Пример расчета стропильной фермы — Подбор сечений элементов ферм — Фермы
8 февраля 2012Пример. Расчет стропильной фермы. Требуется рассчитать и подобрать сечения элементов стропильной фермы промышленного здания. На ферме посередине пролета расположен фонарь высотой 4 м.
Пролет фермы L = 24 м; расстояние между фермами b = 6 м; панель фермы d = 3 м. Кровля теплая по крупнопанельным железобетонным плитам размером 6 X 1,6 м. Снеговой район III. Материал фермы сталь марки Ст. 3. Коэффициент условий работы для сжатых элементов фермы m = 0,95, для растянутых m = 1.
1) Расчетные нагрузки. Определение расчетных нагрузок приведено в таблице.
Таблица Определение расчетных нагрузок.
Таблица Расчет узловых нагрузок.
Собственный вес стальных конструкций ориентировочно принят в соответствии с таблицей Ориентировочные веса стального каркаса промышленных зданий в кг на 1м2 здания: фермы — 25 кг/м2, фонарь — 10 кг/м2, связи — 2 кг/м
Снеговая нагрузка для III района 100 кг/м2; нагрузка от снега вне фонаря вследствие возможных заносов принята с коэффициентом с = 1,4 (смотрите Требования, предъявляемые к стальным конструкциям).
Суммарная расчетная равномерно распределенная нагрузка:
на фонаре q1 = 350 + 140 = 490 кг/м2;
на ферме q2 = 350 + 200 = 550 кг/м2.
2) Узловые нагрузки. Вычисление узловых нагрузок приведено в таблице.
Узловые нагрузки Р1, Р2, Р3 и Р4 получены как произведение из равномерно распределенной нагрузки на соответствующие грузовые площади. К нагрузке Р
Местная нагрузка Рм, показанная пунктиром на фигуре, возникает вследствие опирания железобетонных плит шириной 1,5 м в середине панели и вызывает изгиб верхнего пояса. Ее величина уже учтена при вычислении узловых нагрузок Р1 — Р4.
К примеру расчета стропильной фермы
3) Определение усилий. Определение усилий в элементах фермы производим графическим путем, строя диаграмму Кремоны-Максвелла. Найденные величины расчетных усилий записываем в таблице. Верхний пояс подвергается, кроме сжатия, также и местному изгибу.
Таблица Даннные для расчета.
Примечание. Расчетные напряжения в сжатых элементах фермы определены с учетом коэффициента условий работы (m — 0,95) с целью сопоставления во всех случаях с расчетным сопротивлением.
Момент от местной нагрузки равен (смотрите Определение усилий в элементах ферм):
в первой панели
во второй панели
4) Подбор сечений. Подбор сечений начинаем с самого нагруженного элемента верхнего пояса, имеющего N = — 68,4 т и М2 = 3,3 тм. Намечаем сечение из двух равнобоких уголков 150 X 14, для которого по таблицам сортамента находим геометрические характеристики: F = 2 * 40,4 = 80,8 см
Гибкость: λх = lx/rx = 300/4,6 = 65; λy = 150/6,6 = 23. По табл. 1 приложения II находим: φх = 0,83; φу = 0,96. Эксцентриситет е = 330mсм/68,4m = 4,84см. Расчетный эксцентриситет (смотрите формулу (18.II))
Здесь коэффициент η = 1,3 взят по табл. 4 приложения II. Так как е1 < 4, то проверку сечения производим по формуле (17. II), определив предварительно φ
Проверка напряжения
Проверку напряжения в плоскости, перпендикулярной плоскости действия момента, производим но формуле (28.VIII), для чего предварительно определяем коэффициент с по формуле (29.VIII)
Напряжение
Производим для подобранного сечения проверку элемента верхнего пояса В4. Усилие в элементе N = — 72,5 т, изгибающий момент отсутствует. Сечение из двух уголков 150 X 14. Гибкость
Коэффициенты:
Напряжение
Сохраняем принятое сечение пояса по конструктивным соображениям. Первая панель верхнего пояса подвергается только местному изгибу, вследствие чего сечение ее не должно определять выбора профилей уголков пояса, предназначенных в основном для работы на сжатие.
Поэтому, оставляя в первой панели те же два уголка 150 X 14, усилием их вертикальным листом 200 X 12, расположенным между уголками, и проверяем полученное сечение на изгиб.
Определяем положение центра тяжести сечения:
где z0 и zл — расстояния до центров тяжести уголков и листа от верхней, кромки уголков;
Момент инерции
Момент сопротивления
Наибольшее растягивающее напряжение
Расчетные данные подобранного сечения верхнего пояса вписываем в таблице выше.
Далее подбираем сечение нижнего пояса из уголков 130 X 90 X 8 и определяем расчетное напряжение
После этого устанавливаем минимальные уголки для средних наименее нагруженных раскосов; для сжатого элемента Д3 эти уголки определяются требованиями предельной гибкости (для раскосов λпр = 150, смотрите таблицу Предельная гибкость λ сжатых и растянутых элементов).
Для этого находим необходимые минимальные радиусы инерции (учитывая, что lx = 0,8l):
Равнобокие уголки, наиболее соответствующие полученным радиусам инерции, определяем по табл. 1 приложения III. Можно также использовать, данные табл. 32 для равнобоких уголков:
Этим данным наиболее близко отвечают уголки 75 X 6, имеющие rx = 2,31 см и ry — 3,52 см.
Соответственные значения гибкости будут равны:
Эти уголки и приняты для средних раскосов фермы и занесены в таблице выше. Хотя раскос Д4 растянут, но, как указывалось выше, в результате возможной несимметричной нагрузки средние раскосы могут испытывать незначительное сжатие, т. е. изменить знак усилия. Поэтому они всегда проверяются на предельную гибкость.
Первый раскос имеет большое усилие, но меньше, чем нижний пояс; однако вследствие того, что он сжат, профиль нижнего пояса из уголков 130 X 90 X 8 для него недостаточен. Приходится вводить еще один, четвертый, профиль — уголок 150 X 100 X 10.
Наконец, для растянутого раскоса Д2 получаются уголки 65 X 6. Эти же уголки используем для стоек (чтобы не вводить нового профиля). Проверка напряжений, приведенная в таблице выше, показывает, что отсутствуют как перенапряжения в элементах ферм, так и превышения предельных гибкостей.
«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов
При подборе сечений элементов ферм необходимо стремиться к возможно меньшему числу различных номеров и калибров уголковых профилей в целях упрощения прокатки и удешевления транспортировки металла (поскольку прокатка на заводах специализирована по профилям). Обычно удается рационально подобрать сечения элементов стропильных ферм, применяя уголки в пределах 5 — 6 различных калибров сортамента. Подбор сечений начинается со сжатого…
В критическом состоянии потеря устойчивости сжатого стержня возможна в любом направлении. Рассмотрим два главных направления — в плоскости фермы и из плоскости фермы. Возможная деформация верхнего пояса фермы при потере устойчивости в плоскости фермы может произойти так, как показано на фигуре, а, т. е. между узлами фермы. Такая форма деформации соответствует основному случаю продольного изгиба…
Выбор типа уголков для верхнего сжатого пояса стропильных ферм производится с учетом минимального расхода металла, обеспечения равноустойчивости пояса во всех направлениях, а также создания необходимой для удобства транспортировки и монтажа жесткости из плоскости фермы. Так как расчетные длины пояса в плоскости и из плоскости фермы во многих случаях значительно отличаются друг от друга (lу =…
www.ktovdome.ru
Расчет прямоугольной фермы — Доктор Лом. Первая помощь при ремонте
Рисунок 293.1. Общая предварительная схема арочной галереи.
В целом, если изготовление ферм планируется из одного-двух типоразмеров профиля, то расчет такой прямоугольной фермы много времени не займет.
Сосредоточенными нагрузками для данных прямоугольных ферм будут опорные реакции для рассчитывавшихся ранее арочных ферм. Эти нагрузки Q будут приложены в узлах фермы, как показано на рисунке 554.1.б). Общая геометрия фермы показана на рисунке 554.1.а):
Рисунок 554.1. Общая геометрия и расчетные схемы для прямоугольной фермы.
Для упрощения расчетов длины всех пролетов между узлами в верхнем поясе приняты одинаковыми.
Определение усилий в стержнях фермы
Расчет ферм будет производиться методом сечений, основные положения которого изложены отдельно.
Когда мы рассчитывали арочные фермы, то выяснили, что опорные реакции у этих ферм могут быть разными в зависимости от рассматриваемого варианта снеговой нагрузки. Для дальнейших расчетов примем максимально возможное значение опорных реакций, тогда нагрузки на ферму от арочных ферм будут Q = 796.1 кг.
Кроме того на ферму будет действовать равномерно распределенная нагрузка от собственного веса фермы, к тому же изначально нам не известная, а это означает, что ферму следует дополнительно рассчитать на эту нагрузку. Однако с учетом того, что собственный вес фермы будет относительно небольшой, то для упрощения расчетов эту распределенную нагрузку от собственного веса можно условно привести к сосредоточенным в узлах фермы. Например, если ферма будет весить около 28 кг, то дополнительные сосредоточенные нагрузки составят 28/7 = 4 кг, тогда расчетные нагрузки составят:
Q = 796.1 + 4 ≈ 800 кг
Так как у нас симметричная ферма, к которой одинаковые нагрузки также приложены симметрично, то опорные реакции будут равны между собой и составят:
VA = VB = 7Q/2 = 7·800/2 = 2800 кгс
Значение горизонтальной составляющей опорной реакции на опоре А будет равно нулю, так как горизонтальных нагрузок в нашей расчетной схеме нет, поэтому горизонтальная составляющая реакции на опоре А показана на рисунке 554.1.в) бледно фиолетовым цветом.
Также на рисунке 554.1.в) показаны сечения, по которым можно рассчитать усилия во всех стержнях фермы с учетом симметричности фермы и нагрузок. Далее будет рассматриваться расчет только по 4 сечениям.
Маркировка, показанная на рисунке 554.1.г) означает, что у фермы есть:
Стержни нижнего пояса: 1-а, 1-в, 1-д, 1-ж;
Стержни верхнего пояса: 3-б, 3-г, 3-е;
Стойка: 2-а;
Раскосы: а-б, б-в, в-г, г-д, д-е, е-ж.
При необходимости для маркировки стержней, симметричных указанным, можно использовать апостроф ‘.
Если стоит задача рассчитать все стержни фермы, то лучше составить таблицу, в которую вносятся все стержни фермы. Затем в эту таблицу будут внесены результаты расчетов, в частности значения сжимающих или растягивающих напряжений.
Во всех сечениях, показанных на рисунке 554.1, силы N направлены так, что вызывают растяжения в рассматриваемых стержнях. Если по результатам расчетов усилие в рассматриваемом стержне будет отрицательным, то это означает, что в этом стержне будут действовать сжимающие нормальные напряжения.
Приступим к рассмотрению сечений.
сечение II-II (рис. 554.1.е)
Составим уравнение моментов относительно узла 3, это позволит определить усилие в стержне 3-б:
М3 = VAl — Ql + N3-бh = 0;
N3-бh =Ql — VAl;
где l — плечо действия силы Q и опорной реакции VA, равное расстоянию от узла 1 до узла 3 по горизонтали, согласно принятой нами расчетной схемы l = 0.525 м; h — плечо действия силы N3-a, равное высоте фермы, в данном случае h = 0.4м. Это означает, что в действительности общая высота фермы с учетом сечений верхнего и нижнего пояса будет немного больше, так как в данном случае высота — это расстояние между нейтральными осями верхнего и нижнего поясов.
Тогда:
N3-б =(Ql — VAl)/h = ((800 — 2800)0.525)/0.4 = — 2625 кг
Чтобы определить напряжения в стержне а-б составим уравнение моментов относительно узла 1:
М1 = Nа-бh’ + N3-бh = 0;
Na-б = 2625·0.4/0.318 = 3300.4 кг
В данном случае h’ — плечо приложения силы Nа-б — это высота прямоугольного треугольника. Плечо было определено следующим образом, сначала вычисляется значение угла а между стержнями 1-а и а-б.
tga = 0.4/0.525 = 0.762
где 0.4 и 0.525 — длины стержней — катетов прямоугольного треугольника.
a = 37.3°
тогда
h’ = 0.525sina = 0.525·0.606 = 0.318 м
Усилия в стержне 1-а будут равны нулю, в чем легко убедиться,составив уравнение моментов относительно узла 2:
М2 =- N1-а·0.4 = 0;
Проверим правильность вычислений, составив уравнения проекций сил на основные оси:
ΣQy = — Q1 +VA — Na-бsin37.3о = -800 +2800 — 3300.4·0.606 = 0.004 кг
ΣQx = N3-б + Na-бсos37.3o = -2625 + 3300.4·0.795 = 0.38 кг
Небольшая погрешность в вычислениях набежала из-за того, что вычисления ведутся с точностью до одного знака после запятой, а в значениях тригонометрических функций указываются только 3-4 знака после запятой. Но в данном случае большая точность и не нужна. В целом при таких нагрузках, на погрешность до 1 кг можно не обращать внимания.
сечение VII-VII (рис. 554.1.д)
Для определения усилий в стержне 1-ж составим уравнение моментов относительно узла 8:
М8 = -Q(1.05 + 2.1 + 3.15) + 3.15VA — 0.4N1-ж = 0;
N1-ж = (-6.3·800 + 3.15·2800)/0.4 = 9450 кг
Для определения усилий в стержне 3-е составим уравнение моментов относительно узла 7:
М7 = -Q(0.525 + 1.575 + 2.625) + 2.625VA + 0.4N3-е = 0;
N3-е = (800·4.725 — 2800·2.625)/0.4 = — 8925 кг (работает на сжатие)
Для определения усилий в стержне е-ж составим уравнение моментов относительно узла 9:
М9 = -Q(1.575 + 2.625 + 3.675) + 3.675VA + 0.4N3-е + 0.636Nе-ж = 0;
Nе-ж = (800·7.875 — 2800·3.675 + 0.4·8925)/0.6363 = — 660 кг
Проверим правильность расчетов
ΣQх = N3-е + N1-ж + Nе-жcos37.3° =- 8925 + 9450 — 660·0.7955 = 0.012 кг
Для лучшего представления общей картины проверим еще пару сечений
сечение VI-VI (рис. 554.1.ж)
Для определения усилий в стержне 1-д составим уравнение моментов относительно узла 6:
М6 = -Q(1.05 + 2.1)+ 2.1VA — 0.4N1-д = 0;
N1-д = (- 3.15·800 + 2.1·2800)/0.4 = 8400 кг
Для определения усилий в стержне д-е составим уравнение моментов относительно узла 5:
М5 = 1.575(-Q + VA)+ 0.4N3-е + 0.6363Nд-е = 0;
Nд-е = (1.575(800 — 2800) + 0.4·8925)/0.6363 = 660 кг
Проверим правильность расчетов, определив проекции сил на ось х:
ΣQx = N3-е + N1-ж + Nд-еcos37.3° = -8925 + 8400 + 660·0.7955 = 0.06 кг;
сечение III-III
Усилия в стержне 3-б нам уже известны, поэтому для определения усилий в стержне б-в составим уравнение моментов относительно узла 5:
М5 = -1.575Q + 1.575VA — 0.4N3-б + 0.6363Nб-в = 0;
Nб-в = (1.575(800 — 2800) + 0.4·2625)/0.6363 = -3300.4 кг
Усилие в стержне 1-в будет явно значительно меньше, чем в стержне 1-ж и потому в данном случае оно нас не интересует, так как мы планируем делать нижний пояс из трубы одного сечения. А чтобы определить правильность расчетов в данном случае определим проекции сил на ось у:
ΣQy = — Q1 +VA + Nб-вsin37.3о = -800 +2800 — 3300.4·0.606 = 0.04 кг
Теперь у нас есть все основные данные для дальнейшего расчета
Подбор сечения
На первый взгляд самым загруженным является стержень нижнего пояса 1-ж, на который действует продольная растягивающая сила N1-ж = 9450 кг. Однако напряжения в сжатом стержне 3-е в результате продольного изгиба могут быть даже больше, поэтому в первую очередь проверим прочность именно этого стержня по следующей формуле:
σ = N/φF ≤ R
где φ — коэффициент продольного изгиба, F — площадь сечения профиля, см, R — расчетное сопротивление материала профиля. Если расчетное сопротивление стали зараннее не известно, то для надежности рекомендуется принимать одно из минимальных R = 2300 кг/см2.
Расчет сжатых стержней ничем не отличается от расчета колонн, поэтому далее приводятся только основные этапы расчета без подробных пояснений.
по таблице 1 (см. ссылку выше) определяем значение μ = 1, это значение будет наиболее оптимальным с учетом рекомендаций нормативных документов, в частности СНиП II-23-81*(1990) «Стальные конструкции», а также того, что основные нагрузки к ферме приложены именно в узлах.
Предварительно определим площадь сечения профиля. Для растянутого стержня 1-ж эта площадь составит:
F = N/R = 9450/2300 = 4.11 см2
По сортаменту для прямоугольных профильных труб этому требованию удовлетворяет труба сечением 50х30х3 мм, площадь сечения такой трубы составит F = 4.21 см2, минимальный радиус инерции i = 1.16 см. Проверим, подходит ли эта труба для сжатого верхнего пояса фермы, так как делать пояса из труб разного сечения — дополнительное усложнение технологии, мало оправданное при таких малых объемах работ, всего-то нужно сделать 2 фермы.
При радиусе инерции i = 1.14 см, значение коэффициента гибкости составит
λ = μl/i = 1·105/1.16 = 90.5 ≈ 90
тогда по таблице 2 коэффициент изгиба φ = 0.629 (определяется интерполяцией значений 2050 и 2450)
8925/(0.629·4.21) = 3368 кгс/см2 >> R = 2300 кгс/см2;
Как видим, такое значение напряжений значительно больше допустимого. Если для изготовления поясов использовать трубу 50х40х3 мм, имеющую площадь сечения 4.81 см и минимальный радиус инерции i = 1.54 см, то результат расчетов будет следующим:
λ = 1·105/1.54 = 68.2 ≈ 68
φ = 0.77
8925/(0.77·4.81) = 2409 кгс/см2 > R = 2300 кгс/см2;
Как видим и такой трубы для обеспечения прочности не достаточно. Ну а дальше возможны разные варианты, можно для изготовления поясов использовать трубу 50х40х3.5 мм с площадью сечения 5.49 см2, которая явно обеспечит требуемый запас прочности, можно рассматривать и другие варианты, но мы остановимся на этом.
Теперь нужно проверить максимально допустимую гибкость для растянутого пояса из плоскости фермы. Согласно СНиП II-23-81* «Стальные конструкции» эта гибкость для растянутых элементов ферм не должна превышать 400. Соответственно трубы при изготовлении нужно располагать так, чтобы 50 — это была ширина трубы, а не высота, тогда при радиусе i = 1.81 см гибкость нижнего пояса составит:
λ = 1·630/1.81 = 348
Это требование нами соблюдено, можно переходить к расчету раскосов и стоек. Наиболее нагруженным раскосом будет сжатый стержень б-в. Его расчетная длина составит:
l = 0.525/cos37.3° = 0,525/0.7954 = 0.66 м или 66 см
Для соседнего растянутого раскоса, при заданном расчетном сопротивлении для обеспечения прочности потребуется труба сечением не менее
F = N/R = 3300.4/2300 = 1.43 см2
Для сжатого раскоса с учетом возможного продольного изгиба сечение должно быть больше, насколько именно — неизвестно, но мы теперь ученые и потому сразу примем трубу с хорошим запасом по площади сечения.
Для начала проверим квадратную трубу 25х25х2.5 мм, имеющую сечение 2.14 см2, радиус инерции i = (1.77/2.14)1/2 = 0.91 см. Тогда:
λ = 1·66/0.91 = 72.6
φ = 0.74
3300.4/(0.74·2.14) = 2084 кгс/см2 < R = 2300 кгс/см2;
Данная труба удовлетворяет требованиям и даже с некоторым запасом. Осталось выяснить какова будет примерно общая масса фермы:
m = 1.41(0.66·12 + 0.4·2) + 4.31·6.3·2 = 66.6 кг
Это в 2 раза больше, чем мы предположили вначале, но в целом общее увеличение нагрузки с учетом собственного веса фермы будет очень незначительным, около 0.6%.
Тем не менее поиск оптимального варианта можно продолжать, в данной статье остановимся на том, что есть.
Все необходимые условия по прочности и устойчивости нами соблюдены, но при этом никто не запрещает использовать для изготовления ферм профили большего сечения.
Осталось рассчитать длины и катеты сварных швов, но это уже отдельная тема.
doctorlom.com
Ответ, казалось бы, простой — неспециалисту следует заказать расчет у специалиста и за этот расчет должным образом заплатить. Но тут могут появиться другие проблемы. Во-первых, стоимость такого расчета может показаться человеку слишком высокой, такое часто бывает, когда человек покупает достаточно редкий товар, который он сам лично никогда не производил. Во-вторых, бывают обстоятельства, когда нет возможности заказать расчет, а делать фермы надо. Мой совет: конечно же обратиться к специалистуПричем совет этот может оказаться полезным в любой подобной ситуации. Приведу пример. Есть у меня один знакомый, веселый рыжий парень с рожей карибского пирата, какими их вырезают умельцы на Кубе из кокосовых орехов. Так вот Рыжий в перестроечные времена возил с женой из Москвы шнуры для радиоаппаратуры, видеокассеты и прочую мелочевку, на которую был спрос на рынках в те времена. Такая нехитрая коммерческая микросхема позволила рыжему семейству (жена у него тоже как ни странно была рыжая), обзавестись парой квартир, возможно поэтому Рыжий считает себя крупным специалистом в области радиоэлектроники, а может потому, что у Рыжего прямой контакт с богом и даже место по правую руку Христа уже уготовано и происходит он из рода выдающихся богомольцев (по его словам), точно не знаю, но прямого отношения к делу это не имеет. С женой Рыжий давно развелся, но поддерживает приятельские отношения. Лет 8-10 назад у жены Рыжего сгорел то ли подстрочный то ли подстроечный трансформатор в здоровом турецком телевизоре довольно редкой модели. Казалось бы, алгоритм действий в таких случаях достаточно прост: нужно отвезти телевизор в ремонтную мастерскую, а через неделю-две забрать его обратно, ну или вызвать мастера на дом, всего и делов то. Но Рыжий парень не таковский. Живет он на ренту со сдаваемой квартиры, работает редко, потому как от него требуют на разных работах ответственности, внимательности, аккуратности, инициативности и прочих странных вещей, плохо совместимых с малой зарплатой и служением господу. Поэтому времени, не занятого молитвами или очередным поиском работы, у Рыжего достаточно и он взялся лично отремонтировать телевизор. Именно поэтому с проблемой замены подстроечного трансформатора достаточно плотно познакомился не только сам Рыжий, но и все его знакомые, у которых в те времена был интернет и даже я, интернет дома не державший. Причем знакомство это продолжалось около года, может и больше, сейчас точно не помню. Но причину крушения лодки рыжего семейства я начал приблизительно понимать. На радиорынке точная копия подстрочного трансформатора не продавалась, а подобрать соответствующий по параметрам — не занятие для Рыжего, он задумал найти нужную модель через интернет. В силу своей чрезмерной набожности, а может по другим причинам Рыжий очень уважал интернет. Возможно сама возможность вбить в поисковую строку любой вопрос и достаточно быстро получить ответ его восхищала, а то, что количество ответов может измеряться миллионами и даже среди этих миллионов нужного ответа нет, заботило Рыжего мало, впрочем, для человека у которого впереди вечность — это, действительно не проблема, спешить особенно некуда. Вот только английский язык Рыжий знал еще хуже, чем радиоэлектронику, а искать приходилось в основном на англоязычных сайтах, потому один-два раза в месяц Рыжий заходил ко мне в гости: похвалить жену, покрестить чашку со свежезаваренным чаем, рассказать горячие новости про господа, чтобы затем вытащить меня в ближайший интернет-клуб. Так вот, по дороге в клуб я много раз предлагал Рыжему обратиться к специалисту и для того приводил другие наглядные примеры и даже из его любимой библии, но Рыжий твердо мнил себя горшком, слепленным господом для поисков подстроечного трансформатора, и доводам разума оставался не доступен. Мы набивали флешку любой информацией, которая по мнению Рыжего могла иметь отношение к подстрочным трансформаторам и на том расходились. Впрочем я отделался малой кровью, обладателям принтера приходилось весь этот бред распечатывать для лучшего усвоения рыжей головой. Чем точно закончилась эта история я не знаю, полагаю, что бывшая жена Рыжего просто выкинула поломанный телевизор и купила себе новый, а на деньги, потраченные Рыжим на поиски подстрочного трансформатора можно было купить не только новый трансформатор, но, может быть и новый телевизор. Тем не менее проблема была решена и сейчас рыжий парень, совсем не такой веселый, как прежде, заходит в гости намного реже. А может еще и потому, что интернет-соединение есть теперь везде включая парки и фонарные столбы… Нет, это не очень удачный пример, лучше приведу другой простой и наглядный (правда, в случае с Рыжим этот пример, как впрочем и множество других, не помог, но все-таки): Есть такая байка. Попали как-то в яму медведь олень и волк. Яма глубокая, три дня пытались выбраться, так и не смогли, устали, изголодались. Тут волк говорит: «Плохо дело, сдохнем здесь с голоду, а не хотелось бы». «Мужики», — говорит олень, — «все понимаю, без вопросов, ешьте меня, чего уж там. Вот только просьба у меня к вам. Я когда маленький был, мне мать на огузке под хвостом наколку сделала и сказала, запомни сынок, как будет в твоей жизни трудная минута, так ты прочитай, что на наколке написано, может эта наколка жизнь тебе спасет… И вот, чувствую пришло время наколку прочитать, да как это сделать не знаю, под хвост-то себе заглянуть не могу». «Не дрефь мужик, ща прочитаем!» — отвечает волк и вместе с медведем заходит сзади оленя. Но только они наклонились, чтобы прочитать наколку, как получили копытом в лоб. Летит медведь от удара в противоположный конец ямы и думает: «Я то чего полез? Я ж читать не умею!» Впрочем, если вы набрели на эту статью из поисковика и не просто умеете читать, но даже знакомы с основными формулами сопромата настолько, что сможете рассчитать простую балку, то больше отвлекать вас не буду. Итак. Расчет плоской, статически определимой фермы не так уж сложен, как это может показаться при взгляде на конструкцию, состоящую из большого количества стержней, да еще и различного сечения. И если есть способности рассчитать горизонтально лежащую балку сплошного постоянного сечения на шарнирных опорах, то и с расчетом ферм больших проблем не будет. Дело в том, что никакого принципиального отличия между балкой и фермой нет. Балка с точки зрения строительной механики рассматривается, как некий стержень на соответствующих опорах. При этом балка может быть как прямолинейной, так и любой другой формы, может иметь постоянное и изменяющееся по длине сечение, может быть сплошного и сквозного сечения. Таким образом любую плоскую ферму можно рассматривать как балку сквозного сечения, причем сечение такой балки может быть как постоянным — фермы с параллельными поясами, так и изменяющимся по длине — все остальные фермы. Как и балки фермы могут быть, условно говоря, прямолинейными и не прямолинейными. При расчете нормальных и касательных напряжений в поперечных сечениях большинства балок высота поперечного сечения как правило не учитывается. Балка рассматривается как некий стержень высота поперечного сечения которого пренебрежимо мала по сравнению с длиной. Это позволяет определять параметры поперечного сечения на последней стадии расчетов. Однако для определения напряжений в отдельных стержнях ферм таких расчетных предпосылок не достаточно, поэтому ферма рассматривается как некая конструкция, высота которой учитывается в расчетах сразу. Как это делается, мы узнали, когда рассматривали принципы расчета арки с затяжкой. Более того, арка с затяжкой — это и есть простейшая треугольная ферма из трех стержней:
Рисунок 268.1. Расчетная схема треугольной трехшарнирной арки с затяжкой на опорах Такая конструкция является геометрически неизменяемой, а за счет шарнирных соединений на опорах и в замке арки — статически определимой. Конечно, абсолютное большинство ферм не имеют в узлах соединения стержней никаких специальных шарниров и поэтому ферму более правильно рассматривать как сложную много раз статически неопределимую раму. Однако, как показывает практика расчета, большой необходимости в этом нет. Расхождения в значениях напряжений, полученные при расчете фермы с жесткими узлами и при расчете фермы с шарнирными узлами, особенно при узловом приложении нагрузки, находятся в допустимых пределах погрешности. А вот расчет статически определимой конструкции и 10-30 раз статически неопределимой — это две большие разницы. Каждая степень статической неопределимости требует составления как минимум одного дополнительного уравнения и соответственно решать систему из 13-33 уравнений намного сложнее, чем несколько систем из 3 уравнений. Поэтому я и говорю, что в расчете ферм, пусть даже из 20-30 стержней, никакой особой сложности нет, особенно, если ферма будет изготавливаться из профилей одного, максимум двух сечений. Но для начала совершим переход от арки уже к настоящей ферме. Для этого достаточно к имеющейся арке с затяжкой добавить еще два стержня, соединенных шарниром, таким образом, чтобы система оставалась геометрически неизменяемой, например, так: Рисунок 271.1. Варианты конструирования фермы из треугольной арки с затяжкой. а) исходная треугольная арка с затяжкой или простейшая ферма; б) конструирование фермы «методом приращения». Название данного метода достаточно условно и использовано мной только для наглядности. Это метод часто используется при конструировании ферм с параллельными поясам; в) конструирование фермы «методом дробления». Название данного метода также достаточно условно. Метод используется при конструировании ферм сложной формы. Методы конструирования ферм, показанные на рис.271.1, далеко не единственные, но зато наиболее наглядно показывают суть конструирования ферм. До более сложных ферм мы еще доберемся, а пока рассмотрим ферму, показанную на рисунке 271.1 в) слева. Расчет такой фермы можно проводить по тому же принципу, как это делалось для треугольной арки с затяжкой. Для этого необходимо заменить лишний стержень вертикально действующей силой, а два нижних стержня при этом можно рассматривать как один без шарнирного соединения посредине (при условии симметричной нагрузки). Однако такой подход приводит к появлению лишней неизвестной (вертикально действующей силы), а уравнений статического равновесия по прежнему всего 3, и если продолжать двигаться по этому пути, то каждый дополнительный стержень нужно заменять неизвестной силой, а это по сути ничем не отличается от статической неопределимости. Поэтому при расчете ферм используется несколько иной подход, впрочем также основанный на уравнениях статического равновесия. Суть этого подхода следующая: когда мы рассматривали балку, действующие на нее нагрузки и возникающие в поперечных сечениях балки напряжения, то увидели, что нагрузки, действующие на любое из поперечных сечений балки можно рассматривать как внутренние напряжения, возникающие в поперечном сечении балки под действием этих нагрузок. Более того внутренние напряжения численно равны и противоположно направлены внешним нагрузкам. Благодаря этому и определяются значения внутренних напряжений. А еще из этого следует, что решая уравнения изгибающего момента или поперечной силы для поперечного сечения, расположенного на некотором расстоянии х от опоры, мы тем самым по-прежнему решаем уравнение статического равновесия. А ответы на эти уравнения показывают, какой изгибающий момент, продольную и поперечную силу необходимо приложить к рассматриваемому поперечному сечению, чтобы часть балки длиной х оставалась в состоянии статического равновесия: Рисунок 271.2. Физический смысл эпюр поперечных и продольных сил, изгибающих моментов балки. Впрочем, это положение можно сформулировать и по другому: при решении определенных задач необязательно рассматривать всю балку или стержень, можно рассматривать только его часть, а чтобы соблюдалось условие статического равновесия, в точке отсечения необходимо приложить соответствующие нагрузки. Всего-то навсего. Вот на этом, в общем-то несложном предположении и строится весь расчет ферм. Т.е. через стержни фермы проводится сечение, отсекающее другую часть фермы, а отсеченная часть фермы заменяется соответствующими нагрузками. А для того, чтобы расчет при этом был максимально простым, не нарушалась геометрическая неизменяемость фермы и опять не выскакивали дополнительные неизвестные, то сечение фермы выполняется таким образом, чтобы при этом рассекалось не более 3 стержней, к тому в одной точке могут сходиться не более 2 стержней и не более 2 стержней могут быть параллельными или лежать на одной прямой. Например, если нагрузка действующая на ферму будет симметричной, то для полного расчета стержней фермы (рис.271.1 слева или рис.271.3 а) достаточно провести одно сечение, а для фермы (рис.271.3 б) — два сечения: Рисунок 271.3. Примеры выполнения сечений стержней фермы для более простого расчета. В некоторых источниках принято разделять данный метод расчета на два: метод вырезания узлов (сечение I-I на рис. 271.3) и собственно метод сечений (сечение II-II на рис. 271.3), я же считаю, что никакого принципиального отличия между этими методами нет, так как основаны они на одних и тех же предпосылках и излишняя специализация тут ни к чему, к тому же для рассматриваемой фермы нужно рассчитать как минимум 3 узла, при расчете методом вырезания узлов, а провести сечение каким-либо другим способом, чтобы оно пересекало стойку — невозможно (во всяком случае в Евклидовой геометрии). А чтобы не приходилось решать даже и систему из трех уравнений, то обычно при составлении уравнений рассматриваются такие точки, относительно которых действует только одна неизвестная сила. Так как стержней в ферме может быть сколь угодно много, то для удобства и наглядности расчетов может использоваться следующая система маркировки стержней: все внутренние сектора фермы, образованные стержнями, маркируются литерами от «а» до «я» (обычно этого хватает), нижний пояс обозначается цифрой 1 в окружности, верхние стержни всеми другими цифрами в окружности. Таким образом ферма, изображенная на рисунке 271.3. б), имеет два стержня нижнего пояса, работающие на растяжение — 1-а и 1-б, четыре стержня верхнего пояса, работающие на сжатие — 2-а, 3-а, 4-а и 5-а, одну стойку — б-в, и два раскоса — а-б и в-г. Стойки как правило работают на сжатие, а вот подкосы в зависимости от геометрии фермы могут работать и на растяжение и на сжатие. Впрочем, никто не запрещает маркировать стержни как душе угодно. В данном случае нагрузка приложена в узле фермы и это позволяет еще более упростить расчет, так как при узловом приложении нагрузки в поперечных сечениях шарнирно соединенных стержней фермы будут действовать только сжимающие и растягивающие напряжения, никаких поперечных сил и изгибающих моментов. Эта особенность работы стержней ферм также очень часто учитывается при конструировании. Т.е. часто фермы перекрытий проектируются так, чтобы нагрузка от кровли на ферму передавалась только в узлах фермы. Для расчета таких ферм можно использовать и другой — графический метод расчета, подразумевающий построение диаграммы Максвела-Кремоны. Пример расчета треугольной фермы изложен отдельно. |
doctorlom.com
Фермы | ПроСопромат.ру
Ферма — это шарнирно- стержневая система или решетчатая балка. По назначению фермы бывают: стропильные, мостовые, крановые, стойки ЛЭП. По материалу фермы бывают: стальные, деревянные, металлодеревянные и железобетонные. Для расчета ферм нагрузку прикладывают в узлах. Стержни фермы работают на растяжение и сжатие. По направлению опорных реакций фермы бывают балочные (безраспорные) и арочные (распорные).
Элементы фермы
По очертанию поясов фермы бывают:
По типу решетки фермы бывают:
Кинематический анализ фермы делают по формуле: Сф ≥ 2У -3, где:
Сф — число стержней фермы, У — число узлов фермы. Если Сф= 2У -3, ферма геометрически неизменяемая и статически определимая. Если Сф > 2У -3, ферма статически неопределимая, т.е. имеет лишние связи.
Опорные реакции фермы определяют так же, как в балке.
Для симметричных ферм с симметричной нагрузкой опорные реакции можно
определить из условия: 
Усилия в стержнях фермы определяют аналитическими и графическими способами. Подробнее про аналитические способы — см. рубрику«Расчет простой плоской статически определимой фермы»
Нулевые стержни в фермах
В некоторых фермах встречаются «нулевые» стержни, усилие в которых равно нулю. Их роль — обеспечить геометрическую неизменяемость фермы.
Правила определения нулевых стержней:
— в двухстержневом незагруженном узле оба стержня нулевые;
— в трехстержневом незагруженном узле усилия в стержнях, расположенных на одной прямой, равны между собой, третий стержень нулевой;
— если в двухстержневом загруженном узле внешняя сила совпадает с направлением одного из стержней, усилие в этом стержне равно внешней силе, второй стержень нулевой
Также в ферме если в трехстержневом узле внешняя сила совпадает с направлением одного из стежней, усилие в этом стержне равно внешней силе, а усилия в стержнях, расположенных на одной прямой, равны между собой
prosopromat.ru
| |
doctorlom.com
3. Пример расчета фермы
Задание.Для фермы показанной на рисунке требуется:
а) определить аналитически усилия в стержнях заданной панели, включая правую стойку;
б) построить линии влияния усилий в тех же стержнях;
в) по линиям влияния подсчитать значения усилий от заданной нагрузки и сравнить их со значениями, полученными аналитически.
3.1. Исходные данные для расчета фермы.
ℓ = 24 м; P= 2 кН; № панели 2;h= 6 м.
d = ℓ/6 = 24 / 6 = 4 м
Рисунок 7 Заданная ферма
3.1.1 Определение реакций: RA = RB = 2,5·P = 2,5·2 = 5 кН.
3
.1.2
Определение усилий в стержнях 2-й панели
Сечение 1-1
Рисунок 8 Определение усилий в стержнях 2-й панели
Усилие в стержне U2:
Σ
=
0;RA ·d
– U2·hU=0;
U2 = RA ·d /hU= 5· 4 / 4,5 = 4,444 кН
Усилие в стержне O2:
tg α = h / 4d = 6 / 4 · 4 = 0,375; => α = 20,56°; => Sin α = 0,351
hO = 4·d · Sin α = 4·4·0,351 = 5,616 м
Σ
=
0; RA ·2·d – P·d + O2 ·hO =0;
O2 = (P·d — RA ·2·d) /hO= (2·4 — 5·2·4 )/ 5,616 =-5,698 кН
Усилие в стержне D2:
tg β = hU / d = 4,5 / 4 = 1,125; => β = 48,37°; => Sin β = 0,747
hD = 4·d · Sin β = 4·4·0,747 = 11,952 м
Σ
=
0; -RA ·2·d + P·3·d + D2 ·hD =0;
D2 = (RA ·2·d — P·3·d) / hD = (5·2·4 — 2·3·4)/ 11,952 = 1,339 кН
С
ечение
2-2
Рисунок 9 Определение усилий в стойке V2
Усилие в стержне V2:
Σ
=
0; -RA ·2·d
+ P·3·d
— V2·4·d
=0;
V2 = (P·3·d — RA ·2·d) /4·d= (2·3·4 — 5·2·4)/ 4·4 = -1,0 кН
Дополнительно покажем: определение усилия D3 методом проекций (т.к. моментная точка находится в бесконечности).
3.1.3 Определение усилия в раскосе 3-й панели D3
tg γ = h / d = 6 / 4 = 1,5; => γ = 56,31°; => Sin γ = 0,832
ΣY = 0; RA — P – P — D3 · Sin γ =0;
D3 = (RA — 2·P) / Sin γ = (5-2·2)/ 0,832 = 1,202 кН
С
ечение
3-3
Рисунок 10 Определение усилия в стержне 3-й панели (D3)
А также: покажем определение усилия V3 методом вырезания узлов
3.1.4 Определение усилия в стойке V3
С
ечение
4-4
Рисунок 11 Определение усилия в стойке V3
ΣY= 0
V3= -P= -2 кН
3
.2.
Построение линий влияния усилий в
стержнях фермы
Рисунок 12 Построение линий влияния усилий в стержнях фермы
Сечение 1-1
Построение л.в. 
Г
руз
слева Груз справа
Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть
Σ
=
0 Σ
=
0
— 
·5·d
+ 
·
hu =0 
·d
— 
·
hu =0
=
·5·d
/hu=
·5·4
/4,5= 
=
·d
/hu=
·4
/4,5=
=4,444·
=0,889·
л.в.
=4,444·л.в.
л.в.
=0,889·л.в. 
Построение л.в. 
Г
руз
слева Груз справа
Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть
Σ
=
0 Σ
=
0
— 
·4·d
—
·
ho =0 
·2·d
+
·
ho =0
=-
·4·d
/ho=-
·4·4
/5,616= 
=-
·2·d
/ho=-
·2·4
/5,616==-2,849·
=-1,425·
л.в. 
=-2,849·л.в.
л.в. 
=-1,425·л.в. 
Построение л.в. 
Г
руз
слева Груз справа
Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть
Σ
=
0 Σ
=
0
— 
·8·d
— 
·
hD =0 —
·2·d
+ 
·
hD =0
=-
·8·d
/hD=-
·8·4
/11,952= 
=
2·d
/hD=
·2·4
/11,952=
=-2,677·
=0,669·
л.в. 
=-2,677·л.в.
л.в. 
=0,669·л.в. 
Сечение 2-2
Построение л.в. 
Г
руз
слева Груз справа
Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть
Σ
=
0 Σ
=
0
— 
·8·d
+ 
·4·d =0 —
·2·d
—
·4·d
=0
=
·8·d
/ 4·d
=
·2=2·
=-
·2·d
/4·d =-0,5·
л.в. 
=
2 ·л.в.
л.в. 
=
-0,5·л.в. 
Сечение 3-3
Построение л.в. 
Г
руз
слева Груз справа
Рассматриваем правую часть Рассматриваем левую часть
ΣY= 0 ΣY= 0
+ 
·
hD =0 
—
·Sin γ
=0
=-
/
Sin γ
=-
/0,832= 
=
/
Sin γ =
/0,832=
=-1,202·
=1,202·
л.в. 
=-1,202·л.в.
л.в. 
=
1,202·л.в. 
Вырезаем узел. (Сечение 4-4)
Построение л.в. 
Г
руз
в узле Груза нет в узле
ΣY= 0 ΣY= 0
=
—
=
-1
=
0
3.3 Определение усилий в стержнях фермы от заданной нагрузки по линиям влияния
Y = ΣPi·
U2 = 0,741·P+0,593·P +0,445·P +0,296·P +0,148·P = (0,741 +0,593 +
+0,445 +0,296 +0,148) ·P = 2,223·P = 2,223·2 = 4,446 кН, что практически равно подсчитанному аналитически U2 = 4,444 кН.
O2 = -0,475·P-0,950·P-0,712·P-0,475·P-0,237·P = -(0,475 + 0,950 +
+ 0,712 + 0,475 + 0,237) ·P= — 2,849· 2 = -5,698 кН, что равно подсчитанному аналитически O2 = -5,698 кН.
D2 = (0,446·P-0,446·P+ 0,335·P+ 0,223·P+ 0,112·P) = (0,446 — 0,446 +
+ 0,335 + 0,223 + 0,112) ·P = 0,670·P = 0,670·2 = 1,34 кН, что практически равно подсчитанному аналитически D2 = 1,339 кН
V2 = (0,333·P- 0,333·P- 0,25·P- 0,167·P- 0,083·P) =(0,333 — 0,333 –
— 0,25 — 0,167 — 0,083) ·P = — 0,5·P = — 0,5·2 = 1,0 кН, что равно подсчитанному аналитически V2 = -1,0 кН.
D3 = (-0,200·P- 0,401·P+ 0,601·P+ 0,401·P+ 0,200·P) = (-0,200 –
— 0,401 + 0,601 + 0,401 + 0,200) ·P = 0,601·P = 0,601·2 = 1,202 кН, что равно подсчитанному аналитически D3 = 1,202 кН
V3 = -1·P= — 2 кН, что равно подсчитанному аналитически V3 = — 2 кН
studfile.net