Нулевые стержни в ферме – ПроСопромат.ру | Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

8.3.2. Леммы о нулевых стержнях фермы

81

Таким образом, все тринадцать усилий определены и последние три уравнения служат для проверки вычислений.

∑ У= О9 – N9 Sin α — N11 – N12 Sin α =

-10,447 . 0,6 + 10,268 – 6,667 . 0,6 = 10,268 – 10,2684 0

Узел 8: ∑ Х= 0 , — N12 Соs α — N13 = -6,667 . 0,8 + 5,333 = 5,33 – 5,336 0 ∑ У= 0 , N12 Sin α — Р3 = 6,667 . 0,6 – 4 = 4,0002 – 4 0

Следовательно, расчет фермы выполнен верно. Стержни с отрицательными усилиями испытывают не растяжение, а сжатие.

Стержни загруженной фермы, усилия в которых отсутствуют (равны нулю), называются нулевыми. Нулевые стержни в отдельных случаях легко определяются без расчета фермы с помощью рассмотренных ниже лемм.

Лемма 1. В незагруженном двухстержневом узле фермы оба стержня являются нулевыми (рис. 8. 2, в).

Действительно, из уравнений равновесия следует:

∑Х= 0 , N1 Соs α + N2 = 0 , N2 = 0 .

Лемма 2. Если в незагруженном трехстержневом узле фермы два стержня расположены на одной прямой, то усилие в третьем (примыкающем) стержне равно нулю, а усилия в первых двух стержнях равны между собой (рис. 8. 2, г).

Из уравнений равновесия получаем:

∑У= 0 , N3 Sin α = 0 , N3 = 0

∑Х= 0 , — N1 + N2 + N3 Соs α = 0 , N1 = N2 .

Лемма 3. Если линия действия внешней силы, приложенной к двухстержневому узлу, совпадает с осью одного из стержней, то усилие в этом стержне по модулю равно внешней силе, а усилие в другом стержне равно нулю (рис. 8. 2, д).

Действительно:

∑У= 0 , N2 Sin α = 0 , N2 = 0

∑Х= 0 , Р – N1 – N2 Соs α = 0 , N1 = Р .

Пример 8. 2

Пользуясь леммами, определить нулевые стержни в ферме (рис. 8. 3, а), зачеркивая их двумя чертами.

Решение:

Применяя в узле 1 лемму 3, получаем N1 = 0, а N2 = Р. В узле 2 согласно лемме 2 получаем N3 = 0, а N4 = N5. По лемме 1 в незагруженном двухстержневом узле 3 оба стержня нулевые: N6 = N7 = 0. По этой же лемме в

82

узле 4, где N7 = 0, получаем N8 = N9 = 0. И, наконец, согласно лемме 3 в опорном узле В, где усилия N6 = N8 = 0, получаем N10 = 0, а N11 = Rв.

8.3.3. Метод сечений (метод Риттера)

Суть данного метода заключается в том, что при определении усилий в стержнях фермы она мысленно рассекается на две части и усилия рассеченных стержней определяются из уравнений равновесия одной из отсеченных частей фермы. Поскольку усилия одинаково действуют на обе части фермы, лучше рассматривать ту часть фермы, на которую действует меньше внешних сил.

На отсеченную часть фермы действует произвольная система сил (усилия рассеченных стержней, активные силы, реакции опор), для которой в плоскости можно составить только три уравнения равновесия статики и, следовательно, в рассматриваемом сечении должно быть три неизвестных усилия, т.е., рассекая ферму на две части, сечение в общем случае проводят только через три стержня. В частных случаях возможны отклонения от этого правила. Уравнения равновесия сил, приложенных к отсеченной части фермы, составляются в виде:

∑ М1 = 0, ∑ М2 = 0, (8.3)

∑ М3 = 0,

где 1, 2, 3 – моментные точки, не лежащие на одной прямой.

С целью разделения неизвестных, т.е., чтобы в каждое уравнение системы (8. 3) входило лишь одно из трех неизвестных усилий, моментную точку выбирают на пересечении двух других усилий. Если при этом окажется, что два другие усилия параллельны, т.е. моментная точка для рассматриваемого усилия находится в бесконечности, то вместо уравнения моментов составляют уравнение проекций сил на ось, перпендикулярную параллельным усилиям. В этом случае система уравнений (8. 3) принимает вид:

где у – ось проекций, перпендикулярная параллельным усилиям в рассматриваемом сечении.

При определении усилий рассеченных стержней фермы так же, как и в методе вырезания узлов, вначале предполагается, что стержни испытывают растяжение.

Пример 8. 3

Определить методом Риттера усилия N1, N2, N3, N4, N5 и N6 в стержнях

фермы (рис. 8. 3, б), если Р1 = 6 кН, Р2 = 4 кН, Р3 = 8 кН.

Решение:

1.Проверяем выполнение условия (8. 1):

С= 2У – З,

83

17 = 2 . 10 – 3,

17 = 17,

т.е. ферма геометрически неизменяемая и статически определимая.

2.Определяем реакции опор фермы RА и Rв.

∑МА = 0, — Р1 . 3 – Р2 . 6 — Rв . 9 = 0, Rв = 9,5 кН

∑Мв= 0, — RА . 12 + Р1 . 9 + Р2 . 6 + Р3 . 3 = 0, RА = 8,5 кН

∑У = 0 (проверка), RА – Р1 – Р2 – Р3 + Rв = 8,5 – 6 – 4 – 8 + 9,5 = 18 – 18= 0

3.Определяем усилия Ni в заданных стержнях фермы, рассекая ее

сечениями 1 – 1 и 2 – 2. Сечения 1 – 1 проводим через три стержня 1, 2, 3 и определяем в них усилия N1, N2, N3, составляя уравнения (8.3) для левой отсеченной части фермы (рис. 8.3, в). Моментную точку 1 при определении N1 назначаем на пересечении N3и N2, точку 2 при определении N2 — на пересечении N1 и N2 и точку 3 при определении N3 — на пересечении N1 и N2 . Плечо hi каждого усилия Ni относительно его моментной точки i (i = 1, 2, 3) определяем из соответствующего прямоугольного треугольника:

а6

— = — → а = 6 м , 2 2

6

h2 = 4 Соs α = 4 . ———— = 3,795 м , √ 62 + 22

1

h3 = 2 + —- . 2 = 3 м , 2

6

h4 = 12 . Sin β = 12 . ———— = 8,485 м , √ 32 + 32

Из уравнений равновесия находим:

∑М1 = 0 , — N1 . h2 + Р1 . 3 – RА . 6 = 0 , N1 = — 8,696 кН (сжат)

∑М2= 0 , N2 . h3 – RА . 3 = 0 , N2 = 8,5 кН (растянут)

∑М3 = 0 , — N3 . h4 — Р1 . 9 + RА . 6 = 0 , N3 = — 0,0515 кН (сжат)

Аналогично определяем усилия в трех стержнях 4, 5 и 6, проводя через них сечение 2 – 2 и рассматривая равновесие правой отсеченной части фермы (рис. 8. 3, г). При этом вместо уравнений (8. 3) составляем уравнения (8. 4), так как моментная точка для усилия N6 на пересечении параллельных усилий N4 и N5 находится в бесконечности.

4

Соs γ = ———- = 0,8 √42 + 32

1

2

3

P4

P2

4

5

6 a

P1

а

P3

4

5

6 a

P2

а

P2

1

2

3

P1

5

6 a

P3

P4

аа

P4

аа

P3

4 a

5

6

P4

Расчет ферм при действии неподвижной нагрузки — КиберПедия

Опорные реакции ферм вычисляются, так же как и для балок или рам, из условия равновесия конструкции в це­лом. Для аналитического определения продольных усилий в стержнях с помощью шарнирных схем применяют метод вырезания узлов или метод сечений, которые по существу являются модификациями одного и того же метода.

Метод вырезания узлов. Этот метод заключается, как это следует из его названия, в вырезании шарнирных узлов рас­четной схемы фермы и рассмотрения условий их равнове­сия. Мысленно вырезав узел, к нему прикладывают неиз­вестные усилия, действующие во всех перерезанных стер­жнях. При этом изначально предполагается, что все стер­жни растянуты, поэтому все усилия, действующие на узел, положительны и направлены от узла (рис. 2.17, а, б). Если в результате решения значение усилия получится отрица­тельным, то это означает, что данный стержень сжат.

Для любого узла плоской системы можно составить только два независимых уравнения равновесия, из которых мож-

но найти два неизвестных усилия. Например, вырезав узел, в котором приложена сила F(рис. 2.17, а, б), можем запи­сать для него

Отсюда находятся значения S₁= 0 и S₂= -F.Минус во втором равенстве означает, что в действительности стер­жень S₂сжат.

Метод вырезания узлов позволяет сделать ряд заклю­чений.

1. Правила определения нулевых стержней. Нулевыми называют стержни, в которых продольное усилие от действу­ющей нагрузки равно нулю. Для плоской фермы есть три правила, которые легко доказываются с помощью условий равновесия узла в любой системе коорди­нат (рис. 2.17, в—д, кружком отмечены нулевые стержни):

• если в ненагруженном узле сходятся два стержня, оси которых не лежат на одной прямой, то оба они нулевые;

• если к узлу, в котором сходятся два стержня, прило­жена сила, действующая вдоль одного из них, то второй стержень нулевой;

• если в ненагруженном узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной линии, то третий стержень нулевой.

С помощью этих правил можно установить, что в ферме на рис. 2.18, а нулевыми являются девять стержней. Можно также убедиться в том, что момент воспринимается только поясами фермы. То есть при чистом изгибе фермы раскосы и стойки оказываются нулевыми (рис. 2.18, б, в). Сдвига­ющая нагрузка воспринимается и поясами, и раскосами (а в раскосной решетке — и стойками).

Для вырезанного узла пространственной конструкции можно составить три уравнения статики .Например, для нагруженного узла фермы на рис. 2.19, а,б можно записать:

Из второго уравнения получим , из третьего — найдем , а первое уравнение даст . Видно, что стержень растянут, а и — сжаты.

Метод вырезания узлов для пространственных конст­рукций позволяет вывести два правила определения нуле­вых стержней (рис. 2.19, в, г):

• если в ненагруженном узле сходятся три стержня, оси которых не лежат в одной плоскости, то все они нулевые;

• если все стержни, сходящиеся в узле, кроме одного, а также внешняя сила, приложенная к узлу, лежат в одной плоскости, то этот единственный стержень нулевой.

Применяя первое правило, можем установить, например, что в пространственной ферме на рис. 2.19, д, загруженной

крутящим моментом, пояса нулевые. Это связано с приня­тым расположением раскосов, образующих тетраэдр.

2. Кинематический анализ фермы. Как уже отмечалось, статически определимой является конструкция, все опор­ные реакции и внутренние усилия которой могут быть най­дены из условий равновесия. Чтобы полностью определить нагруженность фермы, необходимо найти sнеизвестных про­дольных усилий в стержнях и г опорных реакций (s— ко­личество стержней фермы). Используя метод вырезания уз­лов для определения неизвестных усилий в плоской ферме, можно составить 2wуравнений, где w— количество узлов. Следовательно, ферма статически определима, если коли­чество уравнений равно количеству неизвестных, т. е.

(2.11)

Соответственно, если i< 0, то фермастатическинеопределима, еслиже ,то ферма геометрическиизменяема.

Аналогичный критерий для пространственной фермы имеет вид

(2.12)

Этот метод кинематического анализа фермы значительно удобнее, чем расчет по формулам (2.2) или (2.3), но следует иметь в виду, что и этот способ кинематического анализа также не позволяет выявлять особенности, о которых гово­рилось в п. 2.1.2. Так, для схемы на рис. 2.20, а по формуле (2.11) получится , однако видно, что в этой

ферме левая панель статически неопределима, а центральная — геомет­рически изменяема (рис. 2.20, б). Для выявления таких ситуаций необходи­мо следить за тем, чтобы ферма, как это сказано в определении, состояла из треугольных панелей.

Метод сечений. Этот метод бази­руется на использовании условий равновесия для произвольной отсе­ченной части фермы. Для вычисления какого-либо усилия, например ский анализ фермы(рис.2.21),проводят сечение, проходящее через интересующий нас стержень, и указывают внутренние усилия во всех перерезанных стержнях, пола­гая, что все они растянуты. Сечение обязательно должно полностью разделить конструкцию на две части. Далее составляют уравнения равновесия в форме суммы проекций на какую-либо ось или суммы моментов относительно какой-либо точки всех сил, действующих на отсеченную часть. Уравнение можно составлять для любой отсеченной части, но желательно в такой форме, чтобы в него не входили силы, действующие в других перерезанных стержнях (S₂, S₃). В данном примере целесообразно составить сумму моментов всех сил, действующих с одной стороны сечения относительно точки . Рассмотрев правую часть, найдем

Следовательно,

ОпорнуюреакциюВ_y вычислим из условия равновесияфермы в целом как

Откуда получим Следовательно,

Усилие S₂можно вычислить из условия равенства нулю суммы проекций на вертикальную ось всех сил, действующих, например, на правую отсеченную часть:

Отсюда

Аналитический расчет пространственных ферм чрезвы­чайно трудоемок, поэтому в инженерной практике для это­го используется МКЭ.

Строительная механика | ПроСопромат.ру

Статически определимая ферма. Задача. Определить усилия в стержнях фермы второй панели слева и стойки справа от панели, а также срединной стойки аналитическими методами. Дано: d=2м; h=3м; ℓ=16м; F=5кН.

Рассмотрим ферму с симметричным загружением.

Сначала обозначим опоры буквами А и В, нанесем опорные реакции R_А и R_В.

Определим реакции из уравнений статики. Поскольку загрузка фермы симметрична, реакции будут равны между собой:

Если загрузка фермы несимметричная, то реакции определяются как для балки с составлением уравнений равновесия ∑М_А=0 (находим R_В), ∑М_В=0 (находим R_А), ∑у=0 (проверка).

Теперь обозначим элементы фермы:

«О» — стержни верхнего пояса (ВП),

«U» — стержни нижнего пояса (НП),

«V» — стойки,

«D» — раскосы.

С помощью этих обозначений удобно называть усилия в стержнях, н.р., О₄ — усилие в стержне верхнего пояса; D₂ – усилие в раскосе и т.д.

Затем обозначим цифрами узлы фермы. Узлы А и В уже обозначены, на остальных расставим цифры слева направо с 1 по 14.

Согласно заданию, нам предстоит определить усилия в стержнях О₂, D₁, U₂ (стержни второй панели), усилие в стойке V₂, а также усилие в срединной стойке V₄ . Существуют три аналитических метода определения усилий в стержнях.

1. Метод моментной точки (метод Риттера),
2. Метод проекций,
3. Метод вырезания узлов.

Первые два метода применяется только тогда, когда ферму можно рассечь на две части сечением, проходящим через 3 (три) стержня. Проведем сечение 1-1 во второй панели слева.

Сеч. 1-1 рассекает ферму на две части и проходит по трем стержням — О₂, D₁, U₂. Рассматривать можно любую часть – правую или левую, неизвестные усилия в стержнях направляем всегда от узла, предполагая в них растяжение.

Рассмотрим левую часть фермы, покажем ее отдельно. Направляем усилия, показываем все нагрузки.

Сечение проходит по трем стержням, значит можно применить метод моментной точки. Моментной точкой для стержня называется точка пересечения двух других стержней, попадающих в сечение.

Определим усилие в стержне О₂.

Моментной точкой для О₂будет т.14, т.к. именно в ней пересекаются два других стержня, попавших в сечение, — это стержни D₁ и U₂ .

Составим уравнение моментов относительно т. 14 (рассматриваем левую часть).

О₂мы направили от узла, полагая растяжение, а при вычислении получили знак «-», значит, стержень О₂ – сжат.

Далее в скобках будет указывать деформацию стержня – сжат или растянут.

Определяем усилия в стержне U₂. Для U₂  моментной точкой будет т.2, т.к. в ней пересекаются два других стержня — О₂ и D₁.

Теперь определяем моментную точку для D₁. Как видно из схемы, такой точки не существует, поскольку усилия О₂ и U₂ не могут пересекаться, т.к. параллельны. Значит, метод моментной точки неприменим.

Воспользуемся методом проекций. Для этого спроецируем все силы на вертикальную ось У. Для проекции на данную ось раскоса D₁ потребуется знать угол α. Определим его.

Определим усилие в правой стойке V₂. Через эту стойку можно провести сечение, которое проходило бы по трем стержням. Покажем сечение 2-2, оно проходит через стержни  О₃, V₂, U₂. Рассмотрим левую часть.

Как видно из схемы, метод моментной точки в данном случае неприменим, применим метод проекций. Спроектируем все силы на ось У.

Теперь определим усилие в срединной стойке V₄. Через эту стойку нельзя провести сечение, чтобы оно делило ферму на две части и проходило бы через три стержня, значит, методы моментной точки и проекций здесь не подходят. Применим метод вырезания узлов. Стойка V₄ примыкает к двум узлам – узлу 4 (вверху) и к узлу 11 (внизу). Выбираем узел, в котором наименьшее количество стержней, т.е. узел 11. Вырезаем его и помещаем в координатные оси таким образом, чтобы одно из неизвестных усилий проходило бы по одной из осей (в данном случае V₄ направим по оси У). Усилия, как и прежде, направляем от узла, предполагая растяжение.

Узел 11.

Проецируем усилия на координатные оси

∑х=0,   —U₄+ U₅=0,   U₄= U₅

∑у=0,    V₄=0.

Таким образом, стержень V₄ — нулевой.

Нулевым стержнем называется стержень фермы, в которой усилие равно 0.

Правила определения нулевых стержней — смотреть здесь.

Если в симметричной ферме при симметричном загружении требуется определить усилия во всех стержнях, то следует определить усилия любыми методами в одной части фермы, во второй части в симметричных стержнях усилия будут идентичны.

Все усилия в стержнях удобно свести в таблицу (на примере рассматриваемой фермы). В графе «Усилия» следует проставить значения.

Определение усилий в стержнях плоской фермы

Ферма как стержневая конструкция

Определение 1

Ферма – это шарнирно-стержневая конструкция, соединяющая между собой стержни в точках, называемых узлами. Данная система образует геометрически неизменяемую конструкцию.

Плоская ферма может воспринимать нагрузку, приложенную только в плоскости данной фермы. Такие фермы нуждаются в закреплении из своей плоскости специальными связями или иными элементами.

Пространственные же фермы образуют жесткий пространственный элемент, способный воспринимать нагрузку, действующую в любом направлении. Любая из граней такого каркаса представляет собой плоскую ферму. Лучшей иллюстрацией пространственного бруса может служить башенная конструкция.

Замечание 1

В плоской ферме расстояние между узлами называют панелью. Расстояние между опорами – пролетом. Расстояние между осями (или наружными гранями конструкции) – высотой фермы.

Рисунок 1. Плоская ферма. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Верхний и нижний пояса фермы работают на продольные усилия (растягивающие и сжимающие), что аналогично работе сплошной балки. Решетка плоской фермы в большей мере работает на поперечное усилие.

Соединение стержней в узлах осуществляется с помощью примыкания одного элемента к другому (либо с помощью применения узловых фасонок). Для того, чтобы плоская ферма работала на осевые усилия (влиянием моментов можно было бы пренебречь), стержни следует центрировать по осям, проходящим через центры тяжести.

Фермы классифицируются по ряду признаков (например, по статической схеме, очертанию поясов или величине усилий в элементах):

• балочные разрезные фермы;
• консольные фермы;
• рамные фермы;
• арочные фермы.

Определение усилий

Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов заключается в последовательном отсекании узловых участков фермы и рассмотрении их равновесия.

Метод вырезания узлов может быть реализован аналитически и графически. Аналитический метод является более точным. Следует заметить, что вырезать узлы фермы следует таким образом, чтобы число неизвестных усилий в элементах не превышало двух. В противном случае определить значение усилия не представляется возможным. Получается, что первый вырезанный в ферме узел не должен иметь более двух стержней.

Усилия в отдельных стержнях вполне могут оказаться равными нулю. Подобные стержни называют нулевыми. Существуют соответствующие леммы (аксиомы), которые позволяют определить нулевые стержни плоской фермы без произведения расчета.

Например, если в незагруженных узлах фермы сходится два стержня, то усилия в них будут равны нулю.

Ели вырезать в плоской ферме узел А, в котором сходится два стержня и предположить, что оба эти стержня растянуты, то усилия в них будут направлены от точки А внутрь стержней.

Замечание 2

Если усилие в стержне имеет положительный знак, то стержень растянут, если отрицательный – сжат.

Последующий узел, который представится возможным вырезать, будет иметь три стержня, однако, усилие в одном из них уже теоретически будет известно.

Анализируя проведенные данные, можно выделить положительные и отрицательные качества аналитического метода вырезания узлов. В качестве положительного может выступить простота настоящего способа.

Отрицательным свойством настоящего метода можно назвать то, что усилия в узлах фермы возможно определить только в определенном порядке. Из этого следует, что ошибка, сделанная в первом расчете, неизбежно приведет к неправильному определению усилий во всех последующих стержнях. При этом невозможно будет определить усилия в произвольно взятом стержне.

Пределение усилий в стержнях фермы

Из довольно большого числа способов определения уси­лий в стержнях ферм чаще всего применяются на практике три способа:

1. Способ вырезания узлов;

2. Метод Риттера – метод сечений;

3. Графический метод — построение диаграммы Максвелла-Кремоны.

Способ вырезания узлов заключается в том, что для опре­деления усилий во всех стержнях фермы необходимо вырезать последовательно узлы фермы и, рассматривая равновесие уз­лов, определить усилия в стержнях, сходящихся в рассматри­ваемом узле. При этом нужно начинать вырезать узел, в кото­ром сходятся только два стержня, а далее последовательно вырезаются узлы, в которых сходятся не более двух стержней с неизвестными усилиями.

Метод Риттера заключается в том, что ферма мысленно рассекается на две части. Рассматривая условия равновесия какой-либо отсеченной части и составляя соответствующие уравнения, мы можем оп­ределить неизвестные усилия во всех перерезанных стержнях, если их число равно трем (по числу уравнений равновесия, ко­торые можно составить для плоской системы сил). Эти урав­нения желательно составить таким образом, чтобы в каждое из них входило только одно неизвестное усилие в стержне. Та­ким уравнением оказывается в различных случаях либо урав­нение моментов относительно определенной точки (способ «моментной точки»), либо уравнение проекции на какую-либо ось («способ проекций»).

Способ проекций, как правило, применяется при расчете ферм с параллельными поясами.

Способ моментной точки применяется главным образом в тех случаях, когда удается рассечь ферму на две части так, чтобы при этом перерезанными оказались три ее стержня, на­правления осей которых не пересекаются в одной точке.

Для определения усилия в каком-либо стержне необходи­мо разрезать ферму так, чтобы в разрез, кроме данного стер­жня, попали еще два других (оси которых не сходятся с ним в общей точке), после чего из уравнения моментов относитель­но точки пересечения осей этих двух стержней можно легко определить усилия в данном стержне.

Точка пересечения осей двух стержней, относительно которой составляется уравнений моментов, называется момент­ной..

В начале расчета фермы иногда удается сразу отметить стержни, усилия в которых при данной нагрузке равны нулю. Такие стержни называются нулевыми.

Признаков нулевых стержней два:

1). Если в узле сходятся два стержня, не лежащих на одной прямой (рис. 5.6.), и внешних сил к узлу не приложено, то усилия в обоих стержнях будут равны нулю.

Рис. 5.6. Первый признак нулевого стержня

2). Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, а третий примыкает к ним под некоторым углом (рис. 5.7.), а внешних сил к узлу не приложено, то усилие в примы­кающем третьем стержне равно нулю.

Рис. 5.7. Второй признак нулевого стержня

Частный случай второго признака:

Если в узле сходятся три стержня, два из которых лежат на одной прямой, а третий примыкает к ним под некоторым углом, и по направлению третьего стержня к узлу приложена сила (рис. 5.8.), то усилие в примыкающем третьем стержне равно при­ложенной к узлу силе.

Рис. 5.8. Частный случай второго признака

Графический метод определения усилий в стержнях фермы – построение диаграммы Максвелла-Кремоны.

Сущность графического метода определения усилий в стер­жнях фермы состоит в построении силового многоугольника для каждого из узлов ферм.

При этом силовых многоугольников будет столько, сколько узлов в ферме. Этот метод довольно трудоемок, т.к. требует большое количество графических построений. Целесообразно строить все многоугольники сил не отдельно для каждого узла, а вместе, что позволяет диаграмма Максвелла-Кремоны.

Порядок определения усилий в ферме графическим способом с помощью построения диаграммы Максвелла-Кремоны:

1. Вычерчиваем ферму в строгом соответствии с масштабом длин.

2. Определяем величину и направление опорных реакций ана­литическим или графическим способом.

3. Нумеруем поля расчетной схемы: — внешние поля — заглав­ными буквами латинского алфавита; внутренние поля — араб­скими цифрами.

4. Строим в масштабе сил многоугольник внешних сил, дей­ствующих на ферму, обходя ферму по часовой стрелке. Сипы обозначаем соответствующими полями, примыкающими к данной силе.

5. Строим диаграмму усилий для стержней фермы, для чего:

а) обходим по часовой стрелке узел, в котором сходится два стержня и строим силовой многоугольник для этого узла. Усилия в стержнях нумеруем соответствующими полями. Построение следует начинать с известных сил и наносить все силы в том порядке, в каком они встречаются при обхо­де данного узла по ходу части стрелки.

б) переходим к следующему узлу, в котором сходится не более 2-х стержней с неизвестными усилиями и повторяем предыдущее построение, и т.д.

6. Контролем правильности построения является параллельность последнего стержня на ферме последнему соответ­ствующему отрезку на диаграмме.

7. Определяем усилие в стержнях фермы. Для этого измеря­ем отрезки, соответствующие стержням фермы на диаграм­ме и в соответствии с масштабом сил вычисляем величину усилия.

8. Определяем знаки усилий в стержнях фермы. При опреде­лении знака усилия читаем наименование стержня, обходя узел по часовой стрелке (1-2).

В такой же последовательности (допустим 1-2) читаем наи­менование усилия на диаграмме усилий. Направление чтения определит направление действующего

усилия: к узлу (–), от узла (+).

9. Все полученные данные о величине и знаке усилия в стерж­нях сводятся в таблицу.

10. Производим сравнение результатов аналитического и гра­фического расчетов и вычисляем погрешность производи­мых расчетов.

Пример расчета 5.1.

Определить усилия в отмеченных стержнях фермы аналитическим и

графическим способом.

Для определения усилий необходимо вычертить схему фермы с указанием конкретных геометричес­ких размеров и нагрузок.

Рис. 5.9.Расчетная схема фермы

Аналитический расчет фермы

1. Определение опорных реакций

На рис. 5.9. представлена ферма, условия опирания которой такие же, как у простой балки. Такая ферма называется ба­лочной. Как и у простых балок, в балочных фермах при дей­ствии вертикальных нагрузок возникают только вертикальные опорные реакции. Их определение производится так же, как и в простых балках.

Вертикальные опорные реакции можно определить, пользу­ясь только 2-мяуравнениями статики:

1) Σ М_А = 0; 2) Σ М_В= 0,

где Σ М_А — сумма моментов всех сил относительно точки А;

Σ М_В — сумма моментов всех сил относительно точки В.

Раскрыв значение Σ М_А и Σ М_В, получим:

Vв·l — F· 5d — F· 4d — F· 3d — F· 2d — F· d = 0

V_A·l — F· 5d — F· 4d — F· 3d — F· 2d — F· d = 0

Из первого уравнения определим величину опорной реакции V_В:

Vв = 25 кН

Из второго уравнения определим величину вертикальной реакции V_A:

V_A = 25 кН.

После вычисления опорных реакций следует убедиться в правильности их определений, т.к. ошибка в определении их приведет к ошибкам и в определении внутренних усилий в стер­жнях фермы.

Для проверки правильности полученных результатов реко­мендуется составить третье уравнение равновесия, которое не использовалось при определении опорных реакций.

Если вертикальные опорные реакции определены верно, то сумма проекций всех сил на вертикальную ось должна быть тождественно равна нулю, т.е.

ΣFу = 0;

V_A + V_B-5F =25 +25 -5·10 = 0.

Результаты проверки свидетельствуют о том, что верти­кальные опорные реакции определены верно.

2. Определение усилий в стержнях фермы методом вырезания узлов.

В рассматриваемом примере (рис. 5.9.) нулевыми стержня­ми фермы являются стержни 2-3 (из рассмотрения узла 2) и 8-7 (из рассмотрения узла 8) по первому признаку нулевых стержней.

Стержень 3-14 также нулевой по второму признаку нуле­вых стержней (из рассмотрения узла 14 рис. 5.10.).

Рис. 5.10. Равновесие узла 14

Пользуясь частным случаем второго признака нулевых стержней, можно определить без вычисления усилия в стер­жнях 4—13, 5—12. Усилия в стержне 4-13 равно— F, т.е. N_4-13= —F; знак (—) указывает на то, что стержень сжат. И действи­тельно, рассматривая узел 4, мы можем убедиться в том (рис. 5.11.).

Рис. 5.11. Равновесие узла 4

Вырезав узел, показываем направление усилий от узла, т.е. предполагаем, что все стержни растянуты.

Выбираем оси ко­ординат таким образом, чтобы одна из осей (ось х)совпала с направлением усилий N_4-13 и N_4-13

Составляем уравнение равновесия всех сил, сходящихся в одной точке.

Это уравнение должно включить в себя только одно неизвестное усилие N_4-13. Для этого спроектируем все силы на вертикальную ось у:

-F- N_4-13 =0; N_4-13 = — F = -10 кН.

Рассуждая таким же образом, определяем усилие в стер­жне 5—12.

N_5-12 = F .

Усилие в стержне 1-14 определяем способом вырезания узла. Вырезаем узел 1 и рассматриваем его равновесие. В данном узле сходятся 3 стержня, но неизвестных усилий только два (N_1-3 и N_1-14). Усилие N_1-2 = 0 (по первому признаку нуле­вых стержней, рассматривая узел 2).

Выбираем оси координат так, чтобы одна из осей (ось х) совпала с направлением «ненужного» нам усилия (N_1-3).

Проектируем все силы на ось У и составляем уравнение:

Рис. 5.12. Равновесие узла 1

ΣFу = 0;

V_A·cosα — N_1-14·sinα = 0 N_1-14 = V_A·cosα / sinα = V_A ·ctgα

сtgα = 4 / 4 = 1 из геометрических размеров фермы.

N_1-14 = 25 кН.

3. Метод сечений.

Усилия в стержнях 5-6,5-11,7-11,10-11 определяем спосо­бом рассечения (метод Риттера). Для определения усилий в стержнях 5-6 и 5-11 рассекаем ферму сечением n- n (рис. 5.13.).

Рассматриваем равновесие одной отсеченной части фермы. Лучше рассматривать правую от сечения часть, так как на нее действует меньше сил.

Действие левой отброшенной части фермы на правую за­меним усилиями в рассеченных стержнях. Усилия направляем от узлов, предполагая стержни растянутыми. Усилие в стерж­не 5-6 определяем способом моментной точки. Этой точкой является узел 11.

Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на данную часть фермы относительно точки 11.

Рис. 5.13. Равновесие правой части фермы (сечение n- n)

∑M₁₁=0

N_5-6·h — F·d + V_B ·2d = 0

N_5-6 = (F·d — V_B ·2d) / h = (10·4 – 25· 2 ·4) = — 40 кН.

Знак минус указывает на то, что стержень 5-6 — сжат.

Усилие в стержне 5-11 способом моментной точки опреде­лить нельзя, т.к. положение ее неизвестно (точка пересечения стержней 5-6 и 11-12 находится в бесконечности). Поэтому для определения усилия N_5-11 используем способ проекций.

Спроектируем все силы, действующие на правую часть фермы, на вертикальную ось. Составим уравнение равнове­сия:

ΣFу = 0;

N_5-11·sinα — F- F + V_B = 0

N_5-11 = (2 F — V_B) / sinα₁

sin α₁ = tg α₁ / (√ 1 + tg² α₁) = 1 / 1,41

N_5-11 = — 7,05 кН (стержень 5-11 сжат).

Для определения усилий в стержнях 7-11 и 10-11 рассечем ферму сечением m-m и рассмотрим равновесие правой отсе­ченной части (рис.5.14.).

Рис. 5.14. Равновесие правой части фермы (сечение m- m).

Для определения усилия в стержне 10-11 используем спо­соб моментной точки. Такой точкой является узел 7. Со­ставляем уравнение моментов относительно точки 7.

∑M₇ = 0

N_10-11 ·h — V_B ·d = 0

N_10-11 = V_B ·d / h = 25· 4 / 4 = 25 кН (растянут)

Для определения усилий в стержне 7-11 используем способ проекций. Спроектируем все силы на вертикальную ось и со­ставим уравнение:

ΣFу=0;

Проектируя на вертикальную ось все силы, тем самым ис­ключаем из уравнения проекций два усилия N_6-7 и N_10-11, и в уравнение входит только одно неизвестное усилие:

N_7-11 ·cosβ – F + V_B = 0

N_7-11 = (F — V_B) / cosβ

cosβ = 0,707

N_7-11 = (25 – 10) / 0,707 = 21,15 кН (стержень 7-11 растянут).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Строительная механика | ПроСопромат.ру | Страница 2

Как рассчитать неразрезную балку. Уравнение 3-х моментов.

Неразрезная балка нагружена во всех пролетах. Построить эпюры Q и M для неразрезной балки.

Схема неразрезной балки

1. Определяем степень статической неопределимости балки по формуле:

n= Соп -3= 5-3 =2, где Соп – число неизвестных реакций, 3 – число уравнений статики. Для решения данной балки требуется два дополнительных уравнения.

2. Обозначим номера опор с нулевой по порядку (0,1,2,3)

3. Обозначим номера пролетов с первого по порядку (ι_1,ι_2,ι₃)

4. Каждый пролет рассматриваем как простую балку и строим для каждой простой балки эпюры Q и M. То, что относится к простой балке, будем обозначать с индексом «0», то, что относится к неразрезной балке, будем обозначать без этого индекса. Таким образом,  — это поперечная сила и изгибающий момент для простой  балки.

Рассмотрим балку 1^го пролета

Определим фиктивные реакции для балки первого пролета по табличным формулам (см.таблицу «Фиктивные опорные реакции….»)

Балка 2^го пролета

Балка 3^го пролета

5. Составляем уравнение 3^х моментов для двух точек ­­– промежуточных опор ­– опора 1 и опора 2.  Это и будут два недостающих уравнения для решения задачи.

Уравнение 3х моментов в общем виде:

Для точки (опоры) 1 (n=1):

Для точки (опоры) 2 (n=2):

Подставляем все известные величины, учитываем, что момент  на нулевой опоре и на третьей опоре равны нулю,  M₀=0; M₃=0

Тогда получим:

Поделим первое уравнение на сомножитель 4 при M₂ 

Второе уравнение поделим на сомножитель 20 при M₂   

Решим эту систему уравнений:

Из первого уравнения вычтем второе, получим:

Подставляем это значение в любое из уравнений и находим M₂

Итак, нашли опорные моменты:

6. Построение эпюры поперечной силы Q для неразрезной балки

Формула для определения Q в любом сечении неразрезной балки:, где n – пролет

1) Построение эп. Q в первом пролете:

Эта запись означает, что поперечная сила в неразрезной балке в первом пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9 . 

На эпюрах должны прослеживаться скачки на величину сил.

2) Построение эп. Q во втором пролете:

Поперечная сила в неразрезной балке во втором пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на – 9,5.    

3)Построение эп. Q в третьем пролете:

Поперечная сила в неразрезной балке в третьем пролете будет такая же, как в простой балке с разницей ординат на +15,3.  

Строим эпюру поперечных сил для неразрезной балки. 

7.  Построение эпюры изгибающего момента для неразрезной балки. Сначала откладываем на опорах значения опорных моментов,   соединяем их линией опорных моментов. Это эпюра опорных моментов.

Эпюру М для неразрезной балки можно построить:

1 вариант – методом «подвешивания».  К эпюре опорных моментов  «подвешиваем»  эпюру M⁰  по разницам ординат. К примеру, в середине первого пролета на эпюре M⁰  ордината равна 90,  а на эпюре опорных моментов -27. В итоге получим 90-27=63. Это значение и откладываем.

2 вариант – формула для определения изгибающего M в любом сечении неразрезной балки:

, где n-пролет , x — расстояние.

Для той же точки первого пролета, которую рассматривали в методе «подвешивания»:

Построение эп. М во 2^ом пролете, загруженном равномерно распределенной нагрузкой

Определим положения т. К. по эпюре Q — это точка экстремума.

Определим М неразрезной балки во 2^ом пролете в этой точке: Теперь нужно определить в этой точке К изгибающий момент М в простой балке:

Таким образом, момент в точке К для неразрезной балки:

Строим эпюру М.

8. Выполним проверку опорных реакций. Покажем реакции   на схеме балки на опорах, направив их вверх. Значения этих реакций определим по скачкам эпюры Q. Таким образом получим:

Спроецируем все силы, приложенные к балке, и реакции на вертикальную ось, выполним проверку.

Подставим значения, получим 340-340=0

Проверка верна.

ПроСопромат.ру | Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания

Из исследований известно, что характер деформирования в значительной степени зависит от формы поперечного сечения. В технике чаще всего применяются стержни круглого и кольцевого сечения. Рассмотрим стержень круглого сечения.

В поперечном сечении возникают только касательные напряжения. Нормальные силы параллельны оси z и не дают момента. Таким образом, в качестве внутреннего силового фактора имеется только крутящий момент – результирующий момент внутренних касательных сил τdА, действующих на площадке  dА.

В интегральном  виде крутящий момент можно представить как:

 (1), где ρ – плечо элементарной  силы относительно точки 0 – центра сечения.

Формула (1) выражает статическую сторону задачи о кручении, но не позволяет определить значение касательного напряжения τ, пока неизвестен закон  распределения касательных напряжений по сечению.

В основу технической теории о кручении положена гипотеза плоских сечений и допущения:

1. Расстояния между поперечными сечениями в процессе деформации не меняются, т.е. длина бруса остается постоянной.

2. Радиусы поперечных сечений не искривляются.

Все это подтверждается экспериментально, а также выводами теории упругости (кроме допущения о непрерывности).

Выделим из бруса трубчатый стержень с внутренним радиусом ρ и бесконечно малой толщиной dρ – тогда касательные напряжения можно считать равномерно распределенными по кольцевому сечению.

Мерой деформации при кручении является угол закручивания:

 (2) – относительный угол закручивания,  где

dφ- угол взаимного поворота двух бесконечно близких сечений.

dz – расстояние между  ними.

Следует отметить, что у относительного угла закручивания θ в кручении  такая же роль, как у ε (относительная продольная деформация) при растяжении (сжатии). Если рассмотреть деформацию на трубчатом стержне, то можно увидеть, что СВ перешло в СВ’, ЕD — ЕD’, ОВ — ОВ’, ОD — ОD’. Таким образом, можно констатировать, что бесконечно малый элемент боковой поверхности СВДЕ претерпевает чистый сдвиг. Тогда угол сдвига:

Тогда с учетом формулы (2) ,  получим формулу угла сдвига:

 (3) Эта формула выражает геометрическую сторону  задачи.

Теперь обратимся к физической стороне задачи. Известен закон Гука для сдвига:

 , где G –это модуль сдвига, физическая константа

С учетом формулы (3)  , получим выражение для касательного напряжения:

 (4)

Согласно принятым допущениям величина θ является одинаковой для всех трубчатых стержней, из которых может быть составлен круглый брус. G – модуль сдвига тоже величина постоянная, следовательно, закон распределения касательных напряжений линеен и находится в зависимости от расстояния ρ.

Формулу (4) подставляем в (1) ,получим:

Gθ=const, поэтому вынесены за знак интеграла, а в подынтегральном выражении наблюдается полярный момент инерции сечения, таким образом получаем:

, откуда выразим относительный угол закручивания: (5)

Формулу (5) подставим в  (4) и получим формулу для определения касательных напряжений при кручении в любой точке сечения:

 (6)

Из формулы (6) видно, что касательные напряжения τ возрастают от 0 (центр) до max  в точках внешнего контура. Максимальное напряжение:   

 (7)

По углу закручивания θ легко определить абсолютный угол поворота одного сечения относительно другого. Из формул (2) и (5):

, где ℓ- расстояние между сечениями.

Если брус одинаков по сечению по длине (I_ρ=const), и крутящий момент постоянен, то после интегрирования получим значение угла поворота в радианах:

 (8)

Жесткость сечения при сдвиге. В знаменателе произведение модуля сдвига на полярный момент инерции  называется жесткостью сечения при сдвиге.

Определение крутящего момента через мощность.

, где  N -мощность, кВт, n=об/мин

На практике мощность чаще всего задаётся либо в киловаттах, либо лошадиных силах и числом оборотов в минуту.