Прогиб консольной балки: Расчетные схемы для балок — Доктор Лом

Расчет балки на прогиб

Однопролетные балки на двух шарнирных опорах
1	Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной сосредоточенной нагрузке	Смотреть расчет
2	Расчет балки на двух шарнирных опорах при двух сосредоточенных нагрузках	Смотреть расчет
3	Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
4	Расчет балки на двух шарнирных опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
5	Расчет балки на двух шарнирных опорах при действии изгибающего момента	Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на двух опорах
6	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной сосредоточенной нагрузке	Смотреть расчет
7	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при двух сосредоточенных нагрузках	Смотреть расчет
8	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной равномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
9	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
10	Расчет балки с жестким защемлением на опорах при действии изгибающего момента	Смотреть расчет
Балки с жестким защемлением на одной опоре (консольные)
11	Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной сосредоточенной нагрузке	Смотреть расчет
12	Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной равномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
13	Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть расчет
14	Расчет однопролетной балки с жестким защемлением на одной опоре при действии изгибающего момента	Смотреть расчет
Балки двухпролетные
15	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной сосредоточенной нагрузке	Смотреть
16	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при двух сосредоточенных нагрузках	Смотреть
17	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной равномерно-распределенной нагрузке	Смотреть
18	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть
19	Расчет двухпролетной с шарнирными опорами при одной неравномерно-распределенной нагрузке	Смотреть

Расчет прогиба консольной балки

Предлагаем произвести ориентировочный расчет балок на прогиб и изгиб из круглого, квадратного, шестигранного и прямоугольного проката калькулятором.

Перед произведением расчетов настоятельно рекомендуем ознакомиться с расположенной ниже инструкцией

Онлайн калькулятор определения прогиба/изгиба балок

Выберите форму поперечного сечения проката

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

• в опорах прогибы равны нулю;
• в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки. < 3 >>< 6 >]

• Начало и конец распределенных нагрузок нужно умножать на дробь:

Формулы прогибов

С учетом всех вышеописанных правил запишем окончательное уравнение для сечения C:

В этом уравнении содержится 2 неизвестные величины – искомый прогиб сечения C и угол поворота сечения A.

Поэтому, чтобы найти прогиб, составим второе уравнение для сечения B, из которого можно определить угол поворота сечения A. Заодно закрепим пройденный материал:

Выражаем угол поворота:

Подставляем это значение в наше первое уравнение и находим искомое перемещение:

Вычисление прогиба

Значение получили в общем виде, так как изначально не задавались тем, какое поперечное сечение имеет рассчитываемая балка. Представим, что металлическая балка имеет двутавровое поперечное сечение №30. Тогда:

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

построение эпюр в балках

Расчетная схема № 274130

Почему не бесплатно? – Сайт создан исключительно на энтузиазме автора и дабы этот энтузиазм не угас, хотелось бы его подкрепить хоть каким-нибудь материальным поощрением. Кроме того, возросшее количество пользователей вынудило перейти на платный хостинг.

Условия оплаты? – Взнос денег считаем спонсорским взносом, поэтому ни о каком возврате речь идти не может, тем более суммы мизерные – практически не о чем спорить.
Но! Если Вы оплатили взнос, но недовольны результатом, Вы всегда можете обратиться за помощью к автору – Telegram: sopromat_xyz WhatsApp

А Ваш сайт не сворует мой номер карты, пароли и т.д. – Это невозможно! После того, как Вы нажмете «Перевести», Вы будете направлены на страницу Яндекса (можете проверить в адресной строке), и все дальнейшие операции будете производить на сервисе Яндекса, так что со стороны сайта Вам ничего не грозит.

Жесткая заделка

Шарнирная опора

Врезной шарнир

Сосредоточенная сила F

Сосредоточенный момент M

Распределенная нагрузка

Подбор сечения и прогибы

подобрать двутавр [σ] = МПа

подобрать круг [σ] = МПа

подобрать квадратное сечение [σ] = МПа

подобрать трубчатое сечение [σ] = МПа при d/D=

подобрать прямоугольное сечение [σ] = МПа при h/b=

записать уравнения начальных параметров для каждого участка и посчитать прогибы и углы поворота в промежуточных точках

Подробный ход решения – расчет балки, построение эпюр

Заменим распределенную нагрузку равнодействующей

Составим уравнения равновесия для определения реакций опор

Σ M_A = + P · 2 + Q1 · 3 – M – R_E · 6= + 412 · 2 + 32 · 3 – 10 – R_E · 6=0

Σ M_E = – P · 4 – Q1 · 3 – M + R_A · 6= – 412 · 4 – 32 · 3 – 10 + R_A · 6=0

Из этих уравнений находим реакции опор

Записываем уравнения поперечных сил и изгибающих моментов на участках балки , используя метод сечений

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 4 м )

M(z₂) = + R_A · z – P·(z – 2) – q₁·(z – 2) 2 /2 = + 292.3 · z – 412·(z – 2) – 16·(z – 2) 2 /2

На участке CD: (4 ≤ z₃ ≤ 5 м )

Q(z₃) = + R_A – P – Q₁ = + 292.3 – 412 – 32 = -151.667 кН

M(z₃) = + R_A · z – P·(z – 2) – Q₁·(z – 3) = + 292.3 · z – 412·(z – 2) – 32·(z – 3)

На участке DE: (5 ≤ z₄ ≤ 6 м )

Q(z₄) = + R_A – P – Q₁ = + 292.3 – 412 – 32 = -151.667 кН

M(z₄) = + R_A · z – P·(z – 2) – Q₁·(z – 3) – M = + 292.3 · z – 412·(z – 2) – 32·(z – 3) – 10

Максимальный момент в балке составляет M_max = 585 кНм. По этому значению подбираем сечение балки.

Условие прочности при изгибе σ = M_max / W ≤ [σ]

Отсюда, минимально необходимый момент сопротивления вычисляем по формуле W_min=M_max / [σ]

Подбираем двутавровое сечение при допускаемом напряжении [σ] = 160 МПа
W_min=585000 / 160 = 3656.25 см 3
Из сортамента выбираем двутавр № с моментом сопротивления W = 0 см 3 и площадью A = см 2
Максимальные нормальные напряжения в двутавре составляют
σ_max = M_max/Wx = 585000/0 = 0 МПа
Максимальные касательные напряжения в двутавре (на центральной оси) составляют
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix = 292000×0×10 -6 /0××10 -8 = 0×10 6 Па = 0 МПа
Касательные напряжения на границе полки и стенки составляют
τ_max = Q_max×Sx’/b×Ix = 292000×0×10 -6 /0××10 -8 = 0×10 6 Па = 0 МПа,
где статический момент отсеченной полки составляет
Sx’=b×t×(h-t)/2=0×0×(0-0)/2=0 см 3 .
Эпюры нормальных и касательных напряжений для двутавра:

Подбираем круг.
W_min=585000/160=3656 см 3
Момент сопротивления сплошного круглого сечения
W=π×d 3 / 32
d 3 =32×W / π = 32×3656 / π = 37259
Диаметр сечения будет таким d=33.4 см
Площадь сечения
A=π×d 2 /4=π×33.4 2 /4=875.71 см 2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 32×M_max/π×d 3 = 32×585000/π×33.4 3 = 160.01 МПа
Максимальные касательные напряжения для круга составляют
τ_max = 4Q_max/3A = 4×292000/3×875.71×100 = 4.446 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для круга:

Подбираем трубу с отношением диаметров α = d/D = 0.9
W_min=585000 / 160=3656 см 3
Момент сопротивления трубчатого сечения
W=π×D 3 ×(1-α 4 )/32
D 3 =32×W / π×(1-α 4 ) = 32×3656 / π×(1-0.9 4 )=108341
Диаметр сечения будет таким D=47.7 см
Площадь сечения A=π×D 2 (1-α 2 )/4=π×47.7 2 (1-0.9 2 )/4=339.36 см 2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 32×M_max/π×D 3 ×(1-α 4 ) = 32×585000/π×47.7 3 ×(1-0.9 4 ) = 159.73 МПа
Максимальные касательные напряжения для трубы определим по формуле Журавского
τ_max = Q_max×Sx/b×Ix, где b=D-d
Статический момент полусечения
Sx=2R 3 /3-2r 3 /3=(D 3 -d 3 )/12=(47.7 3 -(47.7×0.9) 3 )/12=2451 см 3
Момент инерции сечения
Ix=π×D 4 ×(1-α 4 )/64=π×47.7 4 ×(1-0.9 4 )/64=87348.48 см 4
τ_max = 292000×2451×10 -6 /(47.7-0.9×47.7)×0.01×87348.48 -8 =0.172×10 6 Па = 0.172 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для трубы:

Подбираем квадрат.
W_min=585000 / 160=3656 см 3
Момент сопротивления квадратного сечения
W=a 3 /6
Сторона квадрата будет такой a= 28 см
Площадь сечения A=a 2 =28 2 =784 см 2

Подбираем прямоугольное сечение с отношением сторон h / b=2
W_min=585000 / 160 = 3656 см 3
Момент сопротивления прямоугольного сечения
W=b×h 2 / 6 = b 3 × 2 2 / 6 = b 3 ×0.67
b 3 =3656 / 0.67=5457
Ширина сечения b=17.6 см, Высота сечения h=b×2=17.6×2=35.2 см
Площадь сечения A=b×h=17.6×35.2=619.52 см 2
Максимальные нормальные напряжения составляют
σ_max = 6×M_max/b×h 2 = 6×585000/17.6×35.2 2 = 160.96 МПа
Максимальные касательные напряжения для прямоугольника составляют
τ_max = 3Q_max/2A = 3×292000/2×619.52×100 = 7.07 МПа
Эпюры нормальных и касательных напряжений для прямоугольного сечения:

Записываем уравнения углов поворота и прогибов по методу начальных параметров

На участке AB: (0 ≤ z₁ ≤ 2 м )

На участке BC: (2 ≤ z₂ ≤ 4 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ _{+ RA·z 2 /2 – P·(z – 2) 2 /2 – q1·(z – 2) 3 /6}

На участке CD: (4 ≤ z₃ ≤ 5 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ _{+ RA·z 2 /2 – P·(z – 2) 2 /2 – q1·(z – 2) 3 /6 + q1·(z – 4) 3 /6}

На участке DE: (5 ≤ z₄ ≤ 6 м )

EJ×φ(z) = EJ×φ _{+ RA·z 2 /2 – P·(z – 2) 2 /2 – q1·(z – 2) 3 /6 + q1·(z – 4) 3 /6 – M· (z – 5)}

EJ×v(z) = EJ×v _{+ EJ×φ×z + RA·z 3 /6 – P·(z – 2) 3 /6 – q1·(z – 2) 4 /24 + q1·(z – 4) 4 /24 – M· (z – 5) 2 /2}

Из условий закрепления по этим уравнениям вычислим начальные параметры:

– начальный угол поворота φ _{= -994.1 кНм 2}

– начальный прогиб балки v _{= 0 кНм 3}

Найдем углы поворота и прогибы сечений на каждом участке

Расчет стальной балки на прогиб

При расчете стальных балок по II-й ГПС (по прогибам) необходимо создавать раскрепления для прогибов:

Информация из справки LIRA SAPR (Справка\Пояснения Сталь\Проверки прогибов):

Проверка прогиба осуществляется сопоставлением реально определенного относительного прогиба (L/f) с максимально возможным для данного конструктивного элемента прогибом.

В данной версии проверка выполняется только для балок на основании состава загружений во всех сочетаниях. Учитываются коэффициенты надежности по нагрузке (заданные при формировании РСУ в среде ПК ЛИРА-САПР) и коэффициенты сочетания.

Перемещения, вызванные загружениями с долей длительности 0, в данном расчете не используются.

Прогибы находятся для каждого сечения на основании распределения MY1, MZ1, QY1, QZ1 по длине элемента. Соответственно, увеличение количества расчетных сечений способствует более точному определению прогибов (особенно, если воздействуют сосредоточенные силовые факторы).

В режиме локального расчета элемента (см. справочную систему СТК-САПР) имеется возможность расчета прогибов по огибающим эпюрам изгибающего момента в запас. Это может потребоваться, когда редактируются расчетные сочетания усилий (или нагрузок) и теряется связь с результатами расчета на ПК ЛИРА-САПР основной схемы.

Важно: Предусмотрена возможность определять не чистые перемещения (относительно локальных осей Y и Z в недеформированной схеме), а прогиб относительно двух выбранных условно неподвижных точек – точек раскрепления (в случае консоли, например, относительно одной точки).

Схема к определению прогибов балки с раскреплениями и без раскреплений

На приведенном фрагменте показан механизм определения прогибов (они обозначены как di и dk) в конструктивном элементе с наложенными раскреплениями на элементы.

Если раскрепления не наложены, то прогиб принимается равным полному расстоянию до оси X.

Важно: Если балка (ригель) разбита по длине промежуточными узлами, то для нее необходимо создать конструктивный элемент и раскрепления для проверки прогибов создавать как для конструктивного элемента (т.е. для балки как единого целого). В расчете стальных конструкций коэффициент расчетной длины (и для балок, и для колонн, и для ферм) применяется к длине конечного элемента (КЭ), если не задан конструктивный элемент (КоЭ). Если задан КоЭ, то коэффициент расчетной длины применяется к полной длине КоЭ.

Пример расчета однопролетной балки

Расчётная модель рамы с цельным ригелем и разбитым на отдельные элементы

Согласно нормативной документации прогиб определяется от действия нормативных нагрузок. Поскольку в LIRA SAPR все нагрузки прикладываются к узлам и элементам их расчётными значениями, при определении прогибов программа определяет нормативное значение нагрузок путём деления их на коэффициент надёжности.

Посмотреть какие приняты коэффициенты надёжности, а также ввести их вручную, если это необходимо, можно в окне параметров расчёта.

Окно параметров расчёта, вызываемое из окна задания параметров для стальных конструкций

Подробнее о корректировке коэффициентов надёжности для расчета прогибов вручную читайте в статье «Коэффициенты к временным нагрузкам при проверке прогиба»

Мозаика результатов проверки назначенных сечений по 2 предельному состоянию

Предельно допустимый L/200=6000/200=30мм

Без задания раскреплений (по абсолютному перемещению узлов балки):
((39,8мм/ к-т надежности по нагрузке)/ 30мм))*100%=((39,8/1,1)/30)*100%=120,6%

С заданием раскреплений (по относительному перемещению узлов балки за вычетом перемещений опорных узлов):
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Ручной ввод расчётной длины балки для расчёта прогибов

В диалоговом окне задания характеристик расчёта стальной балки присутствует группа параметров Расчёт по прогибу.

Информация из справки ЛИРА САПР:
Расчет по прогибу – данные для расчета прогиба. Длина пролета авто – вычисляется по положению раскреплений. Длина пролета точно – длина пролета при расчете приравнивается этому числу.

Рассмотрим раму из предыдущего примера, только теперь раскрепления для прогибов назначим для всех конструкций, а расчётные длины будем для первого случая задавать автоматическим способом, а для второго ручным.

Расчётная модель с информацией о назначенных расчётных длинах балок

Результаты расчётов прогибов балок

Предельно допустимый прогиб при длине 6 м L/200=6000/200=30мм

Предельно допустимый прогиб при длине 4 м L/200=4000/200=20мм

Проценты использования по предельному прогибу

Длина балки 6 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/30)*100%=92,9%

Длина балки 4 м:
((39,8мм-9,14)/ к-т надежности по нагрузке)/30мм))*100%=(((39,8-9,14)/1,1)/20)*100%=139,4%

Расчёт прогибов стрельчатой арки

Пример — рама переменного сечения (РПС) пролётом 18 м. Соединение полурам в коньке — шарнирное, опирание полурам на фундамент — шарнирное.

Расчётная модель рамы

При этом в параметрах «Дополнительные характеристики» необходимо указать вручную пролет, с которым программа будет сравнивать прогиб (автоматическое определение пролета возможно только для линейных балок, где все конечные элементы (КЭ) конструктивного элемента (КоЭ) лежат на одной оси):

Эпюра перемещений fz ригеля одной полурамы (вдоль местной оси Z1 стержня)

Мозаика перемещений узлов по Z и «Раскрепления для прогибов» (раскреплён только ригель №4)

Результаты определения прогибов в СТК-САПР:

Результаты определения прогибов ригелей №2 и №4

Предельно допустимый L/200=17664/200=88.32 мм

Без задания раскреплений (по абсолютному значению на эпюре прогибов fz):
96.7/17644=1/182 — совпадает с результатом расчёта элемента №2

С заданием раскреплений (по относительному значению на эпюре прогибов fz):
(96.7-(-6.46))/17644=1/171 — совпадает с результатом расчёта элемента №4

Без задания раскреплений (по абсолютному значению перемещений узлов):
99.8/17644=1/177 — не совпадает ни с чем

Вывод: Расчёт на прогибы выполняется в местной системе координат стержня. Прогиб стрельчатых и цилиндрических арок, а также любых криволинейных конструкций, нужно определять по перемещениям узлов в глобальной системе координат и вручную сравнивать с предельно допустимыми значениями.

Расчёт прогибов цилиндрической арки

Пример – цилиндрическая арка пролётом 18 м, стрелой подъёма f = 9 м. Соединение всех элементов между собой — жёсткое, опирание на фундамент — шарнирное.

Нагрузки на арку приложены их расчётными значениями. Значения нагрузок для определения прогибов принимаются согласно СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия, таблица Д.1 Приложения Д. В данном примере арка является конструкцией покрытия, прогиб которой должен определяться от постоянных и длительных нагрузок (п.2 табл. Д.1). Для визуализации перемещений от нормативных значений нагрузок, необходимо создать особое РСН с нормативными длительными значениями нагрузок. Нагрузки в данном РСН нужно поделить на коэффициент надёжности, с учётом длительности. На конструкцию действуют два загружения:

Загружение 1 — постоянное, коэффициент надёжности 1.1;
Загружение 2 — кратковременное, коэффициент надёжности 1.2, доля длительности 0.35;

Вычислим коэффициенты для перехода к нормативным значениям

Загружение 1 Kn=1/1.1=0.91;
Загружение 2 Kn=1/1.2*0.35=0.292

Таблица РСН с сочетаниями расчётных и нормативных значений нагрузок с учётом длительности.

Мозаика перемещений узлов цилиндрической арки от РСН2

Предельно допустимый прогиб L/200=18000/200=90 мм

Фактический прогиб (по абсолютному значению перемещений узлов): 32.2/18000=1/559 – меньше предельно допустимого значения.

Примечание: если подобная конструкция стоит на своих опорах, то перемещения опорных точек (для получения относительных перемещений) удобно получить через «Мозаику относительных перемещений», указав реперный узел.

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК (абсолютных)

Мозаика перемещений узлов в глобальной СК относительно реперного узла

Консольная балка | SkyCiv Engineering

Определение консольной балки: Что такое Консольный Луч?

Консольные балки — это элементы, которые поддерживаются только из одной точки; как правило, с фиксированной поддержкой. Для того чтобы структура была статичной, поддержка должна быть исправлена; это означает, что он способен поддерживать силы и моменты во всех направлениях. Консольный луч обычно моделируется так:

Хорошим примером консольной балки является балкон. Балкон поддерживается только на одном конце, остальная часть луча распространяется на открытое пространство; нет ничего поддерживающего это с другой стороны.

Консольное отклонение луча

Консоли отклоняют больше, чем большинство другие типы балок так как они поддерживаются только с одного конца. Это означает, что поддержка для переноса нагрузки меньше. Отклонение балки кантилевера можно рассчитать несколькими способами, включая использование упрощенных уравнений пучка кантилевера или калькуляторов пучка кантилевера и программного обеспечения (больше информации об обоих ниже).

Консольный пучковый стресс

Напряжение консоли рассчитывается на основе изгибающей силы и зависит от поперечного сечения балки.. Например, если член совсем маленький, не так много площади поперечного сечения, по которой сила распределяется по, поэтому стресс будет довольно высоким. Напряжение балки кантилевера можно рассчитать с помощью нашего учебника по как рассчитать напряжение пучка или используя Программное обеспечение SkyCiv Beam – который покажет напряжения вашего луча.

Консольный Калькулятор Луча

Получил сложную консольную балку? SkyCiv бесплатно калькулятор кантилевера позволяет моделировать и анализировать сложные балки для расчета отклонения балки кантилевера, а также многое другое.

Программное обеспечение чрезвычайно простое в использовании и не требует установки или загрузки. Добавьте свою длину члена, затем применить ряд различных точечных нагрузок, распределенные нагрузки, и моменты для вашей консольной балки, чтобы получить ваши силы реакции, диаграмма изгибающего момента, диаграмма поперечной силы, и результаты прогиба.

Бесплатный Калькулятор Луча

Консольные уравнения луча (прогиб)

Взято из нашего формула и уравнение прогиба балки страница:

Пример уравнения консольной балки можно рассчитать по следующей формуле, где:

• W = нагрузка
• L = длина члена
• E = модуль Юнга
• Я = Момент инерции луча

Бесплатный Калькулятор Луча

Составные балки и перемещения при изгибе (Лекция №21)

ПОНЯТИЕ О СОСТАВНЫХ БАЛКАХ

   Работу составных балок проиллюстрируем на простом примере трехслойной балки прямоугольного поперечного сечения. Если слои между собой не связаны и силы трения между ними отсутствуют, то каждый из них деформируется как отдельная балка, имеющая свой нейтральный слой (рис. 1, а). Нагрузка между этими балками распределяется пропорционально их жесткостям при изгибе (в данном примере поровну). Это означает, что моменты инерции и моменты сопротивления трех независимо друг от друга деформирующихся балок должны быть просуммированы

   Если скрепить балки сваркой, болтами или другим способом (рис. 1, б), то с точностью до пренебрежения податливостью наложенных связей сечение балки будет работать как монолитное с моментом инерции и моментом сопротивления, равным

   Как видно, при переходе к монолитному сечению жесткость балки возрастает в девять раз, а прочность—в три раза. В инженерной практике наиболее распространены сварные двутавровые балки.

б)

а) несвязанная конструкция, б) связанная сварная конструкция
Рис.1. Расчетные схемы составных балок:

 

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОГО ИЗГИБА ПРИЗМАТИЧЕСКОГО СТЕРЖНЯ

   Определено, что мерой деформации призматического стержня при прямом чистом изгибе является кривизна нейтрального слоя. Можно показать, что с достаточной для инженерных расчетов точностью этим тезисом можно пользоваться и в случае прямого поперечного изгиба стержня. Однако для практических целей кроме кривизны необходимо определить вертикальные перемещения центров тяжести отдельных поперечных сечений — прогибов балки v, а иногда и углы поворота этих сечений (рис. 2). Вследствие гипотезы плоских сечений угол поворота сечения ( оказывается равным углу наклона касательной к изогнутой оси балки, который в силу малости

(1)

   Тогда возникает геометрическая задача: составить уравнение для функции прогиба , зная закон изменения ее кривизны.

Рис.2. Расчетная схема определения перемещений при изгибе

 

   Воспользуемся известным из дифференциальной геометрии выражением для кривизны в прямоугольных декартовых координатах:

(2)

   Однако, учитывая, что в инженерной практике применяются достаточно жесткие балки, для которых наибольший прогиб f (рис.2) мал по сравнению с длиной (f / l << 1), а первая производная от прогиба имеет порядок

и, следовательно, величиной (dv / dz)²<<1, стоящей в знаменателе (2), можно пренебречь, выражение для кривизны упрощается

(3)

   Тогда, подставив это выражение в полученную ранее связку кривизны и изгибающего мометна — , условившись что ось Oy направлена вверх и согласовав знаки и М_х, приходим к дифференциальному уравнению прямого изгиба балки

(4)

известному также как дифференциальное уравнение упругой кривой.

Если учесть точное выражение для кривизны по формуле (2), то точное уравнение упругой кривой

является нелинейным дифференциальным уравнением. Поэтому линейное дифференциальное уравнение, описывающее малые прогибы балки, иногда называют линеаризованным уравнением упругой кривой.

   Решение уравнения получаем путем двукратного почленного интегрирования. При первом интегрировании получаем выражение

(5)

которое с учетом , дает также закон изменения углов поворота поперечных сечений по длине балки. Повторным интегрированием получаем функцию прогиба

(6)

Постоянные интегрирования С и D должны быть найдены из граничных условий.

   Во всех приведенных выше уравнениях функция изгибающего момента М_х(г) предполагалась известной, что возможно лишь для статически определимых балок. Простейшие варианты статически определимых однопролетных балок и соответствующие граничные условия показаны на рис. 3. Условия, накладываемые на прогиб и угол поворота сечения, получили название кинематических граничных условий. Как видно, для шарнирно опертой балки требуется, чтобы прогиб на опорах v(0) =v(l) =0, а для консольной балки прогиб и угол поворота сечения в заделке

Рис.3. Примеры граничных условий: а) двухопорная, б) консольная балки

 

   Дифференциальное уравнение неприменимо для расчета статически неопределимых балок, так как содержит неизвестный изгибающий момент М_x появившийся в результате двукратного интегрирования уравнения четвертого порядка

(7)

В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что

   При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия — условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как

а с учетом дифференциального соотношения Q_y=dM_x/dz, получаем

(8)

   Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=M_x/EJ_x, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 4 приведена эпюра М_x, содержащая п участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n—1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах

получим 2п граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.

Рис.4. Расчетная схема балки, содержащая n углов

 

   Рекомендую для практики решения дифференциальных уравнений второго порядка воспользоваться системой входных тестов Т-4, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ.

Дальше…

Методическое руководство к лабораторной работе «Определение прогиба консольной балки при прямом изгибе»

Министерство образования и науки Республики Калмыкия

БПОУ РК «Элистинский политехнический колледж»

к выполнению лабораторной работы

по Технической механике

Тема: «Определение прогиба консольной балки при прямом изгибе»

Преподаватель Мальченко Л.Э.

1. Цель работы

Сравнение результатов расчётного и экспериментального определения прогибов балки.

2. Теоретическое обоснование

Под действием внешней нагрузки ось балки искривляется и проис-ходит перемещение сечений балки (рис.1а).

Прогиб балки – перемещение сечения балки в вертикальном нап-равлении.

Прогиб определяется с помощью интеграла Мора:

где: — функция изгибающего момента от внешней нагрузки;

— функция изгибающего момента от единичной силы, приложенной в месте определения прогиба;

— модуль продольной упругости материала балки;

— осевой момент инерции сечения балки.

Вычисление интеграла Мора удобнее выполнять графо-аналитическим способом, называемым правилом Верещагина.

По правилу Верещагина функции , , заменяются эпюрами изгибающих моментов: от внешней нагрузки — и от единичной силы -. Операция интегрирования заменяется операцией перемножения эпюр (см. рис.1б, в, г):

где: — площади — той части эпюры ;

, — ординаты эпюр под центрами тяжести площадей .

Рассмотрим консольную балку, нагруженную на расстоянии от опоры сосредоточенной вертикальной силой (см.рис.1). Найдём прогиб балки на расстоянии от той же опоры. При этом будем считать, что .

Строим эпюру изгибающих моментов от нагрузки (см.рис.1б).

Изгибающие моменты:

Прикладываем к балке в сечении D единичную силу и строим эпюру (см.рис.1в).

Изгибающие моменты:

Разбиваем эпюру на простейшие фигуры по границам участков (см.рис.1б) и определяем площади этих фигур:

A D C B

а)

б) Эпюра

в)

Эпюра

Рис.1.

Определим ординаты на эпюре под центрами тяжести площадей на эпюре

Перемножая эпюры по правилу Верещагина, получим формулу для вычисления прогиба при :

(1)

Выполнив аналогичные преобразования при получим следующую формулу:

(2)

3. Порядок выполнения работы

   1. Студент получает от преподавателя индивидуальное задание,

обмеряет модель балки и данные заносит в таблицу 1.

Таблица 1

Номер модели балки

Матери-ал балки

Длина пролёта балки

, мм

Размеры сечения балки

, мм

Внеш-

няя

нагру-

зка

, н

Координа- та сечения, где замеря- ется прогиб , мм

Координа-та сечения, где приложена нагрузка

, мм

3.2. Исходя из соотношения величин и , студент выбирает нужную ему формулу и по ней вычисляет расчётный прогиб .

3. 3. Модель балки устанавливается на стенд, нагружается по заданной схеме и замеряется экспериментальный прогиб .

3. 4. Оценивается сходимость результатов расчёта и эксперимента по формуле:

3.5.Составляется и оформляется отчёт по лабораторной работе по форме, приведённой в Приложении.

Контрольные вопросы

1. Что мы называем прогибом балки?

2. Что такое – интеграл Мора?

3. Сформулируйте правило Верещагина.

4. Что это такое — единичная сила и где она прикладывается?

5. Что мы называем эпюрой изгибающих моментов?

6. Как найти произведение двух эпюр?

7. Каким прибором замеряется прогиб балки?

Приложение

о выполнении лабораторной работы

по Технической механике на тему:

«Определение прогиба консольной балки при прямом изгибе»

Выполнил: студент группы ________ ______________________

ФИ

Проверил: Мальченко Л.Э.

1.Цель работы – сравнение результатов расчётного и эксперимен-тального определения прогиба консольной балки.

2.Задание на работу

Таблица 1

Номер модели балки

Матери-ал балки

Длина пролёта балки

, мм

Размеры сечения балки

, мм

Внеш-

няя

нагру-

зка

, н

Координа- та сечения, где замеря- ется прогиб , мм

Координа-та сечения, где приложена нагрузка

, мм

1

Ст 08

700

825

20

300

500

3.Расчёт

Осевой момент инерции сечения балки

Модуль продольной упругости для Ст 08

Так как , то используем формулу (1)

4. Эксперимент

5.Сходимость результатов расчёта и эксперимента

Расчет металлической балки на прогиб: учимся составлять формулы

Приветствую тебя, читатель экспресс-курса — «сопромат для чайников» на сайте – SoproMats.ru. Меня зовут Константин Вавилов, я являюсь автором статей по сопромату и других материалов данного ресурса. В этой статье, будем рассматривать универсальную методику расчета прогибов балки — метод начальных параметров. Как и любая другая статья для чайников, на нашем проекте, этот материал будет изложен максимально просто, лаконично и без лишних заумных терминов.

В качестве примера, возьмем металлическую балку на двух опорах. Запишем для нее формулу для вычисления прогиба, посчитаем его численное значение. И также в конце этой статьи дам ссылки на другие полезные статьи с примерами определения прогибов для различных расчетных схем.

Что такое прогиб балки?

Под действием внешней нагрузки, поперечные сечения балки перемещаются вертикально (вверх или вниз), эти перемещения называются прогибами. Сопромат позволяет нам определить прогиб балки, зная ее геометрические параметры: длину, размеры поперечного сечения. И также нужно знать материал, из которого изготовлена балка (модуль упругости).

Кстати! Помимо вертикальных перемещений, поперечные сечения балки, поворачиваются на определенный угол. И эти величины также можно определить методом начальных параметров.

ν-прогиб сечения C; θ-угол поворота сечения C.

Прогибы балки необходимо рассчитывать, при расчете на жесткость. Расчётные значения прогибов не должны превышать допустимых значений. Если расчетное значение меньше, чем допустимое, то считают, что условие жесткости элемента конструкции соблюдается. Если же нет, то принимаются меры по повышению жесткости. Например, задаются другим материалом, у которого модуль упругости БОЛЬШЕ. Либо же меняют геометрические параметры балки, чаще всего, поперечное сечение. Например, если балка двутаврового профиля №12, не подходит по жесткости, принимают двутавр №14 и делают перерасчет. Если потребуется, повторяют подбор, до того момента пока не найдут тот самый – двутавр.

Метод начальных параметров

Метод начальных параметров, является довольно универсальным и простым методом. Используя этот метод можно записывать формулу для вычисления прогиба и угла поворота любого сечения балки постоянной жесткости (с одинаковым поперечным сечением по длине.)

Под начальными параметрами понимаются уже известные перемещения:

• в опорах прогибы равны нулю;
• в жесткой заделке прогиб и угол поворота сечения равен нулю.

Учитывая эти хитрости, их называют еще граничными условиями, определяются перемещения в других частях балки.

Расчет прогибов балки

Посмотрим, как пользоваться методом начальных параметров на примере простой балки, которая загружена всевозможными типами нагрузок, чтобы максимально охватить все тонкости этого метода:

Реакции опор

Для расчета нужно знать все внешние нагрузки, действующие на балку, в том числе и реакции, возникающие в опорах.

Если ты не знаешь, как определять реакции, то рекомендую изучить данный материал, где я как раз рассказываю, как они определяются на примере этой балки:

Система координат

Далее вводим систему координат, с началом в левой части балки (точка А):

Распределенная нагрузка

Метод начальных параметров, который будем использовать чуть позднее, работает только в том случае, когда распределенная нагрузка доходит до крайнего правого сечения, наиболее удаленного от начала системы координат. Конкретно, в нашем случае, нагрузка обрывается и такая расчетная схема неприемлема для дальнейшего расчета.

Если бы нагрузка была приложена вот таким способом:

То можно было бы сразу приступать к расчету перемещений. Нам же потребуется использовать один хитрый прием – ввести дополнительные нагрузки, одна из которых будет продолжать действующую нагрузку q, другая будет компенсировать это искусственное продолжение. Таким образом, получим эквивалентную расчетную схему, которую уже можно использовать в расчете методом начальных параметров:

Вот, собственно, и все подготовительные этапы, которые нужно сделать перед расчетом.

Приступим непосредственно к самому расчету прогиба балки. Рассмотрим наиболее интересное сечение в середине пролета, очевидно, что это сечение прогнется больше всех и при расчете на жесткость такой балки, рассчитывалось бы именно это сечение. Обзовем его буквой – C:

Относительно системы координат записываем граничные условия. Учитывая способ закрепления балки, фиксируем, что прогибы в точках А и В равны нулю, причем важны расстояния от начала координат до опор:

\[ { V }_{ A }=0\quad при\quad x=0 \]

\[ { V }_{ B }=0\quad при\quad x=8м \]

Записываем уравнение метода начальных параметров для сечения C:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=… \]

Произведение жесткости балки EI и прогиба сечения C будет складываться из произведения EI и прогиба сечения в начале системы координат, то есть сечения A:

\[ E{ I }_{ z }{ V }_{ C }=E{ I }_{ z }{ V }_{ A }+ … \]

Напомню, E – это модуль упругости первого рода, зависящий от материала из которого изготовлена балка, I – это момент инерции, который зависит от формы и размеров поперечного сечения балки.{ 4 } } =-2см \]

Таким образом, такая балка прогнется максимально на 2 см. Знак «минус» указывает на то, что сечение переместится вниз.

На этом, пожалуй, закончу данный урок. Если у вас возникли какие-либо вопросы по представленным материалам, задавайте вопросы в комментариях к этой статье. А также рекомендую вам посмотреть другие примеры определение прогибов этим методом. Там вы найдете более сложные задачи, определение углов поворотов, примеры расчета консольных балок (с жесткой заделкой).

Консольные балки — моменты и прогиб

Консольные балки — одиночная нагрузка на конце

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = F (1a)

, где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

F = сила одностороннего действия в B (Н, фунт)

Максимальный момент

на неподвижном конце может быть выражается как

M _max = M _A

= — FL (1b)

, где

M _A = максимальный момент в A (Нм, Нмм, фунт-дюйм)

L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки можно выразить как

δ _B = FL ³ / (3 EI) (1c)

где

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

E = модуль упругости эластичность (Н / м ² (Па), Н / мм ² , фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

b = длина между B и C (м, мм, дюйм)

Напряжение

Напряжение в изгибающейся балке может быть выражено как

σ = y M / I ( 1d)

, где

σ = напряжение (Па (Н / м ² ), Н / мм ² , psi)

y = расстояние до точки от нейтральной оси (м, мм , дюйм)

M = изгибающий момент (Нм, фунт дюйм)

I = момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , в ⁴ )

Максимальный момент консольной балки находится в фиксированной точке, а максимальное напряжение может быть рассчитано путем объединения 1b и 1d по

σ _max = y _max FL / I (1e)

Пример — консольная балка с одинарной нагрузкой на конце, метрические единицы

Максимальный момент на неподвижном конце UB 305 x 127 x 42 балка стальная полка консольная балка 5000 мм длинная, с моментом инерции 8196 см ⁴ (81960000 мм ⁴ ) , модуль упругости 200 ГПа (200000 Н / мм ² ) и с одинарной нагрузкой 3000 Н в конце можно рассчитать как

M _max = (3000 Н) (5000 мм)

= 1.5 10 ⁷ Нмм

= 1,5 10 ⁴ Нм

Максимальный прогиб на свободном конце можно рассчитать как

δ _B = (3000 Н) (5000 мм) ³ / (3 (2 10 ⁵ Н / мм ² ) (8,196 10 ⁷ мм ⁴ ))

= 7,6 мм

Высота балки 300 мм и расстояние от крайней точки до нейтральной оси 150 мм .Максимальное напряжение в балке можно рассчитать как

σ _max = (150 мм) (3000 Н) (5000 мм) / ( 8,196 10 ⁷ мм ⁴ )

= 27,4 (Н / мм ² )

= 27,4 10 ⁶ (Н / м ² , Па)

= 27,4 МПа

Максимальное напряжение ниже предела прочности при растяжении прочность для большинства сталей.

Консольная балка — одиночная нагрузка

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = F (2a)

где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

F = сила одностороннего действия в B (Н, фунт)

Максимальный момент

на неподвижном конце может быть выражен как

M _max = M _A

= — F a (2b)

где

M _A = максимальный момент в A (Н.m, N.mm, lb.in)

a = длина между A и B (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки можно выразить как

δ _C = (F a ³ / (3 EI)) (1 + 3 b / 2 a) (2c)

где

δ _C = максимальный прогиб в C (м, мм , дюйм)

E = модуль упругости (Н / м ² (Па), Н / мм ² , фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции ( м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

b = длина между B и C (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

под действием единой силы может быть выражено как

δ _B = F a ³ / (3 EI) (2d)

где e

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

Максимальное напряжение

Максимальное напряжение может быть рассчитано путем объединения 1d и 2b до

σ _max = y _max F a / I (2e)

Консольная балка — калькулятор одиночной нагрузки

Общий калькулятор — будьте последовательны и используйте метрические значения на основе м или мм или британские значения на основе дюймов.Стандартные значения в миллиметрах.

F — Нагрузка (Н, фунт)

a — Длина балки между A и B (м, мм, дюйм)

b — Длина балки между B и C (м, мм, дюйм)

I — момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

E — модуль упругости (Н / м ² , Н / мм ² , psi)

y — Расстояние от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

Консольная балка — равномерно распределенная нагрузка

Максимальная реакция

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = q L (3a)

где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

q = равномерно распределенная нагрузка (Н / м, Н / м) мм, фунт / дюйм)

L = длина консольной балки (м, мм, дюйм)
9 0015

Максимальный момент

на фиксированном конце можно выразить как

M _A = — q L ² /2 (3b)

Максимальный прогиб

в конце можно выразить как

δ _B = q L ⁴ / (8 EI) (3c)

где

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

Консольная балка — Калькулятор равномерной нагрузки

Универсальный калькулятор — используйте метрические значения на основе м или мм или имперские значения на основе дюймов.Стандартные значения в миллиметрах.

q — Равномерная нагрузка (Н / м, Н / мм, фунт / дюйм)

L — Длина балки (м, мм, дюйм)

I — Момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

E — Модуль упругости (Па, Н / мм ² , psi)

y — Расстояние от нейтральной оси (м, мм, дюйм)

Более одной точечной нагрузки и / или равномерной нагрузки, действующей на консольную балку

Если на консольную балку действует более одной точечной нагрузки и / или равномерная нагрузка — результирующий максимальный момент на фиксированном конце A и результирующий максимальный прогиб на конце B может быть рассчитан путем суммирования максимального момента в A и максимального прогиба в B для каждой точки и / или равномерной нагрузки.

Консольная балка — уменьшающаяся распределенная нагрузка

Максимальная сила реакции

на неподвижном конце может быть выражена как:

R _A = q L / 2 (4a)

где

R _A = сила реакции в A (Н, фунт)

q = уменьшающаяся распределенная нагрузка — максимальное значение при A — ноль при B (Н / м, фунт / фут)

Максимальный момент

при фиксированный конец может быть выражен как

M _max = M _A

= — q L ² /6 (4b)

, где

M _A = максимум момент в A (N.m, N.mm, lb.in)

L = длина балки (м, мм, дюйм)

Максимальный прогиб

на конце консольной балки можно выразить как

δ _B = q L ⁴ / (30 EI) (4c)

где

δ _B = максимальный прогиб в B (м, мм, дюйм)

E = модуль упругости ( Н / м ² (Па), Н / мм ² , фунт / дюйм ² (psi))

I = момент инерции (м ⁴ , мм ⁴ , дюйм ⁴ )

Вставьте балки в модель Sketchup с помощью Engineering ToolBox Sketchup Extension

Отклонение балки: что это такое?

Отклонение луча: что это такое? (Определение отклонения)

Отклонение, в терминологии структурной инженерии, относится к перемещению балки или узла из исходного положения из-за сил и нагрузок, приложенных к элементу.Это также известно как смещение и может происходить из-за приложенных извне нагрузок или из-за веса самой конструкции и силы тяжести, к которой это относится.

Прогиб может возникать в балках, ферм, каркасах и практически любой другой конструкции. Чтобы определить отклонение, возьмем простое отклонение консольной балки, в конце которой стоит человек с весом (W):

Сила человека, стоящего в конце, заставит балку изгибаться и отклоняться от своего естественного положения.На диаграмме ниже синий луч соответствует исходному положению, а пунктирная линия имитирует отклонение консольного луча:

Как видите, балка изогнулась или сместилась от исходного положения. Это расстояние в каждой точке стержня является значением или определением отклонения.

Как правило, существует 4 основных переменных, которые определяют величину прогиба балки. К ним относятся:

• Какова нагрузка на конструкцию
• Длина неподдерживаемого стержня
• Материал, в частности модуль Юнга
• Размер поперечного сечения, в частности момент инерции (I)

Уравнения отклонения балки

Прогиб балки (прогиб балки) рассчитывается на основе множества факторов, включая материалы, момент инерции секции, приложенную силу и расстояние от опоры.Существует ряд формул и уравнений прогиба балки, которые можно использовать для расчета базового значения прогиба в различных типах балок.

Как правило, прогиб может быть рассчитан путем деления двойного интеграла уравнения изгибающего момента M (x) на EI (модуль Юнга x момент инерции).

Какая единица измерения отклонения?

Единица отклонения или смещения — это единица длины и обычно принимается в миллиметрах (для метрических единиц) и в дюймах (для британских).Это число определяет расстояние, на которое луч отклонился от исходного положения.

Прогиб консольной балки

Консольные балки — это балки особого типа, которые ограничены только одной опорой, как показано в приведенном выше примере. Эти элементы, естественно, будут отклоняться больше, поскольку они поддерживаются только с одного конца.

Для расчета прогиба консольной балки вы можете использовать приведенное ниже уравнение, где W — сила в конечной точке, L — длина консольной балки, E = модуль Юнга и I = момент инерции.

Просто поддерживаемое отклонение луча

Другим примером отклонения является отклонение балки с простой опорой. Эти балки поддерживаются с обоих концов, поэтому отклонение балки обычно левое и имеет форму, сильно отличающуюся от формы консоли. Под действием равномерно распределенной нагрузки (например, собственного веса) балка будет плавно отклоняться к средней точке:

Мы надеемся, что вы нашли эту короткую статью, чтобы определить прогиб балки в проектировании конструкций.Пожалуйста, не стесняйтесь оставлять комментарии ниже или попробуйте воспользоваться нашим калькулятором пролета балки, чтобы попробовать на себе и применить эту теоретическую концепцию на практике с помощью программного обеспечения для расчета конструкций.

Калькулятор отклонения балки

Этот калькулятор отклонения балки поможет вам определить максимальное отклонение балки для балок с простой опорой и консольных балок, несущих простых конфигураций нагрузки . Вы можете выбрать один из нескольких типов нагрузки, которые могут воздействовать на балку любой длины по вашему желанию.Величина и расположение этих нагрузок влияют на то, насколько балка изгибается. В этом калькуляторе отклонения балки вы узнаете о различных формулах отклонения балки , используемых для расчета прогибов балок без опоры и изгибов консольных балок. Вы также узнаете, как модуль упругости балки и момент инерции ее поперечного сечения влияют на расчетный максимальный прогиб балки.

Что такое прогиб балки и изгиб балки

В строительстве мы обычно используем каркасных конструкций , которые удерживаются на месте фундаментом в земле.Эти каркасные конструкции подобны каркасам зданий, домов и даже мостов. В раме мы называем вертикальное обрамление колонн , а горизонтальные балок . Балки — это длинные элементы конструкции, которые несут нагрузки, создаваемые горизонтальными плитами конструкций, включая перекрытия и крыши.

Когда балки несут слишком тяжелые для них нагрузки, они начинают гнуться. Мы называем величину изгиба балки прогибом балки . Отклонение балки — это вертикальное смещение точки вдоль центра тяжести балки.Мы также можем рассматривать поверхность балки как опорную точку, если нет изменений в высоте или глубине балки во время изгиба.

Как рассчитать максимальный прогиб балки

Мы снабдили наш калькулятор прогиба балки формулами, которые инженеры и студенты-инженеры используют для быстрого определения максимального прогиба, который будет испытывать конкретная балка из-за нагрузки, которую она несет. Однако эти формулы могут решать только простые нагрузки и их комбинацию.Мы составили для вас таблицу этих формул, как показано ниже:

Формулы прогиба балок с простой опорой

Формулы прогиба консольной балки

Метод наложения

Для расчета максимального прогиба балки с комбинацией нагрузок мы можем использовать метод наложения . Метод наложения утверждает, что мы можем приблизительно оценить полное отклонение балки, сложив вместе все отклонения, вызванные каждой конфигурацией нагрузки.Однако этот метод дает нам лишь приблизительное значение фактического максимального прогиба. Расчет сложных нагрузок потребует от нас использования так называемого метода двойного интегрирования .

Жесткость балки

Для расчета прогиба балки необходимо знать жесткость балки и величину силы или нагрузки, которые могут повлиять на изгиб балки. Мы можем определить жесткость балки, умножив модуль упругости балки , E , на ее момент инерции , I .Модуль упругости зависит от материала балки. Чем выше модуль упругости материала, тем больше прогиб может выдержать огромные нагрузки, прежде чем достигнет предела разрушения. Модуль упругости бетона составляет 15-50 ГПа (гигапаскалей), а у стали — около 200 ГПа и выше. Эта разница в значениях модуля упругости показывает, что бетон может выдерживать лишь небольшой прогиб и трескается быстрее, чем сталь.

Вы можете узнать больше о модуле упругости, воспользовавшись нашим калькулятором напряжений.С другой стороны, чтобы определить момент инерции для определенного поперечного сечения балки, вы можете воспользоваться нашим калькулятором момента инерции. Момент инерции представляет собой величину сопротивления материала вращательному движению. Момент инерции зависит от размеров поперечного сечения материала.

Момент инерции также зависит от оси вращения материала. Чтобы лучше понять эту концепцию, давайте рассмотрим поперечное сечение прямоугольной балки шириной 20 см и высотой 30 см.Используя формулы, которые вы также можете увидеть в нашем калькуляторе момента инерции, мы можем вычислить значения момента инерции этого поперечного сечения следующим образом:

Iₓ = ширина * высота³ / 12
= 20 * (30³) / 12
= 45000 см⁴

Iᵧ = высота * ширина³ / 12
= 30 * (20³) / 12
= 20,000 см⁴

Обратите внимание на два значения момента инерции. Это потому, что мы можем рассматривать изгиб балки по вертикали (по оси x, то есть Iₓ) или по горизонтали (по оси y, то есть Iᵧ).Поскольку мы учитываем отклонение балки при вертикальном изгибе, для наших расчетов всегда нужно использовать Iₓ . Полученные нами значения говорят нам о том, что балку труднее изгибать при вертикальной нагрузке и легче изгибать при горизонтальной нагрузке. Эта разница в значениях момента инерции является причиной того, что мы видим балки в этой конфигурации, в которой ее высота больше ширины.

Понимание формул прогиба балки

Теперь, когда мы знаем концепции модуля упругости и момента инерции, мы можем теперь понять, почему эти переменные являются знаменателями в наших формулах отклонения балки.Формулы показывают, что чем жестче балка, тем меньше будет ее прогиб. Однако, изучив наши формулы, мы также можем сказать, что длина балки также напрямую влияет на прогиб балки. Чем длиннее балка, тем больше она может изгибаться и тем больше может быть прогиб.

С другой стороны, нагрузки

влияют на отклонение балки двумя способами: в направлении отклонения и величине отклонения . Нисходящие нагрузки склонны отклонять балку вниз.Нагрузки могут быть в виде точечной нагрузки, линейного давления или моментной нагрузки. Формулы в этом калькуляторе ориентированы только на нисходящие или восходящие направления для точечной нагрузки и распределенных нагрузок. Распределенные нагрузки аналогичны давлению, но учитывают только длину балки, а не ее ширину. Формулы в этом калькуляторе также учитывают момент или крутящий момент нагрузки как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки. Просто проконсультируйтесь по направлениям стрелок на соответствующем изображении формулы, чтобы выяснить, в каком направлении имеется положительное значение нагрузки.

Пример расчета прогиба балки

Для примера расчета прогиба балки рассмотрим простую деревянную скамью с ножками на расстоянии 1,5 метра друг от друга в их центрах. Допустим, у нас есть доска из восточной белой сосны толщиной 4 см и шириной 30 см, которая служит сиденьем для этой скамейки. Мы можем рассматривать это сиденье как балку, которая отклоняется, когда кто-то садится на скамейку. Зная размеры этого сиденья, мы можем затем вычислить его момент инерции, как в нашем примере выше.Поскольку нам нужно рассчитать Iₓ, его момент инерции будет:

Iₓ = ширина * высота³ / 12
= 30 * (4³) / 12
= 160,0 см⁴ или 1,6x10⁻⁶ м⁴

Сосна восточная белая имеет модуль упругости 6800 МПа (6,8x10⁹ Па) , что является значением, которое мы получили из Справочника по древесине. Вы также можете легко получить значение модуля упругости для других материалов, таких как сталь и бетон, в Интернете или в местной библиотеке.Теперь, когда мы знаем эти значения, давайте рассмотрим нагрузку, которую будет нести этот стенд. Предположим, что ребенок 400 N сидит в центре скамейки. Теперь мы можем рассчитать прогиб сиденья скамейки из-за точечной нагрузки в его центре:

δₘₐₓ = P * L³ / (48 * E * I)
δₘₐₓ = (400 Н) * (1,5 м) ³ / (48 * 6,8x10⁹ Па * 1,6x10⁻⁶ м⁴)
δₘₐₓ = 0,002585 m = 2,5850 мм

Это означает, что многоместное сиденье прогнется примерно на 2.6 миллиметров на от исходного положения, когда ребенок сидит посередине скамейки.

Если вы нашли эту тему интересной и хотели бы узнать больше о прочности материалов, вам также может понравиться наш калькулятор запаса прочности. Вы также можете воспользоваться нашим конвертером силы, если хотите изучить различные единицы измерения точечных нагрузок и расчета сил.

Калькулятор консольной балки | calcresource

Теоретические основы

Содержание

Введение

Консольная балка — одна из самых простых конструкций.Он имеет только одну опору на одном из концов. Опора представляет собой так называемую фиксированную опору , которая запрещает все движения, включая вертикальные или горизонтальные смещения, а также любые вращения. Другой конец не поддерживается, поэтому он может свободно перемещаться или вращаться. Этот свободный конец часто называют концом кантилевера.

Консоль имеет только одну фиксированную опору.

Удаление единственной опоры или установка внутреннего шарнира превратят консольную балку в механизм: тело движется без ограничений в одном или нескольких направлениях.Это нежелательная ситуация для несущей конструкции. В результате консольная балка не обеспечивает избыточности с точки зрения опор. Если произойдет локальный сбой, вся конструкция рухнет. Эти типы структур, которые не предлагают избыточности, называются критическими или детерминантными структурами . Напротив, конструкция, которая имеет больше опор, чем требуется для ограничения ее свободного движения, называется избыточной или неопределенной конструкцией .Консольная балка — определяющая конструкция.

Допущения

Статический анализ любой несущей конструкции включает оценку ее внутренних сил и моментов, а также ее прогибов. Обычно для плоской конструкции с плоской нагрузкой интересующими внутренними воздействиями являются осевая сила N, поперечная поперечная сила V и изгибающий момент M. Для консольной балки, несущей только поперечные нагрузки, осевое усилие всегда равно нулю. при условии небольших прогибов.Поэтому осевыми силами часто пренебрегают.

Результаты расчетов на этой странице основаны на следующих предположениях:

• Материал однороден и изотропен (другими словами, его характеристики одинаковы во всех точках и в любом направлении)
• Материал линейно эластичный
• Нагрузки прикладываются статически (они не меняются со временем)
• Поперечное сечение одинаково по всей длине балки
• Прогибы небольшие
• Каждое поперечное сечение, которое изначально является плоским, а также перпендикулярно продольному ось, остается плоской и перпендикулярной отклоненной оси.Это тот случай, когда высота поперечного сечения значительно меньше длины балки (в 10 и более раз), а также поперечное сечение не является многослойным (не сечение сэндвич-типа).

Последние два предположения удовлетворяют кинематическим требованиям теории пучка Эйлера-Бернулли, которая здесь также принята.

Условные обозначения

Для расчета внутренних сил и моментов при любом разрезе сечения балки необходимо условное обозначение. Здесь приняты следующие значения:

1. Осевая сила считается положительной, когда она вызывает растяжение детали.
2. Сдвигающая сила является положительной, когда она вызывает вращение детали по часовой стрелке.
3. Изгибающий момент является положительным, когда он вызывает растяжение нижнего волокна балки и сжатие верхнего волокна.

Эти правила, хотя и не являются обязательными, но достаточно универсальны. Другой набор правил, если следовать ему последовательно, также даст те же физические результаты.

Положительный знак для внутренней осевой силы, N, поперечной силы, V и изгибающего момента, M

Обозначения

• E: модуль упругости материала (модуль Юнга)
• I: момент инерции поперечного сечения вокруг упругой нейтральной оси изгиба
• L: общая длина балки
• R: реакция опоры
• d: прогиб
• M: изгибающий момент
• V: поперечная поперечная сила
• \ theta: наклон

Консольная балка с равномерно распределенной нагрузкой

Нагрузка w распределена по пролету консоли, имея постоянную величину и направление. 2)} {6 EI}

Консольная балка с точечной силой на конце

Сила сосредоточена в одной точке, расположенной на свободном конце балки.Однако на практике сила может распространяться на небольшую площадь, хотя размеры этой области должны быть существенно меньше, чем длина кантилевера. В непосредственной близости от приложения силы ожидаются концентрации напряжений, и в результате отклик, предсказываемый классической теорией балки, может быть неточным. Однако это только местное явление. По мере удаления от места расположения силы результаты становятся действительными в силу принципа Сен-Венана.

В следующей таблице приведены формулы, описывающие статический отклик балки кантилевера под действием сосредоточенной силы P, приложенной к наконечнику.2 (3L-x)} {6EI} Наклон в точке x: \ theta (x) = — \ frac {Px (2L — x)} {2EI}

Консольная балка с точечной силой в произвольном месте

Сила сосредоточена в одной точке в любом месте по длине консоли. 2 (3L-a) \ over 6EI} Изгибающий момент в x: M (x) = \ left \ {\ begin {align} — & P (ax) &, x \ le a \\ & 0 &, x> a \ end {align} \ right.2 (3x — a) \ over 6EI} &, x> a \ end {align} \ right. Наклон в точке x: \ theta (x) = \ left \ {\ begin {align} — & {Px (2a — x) \ over 2EI} &, x \ le a \\ & \ theta_B & , x> a \ end {выровнено} \ right.

Консольная балка с точечным моментом

В этом случае момент прикладывается к одной точке балки в любом месте пролета. С практической точки зрения, это может быть пара сил или элемент на кручение, соединенный из плоскости и перпендикулярно балке.

В любом случае область приложения момента должна распространяться на небольшую длину консоли, чтобы ее можно было успешно идеализировать как сосредоточенный момент в точке. Хотя в непосредственной близости от области применения ожидается, что результаты, предсказанные с помощью классической теории пучка, будут неточными (из-за концентраций напряжений и других локализованных эффектов), предсказанные результаты становятся совершенно достоверными, когда мы удаляемся, как заявил Св. -Венантный принцип.

Следующая таблица содержит формулы, описывающие статический отклик консольной балки под действием сосредоточенного момента M точки, приложенного на расстоянии a от неподвижной опоры.

прогиб:

Консольная балка с острым моментом
Количество	Формула
Реакции:	R_A = 0				EndA \ theta_A = 0 \ theta_B = \ frac {M a} {EI}
Предельный изгибающий момент:	M_u = M
Предельное усилие сдвига:	V_u = 0
d_u = — {Ma (2L-a) \ over 2EI}
Изгибающий момент в точке x:	M (x) = \ left \ {\ begin {align} & M &, x \ le a \\ & 0 &, x> a \ end {align} \ right.2} {2 E I} &, x \ le a \\ & — \ theta_B \ left (x- {a \ over2} \ right) &, x> a \ end {align} \ right.
Наклон в точке x:	\ theta (x) = \ left \ {\ begin {align} & \ frac {M x} {EI} &, x \ le a \\ & \ theta_B &, x> а \ конец {выровнено} \ право.

Консольная балка с переменной распределенной нагрузкой

Нагрузка распределяется по длине консоли с линейно изменяющейся величиной, начиная с w_1 на неподвижной опоре и заканчивая w_2 на свободном конце.Размеры w_1 и w_2 — сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = {L \ over2} (w_1 + w_2), где L — длина консоли.

Значения w_1 и w_2 могут быть присвоены произвольно. Первое не обязательно должно быть меньше второго. Они могут принимать даже отрицательные значения (одно или оба).

Если w_1 = 0, формулы в следующей таблице соответствуют треугольной распределенной нагрузке с возрастающей величиной (пик на вершине).

Если w_2 = 0, формулы в следующей таблице соответствуют треугольной распределенной нагрузке с уменьшающейся величиной (пик на неподвижной опоре).3} {24EI}

где:

w_x = w_1 + {(w_2-w_1) \ over L} x

Консольная балка с трапециевидным распределением нагрузки плитного типа

Это типичное распределение нагрузки для консольных балок, поддерживающих плиту. 2 &, x> a \ end {align} \ right.3} {6EI} &, x> a \ end {align} \ right.

Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой

Нагрузка распределяется на часть длины консоли с постоянной величиной w, в то время как оставшаяся длина разгружается. Размеры w — сила на длину. Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = w \ left (L-a-b \ right), где L — длина консоли, а a, b — длины без нагрузки с левой и правой стороны балки, соответственно.

В следующей таблице приведены формулы, описывающие статический отклик консольной балки при частично распределенной равномерной нагрузке.

Консольная балка с частично распределенной равномерной нагрузкой
Кол-во	Формула
Реакции:	R_A = wL_w +w 9000 L_w — слева 2} \ right)
Концевые уклоны:	\ theta_A = 0 \ theta_B = — \ frac {w (L_b ^ 3- a ^ 3)} {6 EI}
Ultimate изгибающий момент:	M_u = M_A
Предельная сила сдвига:	V_u = V_A
Предельный прогиб:	d_u = \ frac {w \ left (3L ^ 4 — 8L ^ 3 b + 6L 2 b ^ 2 — 4L a ^ 3 + a ^ 4 — b ^ 4 \ right)} {24 EI}
Изгибающий момент в x:	M (x) = \ left \ {\ begin {align} & R_A x + M_A &, x \ le a \\ & R_Ax + M_A- \ frac {w x_a ^ 2} {2} &, a {<} x {<} Lb \\ & 0 &, x \ ge Lb \ end { выровнено} \ вправо.3} {6EI} &, a {<} x {<} L-b \\ & \ theta_B &, x \ ge L-b \ end {align} \ right.
где: x_a = xa L_w = Lab L_b = Lb

Консольная балка с частично распределенной трапециевидной нагрузкой

Нагрузка распределяется на консольную часть длины линейно меняющаяся величина от w_1 до w_2, а оставшаяся длина не загружается. Размеры w_1 и w_2 — сила на длину.Общее количество силы, приложенной к балке, равно W = {L-a-b \ over2} (w_1 + w_2), где L — длина балки, а a, b — длины без нагрузки с левой и правой стороны балки соответственно.

Значения w_1 и w_2 могут быть присвоены произвольно. Первое не обязательно должно быть меньше второго. Они могут принимать даже отрицательные значения (одно или оба).

Это самый общий случай. Формулы для частично распределенных равномерных и треугольных нагрузок можно получить, соответствующим образом задав значения w_1 и w_2.Кроме того, соответствующие случаи для полностью нагруженного пролета можно получить, установив a и b равными нулю. 2} {6} &, a {<} x {<} Lb \\ & 0 &, x \ ge Lb \ end {align} \ right.3} {24EI} &, a {<} x {<} L-b \\ & \ theta_B &, x \ ge L-b \ end {align} \ right.

где:

x_a = xa

L_w = Lab

L_1 = L + ab

L_b = Lb
w_ {m} = {w_1 + w_2 \ over2}

w_x = w_1 + { -w_1) \ over L_w} (xa)

Статьи по теме

Понравилась эта страница? Поделись с друзьями!

Калькулятор прогиба консольной балки

Калькулятор прогиба консольной балки для определения сил, моментов, напряжений, прогибов и уклонов консольной балки для множественных точечных нагрузок, распределенных нагрузок и сосредоточенных моментов.

Примечание. Используйте точку «.» как десятичный разделитель.

Примечание *: P имеет положительное значение в направлении вниз, как показано на рисунке, и отрицательное значение. в восходящем направлении. M положительно по часовой стрелке, как показано на фигура. w _a и w _b положительны в направлении вниз, как показано на рисунке, и отрицательны. в восходящем направлении.

Примечание **: Второй момент расчета площади несущих балок см. На странице » Калькуляторы сечений ».

ВХОДНАЯ НАГРУЗКА НА КОНСОЛЬНУЮ БАЛКУ

ТОЧЕЧНЫЕ НАГРУЗКИ

КОНЦЕНТРИРОВАННЫЕ МОМЕНТЫ

РАСПРЕДЕЛЕННЫЕ НАГРУЗКИ

РЕЗУЛЬТАТЫ
Param.	Значение
Сила реакции 1 [R 1 ]	—	NkNlbf
Сила реакции 2 [R 2 ]	—
Поперечное поперечное усилие на расстоянии x [V x ]	—
Максимальное поперечное усилие сдвига [V max ]	—
Момент реакции 1 [M 1 ]	—	Н * мкН * млбф ​​* дюйм-фунт-сила * фут
Момент реакции 2 [M 2 ]	—
Момент на расстоянии x [M x ]	—
Максимальный момент [M max ]	—
Наклон 1 [θ 1 ]	—	радианградус arcminarcsec
Наклон 2 [θ 2 ]	—
Наклон на расстоянии x [θ x ]	—
Максимальный наклон [θ макс ]	—
Концевой прогиб 1 [y 1 ]	—	ммминчфт
Концевой прогиб 2 [y 2 ]	—
Прогиб на расстоянии x [y x ]	—
Максимальный прогиб [y max ]	—
Напряжение изгиба на расстоянии x [σ x ]	—	МПапсикси
Максимальное напряжение изгиба [σ макс ]	—

Примечание *: R ₁ и R ₂ — это вертикальные концевые реакции слева и справа, соответственно, и положительные вверх.Сдвиговые силы и прогибы положительны в направлении вверх и отрицательны. в нисходящем направлении. M ₁ и M ₂ — конечные моменты реакции слева и справа соответственно. Все моменты положительны при создании сжатия на верхней части поперечины балки. раздел. Все наклоны положительные, когда вверх и вправо.

Примечание. Напряжения — это положительные числа, и это величины напряжений в луч.Он не делает различий между растяжением и сжатием конструкции. луч. Это различие зависит от того, с какой стороны нейтральной плоскости луча вход соответствует.

Наклон

Отклонение

Момент

Усилие сдвига

Распределенная нагрузка: Нагрузка, которая действует равномерно на элемент конструкции или на поверхность, которая поддерживает нагрузку.

Фиксированная опора: Фиксированная опора может выдерживать вертикальные и горизонтальные силы, а также момент. Поскольку они ограничивают как вращение, так и поступательное движение, их также называют жесткими опорами.

Штифтовая опора: Штифтовая опора сопротивляется как вертикальным, так и горизонтальным силам, но не моменту. Они позволят элементу конструкции вращаться, но не перемещаться в любом направлении. Штифтовое соединение могло допускать вращение только в одном направлении; обеспечение сопротивления вращению в любом другом направлении.

Роликовая опора: Роликовые опоры могут свободно вращаться и перемещаться вдоль поверхности, на которую опирается валик. Результирующая сила реакции всегда представляет собой единую силу, перпендикулярную поверхности. Роликовые опоры обычно расположены на одном конце длинных перемычек, чтобы обеспечить расширение и сжатие конструкции из-за изменений температуры.

Консольная балка: Консольная балка — это балка, закрепленная только на одном конце.

Конструкционная балка: Конструктивный элемент, выдерживающий нагрузки и моменты. Общие формы: прямоугольные сечения, двутавры, широкие полки и швеллеры.

9.1 Проблема отклонения кантилевера

9.1 Проблема отклонения кантилевера
Далее: 9.2 Источники внутренних Up: 9. Влияние внутреннего напряжения Предыдущее: 9. Влияние внутренних напряжений

Подразделы

---

Постоянной задачей для инженеров MEMS является изготовление отдельно стоящего кантилевера без какого-либо нежелательного отклонения, но на практике тонкие пленки не могут быть нанесены без напряжения.Эти эффекты напряжения в отдельно стоящих структурах MEMS могут быть наиболее убедительно продемонстрированы с помощью проблемы отклонения кантилевера. Такой прогиб изготовленной консоли длиной 400 м и толщиной 10 м показан на рис. 9.1.

Рисунок 9.1: Прогиб консоли. Предоставлено IMEC / Грегори ван Барел.

На рис. 9.2 показана схематическая структура отдельно стоящего кантилевера, где структурный слой SiGe нанесен на временный слой SiO.В этом случае предполагается, что в пленке SiGe не существует градиента напряжений, и поэтому деформация освобожденного кантилевера не происходит после удаления нижележащего жертвенного материала травлением.

Рисунок 9.2: Конструкция отдельно стоящей консоли без градиента напряжений.

Обычно структурный слой не осаждается без напряжений, и поэтому изгиб освобожденного кантилевера зависит от распределения напряжения по толщине слоя перед снятием.В этом контексте только напряжение выше и ниже нейтральной линии изгиба отвечает за направление отклонения, поскольку напряжение вызывает силы, которые приводят к изгибающим моментам относительно нейтральной линии изгиба. Если сумма моментов под нейтральной линией изгиба больше, чем указанная выше, то прогиб идет вверх, в противном случае — вниз. Нейтральная линия изгиба всегда находится посередине кантилевера и, следовательно, ее положение меняется с толщиной слоя.

Для предполагаемого линейного градиента напряжения по толщине и прямоугольной площади поперечного сечения балки с шириной и толщиной отклонение кантилевера в положении

(9.1)

где — модуль Юнга, это изгибающий момент и момент инерции. Из (9.1) видно, что при постоянном прогибе на конце кантилевера (=) увеличивается квадратично с увеличением длины, поэтому .

На рис. 9.3 показаны три возможные формы распределения напряжений и градиентов в фиксированной консоли слева и соответствующее направление прогиба справа.

Рисунок 9.3: Различные распределения и градиенты напряжений в фиксированной консоли и их соответствующие отклонения после отпускания.

В первой ситуации с положительным градиентом напряжения (рис. 9.3a) часть балки над нейтральной линией изгиба находится в растянутом состоянии, а часть под ней находится в преобладающем сжимаемом состоянии.Напряжение сжатия в теле указывает на то, что материал хочет расширяться, но это расширение предотвращается. В обычных декларациях напряжение сжатия всегда имеет отрицательный знак, поэтому давление может быть положительным, как указано в (7.15). Следовательно, после освобождения балки верхняя растягивающая часть может сжиматься, а сжимающая — расширяться, и, следовательно, понятно, что прогиб может идти только вверх.

Следующий случай на рис. 9.3b демонстрирует, что для прогиба не обязательно иметь напряжения противоположного знака по обе стороны от нейтральной линии изгиба.Здесь все напряжения носят сжимающий характер, но из-за положительного градиента напряжений значения сжимающих напряжений и моментов ниже нейтральной линии изгиба больше, чем выше. Следовательно, также наблюдается отклонение в направлении вверх. В отличие от предыдущих конфигураций градиент напряжений в последнем случае (см. Рис. 9.3c) отрицательный. Эта ситуация обратна первой, потому что есть верхняя сжимающая часть и нижняя растягивающая часть. Вследствие этого отклонение кантилевера уменьшается после отпускания.

В качестве примера для положительного градиента напряжения в тонких пленках (см. Рис. 9.3a), где предполагалось только растягивающее напряжение, было смоделировано распределение напряжений для консольной конструкции длиной 1 мм и толщиной 10 м. Пока кантилевер прикреплен к нижележащему слою SiO, осажденная пленка SiGe находится под напряжением, и кантилевер не может деформироваться. Из-за положительного градиента напряжения наибольшее растягивающее напряжение, отмеченное красным цветом, находится в верхней части фиксированной консоли, как показано на рис.9.4а. После удаления жертвенного слоя SiO путем травления пучок SiGe остается свободно стоящим. Теперь кантилевер может деформироваться, и напряжение ослаблено, как показано на рис. 9.4b. Собственное напряжение в осажденном слое SiGe является движущей силой отклонения кантилевера. Как указано в следующем разделе 9.2, существует ряд внутренних источников напряжения.

Рисунок 9.4: Распределение напряжений для фиксированного а) и освобожденного б) кантилевера длиной 1 мм. Красным цветом выделены участки с высокой нагрузкой.

---

Далее: 9.2 Источники внутренних Up: 9. Влияние внутреннего напряжения Предыдущее: 9. Влияние внутренних напряжений

---

гл. Холлауэр: моделирование термического окисления и стрессовых эффектов

(PDF) Большой и малый прогиб консольной балки

БЕЛЕНДЕС, Тарсичо; NEIPP, Кристиан; БЕЛЕНДЕС, Аугусто. «Большие и малые прогибы консольной балки».

Европейский журнал физики.Vol. 23, № 3 (май 2002 г.). ISSN 0143-0807, стр. 371-379

DOI: 10.1088 / 0143-0807 / 23/3/317

3

1.- Введение

В этой статье мы проанализируем пример простой физической системы,

прогибов консольной балки. Мы увидим, что не сложно сформулировать

уравнений, управляющих его поведением, или изучить его в физической лаборатории на университетском уровне

. Однако также получается дифференциальное уравнение с нелинейным членом

.Более того — как это происходит с простым маятником для малых колебаний — [1]

, когда учитываются небольшие отклонения консольной балки, можно найти простое аналитическое решение

проблемы. В этом смысле исследование больших и малых

прогибов консольной балки представляет собой определенную аналогию с исследованием больших и

малых колебаний простого маятника.

Математическая обработка равновесия консольных балок

не вызывает больших трудностей [2-4].Тем не менее, если не рассматриваются небольшие отклонения,

аналитического решения не существует, поскольку для больших отклонений необходимо решить дифференциальное уравнение

с нелинейным членом. Говорят, что проблема связана с геометрической нелинейностью

[5, 6]. Превосходное решение проблемы отклонения балки,

, построенное на одном конце и нагруженное на другом вертикальной сосредоточенной силой, может быть также найдено в «Лекциях Фейнмана по физике» [2]. как и в другом университете

учебников по физике, механике и элементарному сопротивлению материалов.Однако в

этих книгах обсуждение ограничивается рассмотрением небольших прогибов, и в них

представлена ​​формула для вертикального прогиба конца, свободного от консольной балки,

показывает соотношение пропорциональности между этим прогибом и внешним приложена сила

[2, 4]. Анализ больших прогибов этих типов консольных балок из упругого материала

можно найти в книге Ландау по упругости [5], а решение в терминах эллиптических интегралов

было получено Бисшоппом и Друкером [7].Тем не менее,

разработок, представленных в этих последних ссылках, трудны для

студентов первого курса университета.