Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскости – ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямых ΠΈ плоскостСй ΠΊ плоскостям ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

    4. ΠΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой. Π£Π³Π»Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΊ плоскостям ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    ΠžΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° [AB] прямой Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ конгруэнтна ΠΎΡ€ΠΈΠ³ΠΈΠ½Π°Π»Ρƒ лишь Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ этой плоскости (свойство 6), Ρ‚.Π΅.

    ([AB]H) [A1B1][AB]

    ([CD]V) [C2D2][CD]

    ([EF]

    W)[E3F3][EF]

    Π’ΠΎ всСх ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… случаях ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ проСцируСтся Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ с искаТСниями. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° всСгда мСньшС Π΅Π³ΠΎ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹:

    |A1B1| < |AB|

    |A2B2| < |AB|

    |A3B3| < |AB|

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° систСма плоскостСй V/H ΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ [AB], Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ своими проСкциями. ВрСбуСтся Π½Π° ΡΠΏΡŽΡ€Π΅ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ |AB| ΠΈ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π°

    ΠΊ плоскости H ΠΈΠΊ плоскости V.

    Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΊ плоскости — Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ прямой ΠΈ Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π° эту ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ.

    Для графичСского опрСдСлСния Π½Π° ΡΠΏΡŽΡ€Π΅ МонТа Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ) Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° достаточно ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ, взяв Π·Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ (Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ, ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ) ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π° Π·Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Ρ‚ — Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ удалСния ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΎΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ (Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ, ΠΏΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ) плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·Π° Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π³ΠΈΠΏΠΎΡ‚Π΅Π½ΡƒΠ·ΠΎΠΉ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΊ этой плоскости.

    Рис.7

    Для опрСдСлСния ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости (ΡƒΠ³Π»Π° ), построСния Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π½Π° Π±Π°Π·Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Для опрСдСлСния ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΊ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости (ΡƒΠ³Π»Π° ), построСния Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ Π½Π° Π±Π°Π·Π΅ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    5. ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΈ частного полоТСния.

    ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ частного полоТСния — это прямыС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π²ΡƒΠΌ плоскостям ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ случаС прямыС Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ прямыми уровня.

    Π’ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ случаС — ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ прямыми, Ρ‚.ΠΊ. пСрпСндикулярны ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ уровня.

    Рис.8

    Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ — h, прямая ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ плоскости H Π€Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ — f, прямая ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ плоскости V ΠŸΡ€ΠΎΡ„ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ прямая — p, прямая ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ плоскости W

    ΠŸΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ прямыС.

    ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ.

    Рис.15

    lH

    Рис.16

    m

    V

    Рис.17

    nW

    6. Π’Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π²ΡƒΡ… прямых.

    ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π² пространствС ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈ ΡΠΊΡ€Π΅Ρ‰ΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. ΠŸΡ€ΠΈ этом пСрСсСчСниС ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π² нСсобствСнной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅. Π’ этом случаС прямыС Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ.

    ΠŸΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ прямыС.

    Из 4-Π³ΠΎ ΠΈΠ½Π²Π°Ρ€ΠΈΠ°Π½Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ свойства ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ проСцирования слСдуСт Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

    (a,b)(ab)[(a1b1)(a2b2)(a3
    b3)] (1)

    Для опрСдСлСния, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π»ΠΈ прямыС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния, достаточно ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

    [(a1b1)(a2b2)](a3

    b3) (2)

    Если прямыС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π»ΠΈΠ±ΠΎ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ условиС (2) ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π½Π΅ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒΡΡ. Π’ этом случаС лСвая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ (2) являСтся Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹ΠΌ, Π½ΠΎ нСдостаточным условиСм. Вопрос ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½Π° плоскости, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ прямыС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

    Рис.1

    ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

    Рис.2

    ΠŸΡ€ΡΠΌΡ‹Π΅ Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹.

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямых ΠΈ плоскостСй ΠΊ плоскостям ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми:

    1. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈΡ… пСрСсСчСния. Π•Π΅ проСкция, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, задаст Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ плоскостСй.

    2. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ППП ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ построСнной Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ частного полоТСния ΠΈ сторонами искомого ΡƒΠ³Π»Π°.

    3. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ искомый ΡƒΠ³ΠΎΠ», учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 90.

    Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями:

    1. Найти ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ пСрСсСчСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй.

    2. ΠœΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ пСрСвСсти линию пСрСсСчСния Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ.

    3. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ слСды Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: ΠΎΠ½ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ‹ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ пСрСсСчСния, ΠΎΡ‚ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π² ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ.

    4. Π’Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ пСрСвСсти линию пСрСсСчСния плоскостСй Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅.

    5. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ слСды плоскостСй Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ: ΠΎΠ½ΠΈ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ проходят Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΡΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ линия пСрСсСчСния.

    6. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ острый ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ слСдами Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… плоскостСй Π² качСствС искомого.

    1. Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, пСрпСндикулярной плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ истинной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой ΠΈ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΊ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ вращСния.

    Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, пСрпСндикулярной плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

    1. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ исходной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π² соотвСтствии со способом Π΅Π΅ задания.

    2. Π’Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ пСрСмСщСния ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ пСрпСндикулярна координатная ось, слуТащая осью вращСния (см. Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ).

    3. Π’Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠ΅ΠΉ пСрСмСщСния являСтся Π΄ΡƒΠ³Π° окруТности с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ ΠΈ радиусом, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π°ΡΡΡ‚ΠΎΡΠ½ΠΈΡŽ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ O Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ исходной Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ вращСния Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² этой плоскости. Данная проСкция Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Π΅Π΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ (см. Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρƒ) ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½Π° ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ оси.

    4. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° ось вращСния, ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π΅ мСняСтся. (Π’ связи с этим траСктория пСрСмСщСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостях ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ линию, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ оси, Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ происходит Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅).

    5. ПослС Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π½Π° оси Π² Π΅Π΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π½Π° плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    6. ΠžΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

    Π’Ρ€Π°Ρ‰. относ.

    ВраСктория (Π΄ΡƒΠ³Π° Π² …)

    Изм. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄.

    НСизм. ΠšΠΎΠΎΡ€Π΄.

    X

    Ο€3

    y, z

    X

    Y

    Ο€2

    x, z

    Y

    z

    Ο€1

    x, y

    z

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ истинной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой:

    1. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Для выяснСния истинной Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ достаточно всСго Π΄Π²ΡƒΡ… ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ, Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ.

    2. Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ оси вращСния: ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠ² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрпСндикулярна ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    3. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ пСрСмСщСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π² плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ось вращСния пСрпСндикулярна. Π­Ρ‚ΠΎ – Π΄ΡƒΠ³Π° окруТности с радиусом, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой Π½Π° Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ вращСния проСкция ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ оси Ox. ДСйствия ΠΏΡ€ΠΈ построСнии ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡƒΡ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎ схСмС, ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π΅.

    4. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΡŽ пСрСмСщСния Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ось вращСния. Она проСцируСтся Π² ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ прямой, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ оси Ρ…. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ этой ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ связи с ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, построСнной Π² n. 3.

    5. Π‘ΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² ΠΏ. 4 ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π΅Π³ΠΎ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π°, ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π΅ измСнилось. Π’Ρ‹Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ искомой истинной Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅.

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° прямой ΠΊ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ:

    1. Из ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прямой ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ пСрпСндикуляр Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. Заданная прямая ΠΈ построСнный пСрпСндикуляр ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ прямыС, ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ искомый.

    2. Найти ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми.

    3. ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми, Π½Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈΡ… пСрСсСчСния. Она Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ осью вращСния ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ вращСния.

    4. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ вращСния ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ (Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ) ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Ρ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ построСнной Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ частного полоТСния ΠΈ сторонами искомого ΡƒΠ³Π»Π°.

    5. ΠžΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ искомый ΡƒΠ³ΠΎΠ», учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°Ρ… ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ 90, Ρ‚.Π΅. Ссли Π² построСнном Π² ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ слСдуСт смСТный ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΎ 180.).

    6. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π² ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» связан ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΡΠΎΠΎΡ‚Π½ΠΎΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΉ с искомым ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ: Ссли Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» — острый, Ρ‚ΠΎ Ο• = 90 -Ξ±; Ссли ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» — Ρ‚ΡƒΠΏΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ Ο• = Ξ± — 90.

    ΠΠ°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ гСомСтрия — Π‘Ρ‚Ρ€ 5

    Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ AB ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ-ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ². На Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ линия пСрСсСчСния плоскостСй MN совпадаСт с Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ слСдом этой плоскости. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠ² Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ прямой M»N» Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния Π΅Π΅ с прямой AB – K», послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ связи Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ K’. Π’ Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠΈ опрСдСляСм Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой AB ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния.

    4.5. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямой ΠΈ плоскости

    ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ пСрпСндикулярна плоскости, Ссли ΠΎΠ½Π° пСрпСндикулярна Π΄Π²ΡƒΠΌ прямым этой плоскости, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π΅Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ ΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1: ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ пСрпСндикуляр ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D ΠΊ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC. РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°ΡŽΡ‚ с построСния Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ h (h’, h») ΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ f (f’, f»)

    плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° (см. рис. 4.16). Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΊ этим прямым проводят ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D пСрпСндикуляр n, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рисункС.

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Π°

    Π±

    Рис. 4.16

    ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ n пСрпСндикулярна плоскости Ξ±(ABC), Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ n h ΠΈ n f (Π½Π° основании свойства ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ проСцирования).

    ΠŸΡ€ΠΈ построСнии Π½Π° комплСксном Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ пСрпСндикуляра ΠΊ плоскости Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Ρƒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅: Ссли n Ξ±(h ∩ f), Ρ‚ΠΎ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция пСрпСндикуляра пСрпСндикулярна Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ, Π° Π΅Π³ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция – Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ (n’ h’; n» f»’). Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅.

    Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‡Π°Π½ΠΈΠ΅: ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ пСрпСндикуляр Π½Π΅ опрСдСляСт расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ D Π΄ΠΎ плоскости! ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ пСрСсСчСния пСрпСндикуляра с Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΡŽ ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΡŽ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ пСрСсСчСния пСрпСндикуляра с ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ. Π’ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пСрСсСчСния находится с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… построСний (сСкущих плоскостСй), ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ, ΠΊΠ°ΠΊ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ рассмотрСно Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ΄Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅.

    ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ расстояния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ плоскости ΠΈ Π΄ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных повСрхностСй.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π‘ Π΄ΠΎ прямой AB (рис. 4.17).

    Β 

    βˆ†

    Β 

    βˆ†

    Π°

    Π±

    Β 

    Рис. 4.17

    РСшСниС: РасстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ прямой измСряСтся Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° пСрпСндикуляра, ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π½Π° Π½Π΅Π΅ ΠΈΠ· этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ данная прямая – Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ, Ρ‚ΠΎ Π² соотвСтствии со свойством проСцирования прямого ΡƒΠ³Π»Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция пСрпСндикуляра пСрпСндикулярна Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ. ΠŸΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ пСрпСндикуляр ΠΈΠ· C’ ΠΊ A’B’, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ строим Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΡΠΌΠΎΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ для опрСдСлСния Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° пСрпСндикуляра CK.

    4.6. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй

    Π”Π²Π΅ плоскости Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярны, Ссли ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… содСрТит ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ плоскости. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ построСниС пСрпСндикулярных плоскостСй сводится ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярных прямой ΠΈ плоскости.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 1:ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅ΡΡ‚ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ m ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC (рис. 4.18).

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Π°

    Π±

    Рис. 4.18

    РСшСниС: На рис. 4.16 Π±Ρ‹Π»Π° рассмотрСна Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° Π½Π° построСниС пСрпСндикуляра ΠΈΠ· Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°. Данная Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π° сводится ΠΊ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΉ, Ссли Π½Π° прямой m Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ D ΠΈ провСсти Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π΅ пСрпСндикуляр n ΠΊ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямыми, m ΠΈ n, ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… пСрпСндикулярна плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

    42

    ABC. А ΠΊΠ°ΠΊ извСстно, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, содСрТащая пСрпСндикуляр ΠΊ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ плоскости, сама пСрпСндикулярна этой плоскости.

    Β 

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ 2: ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± Π·Π°Π΄Π°Π½Π° слС-

    Β 

    Π΄Π°ΠΌΠΈ f0Ξ±»

    ΠΈ hΞ±0′.

    ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ²,

    Β 

    ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ

    Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ. РасстояниС

    Β 

    ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ плоскостями ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅. Плос-

    Β 

    ΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ²

    Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈΡΡ прямы-

    Β 

    ΠΌΠΈ (рис. 4.19).

    Β 

    Β 

    РСшСниС:

    ΠŸΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ l, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈ-

    Β 

    ΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ плоскости Ξ± (l’ hΞ±0′ ΠΈ l» f0Ξ±»).

    Β 

    Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅ΠΌ эту ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π² ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ

    Β 

    ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. Для этого Π²Ρ‹Π±ΠΈΡ€Π°Π΅ΠΌ Π½Π° прямой l

    Β 

    ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ A ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π·

    Β 

    Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ m. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ

    Β 

    Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ² Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ искомой,

    Β 

    Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π° двумя ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ-

    Рис. 4.19

    ся прямыми, m ΠΈ l, ΠΈΠ· ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΏΠ΅Ρ€-

    Β 

    пСндикулярна плоскости Ξ±.

    4.7. ΠŸΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ прямых

    ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅: Π”Π²Π΅ прямыС пСрпСндикулярны, Ссли ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ прямой.

    Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ провСсти ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ n пСрпСндикулярно Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой l, слСдуСт Π²Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π΅ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± l, ΠΊΠ°ΠΊ это Π±Ρ‹Π»ΠΎ рассмотрСно Π² Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅ 4.5, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² этой плоскости провСсти ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ. ВсС прямыС этой плоскости Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ пСрпСндикулярны прямой l.

    4.8.Вопросы для контроля

    1.Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ плоскости?

    2.Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ прямой частного полоТСния?

    3.Как ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния плоскости с прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния? ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    4.ΠŸΠΎΠΊΠ°ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°Ρ… построСниС прямой ΠΈ плоскости, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскости ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния.

    5.РасскаТитС, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ плоскости ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    6.ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ построСния прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, пСрпСндикулярной ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ плоскости.

    7.Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ расстояниС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π΄ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ плоскости? ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    8.Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ плоскости ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹.

    9.РасскаТитС, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ линию пСрСсСчСния Π΄Π²ΡƒΡ… плоскостСй. ΠŸΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

    10.Π‘Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ условиС пСрпСндикулярности Π΄Π²ΡƒΡ… прямых ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния.

    Π“Π»Π°Π²Π° 5 Π‘ΠŸΠžΠ‘ΠžΠ‘Π« ΠŸΠ Π•ΠžΠ‘Π ΠΠ—ΠžΠ’ΠΠΠ˜Π― ΠšΠžΠœΠŸΠ›Π•ΠšΠ‘ΠΠžΠ“Πž ЧЕРВЕЖА

    РСшСниС пространствСнных Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° комплСксном Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ упрощаСтся, Ссли ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ нас элСмСнты Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ частноС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Ρ…ΠΎΠ΄ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния гСомСтричСской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΊ частному выполняСтся ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ способами:

    1)Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, располоТСнных Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π»ΠΈΠ±ΠΎ пСрпСндикулярно рассматриваСмому гСомСтричСскому элСмСнту;

    2)ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ полоТСния Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π² пространствС ΠΏΡ€ΠΈ Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ систСмС плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ.

    ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π² этом случаС Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

    5.1. Бпособ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

    Π‘ΡƒΡ‰Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ способа Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Π΅Ρ‚ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π° ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… плоскостях ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ строятся Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, располоТСнныС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΈΠ»ΠΈ пСрпСндикулярно Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ гСомСтричСскому ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρƒ. ΠŸΡ€ΠΈ этом новая ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ пСрпСндикулярна ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ образуСтся новая систСма Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ пСрпСндикулярных плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΡ€Π΅ΠΆΠ½ΡŽΡŽ.

    Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π² систСму плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€1/Ο€2 Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€4 (рис. 5.1). Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ систСму – Ο€1/Ο€4. ΠŸΡ€ΠΈ этом ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ остаСтся ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ, Ρ‚.Π΅. Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ проСцирования S пСрпСндикулярно плоскости Ο€4. Π’ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ получаСтся комплСксный Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ, прСдставлСнный Π½Π° рис. 5.2.МоТно ввСсти Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, сохранив Π² качСствС ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ (ΡΠ²ΡΠ·ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ) плоскости Π½Π΅ Ο€1, Π° Ο€2. ΠŸΡ€ΠΈ этом всС построСния проводят Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌΡƒ ΡΠ»ΡƒΡ‡Π°ΡŽ.

    z

    Β 

    Β 

    Β 

    B

    B

    DZ

    Β 

    x

    A’

    Β 

    B’

    Β 

    Β 

    A

    A

    Β 

    Β 

    x

    Β 

    A’

    x

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Рассмотрим основныС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ прСобразования комплСксного Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ°.

    5.1.1. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ прямой ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прямой уровня

    Для прСобразования прямой AB Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ уровня (Ρ‚.Π΅. ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ) (рис. 5.3) вводят Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€4 Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ось ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ x14 Π±Ρ‹Π»Π° ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ AB (Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС – A’B’), Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ‚ оси x14 ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Z для построСния Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ AIV ΠΈ BIV, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌ Z Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Aβ€³ ΠΈ Bβ€³. Новая проСкция прямой AIVBIV Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB ΠΈ позволяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Ο•1 этого ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΊ плоскости

    ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€1. Π£Π³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB ΠΊ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο•2 ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ, построив Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€5 Ο€2 (рис. 5.4). Ось x15 ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° A»B».ΠŸΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡ AVBV Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ собой Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB.

    5.1.2. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ прямой уровня Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π° Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прямой уровня ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π»ΠΎΡΡŒ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ (рис. 5.5.), Π½Π°Π΄ΠΎ эту ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ пСрпСндикулярно Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ прямой, Ρ‚.Π΅. провСсти Π½Π° комплСксном Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ ось ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ пСрпСндикулярно Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ прямой Π½Π° ΠΎΠ±Ρ‰ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ своСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π½Π° плоскости Ο€4 Ο€1. АналогичныС построСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈ для Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ. Π’ этом случаС новая ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€5 Ο€2.

    Для построСния Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ прямой ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, выполняСтся двойная Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π° плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π’ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмС эта прямая Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ.

    На рис. 5.6 прСдставлСна такая Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π°. ΠŸΡ€ΡΠΌΠ°Ρ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния l (AB) сначала пСрСводится Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ прямой уровня

    Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€4 Ο€1 (AIV BIV Ο€4), Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈ-

    Ρ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ прямой Π² систСмС плоскостСй Ο€4/Ο€5 (AV BV Ο€5). На плоскости Ο€5 прямая l изобразится Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

    Β 

    5.1.3. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ плоскости ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Β 

    Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ пСрпСндикулярна Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° со-

    Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ этой плоскости. Π’ качСствС Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ прямой для ΠΏΡ€Π΅-

    ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π° плоскости Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π·ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ

    уровня, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рис. 5.7.

    Β 

    Β 

    Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ рассуТдСния ΠΈ построС-

    Β 

    Β 

    ния, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»Π΅,

    Β 

    Β 

    ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ h Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅

    Β 

    Β 

    ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, вводя Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊ-

    x

    Β 

    Ρ†ΠΈΠΉ Ο€4. ΠŸΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΠ΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅-

    Β 

    Β 

    ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€4,

    Β 

    Β 

    бСря ΠΈΡ… ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Z с плоскости Ο€2, Ρ‚.Π΅.

    Β 

    Β 

    замСняСм ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο€2 Π½Π° Ο€4. ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ

    Β 

    Β 

    проСкция плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° AIVBIVCIV

    Β 

    Β 

    Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο€4 Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π° Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΎΠ½Π°

    Β 

    x

    Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ гСомСтричСским мСстом всСх

    Β 

    Β 

    Β 

    Рис. 5.7

    Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ, ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… этой плоскости.

    Β 

    Β 

    Β 

    5.1.4. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ плоскости Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости уровня

    Если заданная ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ пСрпСндикулярна ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ‚ΠΎ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости уровня. РСшСниС этой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ позволяСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ (рис. 5.8.).

    Β 

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ-ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€Ρƒ-

    Β 

    ΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± (βˆ†ABC Ο€2). Π’Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ

    Β 

    ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€4, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ξ±. Но-

    Β 

    вая ось ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ x24 ΠΏΠΎ этой ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚

    Β 

    располоТСна ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ξ±, Ρ‚.Π΅. Π² систСмС

    Β 

    плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€2 / Ο€4 ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ξ± Π·Π°ΠΉ-

    Рис. 5.8

    ΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости уровня. Π’Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒ-

    Π½ΠΈΠΊ ABC Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

    Β 

    Β 

    Ο€4 Π² Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ.

    5.1.5. ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ плоскости ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ уровня

    Если Π² исходном ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π° Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΊ плоскости уровня, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π΅Π³Π°ΡŽΡ‚ ΠΊ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π²Π΅ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ.

    ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠŸΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π³ΠΎ полоТСния стала ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ систСмы.

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (рис. 5.9). НуТно ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ систСму плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ….

    x x

    x

    Рис. 5.9

    Π’ систСмС Ο€1/Ο€2 Ρ‚Π°ΠΊΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ нСльзя. Π”Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ, Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ пСрпСндикулярна Π½ΠΈ Ο€1, Π½ΠΈ Ο€2, Ρ‚.Π΅. ΠΎΠ½Π° Π½Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ с плоскостями ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы.

    РСшСниС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‹ плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½Π΅ (Ο€2 Π½Π° Ο€4) ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° h. Новая ось ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ x14 проводится пСрпСндикулярно Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ h’. Π‘ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π² Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC Π½Π° Π½ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€4, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ AIVBIVCIV Ο€4. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ процСсс Π±Ρ‹Π» описан Π²Ρ‹ΡˆΠ΅.

    На Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ этапС ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅ΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC Π² ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ уровня. Для этого ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΎΡ‚ систСмы Ο€1/Ο€4 ΠΊ систСмС Ο€4/Ο€5 (см. рис. 5.9). Новая ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο€5 устанавливаСтся ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΡƒ, Π° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚, новая ось x45 Π½Π° Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ проводится ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ прямой, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ располоТСны Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ AIV, BIV, CIV . Π§Π΅Ρ€Π΅Π· ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ проводят пСрпСндикуляры – Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ связи ΠΊ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ оси ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΎΡ‚ оси x45 Π² плоскости Ο€5 ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Π΅ расстояниям ΠΎΡ‚ оси x14 Π΄ΠΎ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ A’, B’ ΠΈ C’ соотвСтствСнно. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Π°Ρ проСкция AVBVCV опрСдСляСт ΠΈΡΡ‚ΠΈΠ½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

    ΠŸΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹Π΅ Π΄Π²ΠΎΠΉΠ½Ρ‹Π΅ прСобразования ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ Π½Π° ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π°Ρ… Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°, построСниС высот, биссСктрис, вписанных (описанных) окруТностСй ΠΈ Ρ‚. ΠΏ.

    5.2. Бпособ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСмСщСния

    ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ заданная Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° двиТСтся Π² пространствС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² плоскостях, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ ΠΈ (ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ) ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. Π‘Π°ΠΌΠΈ Ρ‚Ρ€Π°Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹.

    5.2.1. ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°

    На рис.5.10 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ-

    Π³ΠΎ полоТСния AB Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ AB . ΠšΠΎΠ½Ρ†Ρ‹ A ΠΈ B ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° двиТутся соотвСтствСнно Π² плоскостях Ξ± ΠΈ Ξ², ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Ο€1.

    47

    Ο€

    Π˜ΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ΅

    Π’Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Π° A

    ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½Π°

    Β 

    Β 

    ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅

    Β 

    ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB

    ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    x

    Β 

    Ο€

    Β 

    x

    Β 

    Ο€

    Β 

    ΠžΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ AB

    x

    ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½

    Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅

    Β 

    Β 

    ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Β 

    Π²

    Β 

    Рис. 5.10

    ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° Ο•1 ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° ΠΊ плоскости Ο€1 сохраняСтся Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Π½Π΅ измСняСтся ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°,

    Ρ‚.Π΅. A’ B’= A’ B’ . ПослСднСС свойство ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π΅Π³ΠΎ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Π² ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎΠΌ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

    На рис. 5.11 ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ комплСксный Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. На этом Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ΅ сначала ΠΏΠ΅-

    x

    рСмСщаСтся Π² Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒ-

    Β 

    Β 

    Π½ΠΎΠ΅ оси x, Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·-

    Β 

    ΠΊΠ°, которая послС пСрСмСщСния ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅Ρ‚

    Β 

    ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅

    Β 

    Β 

    ‘ , ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ A’ B’=

    Β 

    Β 

    ‘ . Π—Π°-

    Β 

    A

    B

    A

    B

    Рис. 5.11

    Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ линиям связи строится новая Ρ„Ρ€ΠΎΠ½-

    Β 

    Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    A» B» .

    ПослС пСрСмСщСния ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ AB ΠΎΠ½ станСт Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΡŽ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ новая Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ (НВ), Ρ‚.Π΅. A» B»= AB . БоотвСтствСнно ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ο•1 Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ A» B» ΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° AB ΠΊ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ плоскости (Ο•1 = Ο•). ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎ, Π° всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° двиТутся ΠΏΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ прямым.

    5.2.2.ΠŸΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости

    ВкачСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° рассмотрим Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄Π΅ плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC, Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости уровня ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСмСщСния. УсловиС Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΈ Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π° рис. 5.12.

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    A’

    Β 

    Β 

    B’

    h’

    h’

    B’

    B’

    A’

    A’

    h’

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    Рис. 5.12

    Β 

    Β 

    ΠŸΡ€ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊ ABC пСрСводится Π²ΠΎ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ этой Ρ†Π΅Π»ΡŒΡŽ Π² плоскости Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° строится Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ A1, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π΅Π΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция A’1′ пСрСмСщаСтся Π² ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π½Π° свободном ΠΏΠΎΠ»Π΅ Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Π΅ΠΆΠ° проводится

    ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ A’1′ = A’1′ пСрпСндикулярно оси x). Π’

    процСссС пСрСмСщСния Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ° Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π΅

    ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ. ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ Π‘’ ΠΈ B’ выполняСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ циркуля ΠΏΠΎ засСчкам.

    ВсС Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° Π½Π° Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΏΠΎ горизонталям, пСрСсСчСниС ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… с линиями связи, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΈΠ· ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ Π²Ρ‹Ρ€ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π² ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ Π½ΠΎ-

    Π²ΡƒΡŽ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΡŽ A» B»C».

    ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ всС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ΡΡ Π² плоскостях, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ, Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ Π·Π°ΠΉΠΌΠ΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½-

    Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ плоскости уровня, Π° Π΅Π³ΠΎ выроТдСнная Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция A» B»C» – ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ. Π”Π»ΠΈΠ½Π° Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈ этом сохранится Π½Π΅ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π“ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊ-

    ция A’ B’C’ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° ABC Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π½Π° Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅.

    5.3.Бпособ вращСния Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ прямой

    ΠšΡ‡Π°ΡΡ‚Π½Ρ‹ΠΌ случаям ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСмСщСния относятся ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ вращСния Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… прямых, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠ΄ вращСния Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ прямых уровня.

    5.3.1. Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, пСрпСндикулярной ΠΊ плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

    ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А вращаСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, пСрпСндикулярной ΠΊ плоскости Ο€1 (рис. 5.13).

    Β 

    Β 

    Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ,

    Β 

    Β 

    пСрпСндикулярная ΠΊ оси вращСния ΠΈ, слС-

    Β 

    Β 

    Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°Ρ плоскости Ο€1.

    A

    Β 

    ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А описываСт Π² плоско-

    Β 

    сти Ξ± ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ радиуса R; Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Ρ€Π°-

    Β 

    Β 

    диуса выраТаСтся Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ

    пСрпСндикуля-

    x

    Β 

    Ρ€Π°, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π½Π° ось. Ок-

    Β 

    Ρ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, описанная Π² пространствС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ

    A’

    A’

    А, проСцируСтся Π½Π° ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο€1 Π±Π΅Π· иска-

    ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΉ. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ

    Ξ± ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒ-

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    лярна ΠΊ плоскости Ο€2, Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ

    Рис. 5.13

    Β 

    окруТности Π½Π° плоскости Ο€2 располоТатся

    Β 

    Β 

    Π½Π° Ξ±β€³, Ρ‚.Π΅. Π½Π° прямой, пСрпСндикулярной ΠΊ

    Β 

    Β 

    Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ оси вращСния.

    Ο•

    Β 

    Β 

    Β 

    A’

    A’

    i’

    Рис. 5.14

    На рис. 5.14 ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² часовой стрСлки Π½Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ο• Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ i пСрпСндикулярно ΠΊ плоскости Ο€2.

    Из Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ iβ€³, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈΠ· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°, ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π° Π΄ΡƒΠ³Π° радиуса iβ€³Aβ€³, ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ ΡƒΠ³Π»Ρƒ Ο• ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ вращСния. НовоС ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

    Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А – Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° A».

    5.3.2. Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ прямой Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, пСрпСндикулярной плоскости ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ

    Β 

    Β 

    Β 

    Β 

    B’

    A’

    Β 

    Ο•

    Β 

    B’

    i’

    A’

    Рис. 5.15

    Рассмотрим Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси. Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ случаС выполняСтся ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ Π΄Π²ΡƒΡ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ A ΠΈ B Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΈ ΠΏΠΎ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈΠ· плоскостСй ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ. КаТдая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ свой радиус вращСния. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ линиям связи находится Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°.

    Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡, связанных с Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° прямой, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ способ (рис. 5.15). Если ось вращСния пСрпСндикулярна плоскости Ο€1, Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ i’ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ пСрпСндикуляр ΠΊ A’B’ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ C’ ΠΈ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ο•.

    ΠŸΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Ρ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ C’ (Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ C’) ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ΅Ρ€ΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡƒΠ»ΡΡ€Π½ΡƒΡŽ ΠΊ радиусу O’C’, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ C’A’ ΠΈ C’B’ Π½Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ своСй Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ, откладывая ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ

    C’ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ C’ A’ = C’ A’ ΠΈ C’ B’=C’ B’ , Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ A’ B’ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ всСго ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°. Π—Π°Ρ‚Π΅ΠΌ ΠΏΠΎ линиям связи достраиваСтся новая Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ проСкция ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°

    A» B» .

    Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ способом ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³ΠΎΠ», Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€Π½ΡƒΡ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄Π°Ρ‚ΡŒ Π΅ΠΌΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅ΠΌΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ€Π°ΡΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ плоскости Ο€2 ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрСсСчСния с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ прямой ΠΈ Ρ‚. Π΄.).

    5.3.3. Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ плоскости Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ ΠΏΡ€ΠΎΠ΅Ρ†ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ прямой

    ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ плоскости, Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ слСдами, ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²ΠΎΡ€Π°Ρ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· слСдов ΠΈ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒ) плоскости. На слСдС бСрСтся ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΈ поворачиваСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Ο•. Новый слСд Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Π½Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ пСрпСндикулярно ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΡƒ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰Π΅ΠΌΡƒ эту Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ с Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ΠΎΠΌ вращСния. Π’Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ слСд находится ΠΏΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΌΡƒ полоТСнию Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ (Ρ„Ρ€ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΠΈ).

    5.4. Бпособ вращСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, прямой, плоскости Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ прямой уровня

    ΠŸΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΎΡ‚ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ для опрСдСлСния Π΅Π΅ Π½Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ плоской Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹, Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ²Π΅Ρ€-

    Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскости

    ΠŸΡ€ΠΈ производствС Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ Π½Π° Π΄Π°Ρ‡Π΅ ΠΈΠ»ΠΈ приусадСбном участкС (ΡƒΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠ° Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΎΠΊ, Ρ‚Ρ€ΠΎΡ‚ΡƒΠ°Ρ€Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ»ΠΈΡ‚ΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠ΅ΠΊ) часто приходится ΡΠΎΡΡ‚Ρ‹ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π΄ΠΎΡ€ΠΎΠΆΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΠΊΠΈ, располоТСнныС Π½Π° Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… уровнях. НСобходимо Ρ‚Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π²Ρ‹Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскости Π½Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ… участках.Как ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»Ρ‹ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскостиВам понадобится

    Для опрСдСлСния ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскости Π½Π°ΠΈΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΠΈΠΌ способом ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠΉΡ‚Π΅ отвСс, дСрСвянный брус ΠΈ транспортир. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ брус Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π›Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΡ‚Π΅ отвСс Π½Π° высотС 300 – 400 ΠΌΠΌ. ΠŸΠΎΠ΄Π²Π΅Π΄ΠΈΡ‚Π΅ отвСс ΠΊ ΠΊΡ€Π°ΡŽ бруса. УспокойтС ниТнюю Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ отвСса. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ транспортир плоской стороной Π½Π° брус. Двигая транспортир, совмСститС Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ отсчСта транспортира с Π½ΠΈΡ‚ΠΊΠΎΠΉ отвСса. Π‘Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΠΉΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскости Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ пСрСсСчСния Π½ΠΈΡ‚ΠΊΠΈ отвСса со шкалой транспортира. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскости ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΠΈ. Если Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°, вычислитС Π΅Π³ΠΎ, отняв ΠΎΡ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠ³Π»Π° 90. Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ способ примСняйтС ΠΏΡ€ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ²Ρ‹Ρ… измСрСниях, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ Π΄Π°Π΅Ρ‚ Π½ΠΈΠ·ΠΊΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π·Π°ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскости.

    Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Π½ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ способ измСрСния. ΠŸΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ брус Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡΠ΅ΠΌΡƒΡŽ ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΡΡ‚ΡŒ. По ΠΊΡ€Π°ΡŽ бруса Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Π°Π²ΡŒΡ‚Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ.Π£Ρ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ Π΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΡ‚Π΅ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΎΠΉ Ρ€ΡƒΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌΠ΅Ρ€ ΠΊ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ²ΡˆΠΈΠΌΡΡ граням ΡƒΠ³Π»Π°. По шкалС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π° считайтС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° плоскости.

    НаиболСС Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Π½ способ, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ Π»Π°Π·Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ. УстановитС строго Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ основаниС уровня. Π’ΠΊΠ»ΡŽΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π»Π°Π·Π΅Ρ€Π½ΡƒΡŽ Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΊΡƒ. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ ΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠ°Π΄Π° высот ΠΎΡ‚ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π»ΡƒΡ‡Π° Π»Π°Π·Π΅Ρ€Π° Π΄ΠΎ повСрхности провСряСмой плоскости Π½Π° участкС Π΄Π»ΠΈΠ½ΠΎΠΉ 1 ΠΌ. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠ°Π΄Π° Π΄ΠΎ 1 ΠΌ Π½Π° этом участкС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹Π΅ 2,22 см ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠ°Π΄Π° Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈ ΠΊ1 градусу.

    Высокой точности измСрСния ΡƒΠ³Π»Π° Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ Π΄ΠΎΠ±ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π³ΠΈΠ΄Ρ€ΠΎΡƒΡ€ΠΎΠ²Π΅Π½ΡŒ вмСсто Π»Π°Π·Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ уровня. Для Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ измСрСния Π·Π°Π±Π΅ΠΉΡ‚Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Ρƒ плоскости Π΄Π²Π° ΠΊΠΎΠ»Ρ‹ΡˆΠΊΠ° Π½Π° расстоянии 1 ΠΌ. ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒΡ‚Π΅ Π½Π° Π½ΠΈΡ… Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ гидроуровня. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ€ΡŒΡ‚Π΅ расстояниС ΠΎΡ‚ ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΎΠΊ Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π° Π΄ΠΎ плоскости. ΠžΡ‚Π½ΠΈΠΌΠΈΡ‚Π΅ ΠΎΡ‚ большСго Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΠΈΠΉΡ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ – ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΏΠ°Π΄Π° высот Π½Π° расстоянии ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€Π°. Π­Ρ‚Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ρ€Π°Π·Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅ Π½Π° 2,22 ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Π΅ ΡƒΠ³ΠΎΠ» Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π° измСряСмого участка плоскости Π² градусах.

    Related Articles

    Аэратор это: Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ аэратор смСситСля ΠΈ для Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ½ Π½ΡƒΠΆΠ΅Π½

    Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π‘Π»ΠΎΠ³ Π’Π°Ρ€ΠΈΠΎΠ½ ΠΡ€ΠΌΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Π΅Π½ΠšΠ΅Ρ€Π°ΠΌΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒ CITECΠ”Π΅ΡˆΠ΅Π²ΠΎ – Π½Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΊΠ°Ρ‡Π΅ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΠ‘ΠΌΠ΅ΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ для гигиСничСского Π΄ΡƒΡˆΠ°Π£ΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΊΠ° настСнного ΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡΠ‘ΠΌΠ΅ΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΊΠ»Π°ΠΏΠ°Π½Ρ‹Πž сСрии смСситСлСй VarioFinΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄ΡΡ‚Π²ΠΎ: Как появляСтся ΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ’ΠΈΠΏΡ‹ аэраторов: ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΠ’Π΅Ρ€ΠΌΠΎΡΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠΉ ΡΠΌΠ΅ΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒ: ΠΎΠ± устройствС тСрмоэлСмСнтаУстановка смСситСля с Π½ΠΈΠΆΠ½Π΅ΠΉ ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΎΠ΄ΠΊΠΎΠΉΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Π° ΠΌΠΎΠ½Ρ‚Π°ΠΆΠ° Π³ΠΈΠ±ΠΊΠΎΠΉ подводкиГидравличСскиС испытания смСситСлСй Π’Π°Ρ€ΠΈΠΎΠ½Π˜ΡΠΏΡ‹Ρ‚Π°Π½ΠΈΡ смСситСлСй Π’Π°Ρ€ΠΈΠΎΠ½Π“Π΄Π΅ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π΅Π»Π°ΡŽΡ‚ корпуса смСситСлСй?НовыС Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ аэраторов: ΡΠ±Π΅Ρ€Π΅Π³Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΈ аэратор с ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ сСткойУстройство сСнсорных […]
    Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π»Π΅Π΅

    М28 ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠΌΠ°: ΠœΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Π° М28 / T05. Для Ρ‚Π΅Ρ…, ΠΊΠΎΠΌΡƒ Π½ΡƒΠΆΠ½Π° особСнная ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Π°

    Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ ΠœΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Π° УНИКМА-М28 Π² БрянскС — Π‘Π°Π»ΠΎΠ½ ΠšΡ€ΠΎΠ²Π»ΠΈ «Π’Π°Ρˆ Π”ΠΎΠΌ»ΠžΡΠ½ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ характСристики стали с ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌM28 – ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Π° ΠΈΠ· ΠΎΡ†ΠΈΠ½ΠΊΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ стали.ΠœΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Π° М28ΠœΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Π° М28 ΠΈ Π΅Ρ‘ ΠΏΡ€Π΅ΠΈΠΌΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π°ΠŸΡ€Π΅ΠΈΠΌΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²Π° ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Ρ‹ М28:ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ½Π° ΠΊΡ€Π°ΡΠΈΠ²Π΅Π΅ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ½Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‡Π½Π΅Π΅ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ½Π° Π΄ΠΎΠ»Π³ΠΎΠ²Π΅Ρ‡Π½Π΅Π΅ΠŸΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΎΠ½Π° ΠΌΠ°Ρ€ΠΊΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π°28 — ΠšΡ€ΠΎΠ²Π»Ρ ΠΈ Ρ„Π°ΡΠ°Π΄Ρ‹ΠŸΠΎΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΡ:Π€ΠΈΡ€ΠΌΠ° «Π£Π½ΠΈΠΊΠΌΠ°» Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° выпуск ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Ρ‹ М28 с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ΠΏΠΎΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ΠΌ PurexМ28ΠšΠ°Ρ‚Π°Π»ΠΎΠ³ Ρ†Π²Π΅Ρ‚Π° для ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Ρ‹ M28Π›ΡƒΡ‡ΡˆΠ°Ρ ΠΌΠ΅Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Π° — ΠΊΠ°ΠΊΡƒΡŽ ΠΌΠ°Ρ‚Π°Π»Π»ΠΎΡ‡Π΅Ρ€Π΅ΠΏΠΈΡ†Ρƒ […]
    Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π»Π΅Π΅

    РасчСт Π±Π°Π»ΠΊΠΈ пСрСкрытия ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½: РасчСт Π±Π°Π»ΠΊΠΈ ΠΎΠ½Π»Π°ΠΉΠ½ — ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ Π±Π°Π»ΠΎΠΊ пСрСкрытия ΠΈΠ· Π΄Π΅Ρ€Π΅Π²Π°

    Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅ РасчСт дСрСвянной Π±Π°Π»ΠΊΠΈ пСрСкрытия Π½Π° ΠΏΡ€ΠΎΠ³ΠΈΠ±, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π°ΠšΠ°ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π±Π°Π»ΠΊΠΈΠ‘Π±ΠΎΡ€ Π½Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΎΠΊ Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° балкиРасчСт ΠΆΠ΅Π»Π΅Π·ΠΎΠ±Π΅Ρ‚ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ Π±Π°Π»ΠΊΠΈ сборно-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ»ΠΈΡ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ пСрСкрытияРасчСт Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Ρ‹ утСплитСля пСрСкрытия ΠΈΠ»ΠΈ покрытия мансарды.Π‘Π±ΠΎΡ€Π½ΠΎ-ΠΌΠΎΠ½ΠΎΠ»ΠΈΡ‚Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΌΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… Π±Π»ΠΎΠΊΠΎΠ² ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ расчСта Π±Π°Π»ΠΎΠΊ β€” ΠšΠ°Π»ΡŒΠΊΡƒΠ»ΡΡ‚ΠΎΡ€ ΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π±Π°Π»ΠΎΠΊ ΠŸΠ΅Ρ€Π²Π°Ρ Π·Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ°: «ДСрСвянный ΠΏΠΎΠ» (ΠΆΠΈΠ»ΠΎΠΉ Π΄ΠΎΠΌ)Β» Вторая Π½Π°Π³Ρ€ΡƒΠ·ΠΊΠ°: Β«ΠŸΠ΅Ρ€Π΅Π³ΠΎΡ€ΠΎΠ΄ΠΊΠΈ ΠΈΠ· Π»Π΅Π³ΠΊΠΈΡ… дСрСвянных стоСк, Π½Π° ΠΏΠ»Π°Π½Π΅ этаТа» Нагрузка […]
    Π§ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Π΄Π°Π»Π΅Π΅

    Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

    Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *

    Search for: