Определение усилий в стержнях фермы – —

Расчет усилий в стержнях фермы

Сервис ЭПЮРЫ ОНЛАЙН / РАСЧЕТ ФЕРМЫ может помочь Вам расчитать любую ферму, а если она является статически определимой (а фермы в большинстве случаев делают статически определимыми) — то и расписать уравнения равновесия во всех узлах фермы, как показано на рисунке.

Кроме этого, сервис выдает усилия в стержнях фермы в табличном виде

Поскольку количество стержней бывает большое, расстояния неудобные, то напрямую вводить данные в расчетчике долго. Для упрощения мы создали ГЕНЕРАТОР ОДНОСКАТНОЙ ФЕРМЫ, в котором достаточно указать основные размеры фермы — и расчетная схема будет создана автоматически.

Если уж Вы решили самостоятельно расчитать ферму (даже с помощью этого сайта), неплохо бы ознакомиться с основными понятиями в теории расчета ферм 🙂

Фермой называется конструкция, состоящая из стержней, соединённых между собой шарнирами, которые называются узлами фермы

. Внешняя нагрузка на ферму передаётся через эти узлы. Каждый стержень в ферме находится в условиях простого осевого растяжения – сжатия, но общая деформация фермы – изгибная, то есть ферма работает на изгиб.

 

Пролет фермы — это расстояние  между опорами. Расстояние между узлами фермы по горизонтали называется панелью фермы и обозначается d

.

Выполнить расчет фермы, это значит, что в первую очередь нужно определить  усилия в стержнях фермы. Общепринятые обозначения усилий в стержнях фермы:

O – усилие в стержнях верхнего пояса,

U – усилие в стержнях нижнего пояса,

V – усилие в стойках,

D – усилие в раскосах.

Расчет фермы начинают с определения опорных реакций. Опорные реакции в ферме определяются как в простой балке, работающей на изгиб.

Для определения усилий в стержнях ферм существуют несколько способов. Рассмотрим некоторые из них (аналитические):

а) Способ моментной точки

. Применяется, когда можно разрезать ферму на две части так, чтобы в разрез попало три стержня. Для нахождения усилия в одном из них необходимо найти точку пересечения двух других разрезанных стержней (моментная точка) и записать уравнение равновесия (сумма моментов всех сил вокруг этой точки)  любой отсечённой части фермы.

б) Способ проекций. Применяется, когда можно разрезать ферму на две части так, чтобы в разрез попало три стержня. При нахождении  усилия в одном  из них  два  других  стержня   оказываются  параллельны  (т.е. моментная точка оказывается в бесконечности). Записывается  сумма проекций сил на вертикальную ось 

У любой отсечённой части фермы. Способ проекций чаще всего применяется для нахождения усилий в раскосах или стойках фермы с параллельными поясами.

в) Способ вырезания узлов. Применяется, когда два предыдущих способа не неприменимы, т.е. нельзя провести сечение через три стержня. Данный способ заключается в вырезании узла, к которому принадлежит искомый стержень и рассмотрении равновесия этого узла.

ПЕРЕЙТИ К РАСЧЕТУ ОДНОСКАТНОЙ ФЕРМЫ >>

sopromat.xyz

2.Способы определения усилий в стержнях фермы.

Расчет фермы, как и всякой статически определимой системы начинается с определения опорных реакций, Это делают обычным способом как в балке, составляя уравнения равновесия для фермы в целом. После этого приступают к определению усилий в стержнях.

Основной метод состоит в отделении части фермы и рассмотрения ее равновесия. Этот метод разрезовприменялся и в решении задач сопротивления материалов.

Последовательность действий была определена еще в курсе теоретической механики, когда изучалась статика системы сил на плоскости.

1.Проводят мысленно разрез фермы, который должен проходить, вообще говоря, не более, чем через три стержня, в том числе и через тот, усилие в котором следует определить.

2. Отбрасывают левую или правую часть фермы относительно разреза (удобнее отбрасывать ту часть, к которой приложено большая часть нагрузок).ли вырезается узел, то он просто изывается из фермы.

3. Заменяют действие отброшенной части продольными усилиями в разрезанных стержнях, полагая их все растягивающими ( действующими “от узла”).

4. Составляют уравнение равновесия так, чтобы искомое усилие входило в него как единственное неизвестное.

5. Решают уравнение, находят усилие. Если результат получается со знаком плюс, то стержень растянут, если минус – сжат.

Итак, метод общий – метод разрезов. Но при составлении уравнения равновесия нужно применить такой способ, Который позволяет избежать решения системы совместных уравнений. Различают несколько таких способов: способ моментной точки, способ проекций и способ вырезания узлов.

В строительной механике часто применяют “фирменные” обозначения усилий в стержнях. Буквой О обозначают усилие в элементах верхнего пояса, U– в элементах нижнего пояса,D– в раскосах,V- в стойках. Этим буквам придается два индекса, соответствующих номерам узлов по концам стержня. Некоторые из этих букв оказываются “перегруженными содержанием”. Например, буквойVобозначают вертикальную составляющую опорной реакции и работу внешних сил. Поэтому усилия в стержнях фермы можно обозначать одной буквой (обычноS) с двумя индексами.

Определим усилия в стержнях фермы, показанной на рис.4.2.

Опорные реакции определим как в балке с пролетом, равным пролету фермы:

-V_B V_B =

Рис.4.2

Найдем усилие O₁₂ .Проведем сечениеI–I(рис.4.2 а).

Отбросим левую часть фермы. и заменим Рис.4.2

ее действие на оставшуюся правую часть неизвестными усилиями О₁₂ ,D₁₅ иU₆₅ , полагая их растягивающими (рис.4.2.b).

Уравнение равновесия нужно составить так , чтобы в него вошло усилие О₁₂ и не вошлиD₁₅ иU₆₅ . Для этого следует взять момент всех сил, приложенных к правой части фермы, относительно точки 5, играющей в данном случае роль моментной точки.

Таким образом, для определения усилия О₁₂примененспособ моментной точки.

За моментную принимают ту точку, в которой пересекаются все неинтересующие нас стержни , попавшие в сечение..Следовательно, в разрез могут попасть иn стержней, если n-1 пересекаются в одной точке. (рис. 4.3).

Найдем усилие в раскосеD₁₅.

Проводим то же сечение I–I. Изложенный выше способ здесь не применим: моментную точку придется

Рис.4.3

искать на пересечении стержней О₁₂ иU₆₅ , а они параллельны. Поэтому составляем уравнение другого вида: проектируем все силы, приложенные к правой части фермы, на вертикаль, применяяспособ проекций:

Найдем усилие V₂₅.

Провести разрез фермы на две части так, чтобы он прошел через стойку 2-5 и еще через два стержня не удается. Поэтому проводят сечение II–II, применяяспособ вырезания узлов(рис.4.4).

Проектируя все силы на вертикаль, получаем

Рис.4.4

Применяя способ вырезания узлов, нужно помнить, что для системы сходящихся сил можно записать только два уравнения равновесия. Поэтому в вырезаемом узле не должно быть более двух стержней с неизвестными усилиями.

До начала определения усилий в элементах фермы полезно выявить те стержни, усилия в которых при заданной нагрузке равны нулю. Такие стержни называют нулевыми.

Правила определения нулевых стержней следуют из уравнений равновесия.

Если в узле сходится два стержня и узел не нагружен, то усилия в обоих стержнях равны нулю (рис.4.5a). Проектируя силы на направление, получаем

S₁= 0. После этого из проекции на направлениеS₂Рис.4.5

следует, что и S₂= 0.

Если в узде сходятся три стержня , два из которых лежат на одной прямой и узел не нагружен (рис.4.5b), то усилие в ответвляющемся стержне равно нулю (S₁ = 0), а два других равны между собой (S₂=S₃ ). Первое заключение следует из уравнения равновесия, втрое – получаем, проектируя все силы на прямую, вдоль которой действуют силыS₂ иS₃ .

Пользуясь этими правилами легко установить, что все стержни, перечеркнутые одной чертой в ферме на рис.4.6, нулевые.

Рис.4.6

studfile.net

2.6. Расчет ферм.

Плоская стержневая система, которая после включений шарниров во все узлы остается геометрически неизменяемой называется фермой.

Примеры ферм показаны на рис.2.37..

В реальных стержневых конструкциях, которые подходят под определение “ферма”, стержни в узлах соединены не шарнирами, а балками, заклепками, сваркой или замоналичены (в железобетонных конструкциях). Тем не менее, в расчетных схемах таких конструкций могут вводится в узлы шарниры, но при условии, что

Рис.2.37.. Статически определимые плоские фермы.

При этих условиях стержни фермы работают только на растяжение или сжатие, в них возникают только продольные силы.

Это обстоятельство существенно упрощает расчет стержневой системы и позволяет получать результаты с достаточной степенью точности.

Для определения усилий в стержнях фермы методом сечений необходимо:

1) Сечение проводить таким образом, чтобы оно

Для упрощения определения плеч внутренних усилий относительно моментной точки при составлении уравнений моментов при необходимости заменять искомые усилия их проекциями на взаимно перпендикулярные оси.

2.6.2. Определение усилий в стержнях фермы.

Для определения усилий в стержнях фермы необходимо:

• определить реакции опор;

• методом сечений определить требуемые усилия;

• произвести проверку полученных результатов.

Реакции опор в простых балочных фермах, показанных на рис.2.37, определяются также как в однопролетных балках с помощью уравнений вида

, .

Для проверки реакций опор используем уравнение

.

Рассмотрим алгоритм расчета на конкретном примере.

Дана расчетная схема фермы (рис.2.38).

Рис.2.38

Требуется определить усилия в стержнях 4-6, 3-6, 3-5, 3-4, 7-8.

Решение задачи.

1. Определяем реакции опор.

Для этого используем уравнение равновесия:

, .

Записываем уравнения, используя принятое правило знаков:

Решая уравнения, находим

Проверяем реакции опор по уравнению .

2. Определяем усилия в стержнях фермы.

а) Усилия в стержнях 4-6, 3-6, 3-5.

Для определения усилий в указанных стержнях разрезаем ферму сечением а-а на две части и рассматриваем равновесие левой части фермы (рис.2.39.

Рис.2.39

К левой части фермы прикладываем реакцию опоры , силу, действующую в узле 4, и искомые усилия в стержнях фермы,,. Эти усилия направляем вдоль соответствующих стержней в сторону от узла, то есть в положительном направлении.

Для определения усилий ,,можно использовать следующую систему уравнений:

, ,.

Но в этом случае получим совместную систему уравнений, в которые будут входить все искомые усилия.

Для упрощения решения задачи необходимо использовать уравнения равновесия, в которые входило бы только одно неизвестное.

Для определения усилия таким уравнением является

,

т. е. сумма моментов относительно узла 3, в котором пересекаются линии действия усилий и, так как моменты этих сил относительно узла 3 равны нулю. Для усилиятаким уравнением является

,

т. е. сумма моментов относительно узла 6, в котором пересекаются линии действия усилий и.

Для определения усилия следует использовать уравнение суммы моментов относительно точки О, в которой пересекаются линии действия усилийи, т. е.

.

При записи указанных уравнений возникают математические трудности по определению плеч сил относительно соответствующих точек. Для упрощения решения этой задачи рекомендуется разложить искомое усилие по осям Х, Y и использовать проекции усилия при записи уравнения равновесия.

Покажем это на примере усилия (рис.2.40).

Рис.2.40

Запишем уравнение :

Решая уравнение, получаем:

.

В данном примере проекция усилия на ось Х имеет момент относительно точки О равный нулю, так как линия её действия проходит через точку О.

3. Определяем усилие в стержне 3-4.

Для определения усилия вырезаем в узел 4 фермы сечениемb—b (рис.2.41.а).

Рис.2.41

Далее выбираем уравнение равновесия, в которое входило бы только усилие . В данном случае – это сумма проекций всех сил, приложенных в узле, на ось, перпендикулярную к линии действия усилий и:

откуда

4. Определяем усилие в стержне 7-8.

Вырезаем узел 8 сечение с-с (рис.2.41.б). Составляем два уравнения равновесия

Для определения усилия имеем два уравнения с тремя неизвестными. Следовательно, одно из этих неизвестных (или) должно быть определено предварительно.

Если усилие известно, то для определения усилияможно использовать уравнение:

сумма проекций сил, приложенных в узле, на ось , перпендикулярную линии действия силы .

Необходимо отметить, что усилия в стержнях фермы можно определять, рассматривая поочередно равновесие её узлов и составляя для каждого узла по два уравнения

и .

Начинать необходимо с узла, в котором сходятся только два стержня, а затем последовательно рассматривать узлы, в которых только два неизвестных усилия. Рассмотрим пример (рис.2.42).

Рис.2.42

1. Рассматриваем узел 1, в котором сходятся только два стержня. Составляем и решаем уравнения

и :

; .

2. Рассматриваем узел 2, в котором сходятся 3 стержня, но известно усилие :

Решая систему уравнений, находим:

Затем рассматривается узел 4 и т. д.

Такой способ определения усилий в стержнях фермы имеет следующие недостатки:

• ошибка, допущенная в процессе расчета, распространяется на последующие вычисления;

• он не рационален для определения усилий лишь в отдельных стержнях фермы.

К достоинствам способа относится возможность применения при составлении программ для расчета на ЭВМ.

studfile.net

1 семестр (статика) / примеры выполнения / пример 2

Пример выполнения контрольного задания №2

Определить опорные реакции и усилия в стержнях фермы если , .

Решение.

Прежде, чем приступить к расчету, обозначим латинскими буквами узлы фермы и пронумеруем ее стержни. Опоры фермы заменим их реакциями , , Рекомендуется также предварительно заготовить таблицу в форме Таб.1, в которую будут заноситься искомые усилия по мере их вычисления.

Расчет фермы в большинстве случаев целесообразно начинать с определения опорных реакций. Для этого рассмотрим равновесие фермы в целом, которая, являясь жесткой конструкцией, находится под действием произвольной плоской системы сил. Составим три уравнения равновесия:

, откуда ;

, откуда ;

, откуда .

На этом этапе рекомендуется выполнить проверку, т.к. ошибка, допущенная при определении опорных реакций, неизбежно повлияет на дальнейший расчет. Составим уравнение моментов относительно точки Е:

.

Опорные реакции вычислены верно.

Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов.

При использовании метода вырезания узлов последовательно рассматривается равновесие каждого из узлов фермы. При этом стержни, примыкающие к рассматриваемому узлу, отбрасываются и заменяются соответствующими усилиями. Очевидно, что система сил, действующих на узел (в нее, помимо указанных усилий, могут входить активные силы, действующие на рассматриваемый узел, а также – для опорных узлов – реакции опор) является сходящейся и для нее на плоскости можно составить два уравнения равновесия. Таким образом, расчет фермы желательно начинать с узла, к которому примыкают только два стержня, а при дальнейшем выборе узлов руководствоваться тем, чтобы каждый последующий узел содержал не более двух неизвестных усилий.

Изначально усилия в стержнях фермы предполагаются положительными, и направляются от узла (стержень растянут). Тогда знак “минус” в ответе будет указывать на то, что стержень на самом деле сжат.

Начнем расчет с узла В.

, . Значения тригонометрических функций угла  найдем из треугольника BDG:

, .

Тогда из уравнений равновесия получим:

, .

Перейдем к узлу G.

Заметим, что усилие , найденное при рассмотрении узла А, оказалось отрицательным, т.е. сжимающим. Однако в узле G оно все равно изображается положительным (направленным от узла), а при подстановке в уравнения равновесия численных значений, величина сохраняет знак “-”. Этого правила рекомендуется придерживаться и в дальнейшем.

Рассмотрим узел D.

Далее можно рассмотреть любой из трех оставшихся узлов С, Е или А, т.к. все они содержат по два неизвестных усилия. Рассмотрим узел С.

На данном этапе осталось только одно неизвестное усилие, а нерассмотренных узлов – два, т.е. четыре неиспользованных уравнения. Одно из них используем для определения усилия , а три оставшихся – для проверки правильности расчета. Рассмотрим узел А.

Проверка.

Узел А: .

Таблица 1

№ стержня	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Усилие, кН	8	-15	12	8	-5	-8	3	4	-5

Определение усилий методом сквозных сечений.

При использовании метода сквозных сечений ферму разделяют на две части сечением, проходящим через стержни, усилия в которых (или в одном из которых) требуется определить, и рассматривают равновесие одной из частей. Действие другой части фермы заменяют усилиями, возникающими в “перерезанных” стержнях (изначально они также считаются положительными, т.е. направлены от узлов). Рассматриваемая часть фермы находится под действием произвольной плоской системы сил, состоящей, в общем случае, из активных сил, опорных реакций и искомых усилий в “перерезанных” стержнях, следовательно, для нее можно составить три уравнения равновесия. Поэтому сечение, по возможности, выбирается таким образом, чтобы оно пересекало только три стержня.

Определим усилия в стержнях 4, 5 и 6 рассмотренной выше фермы. Проведем через эти стержни сечение и рассмотрим равновесие правой части.

Наиболее рациональным (особенно когда требуется определить усилие в каком-либо одном стержне) представляется составление таких уравнений, каждое из которых содержит только одно неизвестное усилие.

Так, для определения усилия составим уравнение моментов относительно точки пересечения линий действия усилий и (точки D):

,

откуда .

Составив уравнение моментов относительно точки пересечения линий действия усилий и (точки Е), найдем :

.

Линии действия усилий и в нашем случае параллельны и не имеют точки пересечения. Для определения усилия составим уравнение проекций на ось, перпендикулярную и :

,

откуда .

Рассмотренный способ составления независимых уравнений для каждого усилия носит название способа моментных точек или способа Риттера. Точки пересечения линий действия двух из трех неизвестных усилий называются точками Риттера. При определении усилий во всех стержнях сечения результат может быть легко проверен уравнением, не использованным при расчете. Для нашего случая составим уравнение проекций на ось ОХ:

studfile.net

22 Определение усилий в стержнях фермы методом Риттера

Расчет выполняется в последовательности:

– определяются опорные реакции, если они ранее не были определены;

– ферма разрезается на две части сечением, которое проходит через стержни, усилия в которых необходимо определить; при этом должно разрезаться не более трех стержней, усилие в которых неизвестны;

– рассматривается равновесие одной из двух частей фермы; действие отброшенной части заменяется реакциями перерезанных стержней, которые направляются вдоль стержней от узлов; изображаются активные силы, действующие на рассматриваемую часть фермы;

– составляются уравнения равновесия так, чтобы в каждое уравнение входило одно неизвестное усилие.  Обычно составляются уравнения моментов сил относительно точек, где пересекаются линии действия двух неизвестных усилий. Если же на расчетной схеме два стержня параллельны, то составляется уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную к этим стержням;

– решая каждое из составленных уравнений равновесия, находят искомые усилия в стержнях.

При определении усилий в стержнях 5 – 7 методом Риттера ферма рассекается по этим трём стержням на две части. Одна из частей вместе с приложенными к ней нагрузками мысленно отбрасывается, а её действие на оставшуюся часть заменяется усилиями , которые направлены вдоль соответствующих стержней в сторону отброшенной части (рис. С2.5).

Для определения составляется уравнение моментов от сил, приложенных к оставшейся части фермы, относительно точки пересечения двух остальных разрезанных стержней (точка L).

кН.

Рис. С2.5

Для определения составляется уравнение моментов относительно точки N.

кН.

При определении составляется уравнение моментов относительно точки Е.

кН.

23 Приведение плоской системы сил к центру

Теорема о приведении системы сил:

Любая система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой R, равной главному вектору этой системы сил и приложенной к произвольно выбранному центру О, и одной парой сил с моментом L_O, равным главному моменту системы сил относительно центра О.

Такая эквивалентная замена данной системы сил силой R и парой сил с моментом L_Oназывают приведением системы сил к центу О.

Рассмотрим здесь частный случай приведения плоской системы сил к центру О, лежащему в той же плоскости. В этом случае система сил заменяется одной силой и одной парой сил, лежащих в плоскости действия сил системы. Момент этой пары сил можно рассматривать как алгебраическую величину L_O и изображать на рисунках дуговой стрелкой ( алгебраический главный момент плоской системы сил).

В результате приведения плоской системы сил к центру возможны следующие случаи:

1. если R = 0, L_O = 0, то заданная система является равновесной;

2. если хотя бы одна из величин R или L_O не равна нулю, то система сил не находится в равновесии.  При этом:

• Eсли R = 0 и L_O 0, то система сил приводится к одной паре сил с моментом L_O, причем в этом случае величина момента L_O не зависит от выбора центра О.

• Eсли R 0, то при любом значении L_O система сил приводится к равнодействующей силе.

24 Способы определения положения центра тяжести тел:) 1. Симметрия. Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии. Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ,  то  центр тяжести лежит в этой плоскости. 2. Разбиение. Для тел, состоящих из простых по форме тел, используется способ разбиения. Тело разбивается на части, центр тяжести которых находится методом симметрии. Центр тяжести всего тела определяется по формулам центра тяжести объема (площади). Пример. Определить центр тяжести пластины, изображенной на помещенном ниже рисунке

Ответ: xc=17.0см; yc=18.0см.

3. Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он используется, когда тело имеет вырезы, срезы и др., если координаты центра тяжести тела без выреза известны. Пример. Определить центр тяжести круглой пластины имеющий вырез радиусом r = 0,6 R 

Круглая пластина имеет центр симметрии. Поместим начало координат в центре пластины. Площадь пластины без выреза , площадь выреза. Площадь пластины с вырезом;. Пластина с вырезом имеет ось симметрииО1x, следовательно, yc=0.

studfile.net

1.21.3. Определение усилий в стержнях фермы способом Риттера

Этим способом удобно пользоваться для определения усилий в стержнях при проверочных расчетах.

Идея способа Риттера заключается в следующем:

1. ферму разрезают на две части сечением, проходящим только через три стержня;

2. рассматривают равновесие одной из частей фермы, которая находится в равновесии под действием активных сил, реакций внешних связей и реакций растянутых стержней. При этом реакции растянутых стержней прикладываются к стержням в местах их разреза;

3. определяют точки Риттера (I, II, III). Точки Риттера – точки, где пересекаются линии действия реакций растянутых стержней;

4. составляют уравнения равновесия рассматриваемой части фермы в одной из двух форм:

∑ M_i(I) = 0; ∑ M_i(II) = 0; ∑ M_i(III) = 0;

∑ M_i(I) = 0; ∑ M_i(II) = 0; ∑ F_iY = 0;

5. из этих уравнений равновесия находят неизвестные реакции растянутых стержней.

Н

Рис. 1.58

а рис. 1.58 изображена ферма и одна из ее отрезанных частей.

Поскольку разрезанные стержни не параллельны, то имеется три точки Риттера (точки I, II, III). В этом случае для определения реакций растянутых стержней используется первая форма уравнений равновесия.

∑ M_i(I) = S₇·2a·sinα – F₂·a – F₃·2a = 0; (1)

S₇ = (F₂·a+F₃·2a)/(2a·sinα) = (9·2 + 2·2·2)/(2·2·0,5) = 13,000 кН.

∑ M_i(II) = 0 = – S₉·a·tgα – F₃·a = 0; (2)

S₉ = – F₃·a/(a·tgα) = – (2·2)/(2·0,577) = – 3,464 кН.

∑ M_i(III) = 0 = S₈·2a·sinα – F₃·a = 0; (3)

S

Рис. 1.58

₈ = F₃·a/(2a·sinα) = 2·2/(2·2·0,5) = 2,000 кН.

Если в сечении фермы стержни параллельны, то используется вторая форма уравнений равновесия, так как имеется только две точки Риттера (рис. 1.59). Согласно определению (точки Риттера), точка I Риттера находится в месте пересечения линий действия векторов S₅, S₆, а точка II Риттера расположена в месте пересечения линий действия векторов S₆, S₇.

Рис. 1.59

Дано: F₁ = 2 кН; F₂ = 5 кН; F₃ = 10 кН; a = 2 м; α = 45⁰.

∑ M_i(I) = 0 = – S₇·a·tgα + F₂·a = 0; (1)

S₇ = F₂·a/(a·tgα) = 5·2/(2·1) = 5,000 кН.

∑ M_i(II) = 0 = S₅·a·tgα + F₂·a + F₃·a·tgα = 0; (2)

S₅ = (– F₂·a – F₃·a·tgα)/(a·tgα) = (– 5·2–10·2·1)/(2·1) = –15,000 кН.

∑ F_iy = 0 = S₆sinα+F₂ = 0; (3)

S₆ = – F₂/0,707 = – 7,072 кН.

Рис. 1.59

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Сформулировать определение термина «ферма».

2. Сформулировать определение термина «плоская ферма».

3. Сформулировать определение термина «узел фермы».

4. Сформулировать определение термина «опорный узел фермы».

5. Сформулировать определение термина «загруженный узел фермы».

6. Сформулировать определение термина «стойка».

7. Сформулировать определение термина «раскос».

8. Сформулировать определение термина «верхний пояс фермы».

9. Сформулировать определение термина «нижний пояс фермы».

10. Сформулировать определение термина «нулевой стержень».

11. Сформулировать первую лемму для определения нулевых стержней.

12. Сформулировать вторую лемму для определения нулевых стержней.

13. Сформулировать третью лемму для определения нулевых стержней.

14. Сформулировать определение термина «точка Риттера».

studfile.net

1. Определение опорных реакций фермы.

Выберем координатные оси ХУ с началом координат в узле 1. Разложим силу F₂на проекции по осям координат и нанесём проекции на схему:

Освободим ферму от связей. Вместо неподвижного шарнира в точке (в узле) 1 введём две реакции Х₁ и У₁, а вместо подвижного шарнира – одну реакцию У₆ (в положительном направлении координатных осей). Для определения трёх неизвестных реакций опор составим и решим три уравнения равновесия.

Первым составим уравнение суммы моментов всех сил относительно точки 1. В это уравнение войдёт только одна неизвестная У₆:

,
откуда

Из уравнения суммы проекций всех сил на ось Х найдём неизвестную Х₁:

откуда .

Из уравнения суммы проекций всех сил на ось У найдём У₁:

Положительные знаки у Х₁; У₁; У₆ указывают, что направление реакций на схеме выбрано правильно.

Для проверки правильности определения реакций опор составим и решим уравнение моментов относительно узла 3, чтобы в это уравнение вошли все три реакции:

Следовательно, реакции опор определены правильно.

2. Определение усилий в стержнях фермы.

Вначале проверяем ферму на наличие «нулевых» стержней. По лемме 1 в незагруженном узле 5 усилия в стержнях 5-6 и 5-4 равны нулю: S_5-6=0; S_5-4=0. По лемме 2 в незагруженном узле 3 усилие в стержне 3-8 равно нулю, а усилия в стержнях 2-3 и 3-4 равны, то есть: S_3-8=0; S_2-3=S_3-4. Полученные значения усилий S_5-4; S_5-6; S_3-8 заносим в итоговую таблицу 1.3.

Для определения усилий в стержнях методом «вырезания» пригодны узлы 1 и 6, так как в них сходятся по два стержня с неизвестными усилиями (в узле 6 из трёх стержней один S_5-6=0 ).

Вырезаем узел 1 и изображаем схему действующих сил (рисунок 1.11).

	Известными являются силы опорных реакций: Х1=7,3 кН; У1=15,8 кН. Неизвестными являются усилия в перерезанных стержнях: S1-2 и S1-8, которые для наглядности обводим прямоугольной рамкой. Определяем неизвестные усилия аналитически из уравнений равновесия:
	.
	.
	Отрицательные значения усилий указывают, что стержни 1-2 и 1-8 сжаты. Полученные значения S1-2 и S1-8 с учётом их знаков заносим в итоговую таблицу №1.3.
Рисунок 1.11. Схема сил узла 1

Вырезаем узел 2 и изображаем схему действующих сил (рисунок 1.12а).

	Известными являются: внешняя сила F1 =10 кН и усилие в стержне S1-2= =S2-1= –15,8 кН. Неизвестными являются усилия в перерезанных стержнях: S2-3 и S2-8. Определение неизвестных усилий произведём графическим способом. Для построения многоугольника сил примем масштаб: в 1 см 5 кН. Выберем произвольную точку О и отложим в масштабе от неё два вектора известных сил: S1-2 и F1, параллельно линиям действия этих сил и с учётом знаков. Вектор S1-2 (≈3,1 см длиной) откладываем от точки О вверх и в конце этого вектора пристраиваем вектор F1 (2 см вправо). Затем из точки О и из конца вектора F1 проводим линии параллельно линиям действия S2-3 и S2-8 до их пересечений. Получилось две точки пересечений К и К’, которые равнозначны для образования замкнутого многоугольника сил. Примем для образования замкнутого многоугольника точку К. Тогда вектор S2-8 должен «войти» стрелкой в точку К, а вектор S2-3 «войти» стрелкой в точку О, чтобы получился замкнутый многоугольник сил с одинаковой ориентацией всех векторов (в данном случае – по часовой стрелке). Из направлений действия векторов видно, что S2-8 имеет положительное значение, а S2-3 – отрицательное
Рисунок 1.12а Схема сил узла 2
Рисунок 1.12б Многогранник сил узла 2
(направлен к узлу). По результатам измерений получилось, что длина вектора S2-3 равна ≈5,1 см, а длина вектора S2-8 – около 4,5 см, что приближённо соответствует значениям сил: S2-3 = – 25,5 кН, S2-8=22,5 кН. Графический метод по сравнению с аналитическим является менее точным, поэтому полученные значения усилий подлежат проверке.

Метод Риттера применим для определения усилий в стержнях 3-4; 8-4; 8-7, для чего «рассечём» ферму по этим стержням и отбросим правую часть (рисунок 1.13).

Для определения усилий в стержне 3-4 необходимо составить уравнение моментов относительно точки 8, так как в ней пересекаются два других неизвестных усилия S_4-8 и S_7-8:

	откуда
	. Следовательно, стержень 3-4 сжат. Для определения усилия S8-4 составляем уравнения проекций на ось Y, перпендикулярную двум другим неизвестным усилиям S3-4 и S8-7: , то есть стержень 8-4 сжат.
Рисунок 1.13. Левая часть рассечённой фермы

Для нахождения усилия в стержне 8-7 следует составить уравнение моментов относительно точки 4, где пересекаются два других усилия S_3-4 и S_8-4: , откуда

,

Полученные значения S_3-4, S_8-7 и S_8-4 заносим в итоговую таблицу. При этом учтём, что согласно лемме 2 усилие S_3-4 равно усилию S_2-3. Поскольку значение S_2-3 по графическому методу было равно –25,5 кН, а по методу Риттера (более точному) получилось равным –25,8 кН, то в итоговую таблицу заносим значения S_2-3= S_3-4 = –25,8 кН.

Вырезаем узел 8 и изображаем схему действующих сил (рисунок 1.14).

	По результатам предыдущих вычислений все силы в этом узле известны, однако значение S2-8=22,5 кН определено графическим способом, поэтому нуждается в проверке. Для уточнения этого значения определим величину S2-8 аналитически из условия равновесия сил узла 8: Из при S8-3= = 0 имеем S8-2= –S8-4 = 22,3 кН. Ранее при графическом решении в узле 2 было получено S2-8 ≈ 22,5 кН, поэтому за истинное значение принимаем S2-8 = =S8-2=22,3 кН, полученное аналитически.
Рисунок 1.14. Схема сил узла 8
Вырезаем узел 7 и изображаем схему действующих сил (рисунок 1.15).
	Известными являются: внешняя сила F3=30 кН и усилие в стержне 7-8 S7-8= 24,3 кН. Неизвестными являются S7-6 и S7-4. Определим их значения аналитически из условий равновесия:
	из .
	из . Полученные значения заносим в итоговую таблицу.
Рисунок 1.15. Схема сил узла 7

Вырезаем узел 4 и изображаем схему действующих сил (рисунок 1.16).

	Известными силами являются: внешняя сила F2=20 кН (или F2X=17,3 кН; F2Y=10 кН). S3-4=–25,8 кН; S4-8=–22,3 кН; S4-7=30 кН; S4-5=0. Неизвестной является одна сила S4-6.
	из
	Полученное значение заносим в итоговую таблицу, в которой теперь содержаться значения усилий во всех стержнях. Для дополнительного контроля правильности определения усилий в стержнях фермы рассмотрим равновесие сил в узле 6.
Рисунок 1.16. Схема сил узла 4

Вырезаем узел 6 и изображаем схему действующих сил (рисунок 1.17).

	Значения всех сил известны по результатам предыдущих вычислений, поэтому если усилия вычислены правильно, то уравнения равновесия должны обратиться в тождество типа 0=0: Следовательно, усилия в стержнях определены правильно.
Рисунок 1.17. Схема сил узла 6

11

studfile.net