной нагрузки поперечные сечения балок не будут находиться в плоскости, перпендикулярной к основной оси (оси х), а будут иметь некоторый наклон. Другими словами, между плоскостью, перпендикулярной к основной оси, и поперечным сечением будет некоторый угол, называемый углом поворота поперечного сечения Θ. На рисунке 315.1.е) показаны углы поворота для крайнего правого сечения левой балки и крайнего левого сечения правой балки. Таким образом между указанными поперечными сечениями образуется угол наклона φ. Общая эпюра углов поворотов поперечных сечений для статически определимых балок основной системы будет выглядеть приблизительно так, как показано на рисунке 315.1.д).

3. Между тем балка-то у нас неразрезная, а это означает, что угол между двумя очень близкими относительно оси х сечениями будет стремиться к нулю, а так как мы рассекаем балку мысленно, то крайнее правое сечение левой балки и крайнее левое сечение правой балки — это одно и то же поперечное сечение неразрезной балки и для такого сечения угол наклона φ = 0.

4. Если к рассматриваемым поперечным сечениям балок приложить изгибающие моменты (рис. 315.1.г), то при определенном значении моментов суммарный угол наклона поперечных сечений будет равен углу наклона между поперечными сечениями балок основной системы, только значение это будет иметь обратный знак (рис.315.1.ж).

5. Таким образом, если сложить угол наклона смежных поперечных сечений балок основной системы и угол наклона смежных поперечных сечений балок вспомогательной системы, то угол наклона φ на общей эпюре углов поворотов будет равен нулю (рис.315.1.и)), при этом угол поворота поперечного сечения Θ неразрезной балки может быть не равен нулю.

6. Так как в действительности никакие внешние моменты на статически неопределимых опорах не прикладываются, а мы всего лишь заменяем внутренние напряжения внешними моментами, то на суммарной эпюре моментов (на рисунке 315 не показана) на статически неопределимых опорах не может быть скачков (могут быть только точки экстремума). Из этого следует, что значение момента, приложенного к крайнему правому сечению, должно быть равно значению момента, приложенного к крайнему левому сечению:

М^л = М^п = М (315.1.1)

Примечание: Самое трудное при работе с моментами и углами поворота — уследить за знаками. Сейчас считается, что если сила или момент приводят к растяжению нижней части сечения, то эпюра моментов рисуется снизу, но такой момент считается положительным, соответственно, если сила или момент приводят к растяжению верхней области сечения, то эпюра моментов рисуется сверху, но такой момент считается отрицательным. Дело в том, что вне зависимости от того, сверху или снизу рисуется эпюра моментов в поперечных сечениях рассматриваемых конструкций возникают нормальные напряжения и если рассматривать только нижнюю часть сечения, то положительный момент означает растяжение в нижней части и таким образом знак «+» символизирует увеличение длины в нижней части рассматриваемой конструкции, а отрицательный момент означает сжатие в нижней части сечения и знак»-» символизирует уменьшение длины конструкции в нижней части. Из этого следует, что если момент для рассматриваемого сечения (точки на оси х) направлен по часовой стрелке, то такой момент положительный, а если против часовой стрелки, то момент отрицательный. Таким образом знак момента зависит от точки (поперечного сечения), относительно которой данный момент рассматривается. Так для смежных статически определимых балок моменты, показанные на рисунке 315.1.г), будут отрицательными, а для поперечного сечения на опоре В неразрезной балки моменты будут иметь различный знак и в сумме дадут ноль. Приблизительно то же самое можно сказать и о углах поворота поперечных сечений. Если сечение наклонено вправо от оси у, то такой угол поворота можно считать отрицательным, если влево от оси у, то такой угол поворота будет считаться положительным, что и отражено на соответствующих эпюрах углов поворотов на рисунке 315.1. Между тем при определении прогиба знак угла поворота крайних сечений будет зависеть от направления интегрирования и от того, прогиб вверх или вниз будет считаться положительным. Так, если начальный угол поворота (угол поворота на одной из опор) будет приводить к растяжению в нижней области, то такой угол поворота может считаться положительным, например, для рассматриваемых нами статически определимых балок основной системы значения углов поворота на обеих опорах могут рассматриваться, как положительные.  При действии положительного изгибающего момента углы поворота на опорах также будут положительными.

7. Если к одной из опор статически определимой балки, например опоре В, приложить положительный изгибающий момент, то в это приведет к изменению угла поворота поперечного сечения на опоре В на угол θ_B= Мl/3EI и к изменению угла поворота на опоре А на угол θ_А = Ml/6EI. На рисунке 315.1 для наглядности суммарного взаимодействия показаны отрицательные изгибающие моменты, которые приводят к отрицательным значениям углов поворота, но чтобы не путаться со знаками, изначально значения углов поворота для основной и для вспомогательной систем принимаются положительными.

Например, для двухпролетной балки, показанной на рисунке 315.1, угол наклона между поперечными сечениями балок основной системы будет составлять:

φ_В = qa³/24EI +qb³/24EI = q(a³ + b³)/24EI (315.1.2)

значение угла наклона на смежной опоре при приложении моментов к балкам вспомогательной системы

φ_В = М_В^пa/3EI + M_В^лb/3EI = M(a + b)/3EI = Ml/3EI (315.1.3)

φ_В = φ_В + φ_В = q(a³ + b³)/24EI + Ml/3EI = 0 (315.1.4)

M = — q(a³ + b³)/8l (315.1.5)

после этого с учетом опорного момента определяются опорные реакции

A = A + A = qa/2 + M/a = qa/2 — q(a³ + b³)/8la (315.1.6)

C = C + C = qb/2 + M/b = qb/2 — q(a³ + b³)/8lb (315.1.7)

B = B_п + В_л + В_п + В_л = qa/2 + q(a³ + b³)/8la + qb/2 + q(a³ + b³)/8lb (315.1.8)

После того, как расчетные реакции определены, дальнейший расчет выполняется, как для обычной статически определимой балки, вот только необходимо выполнить дополнительные проверки, так прогиб на всех опорах при действующих нагрузках должен быть равен нулю.

При равных пролетах, т.е. при а = b = l/2

φ_В = ql³/192EI + ql³/192EI = ql³/96EI = qa³/12 (315.1.9)

φ_В = ql³/96EI + Ml/3EI = qa³/12EI + 2Mа/3EI = 0 (315.1.10)

M = — ql²/32 = — qa²/8 (315.1.11)

Опорные реакции составят

A = C = qa/2 — qa/8 = 3qа/8 (315.1.12)

B = 2(qa/2 + qa/8) = 10qa/8 (315.1.13)

Если однопролетная балка имеет одну жестко защемленную опору и шарнирную опору, то такую балку можно рассматривать как двухпролетную неразрезную шарнирно опертую балку, у которой один из пролетов равен нулю и соответственно момент на жестко защемленной опоре будет М = — ql²/8, согласно формулы (315.1.5). Это позволяет рассчитывать данным методом не только шарнирно опертые многопролетные балки, но и балки, имеющие жесткое защемление на концах.

2. Трехпролетная балка

При рассмотрении трехпролетной балки у нас появится еще одна неизвестная величина — момент на опоре С:

Рисунок 315.2. Приведение трехпролетной балки к основной и вспомогательным системам

То есть угол наклона между смежными сечениями на опоре В балок вспомогательной системы будет зависеть не только от значения моментов, приложенных на рассматриваемой опоре, но также и от значения момента, приложенного на опоре С. И тогда формула для определения угла наклона на опоре В будет выглядеть так:

φ_В = М_В^пa/3EI + M_В^лb/3EI — М_С^пb/6EI = M_B(a + b)/3EI + M_Cb/6EI (315.2.2)

φ_В = q(a³ + b³)/24EI + M_B(a + b)/3EI + M_Cb/6EI = 0 (315.2.3)

Соответственно для опоры С:

φ_С = M_С(b + c)/3EI — M_Вb/6EI (315.2.4)

φ_С = q(b³ + c³)/24EI + M_C(b + c)/3EI + M_Bb/6EI = 0 (315.2.5)

Решая систему из двух уравнений (315.4.3) и (315.4.4), можно найти значения моментов на опорах. Например при равных пролетах a = b = c решение задачи значительно упрощается, так как и моменты М_В и М_С, действующие на опорах, при этом будут равными из-за симметричности балки и равномерно распределенной нагрузки:

φ_В = φ_С= qa³/12EI + 2Ma/3EI + Ma/6EI = 0 (315.2.6)

5Ma/6EI = — qa³/12EI (315.2.7)

M = — qa²/10 (315.2.8)

Когда мы решали подобную задачу методом сил, то получили следующие уравнения:

Δ₁₀ + Δ_1У1 + Δ_1У2 = 0 (314.4.2)

Δ₂₀ + Δ_2У1 + Δ_2У2 = 0

Если мы угол наклона заменим греческой буквой Δ, а статически неопределимые опоры пронумеруем, то уравнения (315.2.3) и (315.2.5) примут вид:

Δ₁₀ + Δ₁₁ + Δ₁₂ = 0 (314.4.2)

Δ₂₀ + Δ₂₁ + Δ₂₂ = 0

т.е. мало чем будут отличаться от канонических уравнений метода сил.

Если у балки будет 4 пролета, то в итоге мы получим систему из 3 уравнений, в одном  из которых будет 3 неизвестных члена, а в первом и последнем — по 2 неизвестных члена. Соответственно для расчетов 5 пролетной балки придется составить систему из 4 уравнений, в двух из которых будет по 3 неизвестных члена, а в первом и последнем также по 2 неизвестных члена, для 6 пролетной — из 5 уравнений и так далее, но при этом количество неизвестных членов в первом и последнем уравнении всегда будет равно двум, а в остальных уравнениях — трем, так как количество моментов, действующих на опорах смежных балок вспомогательных систем, не может быть больше 4. А так как моменты, действующие на рассматриваемой опоре, равны согласно (315.1.1), то количество неизвестных в уравнениях сокращается до 3 и потому уравнения вида (315.2.3) и (315.2.5) называются уравнениями трех моментов.

Для любой многопролетной балки уравнение трех моментов для n-ной опоры можно записать так:

M_n-1l_n/6EI + M_n(l_n + l_n+1)/3EI + M_n+1l_n+1/6EI = — φ_n (315.3.1)

А если обе части уравнения умножить на 6EI, то уравнение трех моментов будет выглядеть так:

M_n-1l_n + 2M_n(l_n + l_n+1) + M_n+1l_n+1 = — 6φ_nEI (315.3.2)

где φ_n — рассмотренный нами суммарный угол наклона между смежными сечениями на n-ной опоре.

Произведение φ_nEI иногда для упрощения записи рассматривается, как суммарная фиктивная опора R_n^ф:

φ_nEI = R_n^ф = В_n^ф + A_n+1^ф = ω_na_n/l_n + ω_n+1b_n+1/l_n+1 (315.3.3)

Физический смысл этой формулы следующий: с точки зрения строительной физики сила, момент, угол поворота и прогиб — это не какие-то случайные понятия, а четко связанные между собой. Например, когда мы определяем опорную реакцию В при действии равномерно изменяющейся нагрузки (от 0 на опоре А до q на опоре В), мы умножаем площадь нагрузки (ql/2) на расстояние от опоры А до центра тяжести этой площади (2/3l) и затем делим это все на длину пролета (l), в итоге В = ql/3, соответственно А = ql/6. А если в качестве грузовой эпюры рассматривать эпюру моментов, также имеющую вид треугольника (например, при моменте, приложенном на опоре В), то значение фиктивных реакций составит В^ф = Мl/3, А^ф = Ml/6. В общем случае эту закономерность можно отобразить так:

Рисунок 315.3. Определение суммарной фиктивной реакции по эпюрам моментов для балок основной системы.

Однако в большинстве случаев чертить эпюры моментов для балок основной системы,  затем определять центры тяжести этих эпюр и расстояния до центров тяжести нет большой необходимости, так как для наиболее распространенных вариантов приложения нагрузки фиктивные опорные реакции давно известны и определить их можно по соответствующим таблицам. Пример такой таблицы представлен ниже.

Таблица 315.1. Фиктивные опорные реакции для различных вариантов загружения балки основной системы

4. Решение системы уравнений

После того, как углы поворота на опорах (фиктивные опорные реакции) для всех балок основной системы определены, можно приступать к решению системы уравнений. Вот только, если пролетов у балки много, то запись окончательного уравнения, позволяющего определить один из неизвестных моментов, может занять не одну минуту и не одну страницу. В таких случаях можно воспользоваться следующей методикой:

Для балки, имеющей k пролетов, потребуется составить k — 1 уравнений. Если значения выражений — 6R_n^ф заменить параметром c_i, то уравнения будут иметь следующий вид:

 (315.4.1)

Если умножить все уравнения на пока произвольные параметры α_i, а затем сложить все левые и правые части уравнений системы (315.4.1), то итоговое уравнение после соответствующих преобразований, позволяющих сократить запись, будет иметь вид:

  (315.4.2)

Теоретически множители α могут иметь такие значения, при которых все выражения в квадратных скобках (множители для М_n в формуле (315.4.2)), кроме последнего, будут равны нулю. На основании этого предположения из уравнения (315.4.2) можно составить еще одну дополнительную систему уравнений:

  (315.4.3)

Количество уравнений в такой системе будет k — 2, с k — 1 неизвестными параметрами α. Так как число параметров α на единицу больше количества уравнений, то для решения системы значение одного из этих параметров задается произвольно. Наиболее удобным для дальнейших расчетов будет принять значение α₁ = 1. Тогда значения остальных коэффициентов α можно определить, решая систему уравнений (315.4.3):

(315.4.4.1)

В общем виде:

(315.4.5)

Примечание: Если придать абстрактным математическим коэффициентам α конкретный физический смысл, то коэффициенты α_n есть не что иное, как такое соотношение моментов на соседних опорах , при котором суммарный угол наклона на рассматриваемой опоре будет равен нулю и тогда эти коэффициенты можно выразить так α_n = M_n/M_n-1. Например, если первое уравнение системы (315.4.1) разделить на М₁, то это уравнение c учетом вышесказанного можно записать так:

 (315.4.6)

тогда

 (315.4.4.2)

После подставления определенных вышеуказанным способом параметров α уравнение (315.4.2) примет вид

  (315.4.7)

Соответственно значение М_k-1 будет составлять

(315.4.8)

После этого полученное значение М_k-1 подставляется в последнее уравнение системы (315.4.1) и определяется значение М_k-2. Из предпоследнего уравнения после подставления значений М_k-1 и М_k-2 определяется значение М_k-3 и т.д. Таким образом количество неизвестных в уравнениях системы (315.4.1) сводится к одному.

Если на одном или обоих концах балки есть нагруженные консоли, то определить изгибающие моменты на крайних опорах — не проблема. Значения этих моментов подставляются в уравнение трех моментов, как известные величины, тогда в первом и последнем уравнениях также будет по 3 члена. Если один или оба конца рассчитываемой балки защемлены, то жесткое защемление рассматривается как дополнительный пролет с длиной l = 0, таким образом придется составить еще одно или два уравнения.

5. Уравнение трех моментов для балки с переменной жесткостью:

Когда мы умножали обе части уравнения (315.3.1) на 6EI, то тем самым задавали момент инерции I, как некую постоянную величину. Между тем момент инерции также может быть переменной величиной (например, когда многопролетная железобетонная плита имеет различное армирование в пролетах) и для таких случаев уравнение моментов можно записать так:

(315.5.1)

где

 (315.5.2)

I_o — момент инерции одного из участков балки, принятый за основу.

Вот, в принципе и все теоретические предпосылки для расчета статически неопределимых конструкций методом моментов. А как эту теорию можно применить на практике, рассказывается отдельно.

Уравнение трёх моментов — Википедия

Уравнение трёх моментов — уравнение для расчёта моментов в задаче об изгибе неразрезной многопролётной балки^[1].

Известно, что балка при наличии дополнительных опор становится статически неопределимой. Одним из методов расчёта таких балок является метод сил. С помощью данного метода выводится уравнение трёх моментов^[2]:

Mi−1li+2Mi(li+li+1)+Mi+1li+1=−6(Ωiaili+Ωi+1bi+1li+1).{\displaystyle M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\left({\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}}}\right).}

Здесь Ωi{\displaystyle \Omega _{i}} — площадь эпюры моментов i-й статически определимой балки, ai{\displaystyle a_{i}} — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до левого конца балки, bi{\displaystyle b_{i}} — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до правого конца балки, li=ai+bi{\displaystyle l_{i}=a_{i}+b_{i}} — длина i-й балки.

Вывод уравнения трёх моментов предусматривает, что после введения шарниров над опорами получается статически определимая система из n{\displaystyle n} балок, каждая из которых представляет простую балку с опорами по концам. Неизвестные в методе сил — моменты, приложенные по концам независимых балок.

Впервые уравнение для расчёта неразрезных балок применил мостостроитель и путейский инженер Берто (Bertot) в 1855 г^[3]. Сам же метод применялся ранее (1849) при реконструкции моста через Сену в Аньере (пригород Парижа, ныне известный как Аньер-сюр-Сен, фр. Asnières-sur-Seine), но опубликован Клапейроном в трудах Академии наук только в 1857 г. Так как идея основной системы с неизвестными моментами над опорами впервые была высказана Клапейроном, уравнение трёх моментов связывают с его именем^[4]. Дальнейшее развитие теория неразрезных балок получила в работах Отто Мора, который обобщил теорию на случай, когда опоры расположены на разной высоте (1860).

Процедура решения задачи с использованием уравнения трёх моментов такова.

1.  Балка режется на отдельные части (простые балки) дополнительными внутренними шарнирами в местах крепления опор.

Обозначения реакций образовавшихся связей: — моменты M0,M1,…,Mn{\displaystyle M_{0},M_{1},…,M_{n}}.

2.  Нумеруются пролёты (участки балки между опорами). Число пролётов равно n{\displaystyle n}. Левая консоль считается нулевым пролётом, правая имеет номер n+1{\displaystyle n+1}. Длины пролётов: li{\displaystyle l_{i}}, i=0,…,n+1{\displaystyle i=0,…,n+1}.

3.  Из условия равновесия консольных частей определяются моменты M0{\displaystyle M_{0}} и Mn{\displaystyle M_{n}}. Остальные моменты являются неизвестными системы n−1{\displaystyle n-1} уравнений трёх моментов.

4.  Строятся эпюры моментов Mp{\displaystyle M_{p}} и перерезывающих сил Qp{\displaystyle Q_{p}} в пролётах и консолях (если они есть) балки от действия внешней нагрузки. Каждый пролёт представляет собой отдельную статически определимую балку.

5.  Вычисляются площади эпюр моментов Ωi{\displaystyle \Omega _{i}}, i=1,…,n{\displaystyle i=1,…,n} в пролётах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой (ai{\displaystyle a_{i}}) и правой (bi{\displaystyle b_{i}}) опоры соответствующего пролёта.

6.  Решение системы уравнений трёх моментов складывается с эпюрами моментов от внешней нагрузки. Полученная эпюра есть эпюра моментов в неразрезной балке.

Построить эпюру моментов в неразрезной балке длиной 19 метров с четырьмя опорами (рис. 1). На балку действует распределённая нагрузка q1=10{\displaystyle q_{1}=10} кН/м, q2=12{\displaystyle q_{2}=12} кН/м и сосредоточенная сила P=9{\displaystyle P=9} кН.

Длина консоли: l0=4{\displaystyle l_{0}=4} м. Длины пролетов: l1=l2=l3=5{\displaystyle l_{1}=l_{2}=l_{3}=5} м. Получаем основную систему метода сил, вводя шарниры над опорами (рис. 2). Моменты M0{\displaystyle M_{0}} и M3{\displaystyle M_{3}} — величины известные и определяются из условия равновесия консолей. Правой консоли здесь нет, M3=0{\displaystyle M_{3}=0}. Для левой консоли получаем M0=q1l02/2{\displaystyle M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2}.

Строим эпюры моментов от внешней нагрузки в независимых балках основной (статически определимой) системы (рис. 3). Эпюры строим на сжатом волокне (как принято в машиностроении; в строительстве и архитектуре эпюры _{моментов принято строить на растянутом волокне).}

Записываем уравнения трёх моментов:

l1M0+2M1(l1+l2)+M2l2=−6(Ω1a1/l1+Ω2b2/l2),{\displaystyle l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega _{1}a_{1}/l_{1}+\Omega _{2}b_{2}/l_{2}),}

l2M1+2M2(l2+l3)+M3l3=−6(Ω2a2/l2+Ω3b3/l3).{\displaystyle l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega _{2}a_{2}/l_{2}+\Omega _{3}b_{3}/l_{3}).}

Здесь Ω1=10.8⋅5/2=27,{\displaystyle \Omega _{1}=10.8\cdot 5/2=27,} a1=(2+5)/3=2.333,{\displaystyle a_{1}=(2+5)/3=2.333,} Ω2=Ω3=2fl2/3=125,{\displaystyle \Omega _{2}=\Omega _{3}=2fl_{2}/3=125,} a2=b2=a3=b3=2.5.{\displaystyle a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2.5.} Решаем систему уравнений M1=7.301{\displaystyle M_{1}=7.301} кНм, M2=−39.325{\displaystyle M_{2}=-39.325} кНм. Строим эпюру от этих моментов (рис. 4).

Складываем (по точкам) эпюры от нагрузки (рис. 3) и от моментов (рис. 4). Получаем эпюру моментов в балке (рис. 5).

Очевидным достоинством метода является простота матрицы системы линейных уравнения задачи. Эта матрица — трёхдиагональная, что позволяет применять различные упрощённые численные схемы решения.

1. ↑ Кирсанов М. Н. . Maple и Maplet. Решения задач механики. — СПб.: Лань, 2012. — 512 с. — ISBN 978-5-8114-1271-6. — С. 179—181.
2. ↑ Феодосьев В. И. . Сопротивление материалов. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960. — 536 с. — С. 217.
3. ↑ Бернштейн С.А. Очерки по истории строительной механики. — М.: Государственное издательство литературы по строительству и архитектуре, 1957. — 236 с. — С. 209.
4. ↑ Тимошенко С. П. . История науки о сопротивлении материалов. 2-е изд. — М.: URSS, 2006. — 536 с. — ISBN 5-484-00449-7. — С. 176.

• Киселёв В. А. . Строительная механика. Общий курс. — М.: Стройиздат, 1986. — 520 с.
• Горшков А. Г., Трошин В. Н., Шалашилин В. И. . Сопротивление материалов. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 544 с. — ISBN 5-9221-0181-1.