В чем измеряется угол наклона – Секунда (единица измерения углов) — это… Что такое Секунда (единица измерения углов)?

Телесный угол — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Теле́сный у́гол — часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Частными случаями телесного угла являются трёхгранные и многогранные углы. Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол обычно буквой Ω.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату радиуса сферы:

Ω=SR2.{\displaystyle \Omega \,=\,{S \over R^{2}}.}

Телесные углы измеряются отвлечёнными (безразмерными) величинами. Единицей измерения телесного угла в системе СИ является стерадиан, равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r². Полная сфера образует телесный угол, равный 4π стерадиан (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей. Кроме стерадианов, телесный угол может измеряться в квадратных градусах, квадратных минутах и квадратных секундах, а также в долях полного телесного угла.

Телесный угол имеет нулевую физическую размерность.

Двойственный телесный угол к данному телесному углу Ω определяется как угол, состоящий из лучей, образующих с любым лучом угла Ω неострый угол.

Коэффициенты пересчёта единиц телесного угла.

Для произвольной стягивающей поверхности S телесный угол Ω, под которым она видна из начала координат, равен

Ω=∫SdΩ=∬Ssin⁡ϑdφdϑ=∫S(r/r)⋅ndSr2,{\displaystyle \Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac {(\mathbf {r} /r)\cdot \mathbf {n} dS}{r^{2}}},}

где r,ϑ,φ{\displaystyle r,\vartheta ,\varphi } — сферические координаты элемента поверхности dS,{\displaystyle dS,} r{\displaystyle \mathbf {r} } — его радиус-вектор, n{\displaystyle \mathbf {n} } — единичный вектор, нормальный к dS.{\displaystyle dS.}

1. Полный телесный угол (полная сфера) равен 4π стерадиан.
2. Сумма всех телесных углов, двойственных к внутренним телесным углам выпуклого многогранника, равна полному углу.

• Треугольник с координатами вершин r1{\displaystyle \mathbf {r} _{1}}, r2{\displaystyle \mathbf {r} _{2}}, r3{\displaystyle \mathbf {r} _{3}} виден из начала координат под телесным углом

Ω=2arctg(r1r2r3)r1r2r3+(r1⋅r2)r3+(r2⋅r3)r1+(r3⋅r1)r2,{\displaystyle \Omega =2\,\mathrm {arctg} \,{\frac {(\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+(\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {r} _{2})r_{3}+(\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {r} _{3})r_{1}+(\mathbf {r} _{3}\cdot \mathbf {r} _{1})r_{2}}},}

где (r1r2r3){\displaystyle (\mathbf {r} _{1}\mathbf {r} _{2}\mathbf {r} _{3})} — смешанное произведение данных векторов, (ri⋅rj){\displaystyle (\mathbf {r} _{i}\cdot \mathbf {r} _{j})} — скалярные произведения соответствующих векторов, полужирным шрифтом обозначены векторы, нормальным шрифтом — их длины. Используя эту формулу, можно вычислять телесные углы, стянутые произвольными многоугольниками с известными координатами вершин (для этого достаточно разбить многоугольник на непересекающиеся треугольники).

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса с углом раствора α равен Ω=2π(1−cos⁡α2).{\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).} Если известны радиус основания R{\displaystyle R} и высота H{\displaystyle H} конуса, то Ω=2π(1−HR2+h3).{\displaystyle \Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2}}}}\right).} Когда угол раствора конуса мал, Ω≈πα24{\displaystyle \Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}} (угол α{\displaystyle \alpha } выражен в радианах), или Ω≈0,000239α2{\displaystyle \Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2}} (угол α{\displaystyle \alpha } выражен в градусах). Так, телесный угол, под которым с Земли видны Луна и Солнце (их угловой диаметр примерно равен 0,5°), составляет около 6⋅10⁻⁵ стерадиан, или ≈0,0005 % площади небесной сферы (то есть полного телесного угла).

• Телесный угол двугранного угла в стерадианах равен удвоенному значению двугранного угла в радианах.

Ω=4arctg⁡tg⁡(θs2)tg⁡(θs−θa2)tg⁡(θs−θb2)tg⁡(θs−θc2),{\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right)}},} где θs=θa+θb+θc2{\displaystyle \theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}} — полупериметр.

Через двугранные углы α,β,γ{\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } телесный угол выражается как:

Ω=α+β+γ−π.{\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .}

• Телесный угол, под которым видна грань правильного N-гранника из его центра, равна 1N{\displaystyle {\frac {1}{N}}} полного телесного угла, или 4πN{\displaystyle {\frac {4\pi }{N}}} стерадиан.

• Телесный угол при вершине наклонного кругового конуса Телесный угол, под которым виден круг радиусом R из произвольной точки пространства (то есть телесный угол при вершине произвольного кругового конуса, не обязательно прямого) вычисляется с использованием полных эллиптических интегралов 1-го и 3-го рода^[1]:

Ω=2π+2HL(r−Rr+RΠ(α2,k)−K(k)){\displaystyle \Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {r-R}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k)\right)} при r≤R,{\displaystyle r\leq R,}

Ω=2HL(r−Rr+RΠ(α2,k)−K(k)){\displaystyle \Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {r-R}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k)\right)} при r>R,{\displaystyle r>R,}

где K(k){\displaystyle K(k)} и Π(α2,k){\displaystyle \Pi (\alpha ^{2},k)} — полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра 1-го и 3-го рода, соответственно;

r{\displaystyle r} — расстояние от центра основания конуса до проекции вершины конуса на плоскость основания;

H{\displaystyle H} — высота конуса;

L=h3+(r+R)2{\displaystyle L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2}}}} — длина максимальной образующей конуса;

k=4rRL;{\displaystyle k={\frac {\sqrt {4rR}}{L}};}

α=4rRr+R.{\displaystyle \alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.}

1.7 Измерение углов наклона

1.7.1 Вертикальный круг теодолита

С помощью теодолита можно измерять не только горизонтальные углы, но и углы наклона, т.е. вертикальные углы  между на­правлением линии визирования и горизонтальной плоскостью. Различаются положительные и отрицательные углы наклона: угол имеет знак плюс, если линия визирования повыша­ется относительно горизонта трубы, и минус – при ее понижении (рис. 1.13).

Измерение углов наклона производится с помощью вер­тикального круга теодолита (рис. 1.14). Это — угломерный круг 1, жёстко скрепленный со зрительной трубой 2 и вращающийся вместе с ней. Алидада 3 вертикального круга при измерениях остается неподвижной. На алидаде точных теодолитов укреплен цилиндрический уровень 4, кон­тролирующий неизменность положения алидады при измерениях. У некоторых теодолитов этот уровень заменен компенсатором, а у теодолита Т30 и 2Т30П он вообще отсутствует. Поэтому при измерениях углов наклона этими теодолитами необходимо тщательно нивелировать прибор.

Верти­кальный круг теодолита Т30 оцифрован от 0 до 360° про­тив хода часовой стрелки. Начальный диаметр лимба 0-180° должен распола­гаться параллельно визирной оси трубы, и при горизонтальном ее положении при КЛ отсчет повертикальному кругу должен быть 0°00.

Этот отсчет может несколько отличаться от нуля на величи­ну, называемую местом нуля (МО). Местом нуля называется отсчет по вертикальному кругу при КЛ, соответствующий гори­зонтальному положению визирной оси трубы и оси уровня при али­даде. При измерениях углов наклона на точки наводят горизонтальной нитью сетки вблизи вертикальной нити (рис. 1.15). Перекрестием сетки нитей наводить на точки не рекомендуется.

1.7.2 Поверка места нуля

Если теодолитом планируют измерять вертикальные углы, то делают ещё одну (пятую) поверку — поверку места нуля (МО) вертикального круга теодолита.

Условие. Начальный диаметр вертикального круга (0°-180° для теодолита Т30 или 0°-0° для теодолита 2Т30П) должен распола­гаться параллельно визирной оси трубы, и при горизонтальном ее положении при КЛ отсчет по вертикальному кругу должен быть 0°00.

Выполнение. Зрительную трубу дважды при КЛ и КП наводят горизонтальной нитью на хорошо видимую точку и снимают отсчёты Л и П по вертикальному кругу. Вычисляют место нуля по формуле (1.14) или (1.15).

Допуск. Место нуля по абсолютной величине не должно превышать 2t.

Исправление. Если допуск не соблюдается, место нуля исправляют. Для этого находят «правильны отсчет

или . (1.13)

Этот отсчет устанавливают (для теодолитов ТЗО и 2ТЗОП) вра­щением наводящего винта трубы. Горизонтальная нить сетки при этом сместится с визирной цели. Затем вертикальными исправи­тельными винтами сетки нитей вновь совмещают горизонтальную нить с визирной целью.

Для теодолитов с уровнем при алидаде вертикального круга исправление места нуля производят иначе. Правильный отсчет устанавливают наводящим винтом уровня. Пузырек уровня при этом сместится с нульпункта. Его возвращают в нульпункт исправи­тельными винтами уровня.

После исправления места нуля определение его повторяют заново. Если исправление производилось исправительными винтами сетки, то заново повторяют поверку коллимационной ошибки (п.1.4.2) и поверку положения сетки нитей (п. 1.4.4).

Измерение вертикальных углов. | Инженерная геодезия. Часть 1.

В точных теодолитах соосно с вертикальным кругом крепится алидада вертикального круга с отсчетным устройством и собственным уровнем или компенсатором углов наклона, его заменяющим.

В теодолитах Т30 отсчетное устройство вертикального круга укреплено неподвижно в стойке теодолита, а его уровнем служит уровень при алидаде горизонтального круга. При измерении вертикального угла пузырек уровня приводят в нульпункт подъемными винтами подставки.

Вертикальные круги разных типов теодолитов оцифрованы различно, отчего различаются формулы вычисления вертикальных углов по полученным в ходе измерений отсчетам. Рассмотрим измерение углов наклона теодолитом Т30.

Отсчет при трубе, расположенной горизонтально, и пузырьке уровня в нульпункте называется местом нуля вертикального круга (М0).

Для измерения вертикального угла наводят трубу на визирную цель при двух положениях вертикального круга (слева и справа) и, приводя каждый раз пузырек уровня в нульпункт, берут отсчеты по вертикальному кругу: Л (лево) и П (право).

Очевидно, что угол наклона равен разности отсчетов при трубе, наведенной на цель и при трубе, расположенной горизонтально. Поэтому для круга слева напишем

ν = Л – М0. (7.1)

Аналогично, учитывая оцифровку вертикального круга Т30, где при круге справа отсчеты сопровождаются противоположным знаком (положительные углы знаком минус и наоборот), напишем

ν = М0 – П (7.2)

Из формул (7.1) и (7.2) находим формулы угла наклона и места нуля.

;

. (7.3).

В ряде случаев, определяя углы наклона, ограничиваются измерениями при одном положении вертикального круга (слева или справа). Тогда пользуются формулой (7.1) или (7.2), для чего предварительно необходимо определить место нуля, измерив какой-нибудь угол при двух положениях вертикального круга и вычислив место нуля по формуле (7.3).

Вычисления по формулам (7.1) — (7.2) упрощаются, когда М0=0. Поэтому, если место нуля велико, его исправляют. При круге слева и пузырьке уровня в нульпункте наводят трубу на точку, по которой определяли место нуля. Вращением наводящего винта трубы устанавливают на вертикальном круге отсчет, равный углу наклона n. При этом изображение точки сместится из центра сетки нитей. Действуя вертикальными исправительными винтами сетки нитей, смещают сетку так, чтобы изображение точки оказалось в центре сетки. Учитывая что теперь труба наведена на точку с углом наклона n, и отсчет по вертикальному кругу равен Л = n из равенства (7.1) видим, что место нуля стало равно нулю М0 = 0.

Секунда (единица измерения углов) — это… Что такое Секунда (единица измерения углов)?

Градус, минута, секунда — общепринятые единицы измерения плоских углов и земного шара.

Градус

Градус (от лат. gradus — деление шкалы, шаг, ступень) обозначается °. Один оборот равен 360°. В прямом углу, таким образом, 90°, в развёрнутом — 180°.

Деление окружности на 360° придумали аккады (вавилоняне) — соответственно делению года в вавилонском календаре на 360 дней.

Минуты и секунды

В измерении углов традиционно используется шестидесятеричная система счисления. По аналогии с делением часа как интервала времени градус делят на 60 минут (′), а минуту — на 60 секунд (″).

• 1′ = ≈ 2,9088821×10^-4 радиан.
• 1″ = ≈ 4,8481368×10^-6 радиан.

Угловая секунда

Углова́я секу́нда (англ. arcsecond, arc second, as, second of arc; синонимы: дуговая секунда, секунда дуги^[1]) — внесистемная астрономическая единица измерения малых углов, тождественная секунде плоского угла^[2].

Использование

Угловая секунда (обозначается ″) используется в астрономии при измерении плоских углов в градусных мерах. При измерении углов в часовых мерах (в частности, для определения прямого восхождения) используется единица измерения «секунда» (обозначается ^с). Соотношение между этими величинами определяется формулой 1^c = 15″.^[3]

Иногда угловую секунду (и производные от неё дольные единицы) ошибочно называют арксекундой^[1][4], что является простой транслитерацией с англ. arcsecond.

Дольные единицы

По аналогии с международной системой единиц (СИ), наряду с угловой секундой применяются и её дольные единицы измерения: миллисекунды (англ. milliarcseconds, mas), микросекунды (англ. microarcseconds, µas) и пикосекунды (англ. picoarcseconds, pas). Они не входят в СИ (СИ рекомендует миллирадианы и микрорадианы), но допускаются к применению^[2]. Однако, согласно ГОСТ 8.417-2002, наименование и обозначения единиц плоского угла (градус, минута, секунда) не допускается применять с приставками^[5], в связи с чем такие дольные величины должны приводиться либо к единицам СИ (миллирадианам и т.п.), либо к угловым секундам, либо обозначаться исходными единицами (mas, µas и pas соответственно).

Дольные единицы могут использоваться для обозначения собственного движения звёзд и галактик, годичного параллакса и углового диаметра звёзд.^[6]

Для наблюдения астрономических объектов под такими сверхмалыми углами астрономы прибегают к методу интерферометрии, при котором сигналы, принимаемые несколькими разнесёнными радиотелескопами, комбинируются в процессе апертурного синтеза. Так, используя методику интерферометрии со сверхдлинной базой (VLBI), астрономы получили возможность измерить собственное движение галактики Треугольника.

В видимом свете существенно труднее достичь миллисекундного разрешения. Тем не менее, спутник Hipparcos справился с этой задачей в процессе астрометрических измерений, по результатам которых были составлены наиболее точные (по состоянию на 1997 год) каталоги звёзд Tycho (TYC) и Hipparcos (HIP).^[7][8]

Примечания

Литература

• Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Малые углы // Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X

См. также

Wikimedia Foundation. 2010.