Как определить угол наклона плоскости: Начертательная геометрия, решение задачи №7 ОмГУПС

Как определить угол наклона плоскости

Расчет угла наклона плоскости

Плоскость — это поверхность, содержащая прямые, соединяющие две любые ее точки.

Угол наклона плоскости — это угол вершины противоположный высоте плоскости.

Для расчета угла наклона плоскости используются тригонометрические формулы.

Быстро выполнить эту простую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор расчета угла наклона плоскости, если известны основание и высота. С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить угол наклона плоскости.

Научная электронная библиотека

Прямая общего положения на плоскости проекций отображается с искажением (рис.4.6). Для того чтобы найти её натуральную величину, необходимо воспользоваться правилом прямоугольного треугольника, согласно которому на комплексном чертеже натуральной величиной прямой является гипотенуза прямоугольного треугольника, построенного на двух катетах. Один из этих двух катетов – это проекция рассматриваемой прямой, а вторым катетом является разность координат начала и конца этой прямой или разность координат z точек А и В (Δz = zA – zB).

Углы наклона прямой общего положения к плоскостям проекций по двум ее проекциям находят при определении действительной величины этой прямой способом прямоугольного треугольника. Если взять прямую общего положения АВ и спроецировать ее на горизонтальную плоскость проекций, а через точку А провести линию, параллельную плоскости, то в пространстве получится прямоугольный треугольник, один из катетов которого (AB’) равен длине проекции прямой АВ, а угол между прямой и этим катетом будет углом наклона заданной прямой к горизонтальной плоскости проекций (рис. 4.6), что можно подтвердить известным математическим соотношением:

Прямая А1В0 представляет натуральную величину прямой общего положения АВ.

Для определения натуральной величины прямой общего положения АВ и угла наклона её к плоскости проекций на эпюре (комплексном чертеже) необходимо построить прямоугольный треугольник:

— первый катет этого треугольника равен проекции прямой, на плоскости проекций;

— для построения второго катета необходимо из проекции любого конца проекции прямой линии под прямым углом к проекции провести луч, на котором отложить длину второго катета, равную разности расстояний от концов прямой до данной плоскости проекций;

— гипотенуза полученного прямоугольного треугольника будет равна действительной величине заданной прямой;

— угол наклона прямой линии к той или иной плоскости проекций равен углу между гипотенузой – натуральной величиной и катетом – проекцией прямой на эту плоскость проекций.

Углы наклона прямой линии общего положения к плоскости, всегда меньше их ортогональных проекций.

Рис. 4.6. Определение угла наклона и натуральной величины отрезка

Учитывая сказанное выше и рассмотрев рис. 4.7, можно утверждать, что длина отрезка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фронтальная проекция отрезка А2В2 и разность координат Y точек А и В (ΔY = YB – YA). Угол этого треугольника, лежащий против катета ΔY, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π2 (угол β°).

По аналогии длина отрезка АВ может быть определена и как гипотенуза треугольника, катеты которого профильная проекция отрезка А3В3 и разность координат Х (Δ Х = ХА – ХВ) точек А и В. Угол γ° этого треугольника, лежащий против катета Δ Х, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π3.

На рис. 4.8 показан пример определения натуральной (действительной) длины прямой АВ и углов её наклона к плоскостям проекций.

Рис. 4.7. Определение угла наклона и натуральной величины отрезка

Рис. 4.8. Определение длины отрезка и углов наклона к плоскостям проекций на комплексном чертеже

Угол αº, получен при построении прямоугольного треугольника на горизонтальной проекции прямой. Углы β и γ определены с использованием фронтальной и профильной проекций прямой соответственно. Натуральная величина, указанной прямой, обозначена гипотенузами прямоугольных треугольников, построенных на трёх плоскостях проекций.

Построение плоскости, проходящей через заданную прямую линию

Через произвольную прямую линию общего положения можно провести сколько угодно плоскостей общего положения. Для примера на рис. 4.25 плоскость задана двумя пересекающимися прямыми: заданной А В и произвольной А С.

Через прямую линию общего положения, например АВ, можно провести три проецирующие плоскости: горизонтально проецирующую (рис. 4.26, а), фронтально проецирующую (рис. 4. 26, б) и профильно проецирующую (рис. 4.26, в).

Плоскость уровня через прямую общего положения провести невозможно.

Определение углов наклона плоскости к основным плоскостям проекций

Угол между заданной плоскостью и плоскостью проекций проецируется без искажения только в том случае, если она занимает проецирующее положение. Для плоскостей общего положения углы наклона определяют с помощью замены плоскостей проекций. При этом плоскость общего положения в новой системе должна быть перпендикулярна новой плоскости проекций.

Чтобы плоскость заняла проецирующее положение, необходимо одну из ее линий уровня спроецировать на новую плоскость проекций в виде точки. Это объясняется тем, что только проецирующие плоскости содержат проецирующие прямые.

Для определения угла наклона плоскости общего положения а (ЛВС) к горизонтальной плоскости проекций ее нужно превратить в горизонтально проецирующую, проведя горизонтальную прямую А1 (рис. 4.27) и задав новую плоскость 71₄ перпендикулярно А1, а следовательно, и к плоскости проекций щ: (тс₄± а) _1_ 711 => Х ± А ‘ 1 И а).

Способ определения угла наклона плоскости

Изобретение относится к измерительной технике и может быть использовано в ускорительной и измерительной технике физического эксперимента, а также в области геодезии при строительстве протяженных гидротехнических сооружений, при создании приборов и устройств, требующих привязки к уровню горизонта; в измерительной технике. Техническим результатом изобретения является повышение точности измерения угла наклона; малый вес и габариты элементов. Способ заключается в определении высоты столба жидкости в двух сообщающихся сосудах, расположенных на фиксированном расстоянии относительно друг друга на подложке, устанавливаемой на измеряемую поверхность, путем одновременного измерения электрической емкости конденсаторов, расположенных в этих сосудах, между обкладками которых находится жидкость. По измеренным значениям емкостей вычисляют угол наклона с применением соответствующих формул. Одновременно с измерением емкостей измеряют температуру окружающей среды и корректируют погрешность изменения столба жидкости в сосудах, связанную с температурным расширением используемой жидкости и материала сосудов, исходя из их известной зависимости от температуры. 1 з.п. ф-лы, 3 ил.

 

Область техники

Способ может быть использован при создании приборов и устройств, требующих привязки к уровню горизонта; в области геодезии; при строительстве протяженных гидротехнических сооружений; в том числе измерительной технике и технике физического эксперимента.

Уровень техники

Многие приборы для измерения угла наклона поверхности работают на принципе сообщающихся сосудов: теодолиты, манометры, нивелиры. Для определения угла наклона с помощью сообщающихся сосудов требуется знать уровень жидкости в них. Точность измерений таких приборов зависит от устройства измерения высоты столба жидкости в сосуде.

Для измерения высоты столба жидкости используется либо шкала, нанесенная на сосуд, либо шкала, специально разработанная для данного устройства. Как правило, точность измерения с помощью обычных шкал не превышает 0.5 мм. Лучшую точность имеют инклинометры, обладающие двойной шкалой измерения. Их точность для большинства моделей составляет ±0.1°. Лучшую точность имеют инклинометры NB3 фирмы Seika (0.001° в диапазоне углов ±10°) [1], что для ряда приложений является недостаточным как по диапазону измеряемых углов, так и точности измерения. Для решения данной задачи были предложены различные способы. Известен способ [2] измерения уровня диэлектрической жидкости с помощью емкостного уровнемера в виде ряда одинаковых по емкости конденсаторов, расположенных вертикально один над другим снизу вверх. Емкость конденсаторов, междуэлектродное пространство которых заполнено диэлектрической жидкостью, превышает емкость конденсаторов при отсутствии жидкости. Измеряя и сравнивая величины емкостей конденсаторов, определяют уровень жидкости по их известному положению. Известен способ [3] измерения уровня жидкости и уровнемер типа штанги для его осуществления. В данном способе на штанге, которая погружается в жидкость для измерения уровня, установлены единичные емкости, служащие датчиками положения. Величина емкости зависит от наличия жидкости между обкладками. Последовательный опрос величины емкости конденсаторов с помощью электронных средств позволяет определить уровень жидкости, так как емкость конденсатора при наличии между обкладками жидкости превышает емкость воздушного конденсатора. Перечисленные способы [2,3] имеют ограниченную точность измерения уровня жидкости вследствие дискретного положения конденсаторов и расстояния между ними, а также ошибки в определении уровня жидкости, когда жидкость перекрывает обкладку не полностью. Известен датчик углов наклона объекта [4], содержащий два электролитических уровня, выполненные в виде ампулы цилиндрической формы с двумя электродами и наполненные электролитической жидкостью. Электроды устанавливаются симметрично относительно третьего — среднего, расположенного на противоположной части ампулы. Оба уровня повернуты относительно своих продольных осей на 180° и наклонены к горизонту на заданный угол в противоположных направлениях. Средние электроды соединены последовательно с конденсаторами фиксированной емкости, которые образуют два плеча измерительного моста. В первую диагональ моста включен источник напряжения переменного сигнала с заданной частотой, а во вторую — электрометрический усилитель и электроника регистрации сигнала. Усилитель сравнивает и усиливает разность сигналов со средних электродов датчика. В зависимости от угла наклона меняются величины сопротивления и емкости центральных электродов диэлектрических уровней, что вызывает изменение амплитуды сигнала измерительного моста, по которому судят об угле наклона. Режим измерения не учитывает влияние температуры, а датчик имеет трудности в изготовлении наружных выводов к электродам в герметичной ампуле с жидкостью.

Известен способ определения угла наклона и устройство для его осуществления [5], выбранный в качестве прототипа.

Работа устройства основана на перемещении тела качения относительно стационарного положения в камере с жидкостью под действием силы тяжести. Перемещение тела происходит в чувствительной зоне, создаваемой активным элементом, расположенным ниже корпуса с камерой. Расстояние между активным элементом и телом качения регулируется. В случае емкостного способа создания чувствительной зоны активный элемент состоит из металлических обкладок, расположенных концентрическим образом и образующих электрическую емкость. В качестве тела качения может использоваться шар или диск, или цилиндр, а поверхность качения выполняют в виде сферы, конуса или поверхности с заданной кривизной. Поверхность качения имеет фиксированный угол относительно уровня горизонта. При наклоне устройства, превышающем заданный угол, тело начинает катиться под действием силы тяжести до точки, касательная в которой параллельна уровню горизонта. Величина измеряемой емкости между концентрическими обкладками активного элемента зависит от положения тела качения, что позволяет определить угол наклона. Данное техническое решение имеет следующие недостатки:

— активный элемент экранируется корпусом и жидкостью камеры, что уменьшает чувствительность способа;

— в предложенном способе направление угла наклона в плоскости XY задается с помощью концентрических обкладок, расположенных дискретно по окружности, что ограничивает точность определения угла в радиальном направлении;

— способ имеет температурную зависимость из-за диэлектрической постоянной жидкости и коэффициента расширения материала тела качения, которые вносят неучитываемую ошибку в результат измерения;

— способ не чувствителен к наклонам менее угла, фиксированного при изготовлении устройства, а при нулевом угле наклона нет фиксации нулевой точки координат;

— создание поверхности качения и тела качения (сфера, шар, цилиндр и других сложных форм) требует специального оборудования с высокой точностью и высокого качества обработки для уменьшения трения качения.

Перечисленные недостатки данного способа не позволяют обеспечить требуемую точность измерения угла наклона 10^-5-10^-6, необходимую в технике физического эксперимента.

Ставилась задача разработать надежный, простой, доступный в реализации и удобный в применении способ измерения угла наклона плоскости и расположенных на ней объектов с высокой точностью для техники физического эксперимента. Например, проектируемый ускоритель в рамках международного проекта “Компактный Линейный Коллайдер” (The Compact Linear Collider) [6] должен обеспечить электронный пучок по вертикальной координате порядка 5·10

-9 метра [7]. Поэтому монтаж ускорительных элементов пучка, криомодулей, необходимо выполнять с прецизионной точностью, и задача контроля их установки соосно является важной проблемой.

Раскрытие изобретения

Поставленная задача решается с помощью использования сообщающихся сосудов с жидкостью, установленных на общей подложке и разнесенных на фиксированное расстояние. Высота столба жидкости в сосудах, необходимая для вычисления угла наклона, определяется путем одновременного измерения емкости конденсаторов, помещенных в сосуды, между обкладками которых находится жидкость.

По измеренным значениям емкостей вычисляют угол наклона плоскости или объекта, определяемый линией горизонта и линией, проходящей через центры оснований сосудов, по формуле:

ϕ=arcsin(2H0L⋅C1−C2C1+C2)

где:

φ — измеряемый угол наклона;

H₀ — высота столба жидкости в сосудах при нулевом угле наклона;

L — расстояние между сосудами, определяемое по линии между центрами их оснований;

C₁ — емкость первого конденсатора при измерении наклона;

С₂ — емкость второго конденсатора при измерении наклона.

Чтобы повысить точность определения угла наклона, площади обкладок конденсаторов, высоту столба жидкости в сосудах и паразитные емкости измерительных проводов калибруют при нулевом угле наклона, а угол наклона вычисляют по формулам:

k=C1К(TК)C2К(TК)=S1КS2К

HК=εε0S1КC1К−ΔC1=εε0S2КC2К−ΔC2

φ=arcsin[2HКL⋅(C1−ΔC1)−k(C2−ΔC2)(C1−ΔC1)+k(C2−ΔC2)]

где:

k — коэффициент отношения калиброванных площадей обкладок конденсаторов;

С_1К — емкость конденсатора в первом сосуде, измеряемая при калибровке;

С_2К — емкость конденсатора во втором сосуде, измеряемая при калибровке;

S_1К — калиброванная площадь верхней обкладки конденсатора в первом сосуде;

S_2К — калиброванная площадь верхней обкладки конденсатора во втором сосуде;

H_К — калиброванное значение высоты столба жидкости в сосуде;

ε₀ — диэлектрическая постоянная вакуума;

ε — диэлектрическая проницаемость жидкости;

С₁ — емкость конденсатора в первом сосуде при измерении наклона;

С₂ — емкость конденсатора во втором сосуде при измерении наклона;

ΔС₁ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора в первом сосуде;

ΔС₂ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора во втором сосуде;

L — расстояние между сосудами, определяемое по линии между центрами их оснований.

Для учета влияния температуры одновременно с измерением емкостей конденсаторов измеряют температуру окружающей среды и корректируют погрешность изменения столба жидкости в сосудах, связанную с температурным расширением используемой жидкости и материала сосудов, исходя из их известной зависимости от температуры, а угол наклона вычисляют по формуле:

ϕ=arcsin{2HKL⋅[1+[αж(Т)−αж(ТК)]−[αС(Т)−αС(ТК)]1+αС(Т)−αС(ТК)]⋅(C1−ΔC1)−k(C2−ΔC2)(C1−ΔC1)+k(C2−ΔC2)}

где:

H_К — калиброванное значение высоты столба жидкости в сосуде;

L — расстояние между сосудами, определяемое по линии между центрами их оснований;

Т — температура окружающей среды при измерении наклона;

T_K — температура окружающей среды при калибровке;

α_ж(Т) — значение коэффициента температурного расширения жидкости при температуре измерения наклона;

α_ж(T_K) — значение коэффициента температурного расширения жидкости при температуре калибровки;

α_с(Т) — значение коэффициента температурного расширения материала сосуда при температуре измерения наклона;

α_с(Т_K) — значение коэффициента температурного расширения материала сосуда при температуре калибровки;

С₁ — емкость конденсатора в первом сосуде при измерении наклона;

С₂ — емкость конденсатора во втором сосуде при измерении наклона;

ΔС₁ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора в первом сосуде;

ΔС₂ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора во втором сосуде.

Совокупность выше указанных признаков позволяет повысить точность измерения угла наклона и обеспечить требования, предъявляемые в технике физического эксперимента.

Заявляемое техническое решение поясняется чертежами.

1. Фигура 1, где:

1 — прибор для одновременного измерения емкости конденсаторов в сосудах; 2 и 3 -сообщающиеся сосуды с жидкостью; 4 и 5 — верхние обкладки конденсаторов; 6 и 7 — уровни жидкости в сосудах; 8 — соединительная трубка; 9 — подложка для установки сосудов; 10 и 11 — нижние обкладки конденсаторов.

2. Фигура 2, где элементы с 1 по 11, обозначенные на фиг.1, показаны в режиме измерения.

3. Фигура 3 — зависимость диэлектрической проницаемости воды от температуры.

Принцип сообщающихся сосудов позволяет определить угол наклона плоскости. Для этого требуется знать разность высот столбов жидкости в сосудах и расстояние между сосудами:

ϕ=arcsin(h2−h3L)

H₁ — уровень жидкости в первом сосуде;

Н₂ — уровень жидкости во втором сосуде;

L — расстояние между сосудами.

В случае измерения высоты столба жидкости по величине емкости, между обкладками которых находится жидкость, приведенная выше формула имеет вид:

ϕ=arcsin(2H0L⋅C1−C2C1+C2)

где:

φ — измеряемый угол наклона;

H₀ — высота столба жидкости в сосудах при нулевом угле наклона;

L — расстояние между сосудами, определяемое по линии между центрами их оснований;

С₁ — емкость первого конденсатора при измерении наклона;

С₂ — емкость второго конденсатора при измерении наклона.

Точность измерения угла наклона зависит от точности определения этих параметров. Работу способа иллюстрируют фиг.1 и 2. Чтобы обеспечить высокую точность определения угла наклона, площади верхних обкладок конденсаторов и высота столба жидкости в сосудах калибруются при нулевом угле наклона и измеренной температуре. Элементы способа в режиме калибровки показаны на фиг.1. Калибровка позволяет учесть паразитную емкость соединительных проводов, нелинейные эффекты на краях конденсаторов, компенсировать ошибку измерения площади обкладок и с высокой точностью определить высоту столба жидкости в сосудах. Калибровка выполняется следующим образом. Предварительно с высокой точностью измеряется площадь верхних обкладок (4, 5) конденсаторов, которые плавают на поверхности жидкости и равны S_1И и S_2И соответственно для первого и второго конденсатора. Нижние обкладки конденсаторов (10, 11) крепятся на дне сосудов и могут иметь большую площадь. Критичной является площадь верхних обкладок. Далее сосуды 2 и 3 закрепляют на подложке 9, которую устанавливают на плоскость с нулевым уклоном, причем сосуды сообщаются с помощью трубки 8. При отключенных обкладках измеряют паразитные емкости проводов, соединяющих конденсаторы с прибором одновременного измерения емкости 1, определяя погрешности, вносимые проводами (ΔС₁ — для первого конденсатора и ΔС₂ — для второго). Затем провода подключают к обкладкам конденсаторов 4, 10 и 5, 11 и в сосуды наливают определенное количество жидкости. В этом случае уровни жидкости в сосудах 6 и 7 будут одинаковыми, и емкости конденсаторов между обкладками 4, 10 (С_1К) и обкладками 5, 11 (С_2К), измеряемые с помощью прибора 1, будут определяться соотношениями:

C1K=εε0S1KH0+ΔC1

C2K=εε0S2KH0+ΔC2

Отношение измеренных при калибровке величин емкостей C_1К и C_2К с учетом измеренных поправок равно отношению компенсированных площадей конденсаторов, которое будет константой при любом количестве жидкости в сосудах. Это позволяет компенсировать относительную ошибку в измерении площадей и учесть краевые эффекты конденсаторов.

C1K−ΔC1C2K−ΔC2=S1KS2K=k , S1K=kS2K .

В приведенных соотношениях:

C_1К — емкость конденсатора в первом сосуде, измеренная при калибровке;

C_2K — емкость конденсатора во втором сосуде, измеренная при калибровке;

S_1К — площадь верхней обкладки конденсатора с учетом коррекции в первом сосуде;

S_2К — площадь верхней обкладки конденсатора с учетом коррекции во втором сосуде;

ΔС₁ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора в первом сосуде;

ΔС₂ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора во втором сосуде;

k — коэффициент отношения компенсированных площадей обкладок конденсаторов.

Алгоритм компенсации площадей конденсаторов основывается на измерении отношения емкостей k и предположении равных ошибок измерения площадей: ΔS₁=ΔS₂. В связи с тем, что краевые эффекты уменьшают величину емкости, корректирующая ошибка измерения площади будет отрицательной. По аналогии можно определить ошибку, когда отклонения имеют разные знаки. Ошибка вычисляется из соотношения:

S1KS2K=S1И−ΔS1S2И−ΔS2=k

ΔS1=S1И−kS2И1−k

Коэффициент k вычисляется из независимого соотношения емкостей:

C1K−ΔC1C2K−ΔC2=k

Корректировка измеренных значений площадей конденсаторов на величину ΔS₁ позволяет более точно определить высоту столба жидкости в сосудах H_K по соотношениям:

HК=εε0S1КС1К−ΔС1=εε0S2КС2К−ΔС2

где:

H_К — калиброванное значение высоты столба жидкости в сосуде;

S_1К — калиброванное значение площади верхней обкладки первого конденсатора;

S_2К — калиброванное значение площади верхней обкладки второго конденсатора;

S_1И — измеренное значение площади верхней обкладки первого конденсатора;

S_2И — измеренное значение площади верхней обкладки второго конденсатора;

ε₀ — диэлектрическая постоянная вакуума;

ε — диэлектрическая проницаемость жидкости.

Калиброванная высота столба жидкости, налитой в сосуды, зависит и от величины диэлектрической проницаемости жидкости. В качестве жидкости предпочтительно выбрать воду. Она обладает высоким значением коэффициента диэлектрической проницаемости (~80), что позволяет сделать компактными размеры конденсаторов и сосудов, и безопасна в работе. График зависимости диэлектрической проницаемости воды ε от температуры Т приведен на фиг.3. Зависимость имеет вид: ε=0.00079T²-0.4T+88 и ошибку менее 2×10^-6 практически во всем диапазоне рабочих температур. Ошибка измерения высоты Н_К складывается из ошибки определения площади конденсатора, ошибки измерения емкости и ошибки значения величины диэлектрической проницаемости.

dHКHК=dS1КS1К+dC1КC1К+Δεε

Калибровка помогает на два порядка повысить относительную точность определения эффективных площадей конденсаторов, которая составляет порядка 10^-6. При емкости в 50 пΦ и точности ее измерения 10^-5 пΦ ошибка измерения емкости составляет менее 10^-7. Ошибка определения диэлектрической проницаемости воды составляет менее 2×10^-6. Суммарная ошибка определения высоты Н_К с учетом калибровки не превышает 2.1×10^-6.

Процесс измерения угла наклона иллюстрируется на фиг.2. При указанном на фигуре наклоне часть жидкости из сосуда 3 по соединительной трубке 8 будет перетекать в сосуд 2 до установления одинакового уровня в обоих сосудах относительно уровня горизонта. При этом высота столба жидкости 6 в сосуде 2 относительно нулевого угла наклона увеличится на величину h, а высота столба жидкости 7 в сосуде 3 уменьшится на величину h, что приведет к изменению величины емкостей конденсаторов. Емкость конденсатора в сосуде 2 (обкладки 4, 10) уменьшится и составит

C1=εε0S1К⋅cosϕHК+h+ΔC1

Емкость конденсатора в сосуде 3 (обкладки 5, 11) увеличится и составит:

C2=εε0S2К⋅cosϕHК−h+ΔC2

Измеренные значения емкостей С₁ и С₂ позволяют определить величину изменения столба жидкости в сосудах h:

h=(C1−ΔC1)−k(C2−ΔC2)(C1−ΔC1)+k(C2−ΔC2)

Из тригонометрических соотношений следует, что угол наклона равен:

ϕ=arcsin(2hL)=arcsin[2HКL⋅(C1−ΔC1)−k(C2−ΔC2)(C1−ΔC1)+k(C2−ΔC2)]

где:

φ — измеряемый угол наклона;

H_К — калиброванное значение высоты столба жидкости в сосуде;

L — расстояние между сосудами, определяемое по линии между центрами их оснований;

С₁ — емкость первого конденсатора при измерении наклона;

С₂ — емкость второго конденсатора при измерении наклона;

ΔС₁ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора в первом сосуде;

ΔС₂ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора во втором сосуде;

k — коэффициент отношения калиброванных площадей обкладок конденсаторов.

Знак разности емкостей (С₁-ΔС₁)-k(С₂-ΔС₂) определяет знак наклона. Ошибка в определении угла наклона включает погрешности двух сомножителей. Погрешность первого сомножителя 2H_К/L складывается из ошибки измерения высоты столба жидкости при калибровке и ошибки измерения расстояния между сосудами. Для сосудов, разнесенных на расстояние 1 метр и ошибке измерения расстояния в 10 микрон, погрешность измерения расстояния между сосудами является определяющей и составляет 10^-5. Погрешность второго сомножителя (С₁-kС₂)/(С₁+kС₂) имеет величину порядка 0.5×10^-6. Суммарная погрешность составляет 1.05×10^-5, что отвечает поставленным требованиям и значительно превосходит точность, достигаемую другими способами. Правильность калибровки можно проверить дополнительными измерениями параметра k при нулевом угле наклона путем добавления жидкости в сосуды при постоянной температуре. Чтобы избежать процесса калибровки перед каждым измерением, сосуды покрывают крышками для предотвращения испарения жидкости. При этом необходимо обеспечить одинаковое атмосферное давление в каждом сосуде и учесть температурное расширение жидкости. Влияние температуры на изменение уровня жидкости в сосуде можно учесть с помощью коэффициентов температурного расширения используемой жидкости и материала сосудов. В зависимости от температуры будет изменяться величина столба жидкости и расстояние между сосудами. Изменение расстояния между сосудами от температуры можно уменьшить до величины (0.9-3)×10^-6 выбором материала для подложки. Основное влияние оказывает температурное расширение жидкости, которые имеют коэффициент расширения порядка (1-3)×10^-4, и расширение объема сосудов. С учетом коэффициентов расширения жидкости и сосудов угол наклона определяется по формуле:

ϕ=arcsin{2HKL⋅[1+[αж(Т)−αж(ТК)]−[αС(Т)−αС(ТК)]1+αС(Т)−αС(ТК)]⋅(C1−ΔC1)−k(C2−ΔC2)(C1−ΔC1)+k(C2−ΔC2)}

где:

H_K — калиброванное значение высоты столба жидкости в сосуде;

L — расстояние между сосудами, измеряемое по линии между центрами их оснований;

Т_К — фиксированная температура при калибровке;

α_ж(T) — значение коэффициента температурного расширения жидкости при температуре измерения наклона;

α_ж(T_К) — значение коэффициента температурного расширения жидкости при калибровке;

α_с(T) — значение коэффициента температурного расширения материала сосуда при температуре измерении наклона;

α_с(Т_К) — значение коэффициента температурного расширения материала сосуда при температуре калибровке;

С₁ — емкость первого конденсатора при измерении наклона;

С₂ — емкость второго конденсатора при измерении наклона;

ΔС₁ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора в первом сосуде;

ΔС₂ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора во втором сосуде;

k — коэффициент отношения калиброванных площадей обкладок конденсаторов.

Для реализации способа (элементы 1-11) известны приборы для измерения емкости [8] и температуры [9]. Точность устройства измерения емкости составляет 10^-5 пΦ. Для одновременного измерения емкости требуются два прибора, работающие в режиме одновременного запуска измерения. Точность измерения температуры составляет 0.1°С, что отвечает требованиям. Верхние обкладки конденсаторов (4. 5) изготавливают из металлической фольги, которые свободно плавают на поверхности жидкости. Нижние обкладки конденсаторов (10, 11) могут быть интегрированы в подложку или быть изготовленными из фольги и иметь выводы на подложку. Сосуды изготавливаются из диэлектрика. Характерные размеры сосудов составляют 4×5 см², что характеризует миниатюрность элементов для реализации способа. В зависимости от требуемого диапазона измеряемых углов выбирают расстояние между сосудами на подложке и уровень жидкости в сосудах. Предельная величина измеряемого угла составляет:

φ_max=arcsin(2H_К/L)

При выбранных размерах сосуда и величине столба жидкости H_К=5 см, емкость конденсатора при нулевом угле наклона составляет порядка 30 пΦ, а предельный угол наклона для L=20 см составит 30°. Стеклянную трубку, соединяющую сосуды, можно выбрать в каталоге компании SCHOT Tubing [10]. Малый диаметр трубки позволяет компенсировать вибрацию жидкости. Компания выпускает трубки диаметром 1-10 мм и длиной до 3 м.

Литература

1. Датчик угла наклона NB3 фирмы SEIKA Mikrosystemtechnik GmbH, www.prosensor.ru/aiticle63.html

2. Заявка на изобретение №2003100414.

3. Патент на изобретение №2286551.

4. Патент на изобретение №2330241.

5. Патент на изобретение №2455616.

6. The Compact Linear Collider, http://clic-study.org

7. “CLIC design, parameters and layout”, http://clic-study.org

8. Прецизионные измерители параметров LCR цифровые GW Instek LCR-816, www.gwinstek.com

9. Термометр цифровой PMTEMP1, www.chipdip.ru

10. Стеклянные трубки компании SCHOT Tubing, www.schot.com

1. Способ определения угла наклона плоскости, включающий регистрацию величины электрической емкости в сосуде с жидкостью, расположенном на плоскости, по значению величины которой судят об угле наклона, отличающийся тем, что высоту столба жидкости определяют в двух сообщающихся сосудах, расположенных на фиксированном расстоянии относительно друг друга на измеряемой плоскости, путем одновременного измерения электрической емкости конденсаторов, помещенных в сосуды, между обкладками которых находится жидкость, и по измеренным значениям емкостей вычисляют угол наклона плоскости, определяемый линией горизонта и линией, проходящей через центры оснований сосудов, по формулам:



где:
k — коэффициент отношения калиброванных площадей обкладок конденсаторов;
С_1К — емкость конденсатора в первом сосуде, измеряемая при калибровке;
С_2К — емкость конденсатора во втором сосуде, измеряемая при калибровке;
S_1К — калиброванная площадь обкладки первого конденсатора;
S_2К — калиброванная площадь обкладки второго конденсатора;
H_К — калиброванное значение высоты столба жидкости в сосуде;
L — расстояние между сосудами, определяемое по линии между центрами их оснований;
ε₀ — диэлектрическая постоянная вакуума;
ε — диэлектрическая проницаемость жидкости;
С₁ — емкость первого конденсатора при измерении наклона;
С₂ — емкость второго конденсатора при измерении наклона;
ΔС₁ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора в первом сосуде;
ΔС₂ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора во втором сосуде.

2. Способ по п.1, отличающийся тем, что одновременно с измерением емкостей конденсаторов измеряют температуру окружающей среды и корректируют погрешность изменения столба жидкости в сосудах, связанную с температурным расширением используемой жидкости и материала сосудов, исходя из их известной зависимости от температуры, а угол наклона вычисляют по формуле:

где:
H_К — калиброванное значение высоты столба жидкости в сосуде;
L — расстояние между сосудами, определяемое по линии между центрами их оснований;
Т_К — фиксированная температура при калибровке;
α_ж(T) — значение коэффициента температурного расширения жидкости при температуре измерения наклона;
α_ж(Т_К) — значение коэффициента температурного расширения жидкости при температуре калибровки;
α_с(T) — значение коэффициента температурного расширения материала сосуда при температуре измерения наклона;
α_с(Т_К) — значение коэффициента температурного расширения материала сосуда при температуре калибровки;
C₁ — емкость конденсатора в первом сосуде при измерении наклона;
С₂ — емкость конденсатора во втором сосуде при измерении наклона;
ΔС₁ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора в первом сосуде;
ΔС₂ — паразитная емкость проводов для подключения конденсатора во втором сосуде;
k — коэффициент отношения калиброванных площадей обкладок конденсаторов.

Тело на наклонной плоскости | Физика

1. Тело на гладкой наклонной плоскости

Напомним: когда говорят о гладкой поверхности, подразумевают, что трением между телом и этой поверхностью можно пренебречь.

На тело массой m, находящееся на гладкой наклонной плоскости, действуют сила тяжести m и сила нормальной реакции (рис. 19.1).

Удобно ось x направить вдоль наклонной плоскости вниз, а ось y – перпендикулярно наклонной плоскости вверх (рис. 19.1). Угол наклона плоскости обозначим α.

Уравнение второго закона Ньютона в векторной форме имеет вид

? 1. Объясните, почему справедливы следующие уравнения:

? 2. Чему равна проекция ускорения тела на ось x?

? 3. Чему равен модуль силы нормальной реакции?

? 4. При каком угле наклона ускорение тела на гладкой плоскости в 2 раза меньше ускорения свободного падения?

? 5. При каком угле наклона плоскости сила нормальной реакции в 2 раза меньше силы тяжести?

При выполнении следующего задания полезно заметить, что ускорение тела, находящегося на гладкой наклонной плоскости, не зависит от направления начальной скорости тела.

? 6. Шайбу толкнули вверх вдоль гладкой наклонной плоскости с углом наклона α. Начальная скорость шайбы v₀.
а) Какой путь пройдет шайба до остановки?
б) Через какой промежуток времени шайба вернется в начальную точку?
в) С какой скоростью шайба вернется в начальную точку?

? 7. Брусок массой m находится на гладкой наклонной плоскости с углом наклона α.
а) Чему равен модуль силы, удерживающей брусок на наклонной плоскости, если сила направлена вдоль наклонной плоскости? Горизонтально?
б) Чему равна сила нормальной реакции, когда сила направлена горизонтально?

2. Условие покоя тела на наклонной плоскости

Будем теперь учитывать силу трения между телом и наклонной плоскостью.

Если тело покоится на наклонной плоскости, на него действуют сила тяжести m, сила нормальной реакции и сила трения покоя _тр.пок (рис. 19.2).

Сила трения покоя направлена вдоль наклонной плоскости вверх: она препятствует соскальзыванию бруска. Следовательно, проекция этой силы на ось x, направленную вдоль наклонной плоскости вниз, отрицательна:

F_{тр.пок x} = –F_тр.пок

? 8. Объясните, почему справедливы следующие уравнения:

? 9. На наклонной плоскости с углом наклона α покоится брусок массой m. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен μ. Чему равна действующая на брусок сила трения? Есть ли в условии лишние данные?

? 10. Объясните, почему условие покоя тела на наклонной плоскости выражается неравенством

μ ≥ tgα.

Подсказка. Воспользуйтесь тем, что сила трения покоя удовлетворяет неравенству F_тр.пок ≤ μN.

Последнее неравенство можно использовать для измерения коэффициента трения: угол наклона плоскости плавно увеличивают, пока тело не начинает скользить по ней (см. лабораторную работу 4).

? 11.Лежащий на доске брусок начал скользить по доске, когда ее угол наклона к горизонту составил 20º. Чему равен коэффициент трения между бруском и доской?

? 12. Кирпич массой 2,5 кг лежит на доске длиной 2 м. Коэффициент трения между кирпичом и доской равен 0,4.
а) На какую максимальную высоту можно поднять один конец доски, чтобы кирпич не сдвинулся?
б) Чему будет равна при этом действующая на кирпич сила трения?

Сила трения покоя, действующая на тело, находящееся на наклонной плоскости, не обязательно направлена вдоль плоскости вверх. Она может быть направлена и вниз вдоль плоскости!

? 13. Брусок массой m находится на наклонной плоскости с углом наклона α. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен μ, причем и μ < tg α. Какую силу надо приложить к бруску вдоль наклонной плоскости, чтобы сдвинуть его вдоль наклонной плоскости:
а) вниз? б) вверх?

3. Движение тела по наклонной плоскости с учетом трения

Пусть теперь тело скользит по наклонной плоскости вниз (рис. 19.3). При этом на него действует сила трения скольжения, направленная противоположно скорости тела, то есть вдоль наклонной плоскости вверх.

? 15. Изобразите на чертеже в тетради силы, действующие на тело, и объясните, почему справедливы следующие уравнения:

? 16. Чему равна проекция ускорения тела на ось x?

? 17. Брусок скользит по наклонной плоскости вниз. Коэффициент трения между бруском и плоскостью равен 0,5. Как изменяется со временем скорость бруска, если угол наклона плоскости равен:
а) 20º? б) 30º? в) 45º? г) 60º?

? 18. Брусок начинает скользить по доске, когда ее наклоняют на угол 20º к горизонту. Чему ранен коэффициент трения между бруском и доской? С каким по величине и направлению ускорением будет скользить брусок вниз по доске, наклоненной на угол 30º? 15º?

Пусть теперь начальная скорость тела направлена вверх (рис. 19.4).

? 19. Изобразите на чертеже в тетради силы, действующие на тело, и объясните, почему справедливы следующие уравнения:

? 20. Чему равна проекция ускорения тела на ось x?

? 21. Брусок начинает скользить по доске, когда ее наклоняют на угол 20º к горизонту. Брусок толкнули вверх по доске. С каким ускорением он будет двигаться, если доска наклонена на угол: а) 30º? б) 15º? В каком из этих случаев брусок остановится в верхней точке?

? 22.Шайбу толкнули вверх по наклонной плоскости с начальной скоростью v₀. Угол наклона плоскости α, коэффициент трения между шайбой и плоскостью μ. Спустя некоторое время шайба вернулась в начальное положение.
а) Сколько времени двигалась шайба вверх до остановки?
б) Какой путь прошла шайба до остановки?
в) Сколько времени после этого шайба возвращалась в начальное положение?

? 23. После толчка брусок двигался в течение 2 с вверх по наклонной плоскости и затем в течение 3 с вниз до возвращения в начальное положение. Угол наклона плоскости 45º.
а) Во сколько раз модуль ускорения бруска при движении вверх больше, чем при движении вниз?
б) Чему равен коэффициент трения между бруском и плоскостью?

Зацените!! Езда Электро-Велосипеда по воде

Дополнительные вопросы и задания

24. Брусок соскальзывает без начальной скорости с гладкой наклонной плоскости высотой h (рис. 19.5). Угол наклона плоскости равен α. Какова скорость бруска в конце спуска? Есть ли здесь лишние данные?

25. (Задача Галилея) В вертикальном диске радиуса R просверлен прямолинейный гладкий желоб (рис. 19.6). Чему равно время соскальзывания бруска вдоль всего желоба из состояния покоя? Угол наклона желоба α, в начальный момент брусок покоится.

26. По гладкой наклонной плоскости с углом наклона α скатывается тележка. На тележке установлен штатив, на котором на нити подвешен груз. Сделайте чертеж, изобразите силы, действующие на груз. Под каким углом к вертикали расположена нить, когда груз покоится относительно тележки?

27. Брусок находится на вершине наклонной плоскости длиной 2 м и высотой 50 см. Коэффициент трения между бруском и плоскостью 0,3.
а) С каким по модулю ускорением будет двигаться брусок, если толкнуть его вниз вдоль плоскости?
б) Какую скорость надо сообщить бруску, чтобы он достиг основания плоскости?

28. Тело массой 2 кг находится на наклонной плоскости. Коэффициент трения между телом и плоскостью 0,4.
а) При каком угле наклона плоскости достигается наибольшее возможное значение силы трения?
б) Чему равно наибольшее значение силы трения?
в) Постройте примерный график зависимости силы трения от угла наклона плоскости.
Подсказка. Если tg α ≤ μ, на тело действует сила трения покоя, а если tg α > μ – сила трения скольжения.

Наклонные плоскости

Объект, помещенный на наклонную поверхность , будет часто скользить по поверхности. Скорость, с которой объект скользит по поверхности, зависит от того, насколько наклонена поверхность; чем больше наклон поверхности, тем выше скорость, с которой объект будет скользить по ней. В физике наклонная поверхность называется наклонной плоскостью. Известно, что объекты ускоряются вниз по наклонным плоскостям из-за неуравновешенной силы. Чтобы понять этот тип движения, важно проанализировать силы, действующие на объект на наклонной плоскости. На диаграмме справа показаны две силы, действующие на ящик, расположенный на наклонной плоскости (предполагается, что трение отсутствует). Как показано на диаграмме, их всегда 9.0011 не менее двух сил

, действующих на любой объект, расположенный на наклонной плоскости, — сила тяжести и нормальная сила. Сила тяжести (также известная как вес) действует в направлении вниз; однако нормальная сила действует в направлении, перпендикулярном поверхности (на самом деле, нормаль означает «перпендикулярно»).

Аномальная нормальная сила

Первая особенность задач с наклонной плоскостью заключается в том, что нормальная сила равна , а не направлены в ту сторону, к которой мы привыкли. До этого момента в курсе мы всегда видели нормальные силы, действующие в восходящем направлении, противоположном направлению силы тяжести. Но это только потому, что объекты всегда находились на горизонтальных поверхностях, а не на наклонных плоскостях. Правда о нормальных силах заключается не в том, что они всегда направлены вверх, а в том, что они всегда направлены перпендикулярно поверхности, на которой находится объект.

 

Компоненты силы тяжести

Задача определения результирующей силы, действующей на объект на наклонной плоскости, является сложной задачей, поскольку две (или более) силы не направлены в противоположные стороны. Таким образом, одну (или несколько) сил придется разложить на перпендикулярные составляющие, чтобы их можно было легко добавить к другим силам, действующим на объект. Обычно любую силу, направленную под углом к ​​горизонтали, разлагают на горизонтальную и вертикальную составляющие. Однако это не тот процесс, который мы будем проводить с наклонными плоскостями. Вместо этого процесс анализа сил, действующих на объекты на наклонных плоскостях, будет включать определение весового вектора (F _grav ) на две перпендикулярные составляющие. Это вторая особенность задач наклонной плоскости. Сила тяжести будет разложена на две составляющие силы — одну, направленную параллельно наклонной поверхности, и другую, направленную перпендикулярно наклонной поверхности. На приведенной ниже диаграмме показано, как сила тяжести была заменена двумя составляющими — параллельной и перпендикулярной составляющей силы.

 

Перпендикулярная составляющая силы тяжести направлена ​​против нормальной силы и, таким образом, уравновешивает нормальную силу. Параллельная составляющая силы тяжести не уравновешивается никакой другой силой. Этот объект впоследствии будет ускоряться вниз по наклонной плоскости из-за наличия неуравновешенной силы. Именно параллельная составляющая силы тяжести вызывает это ускорение. Параллельная составляющая силы тяжести является результирующей силой.

Задача определения величины двух составляющих силы тяжести — это простой способ использования уравнений. Уравнения для параллельной и перпендикулярной составляющих:

При отсутствии трения и других сил (растяжения, приложенных и т. д.) ускорение объекта на наклонной поверхности равно значению параллельной составляющей (м *g*синус угла), деленное на массу (m). Это дает уравнение

(при отсутствии сил трения и других сил)

Упрощение задачи о наклонной плоскости

При наличии трения или других сил (приложенной силы, силы натяжения и т. д.) ситуация несколько усложняется. Рассмотрим схему, показанную справа. Перпендикулярная составляющая силы по-прежнему уравновешивает нормальную силу, поскольку объекты не ускоряются перпендикулярно наклону. Тем не менее, сила трения также должна учитываться при определении чистой силы. Как и во всех задачах о чистой силе, чистая сила представляет собой векторную сумму всех сил. То есть все отдельные силы складываются вместе как 9.0003 векторов . Перпендикулярная составляющая и нормальная сила в сумме дают 0 Н. Параллельная составляющая и сила трения в сумме дают 5 Н. Суммарная сила равна 5 Н и направлена ​​вдоль наклона к полу.

Приведенную выше задачу (и все задачи с наклонной плоскостью) можно упростить с помощью полезного приема, известного как «наклон головы». Задача о наклонной плоскости во всех отношениях похожа на любую другую задачу о результирующей силе, за исключением того, что поверхность была наклонена на градусов на градусов. Таким образом, чтобы преобразовать проблему обратно в более удобную для вас форму, достаточно наклонить голову в том же направлении, в котором был наклон наклонить . Или, что еще лучше, просто наклоните страницу бумаги (надежное лекарство от TNS — «синдром наклонной шеи» или «синдром тако-шейки»), чтобы поверхность больше не казалась ровной. Это показано ниже.

После того, как сила тяжести будет разделена на две составляющие и наклонена наклонная плоскость, задача должна выглядеть очень знакомо. Просто игнорируйте силу гравитации (поскольку она была заменена двумя ее компонентами) и найдите результирующую силу и ускорение.

В качестве примера рассмотрим ситуацию, изображенную на диаграмме справа. На диаграмме свободного тела показаны силы, действующие на 100-килограммовый ящик, скользящий по наклонной плоскости. Плоскость наклонена под углом 30 градусов. Коэффициент трения между обрешеткой и склоном равен 0,3. Определить результирующую силу и ускорение ящика.

Начнем с вышеуказанной задачи, найдя силу тяжести, действующую на ящик, и компоненты этой силы, параллельные и перпендикулярные наклону. Сила тяжести равна 980 Н, а компоненты этой силы равны F _{параллельно} = 490 Н (980 Н • sin 30 градусов) и F _{перпендикулярно} = 849 Н (980 Н • cos30 градусов). Теперь нормальную силу можно определить равной 849 Н (она должна уравновешивать перпендикулярную составляющую вектора веса). Силу трения можно определить по величине нормальной силы и коэффициента трения; F _трение составляет 255 Н (F _трение = «mu»*F _норма = 0,3 • 849 Н). Чистая сила представляет собой векторную сумму всех сил. Силы, направленные перпендикулярно наклону, уравновешивают; силы, направленные параллельно наклону, не уравновешиваются. Чистая сила составляет 235 Н (490 Н — 255 Н). Ускорение составляет 2,35 м/с/с (F _net /м = 235 Н/100 кг).

 

Практика

На двух приведенных ниже диаграммах показана диаграмма свободного тела для 1000-килограммовых американских горок при первом спуске двух разных аттракционов на американских горках. Используйте приведенные выше принципы векторного разрешения, чтобы определить результирующую силу и ускорение автомобилей американских горок. Предположим, что влияние трения и сопротивления воздуха пренебрежимо мало. Когда закончите, нажмите кнопку, чтобы просмотреть ответы.

 

 

 

Влияние угла наклона на ускорение американских горок (или любого объекта на склоне) можно наблюдать в двух вышеприведенных практических задачах. С увеличением угла увеличивается ускорение объекта. Объяснение этого относится к компонентам, которые мы рисовали. По мере увеличения угла составляющая силы, параллельная наклону, увеличивается, а составляющая силы, перпендикулярная наклону, уменьшается. Именно параллельная составляющая вектора веса вызывает ускорение. Таким образом, ускорения больше при больших углах наклона. На приведенной ниже диаграмме показано это соотношение для трех различных углов возрастающей величины.

 

 

Немного физики американских горок

Американские горки вызывают два острых ощущения, связанные с начальным падением по крутому склону. Острые ощущения от ускорения создаются за счет использования больших углов наклона при первом падении; такие большие углы увеличивают значение параллельной составляющей вектора веса (составляющей, вызывающей ускорение). Трепет невесомости производится за счет уменьшения величины нормальной силы до значений, меньших их обычных значений. Важно признать, что ощущение невесомости — это чувство, связанное с более низкой, чем обычно, нормальной силой. Как правило, человек весом 700 Н испытывает нормальную силу 700 Н, когда сидит на стуле. Однако, если кресло движется с ускорением вниз по наклону в 60 градусов, то человек будет испытывать нормальную силу в 350 ньютонов. Это значение меньше нормального и способствует ощущению, что вес меньше нормального, т. е. 9.0022 невесомость .

 

Больше практики

Используйте виджет ниже, чтобы исследовать другие ситуации с наклонной плоскостью. Просто введите массу, угол наклона и коэффициент трения (используйте 0 для случаев отсутствия трения). Затем нажмите кнопку Отправить , чтобы просмотреть ускорение.

Проверьте свое понимание

Следующие вопросы предназначены для проверки вашего понимания математики и концепций наклонных плоскостей. После того, как вы ответили на вопрос, нажмите кнопку, чтобы увидеть ответы.

1. Два мальчика играют в хоккей на соседней улице. Бродячая шайба движется по льду без трения , а затем поднимается по наклонной дороге без трения. Какая из следующих бегущих строк (A, B или C) точно изображает движение шайбы, когда она движется по ровной улице, а затем вверх по подъездной дорожке?

Объясните свой ответ.

 

 

2. Маленький Джонни стоит внизу подъездной дорожки и пинает футбольный мяч. Мяч катится на север по подъездной дорожке, а затем возвращается к Джонни. Какой из следующих графиков зависимости скорости от времени (A, B, C или D) наиболее точно отображает движение мяча, когда он катится вверх по подъездной дорожке и обратно?

Объясните свой ответ.

 

 

 

3. Мяч для гольфа катится по горизонтальному участку грина на 18-й лунке. Затем он сталкивается с крутым нисходящим уклоном (см. Диаграмму). Участвует трение. Какой из следующих шаблонов бегущей строки (A, B или C) может быть подходящим представлением движения мяча?

Объясните, почему неуместные шаблоны неуместны.

 

 

 

4. Восьмой фрейм Мисси де Пенн в боулинг-лиге по средам стал катастрофой. Мяч скатился с полосы, прошел через грузовой люк в задней части здания, а затем по подъездной дорожке. Милли Митер (товарищ по команде Мисси), которая проводила каждую свободную минуту за подготовкой к экзамену по физике, начала визуализировать график зависимости скорости от времени для движения мяча. Какой из графиков зависимости скорости от времени (A, B, C или D) будет подходящим представлением движения мяча, когда он катится по горизонтальной поверхности, а затем вниз по склону? Рассмотрим силы трения.

5. Три партнера по лаборатории — Олив Н. Гленво, Глен Брук и Уоррен Пис — обсуждают задачу о наклоне (см. схему). Они спорят о значении нормальной силы. Олив утверждает, что нормальная сила равна 250 Н; Глен утверждает, что нормальная сила равна 433 Н; а Уоррен утверждает, что нормальная сила равна 500 Н. Хотя все три ответа кажутся разумными, правильным является только один. Укажите, какие два ответа неверны, и объясните, почему они неверны.

 

 

 

6. Лон Скейпер возится с газоном, когда из его тачки вырывается 2-килограммовая шина и начинает катиться вниз по крутому холму (уклон 30°) в Сан-Франциско. Нарисуйте параллельные и перпендикулярные компоненты этого весового вектора. Определить величину компонентов с помощью тригонометрических функций. Затем определите ускорение шины. Не учитывать силу сопротивления.

 

 

 

Наконец, определите, какой из графиков зависимости скорости от времени будет отображать движение шины при ее скатывании по склону.

Объясните свой ответ.

 

 

 

 

7. На каждой из следующих диаграмм коробка массой 100 кг скользит по поверхности трения с постоянной скоростью 0,2 м/с. Угол наклона в каждой ситуации разный. Проанализируйте каждую диаграмму и заполните пропуски.

 

Схема А

 

  

 

Диаграмма B

 

 

Следующий раздел:

5.4 Наклонные плоскости — физика

Раздел Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

• Различать статическое и кинетическое трение
• Решение задач на наклонные плоскости

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим учащимся освоить следующие стандарты:

• (4) Научные концепции. Учащийся знает и применяет законы, управляющие движением в двух измерениях, в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
  • (D) рассчитать действие сил на объекты, включая закон инерции, связь между силой и ускорением и характер пар сил между объектами.

Основные термины раздела

кинетическое трение

статическое трение

Статическое трение и кинетическое трение

Вспомним из предыдущей главы, что трение — это сила, противодействующая движению и постоянно присутствующая вокруг нас. Трение позволяет нам двигаться, в чем вы убедились, если когда-нибудь пробовали ходить по льду.

Существуют различные виды трения — кинетическое и статическое. Кинетическое трение действует на движущийся объект, а статическое трение действует на объект или систему в состоянии покоя. Максимальное статическое трение обычно больше, чем кинетическое трение между объектами.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL][OL] Повторите понятие трения.

[AL] Начните обсуждение двух видов трения: статического и кинетического. Спросите учащихся, какая из них, по их мнению, будет больше для двух заданных поверхностей. Объясните понятие коэффициента трения и значение этого числа на практике. Посмотрите на таблицу статического и кинетического трения и попросите учащихся угадать, какие другие системы будут иметь более высокие или более низкие коэффициенты.

Представьте, например, что вы пытаетесь сдвинуть тяжелый ящик по бетонному полу. Вы можете давить на ящик все сильнее и сильнее и вообще не двигать его. Это означает, что статическое трение реагирует на то, что вы делаете — оно увеличивается, чтобы быть равным вашему толчку и в противоположном направлении. Но если вы, наконец, нажмете достаточно сильно, ящик, кажется, внезапно соскользнет и начнет двигаться. Начав движение, его легче поддерживать в движении, чем было запустить, потому что кинетическая сила трения меньше, чем статическая сила трения. Если бы вы добавили массу к ящику (например, поместив на него коробку), вам пришлось бы толкать его еще сильнее, чтобы он начал двигаться, а также чтобы он продолжал двигаться. Если, с другой стороны, вы смазали бетон маслом, вам будет легче запустить ящик и поддерживать его в рабочем состоянии.

На рис. 5.33 показано, как возникает трение на границе раздела двух объектов. Увеличение этих поверхностей показывает, что они являются шероховатыми на микроскопическом уровне. Поэтому, когда вы нажимаете, чтобы заставить объект двигаться (в данном случае ящик), вы должны поднимать объект до тех пор, пока он не сможет прыгать вместе с ударами только кончиками поверхности, отламывать точки или делать и то, и другое. Чем сильнее прижимаются поверхности друг к другу (например, если на ящик кладут еще одну коробку), тем больше усилий требуется для их перемещения.

Рисунок 5.33 Силы трения, такие как f , всегда препятствуют движению или попытке движения между соприкасающимися объектами. Трение возникает отчасти из-за шероховатости соприкасающихся поверхностей, как видно на увеличенном виде.

Величина силы трения имеет две формы: одна для статического трения, другая для кинетического трения. Когда между объектами нет движения, величина трения покоя f _s равна

fs≤μsNs,fs≤μsNs,

где μsμs — коэффициент трения покоя, а Н — величина нормальной силы. Напомним, что нормальная сила противодействует силе тяжести и действует перпендикулярно поверхности в этом примере, но не всегда.

Поскольку символ ≤≤ означает меньше или равно, это уравнение говорит о том, что трение покоя может иметь максимальное значение мксН.мксН. То есть

fs(max)=µsN.fs(max)=µsN.

Статическое трение представляет собой реактивную силу, которая увеличивается, чтобы быть равной и противоположной любой прилагаемой силе, вплоть до своего максимального предела. Когда приложенная сила превышает f с(макс.), объект будет двигаться. Когда объект движется, величина кинетического трения f _k определяется выражением

fk=µkN.fk=µkN.

где μkμk — коэффициент кинетического трения.

Трение варьируется от поверхности к поверхности, потому что разные вещества более шероховатые, чем другие. В таблице 5.2 сравниваются значения статического и кинетического трения для различных поверхностей. Коэффициент трения зависит от двух соприкасающихся поверхностей.

Система	Статическое трение мксмкс	Кинетическое трение μkμk
Резина на сухом бетоне	1,0	0,7
Резина на мокром бетоне	0,7	0,5
Дерево на дереве	0,5	0,3
Вощеная древесина на мокром снегу	0,14	0,1
Металл на дереве	0,5	0,3
Сталь по стали (сухая)	0,6	0,3
Сталь по стали (промасленный)	0,05	0,03
Тефлон на стали	0,04	0,04
Кость, смазанная синовиальной жидкостью	0,016	0,015
Туфли на дереве	0,9	0,7
Обувь на льду	0,1	0,05
Лед на льду	0,1	0,03
Сталь на льду	0,4	0,02

Стол 5. 2 Коэффициенты статического и кинетического трения

Поскольку направление трения всегда противоположно направлению движения, трение происходит параллельно поверхности между объектами и перпендикулярно нормальной силе. Например, если ящик, который вы пытаетесь толкнуть (с усилием, параллельным полу), имеет массу 100 кг, то нормальная сила будет равна его весу

Вт=мг=(100 кг)(9,80 м/с2)=980 Н, Вт=мг=(100 кг)(9,80 м/с2)=980 Н,

перпендикулярно полу. Если бы коэффициент статического трения был равен 0,45, вам пришлось бы приложить параллельную полу силу, превышающую

.

fs(max)=µsN=(0,45)(980 N)=440 Nfs(max)=µsN=(0,45)(980 N)=440 N

для перемещения ящика. Когда есть движение, трение меньше, а коэффициент кинетического трения может быть равен 0,30, так что сила всего 290 Н

fk=µkN=(0,30)(980 N)=290 Nfk=µkN=(0,30)(980 N)=290 N

будет поддерживать его движение с постоянной скоростью. Если бы пол был смазан, оба коэффициента были бы намного меньше, чем без смазки. Коэффициент трения не имеет единиц измерения и обычно представляет собой число от 0 до 1,0.

Работа с наклонными плоскостями

Ранее мы обсуждали, что когда объект лежит на горизонтальной поверхности, на него действует нормальная сила, равная по величине его весу. До сих пор мы имели дело только с нормальной силой в одном измерении, с гравитацией и нормальной силой, действующими перпендикулярно поверхности в противоположных направлениях (гравитация направлена ​​вниз, а нормальная сила направлена ​​вверх). Теперь, когда у вас есть навыки работы с силами в двух измерениях, мы можем исследовать, что происходит с весом и нормальной силой на наклонной поверхности, такой как наклонная плоскость. Для задач с наклонной плоскостью легче разбить силы на составляющие, если мы повернем систему координат, как показано на рис. 5.34. Первым шагом при постановке задачи является разложение силы веса на составляющие.

Рисунок 5.34 На диаграмме показаны перпендикулярная и горизонтальная составляющие веса на наклонной плоскости.

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] Повторить понятия массы, веса, гравитации и нормальной силы.

[OL] Обзор векторов и компонентов векторов.

Когда объект лежит на наклонной плоскости, составляющей угол θθ с горизонтом, сила тяжести, действующая на объект, делится на две составляющие: сила, действующая перпендикулярно плоскости, w⊥w⊥, и сила, действующая параллельно плоскость, w||w|| . Перпендикулярная сила веса w⊥w⊥ обычно равна по величине и противоположна по направлению нормальной силе Н.Н. Сила, действующая параллельно плоскости, w||w||, заставляет объект ускоряться вниз по склону. Сила трения ff противодействует движению тела, поэтому она действует вверх по плоскости.

Важно соблюдать осторожность при разложении веса объекта на составляющие. Если угол наклона составляет угол θθ к горизонту, то величины компонентов веса равны

w||=wsin(θ)=mgsin(θ) и w||=wsin(θ)=mgsin(θ) и

w⊥=wcos(θ)=mgcos(θ). w⊥=wcos(θ) = мгкос(θ).

Вместо того, чтобы запоминать эти уравнения, полезно уметь определять их разумом. Для этого нарисуйте прямоугольный треугольник, образованный тремя весовыми векторами. Обратите внимание, что угол наклона такой же, как угол, образованный между ww и w⊥w⊥. Зная это свойство, можно с помощью тригонометрии определить величину весовых составляющих

cos(θ)=w⊥ww⊥=wcos(θ)=mgcos(θ)cos(θ)=w⊥ww⊥=wcos(θ)=mgcos(θ)

sin(θ)=w||ww ||=wsin(θ)=mgsin(θ).sin(θ)=w||ww||=wsin(θ)=mgsin(θ).

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL][OL][AL] Поэкспериментируйте со скольжением различных объектов по наклонным плоскостям, чтобы понять статическое и кинетическое трение. Каким объектам нужен больший угол, чтобы скользить вниз? Что это говорит о коэффициентах трения этих систем? Требуется ли большая сила, чтобы начать движение объекта, чем для поддержания его в движении? Что это говорит о статическом и кинетическом трении? Когда тело скользит вниз с постоянной скоростью? Что это говорит о трении и нормальной силе?

Смотреть физику

Компоненты силы наклонной плоскости

В этом видеоролике показано, как вес объекта на наклонной плоскости разбивается на составляющие, перпендикулярные и параллельные поверхности плоскости. Он объясняет геометрию для нахождения угла более подробно.

В этом видео показано, как вес объекта на наклонной плоскости разбивается на составляющие, перпендикулярные и параллельные поверхности плоскости. Он объясняет геометрию для нахождения угла более подробно.

Когда поверхность плоская, можно сказать, что одна из составляющих гравитационной силы равна нулю; Который из? Что происходит с величинами перпендикулярной и параллельной составляющих гравитационной силы по мере увеличения угла наклона?

1. Когда угол равен нулю, параллельная составляющая равна нулю, а перпендикулярная составляющая максимальна. По мере увеличения угла параллельная составляющая уменьшается, а перпендикулярная составляющая увеличивается. Это связано с тем, что косинус угла уменьшается, а синус угла увеличивается.

2. Когда угол равен нулю, параллельная составляющая равна нулю, а перпендикулярная составляющая максимальна. По мере увеличения угла параллельная составляющая уменьшается, а перпендикулярная составляющая увеличивается. Это связано с тем, что косинус угла увеличивается, а синус угла уменьшается.

3. Когда угол равен нулю, параллельная составляющая равна нулю, а перпендикулярная составляющая максимальна. По мере увеличения угла параллельная составляющая увеличивается, а перпендикулярная составляющая уменьшается. Это связано с тем, что косинус угла уменьшается, а синус угла увеличивается.

4. Когда угол равен нулю, параллельная составляющая равна нулю, а перпендикулярная составляющая максимальна. По мере увеличения угла параллельная составляющая увеличивается, а перпендикулярная составляющая уменьшается. Это связано с тем, что косинус угла увеличивается, а синус угла уменьшается.

Советы для успеха

Нормальная сила представлена ​​переменной N.N. Его не следует путать с символом ньютона, который также обозначается буквой N. Важно различать эти символы, тем более что единицами измерения нормальной силы (NN) являются ньютоны (Н). Например, нормальная сила NN, с которой пол действует на стул, может составлять N=100 N.N=100 Н. Одно важное отличие состоит в том, что нормальная сила — это вектор, а ньютон — это просто единица измерения. Будьте осторожны, чтобы не перепутать эти буквы в своих вычислениях!

Для обзора, процесс решения задач наклонной плоскости выглядит следующим образом:

1. Нарисуйте схему задачи.
2. Определите известные и неизвестные величины и определите интересующую систему.
3. Нарисуйте диаграмму свободного тела (это эскиз, показывающий все силы, действующие на объект) с системой координат, повернутой под тем же углом, что и наклонная плоскость. Разделите векторы на горизонтальную и вертикальную составляющие и нарисуйте их на диаграмме свободного тела.
4. Запишите второй закон Ньютона в горизонтальном и вертикальном направлениях и сложите силы, действующие на объект. Если объект не ускоряется в определенном направлении (например, в направлении x ), то F net x = 0. Если объект ускоряется в этом направлении, F net x = м и .
5. Проверьте свой ответ. Разумный ли ответ? Единицы правильные?

Рабочий пример

Нахождение коэффициента кинетического трения на наклонной плоскости

Лыжник, изображенный на рис. 5.35(а), массой 62 кг скользит по заснеженному склону под углом 25 градусов. Найдите коэффициент кинетического трения лыжника, если известно, что трение равно 45,0 Н.

Рисунок 5,35 Используйте диаграмму, чтобы найти коэффициент кинетического трения для лыжника.

Стратегия

Величина кинетического трения равна 45,0 Н. Кинетическое трение связано с нормальной силой N как fk=µkNfk=µkN . Следовательно, мы можем найти коэффициент кинетического трения, сначала найдя нормальную силу лыжника на склоне. Нормальная сила всегда перпендикулярна поверхности, а поскольку движение перпендикулярно поверхности отсутствует, нормальная сила должна равняться составляющей веса лыжника, перпендикулярной склону.

То есть

N=w⊥=w cos(25∘)=mg cos(25∘).N=w⊥=w cos(25∘)=mg cos(25∘).

Подставляя это в выражение для кинетического трения, получаем

fk=µkmg cos 25∘,fk=µkmg cos 25∘,

, которое теперь можно решить для коэффициента кинетического трения µ _k .

Решение

Решение для µkµk дает

µk=fkw cos 25∘=fkmg cos 25∘.µk=fkw cos 25∘=fkmg cos 25∘.

Подставляя известные значения в правую часть уравнения,

мкк=45,0 Н(62 кг)(9,80 м/с2)(0,906)=0,082,мкк=45,0 Н(62 кг)(9,80 м/с2 )(0,906)=0,082.

Обсуждение

Этот результат немного меньше, чем коэффициент, указанный в таблице 5.2 для вощеной древесины на снегу, но все же приемлем, поскольку значения коэффициентов трения могут сильно различаться. В подобных ситуациях, когда объект массой 90 614 м 90 004 скользит по склону, образующему с горизонтом угол 90 614 θ , трение определяется формулой fk=µkmg cosθ.fk=µkmg cosθ.

Рабочий пример

Вес на склоне, двумерная задача

Масса лыжника, включая снаряжение, 60,0 кг. (См. рис. 5.36(b).) (a) Каково ее ускорение, если трением можно пренебречь? б) Чему равно ее ускорение, если сила трения равна 45,0 Н?

Рисунок 5,36 Теперь используйте диаграмму, чтобы найти ускорение лыжника, если трением можно пренебречь и если сила трения равна 45,0 Н.

Стратегия

Наиболее удобной системой координат для движения по склону является та, в которой одна координата параллельна склону, а другая перпендикулярна склону. Помните, что движения вдоль перпендикулярных осей независимы. Мы используем символ ⊥⊥ для обозначения перпендикуляра, а |||| значит параллельно.

Единственными внешними силами, действующими на систему, являются вес лыжника, трение и нормальная сила, действующая на лыжный склон, обозначенные ww, ff и NN на диаграмме свободного тела. NN всегда перпендикулярен склону, а ff параллелен ему. Но ww не направлен ни по одной из осей, поэтому мы должны разбить его на составляющие по выбранным осям. Определим w||w|| быть компонентом веса, параллельным склону, и w⊥w⊥ компонентом веса, перпендикулярным склону. Как только это будет сделано, мы можем рассмотреть две отдельные проблемы сил, параллельных склону, и сил, перпендикулярных склону.

Решение

Величина компонента веса, параллельного наклону, равна w||=wsin(25°)=mgsin(25°)w||=wsin(25°)=mgsin(25°), а величина составляющей веса, перпендикулярной наклону, равна w⊥=wcos(25°)=mgcos(25°). w⊥=wcos(25°)=mgcos(25°).

(a) Пренебрегая трением: поскольку ускорение параллельно склону, нам нужно учитывать только силы, параллельные наклону. Силы, перпендикулярные склону, складываются в ноль, так как в этом направлении нет ускорения. Силы, параллельные склону, равны сумме веса лыжника, параллельного склону, w||w|| и трение ff . При отсутствии трения по второму закону Ньютона ускорение, параллельное склону, равно

a||=Fnet ||m,a||=Fnet ||m,

Где результирующая сила, параллельная склону, Fnet ||=w||=mgsin(25°)Fnet ||=w|| =mgsin(25°), так что

a||=Fnet ||m=mgsin(25°)m=gsin(25°)=(9,80 м/с2)(0,423)=4,14 м/с2a||= Fnet ||m=mgsin(25°)m=gsin(25°)=(9,80 м/с2)(0,423)=4,14 м/с2

— ускорение.

(b) Включая трение: Теперь у нас есть заданное значение трения, и мы знаем, что его направление параллельно склону и оно препятствует движению между контактирующими поверхностями. Таким образом, чистая внешняя сила теперь равна 9.0011

Fnet ||=w||−f,Fnet ||=w||–f,

и подставляя это во второй закон Ньютона, a||=Fnet ||ma||=Fnet ||m дает

a||=Fnet ||m=w||-fm=mgsin(25°)-fm. a||=Fnet ||m=w||-fm=mgsin(25°)-fm.

Подставляем известные значения, чтобы получить

a||=(60,0 кг)(9,80 м/с2)(0,423)−45,0 N60,0 кг,a||=(60,0 кг)(9,80 м/с2)(0,423 )−45,0 N60,0 кг,

или

a||=3,39 м/с2, a||=3,39 м/с2,

, что представляет собой ускорение, параллельное наклону, при наличии противодействующего трения 45 Н.

Обсуждение

Поскольку трение всегда препятствует движению между поверхностями, ускорение при наличии трения меньше, чем при его отсутствии.

Практические задачи

15.

Когда объект находится на наклонной плоскости, составляющей угол θ с горизонтом, как выражается составляющая силы веса объекта, параллельная наклону?

1. w||=wcosθw||=wcosθ
2. w||=wsinθw||=wsinθ 9\круг\! от горизонтального. Какая составляющая силы веса параллельна наклону?

   1. 4. 33\,\текст{N}

   2. 5.0\,\текст{N}

   3. 24,5\,\текст{N}

   4. 42.43\,\text{N}

   Снап Лаборатория

   Трение под углом: скольжение монеты

   Объект будет скользить по наклонной плоскости с постоянной скоростью, если результирующая сила, действующая на объект, равна нулю. Мы можем использовать этот факт для измерения коэффициента кинетического трения между двумя объектами. Как показано в первом рабочем примере, кинетическое трение на склоне fk=µkmg cosθfk=µkmg cosθ, а составляющая веса вниз по склону равна mg sinθmg sinθ . Эти силы действуют в противоположных направлениях, поэтому, когда они имеют одинаковую величину, ускорение равно нулю. Написание этих

   fk=Fgxμkmg cosθ=mg sinθ.fk=Fgxμkmg cosθ=mg sinθ.

   Решая μkμk, поскольку tanθ=sinθ/cosθtanθ=sinθ/cosθ, мы находим, что

   μk=mg sinθmg cosθ= tanθ.μk=mg sinθmg cosθ= tanθ.

   5,10

   • 1 монета
   • 1 книга
   • 1 транспортир
     1. Положите монету плоской стороной на книгу и наклоняйте ее, пока монета не будет скользить по книге с постоянной скоростью. Возможно, вам придется слегка постучать по книге, чтобы заставить монету двигаться.
     2. Измерьте угол наклона относительно горизонтали и найдите μkμk .

   Проверка захвата

   Верно или неверно — если известны только углы двух векторов, мы можем найти угол их результирующего вектора сложения.

   1. Правда
   2. Ложь

   Проверьте свое понимание

   17.

   Что такое трение?

   1. Трение — это внутренняя сила, противодействующая относительному движению объекта.

   2. Трение — это внутренняя сила, которая ускоряет относительное движение объекта.

   3. Трение — это внешняя сила, противодействующая относительному движению объекта.

   4. Трение — это внешняя сила, которая увеличивает скорость относительного движения объекта.

   18.

   Какие существуют две разновидности трения? На что действует каждый?

   1. Кинетическое и статическое трение действуют на движущийся объект.

   2. Кинетическое трение действует на движущийся объект, а статическое трение действует на покоящийся объект.

   3. Кинетическое трение действует на неподвижный объект, а статическое трение действует на движущийся объект.

   4. Кинетическое и статическое трение действуют на покоящийся объект.

   19.

   Какое значение статического и кинетического трения между двумя поверхностями больше? Почему?

   1. Кинетическое трение имеет большее значение, потому что трение между двумя поверхностями больше, когда две поверхности находятся в относительном движении.

   2. Статическое трение имеет большее значение, потому что трение между двумя поверхностями больше, когда две поверхности находятся в относительном движении.

   3. Кинетическое трение имеет большее значение, потому что трение между двумя поверхностями меньше, когда две поверхности находятся в относительном движении.

   4. Статическое трение имеет большее значение, потому что трение между двумя поверхностями меньше, когда две поверхности находятся в относительном движении.

   Поддержка учителей

   Поддержка учителей

   Используйте вопросы Проверьте свое понимание , чтобы оценить, достигают ли учащиеся целей обучения в этом разделе. Если учащиеся затрудняются с определенной задачей, Check Your Understanding поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему контенту.

   AN-1057: Использование акселерометра для определения наклона

   по Кристофер Дж. Фишер Скачать PDF

   Введение

   Одним из распространенных методов определения наклона или наклона системы является интегрирование выходного сигнала гироскопа. Хотя этот метод прост, ошибка, связанная со стабильностью нулевого смещения, может быстро увеличиваться по мере увеличения периода интегрирования, вызывая кажущееся вращение, даже когда устройство неподвижно.

   В некоторых приложениях, где суммарное ускорение или сила, действующая на систему с течением времени, представляет собой силу тяжести, для измерения статического угла наклона или наклона можно использовать акселерометр. Такие приложения включают игры, обнаружение горизонта в цифровых камерах и определение направления устройства в промышленных и медицинских приложениях.

   В основе определения наклона с помощью акселерометра лежит допущение, что единственный стимул ускорения связан с гравитацией. На практике обработка сигнала может выполняться на выходе сигнала, чтобы удалить высокочастотную составляющую из выходного сигнала, поэтому можно допустить некоторое ускорение переменного тока.

   Датчик наклона использует вектор силы тяжести и его проекцию на оси акселерометра для определения угла наклона. Поскольку гравитация представляет собой ускорение постоянного тока, любые силы, приводящие к дополнительному ускорению постоянного тока, искажают выходной сигнал и приводят к неверным расчетам. Источники ускорения постоянного тока включают период времени, когда транспортное средство ускоряется с постоянной скоростью, и вращающиеся устройства, вызывающие центростремительное ускорение на акселерометре. Кроме того, вращение акселерометра под действием силы тяжести вызывает кажущееся ускорение переменного тока при изменении проекции силы тяжести на интересующие оси. Любая фильтрация сигнала ускорения перед расчетом наклона влияет на то, как быстро выходной сигнал устанавливается на новое статическое значение.

   В этих рекомендациях по применению обсуждаются основные принципы преобразования выходного сигнала акселерометра в угол наклона. Это обсуждение включает в себя, как рассчитать идеальный угол наклона для решения с одной, двумя или тремя осями. Кроме того, включена некоторая базовая информация о калибровке, чтобы уменьшить ошибку из-за смещения и несоответствия чувствительности.

   Расчет наклона/наклона

   Расчет наклона по одной оси

   В приложениях, где определение наклона требуется только для ограниченного угла и с несколько грубым разрешением, можно использовать одноосное устройство (или одну ось многоосевого устройства).

   Например, на рис. 1 одна ось (ось x в данном примере) вращается под действием силы тяжести. Поскольку в этом подходе используется только одна ось и требуется вектор силы тяжести, расчетный угол наклона является точным только тогда, когда устройство ориентировано так, что ось x всегда находится в плоскости силы тяжести. Любое вращение вокруг других осей уменьшает величину ускорения по оси x и приводит к ошибке в вычисленном угле наклона.

   Рис. 1. Одна ось, используемая для определения наклона.

   Ссылаясь на базовую тригонометрию, проекция вектора силы тяжести на ось x создает выходное ускорение, равное синусу угла между осью x акселерометра и горизонтом. Горизонт обычно принимается за плоскость, ортогональную вектору силы тяжести. Для идеального значения силы тяжести 1 g выходное ускорение равно

   .

   При использовании одноосного решения обратите внимание, что чувствительность — т. е. изменение выходных данных при некотором изменении входных данных — вычисления наклона уменьшается по мере увеличения угла между горизонтом и осью x и приближается к 0 по мере увеличения угла приближается к ±90°. Это можно увидеть на рис. 2, где выходное ускорение в g отложено в зависимости от угла наклона. Вблизи ±90° большое изменение угла наклона приводит к небольшому изменению выходного ускорения.

   Рис. 2. Выходное ускорение в зависимости от угла наклона для измерения наклона по одной оси.

   Поскольку расчет наклона выполняется в цифровом виде, выходное ускорение представляется как постоянное ускорение на младший значащий бит (LSB) или код, полученный либо из аналого-цифрового преобразователя (АЦП), либо непосредственно из части цифрового выхода. Поскольку выходное разрешение представляет собой постоянное ускорение, разрешение в градусах наклона является переменным, при этом наилучшее разрешение близко к 0°, а наихудшее разрешение равно ±9. 0°.

   На Рисунке 3 и Рисунке 4 показана инкрементальная чувствительность для шагов угла наклона 1° и 0,25°. Инкрементальная чувствительность представляет собой изменение выходного сигнала, показанное в m g , на шаг угла наклона или

   .

   где:
   N — текущий угол.
   P — размер шага.

   Рис. 3. Инкрементальная чувствительность к наклону с шагом 1°.

   Рис. 4. Инкрементальная чувствительность к наклону для шагов 0,25°.

   Эти кривые можно использовать для определения минимально необходимого разрешения при измерении выходного ускорения, чтобы обеспечить требуемое разрешение по наклону для всего диапазона приложения. Например, при расчете максимального размера шага в 1° разрешение не менее 8 м г /LSB необходимо для диапазона ±63°. Аналогичным образом, для достижения максимального размера шага 0,25° для диапазона ±63 требуется разрешение не менее 2 м г /LSB. Обратите внимание, что при наличии достаточного дизеринга можно использовать передискретизацию для достижения лучшего разрешения.

   Поскольку выходной сигнал акселерометра подчиняется синусоидальной зависимости, поскольку он вращается под действием силы тяжести, преобразование ускорения в угол выполняется с помощью функции обратного синуса.

   , где угол наклона θ выражен в радианах.

   Если требуется узкий диапазон наклона, вместо функции обратного синуса можно использовать линейное приближение. Линейное приближение относится к приближению синуса для малых углов.

   где угол наклона, θ , в радианах.

   В линейную аппроксимацию угла наклона можно включить дополнительный коэффициент масштабирования k, что позволяет увеличить допустимый диапазон аппроксимации при увеличении допустимой ошибки.

   , где угол наклона θ выражен в радианах.

   Преобразование в градусы выполняется путем умножения результата уравнения 5 на (180/π). На рис. 5 показано сравнение использования функции обратного синуса и линейной аппроксимации при k, равном 1. По мере увеличения величины угла наклона линейная аппроксимация начинает давать сбои, и расчетный угол отклоняется от фактического угла.

   Рис. 5. Сравнение функции обратного синуса и линейной аппроксимации для расчета угла наклона.

   Поскольку рассчитанный угол отображается в зависимости от фактического угла наклона, линейная аппроксимация кажется изгибающейся ближе к концам. Это связано с тем, что линейное приближение является линейным только по сравнению с выходным ускорением, и, как показано на рисунке 2, выходное ускорение ведет себя аналогично при увеличении фактического угла наклона. Однако функция обратного синуса должна давать выходной сигнал, который один к одному соответствует фактическому углу наклона, в результате чего вычисленный угол представляет собой прямую линию при построении графика относительно фактического угла наклона.

   Например, если желаемое разрешение определения наклона составляет 1°, допустима ошибка ±0,5°, поскольку она ниже ошибки округления вычисления. Если ошибка между фактическим углом наклона и расчетным углом наклона нанесена на график для k, равного 1, как показано на рисунке 6, действительный диапазон для линейного приближения составляет только ±20°. Если коэффициент масштабирования отрегулирован таким образом, чтобы ошибка была максимальной, но оставалась в пределах пределов округления вычислений, допустимый диапазон линейной аппроксимации увеличивается до значения, превышающего ±30°.

   Рис. 6. Вычисленная угловая ошибка для различных коэффициентов масштабирования.

   Расчет наклона по двум осям

   Одним из ограничений измерения наклона по одной оси является потребность в АЦП с высоким разрешением или цифровом выходе для достижения большого диапазона действительных углов наклона, как показано на Рисунке 3 и Рисунке 4. Другое ограничение заключается в том, что измерение по одной оси не может обеспечить измерение 360°, потому что ускорение, генерируемое при наклоне N°, такое же, как ускорение, генерируемое при наклоне 180° − N°. Для некоторых приложений это допустимо, но для приложений, требующих более высокого разрешения или способности различать углы наклона в полной дуге 360°, необходима вторая ось, как показано на рис. 7, или второй датчик. Если используется второй датчик, он должен быть ориентирован так, чтобы ось восприятия второго датчика была ортогональна оси восприятия первого датчика.

   Рис. 7. Две оси, используемые для определения наклона.

   Включение второй оси при определении угла наклона дает три основных преимущества. Эти преимущества описаны в следующих разделах.

   Постоянная чувствительность

   Первое важное преимущество использования второй оси связано с ортогональностью осей. Как и в одноосном решении, ускорение, определяемое осью x, пропорционально синусу угла наклона. Ускорение по оси Y из-за ортогональности пропорционально косинусу угла наклона (см. рис. 8). По мере снижения инкрементальной чувствительности одной оси, например, когда ускорение этой оси приближается к +1 g или −1 g , инкрементальная чувствительность другой оси увеличивается.

   Рис. 8. Выходное ускорение в зависимости от угла наклона для двухосевого измерения наклона.

   Одним из методов преобразования измеренного ускорения в угол наклона является вычисление арксинуса оси x и арккосинуса оси y аналогично решению для одной оси. Однако более простым и эффективным подходом является использование отношения двух значений, что приводит к следующему:

   , где угол наклона θ выражен в радианах.

   В отличие от примера с одной осью, использование отношения двух осей для определения угла наклона очень затрудняет определение инкрементальной чувствительности. Вместо этого полезнее определить минимально необходимое разрешение акселерометра при желаемом разрешении наклона. Учитывая, что инкрементальная чувствительность одной оси увеличивается по мере уменьшения другой, конечным результатом является эффективная инкрементальная чувствительность, которая примерно постоянна. Это означает, что выбор акселерометра с достаточным разрешением для достижения желаемого размера шага наклона по одному углу достаточен для всех углов.

   Чтобы определить минимально необходимое разрешение акселерометра, проверяется уравнение 6, чтобы определить, где находятся ограничения разрешения. Поскольку выход каждой оси зависит от синуса или косинуса угла наклона, а угол наклона для каждой функции одинаков, минимальный разрешаемый угол соответствует минимальному разрешенному ускорению.

   Как показано на рисунках 3 и 4, функция синуса имеет наибольшую скорость изменения вблизи 0°, и можно показать, что функция косинуса имеет наименьшую скорость изменения в этой точке. По этой причине изменение ускорения по оси x из-за изменения наклона распознается до изменения ускорения по оси y. Следовательно, разрешение системы вблизи 0° зависит в первую очередь от разрешения по оси x. Чтобы обнаружить изменение наклона P°, акселерометр должен обнаруживать изменение примерно на 9°.0011

   Рисунок 9 можно использовать для определения минимального необходимого разрешения акселерометра — или максимального масштабного коэффициента акселерометра — для желаемого размера шага наклона. Обратите внимание, что увеличенное разрешение акселерометра соответствует уменьшению масштабного коэффициента акселерометра и способности обнаруживать меньшее изменение выходного ускорения. Следовательно, при выборе акселерометра с соответствующим разрешением масштабный коэффициент должен быть меньше предела, показанного на рисунке 9, для предполагаемого размера шага наклона.

   Рис. 9. Минимальное разрешение акселерометра для желаемого угла наклона Разрешение с уменьшенной зависимостью от выравнивания с плоскостью.

   Уменьшенная зависимость от выравнивания с плоскостью гравитации

   Вторым важным преимуществом использования по крайней мере двух осей является то, что в отличие от решения с одной осью, где наклон по любой оси, кроме оси x, может привести к значительной ошибке, использование второй оси позволяет измерить точное значение. даже при наличии наклона по третьей оси. Это связано с тем, что эффективная инкрементная чувствительность пропорциональна значению силы тяжести на осях интереса из суммы квадратов (RSS).

   Когда гравитация полностью сосредоточена в плоскости xy, значение ускорения RSS, обнаруженное на этих осях, идеально равно 1 g . Если в плоскости xz или yz присутствует наклон, общее ускорение под действием силы тяжести уменьшается, что также снижает эффективную инкрементальную чувствительность. Это, в свою очередь, увеличивает размер шага наклона для данного разрешения акселерометра, но по-прежнему обеспечивает точное измерение. Результирующий угол из расчета наклона соответствует повороту в плоскости xy.

   Если система достаточно наклонена, так что ускорение силы тяжести в плоскости xy очень мало, размер шага угла наклона будет слишком грубым, чтобы его можно было использовать; поэтому рекомендуется ограничивать наклон в плоскости xz или yz.

   Полный датчик наклона на 360°

   Третьим важным преимуществом использования второй оси является возможность различать каждый квадрант и измерять углы по всей дуге 360°. Как показано на рисунке 10, каждый квадрант имеет различную комбинацию знаков, связанных с ускорением по осям x и y.

   Рис. 10. Угол наклона и знак ускорения для квадрантного обнаружения.

   Функция арктангенса возвращает значение в квадранте I, если операнд A _X,OUT /A _Y,OUT положителен; если операнд отрицательный, функция арктангенса возвращает значение в квадранте IV. Поскольку операнд в квадранте II отрицательный, к результату вычисления следует добавить значение 180°, когда угол находится в этом квадранте. Поскольку операнд в квадранте III положительный, значение 180° следует вычесть из результата вычисления, когда угол находится в этом квадранте. Правильный квадрант вычисленного угла можно определить, изучив знак измеренного ускорения по каждой оси.

   Расчет трехосного наклона

   Когда вводится третья ось, ориентация датчика может быть определена в полной сфере. Классический метод преобразования прямоугольных (x, y, z) в сферические (ρ, θ, φ) можно использовать для связи угла наклона в плоскости xy, θ, и угла наклона от вектора силы тяжести, φ , к измеренному ускорению по каждой оси следующим образом:

   Учитывая допущение, что единственное измеренное ускорение связано с силой тяжести, знаменатель операнда в уравнении 10 можно заменить константой, в идеале 1, поскольку значение RSS по всем осям постоянно, когда единственным ускорением является сила тяжести. Углы показаны на рис. 11, где на рис. 11с показано θ только в плоскости xy, а на рис. 11d показано φ как угол между осью z и вектором силы тяжести.

   Рис. 11. Углы сферической системы координат.

   Из-за сходства между уравнениями для метода трех осей и уравнениями для методов с одной и двумя осями анализ решения по трем осям такой же, как и для объединенных методов с одной и двумя осями. Измерение θ выигрывает от соотношения двух ортогональных осей, а желаемое разрешение наклона требует минимального разрешения акселерометра, как описано уравнением 8.

   Измерение φ соответствует измерению угла наклона для одноосного решения вместе с методом определения минимального разрешения акселерометра, необходимого для определенного разрешения угла наклона в желаемом диапазоне. Разница заключается в том, что использование функции арккосинуса для определения φ дает максимальную чувствительность приращения, когда φ составляет 90°, и минимальную чувствительность приращения при 0° и 180°.

   График, аналогичный рисункам 3 и 4, можно получить, заменив синус на косинус в уравнении 2. Важно отметить, что, хотя θ находится в диапазоне от −180° до +180°, φ находится в диапазоне только от 0° до 180°. Отрицательный угол для φ приводит к тому, что угол θ становится отрицательным.

   Альтернативный метод измерения наклона по трем осям заключается в определении угла отдельно для каждой оси акселерометра из исходного положения. За исходное положение принимается типичная ориентация устройства с осями x и y в плоскости горизонта (0 g поля) и осью z ортогонально горизонту (1 g поля). Это показано на рисунке 12, где θ — угол между горизонтом и осью x акселерометра, ψ — угол между горизонтом и осью y акселерометра и φ — угол между вектором силы тяжести и ось Z. Когда в исходном положении 0 < g по осям x и y и 1 g по оси z, все расчетные углы будут равны 0°.

   Рис. 12. Углы для независимого измерения наклона.

   Основы тригонометрии можно использовать, чтобы показать, что углы наклона можно рассчитать с помощью уравнения 11, уравнения 12 и уравнения 13.

   Кажущаяся инверсия операнда в уравнении 13 происходит из-за того, что начальное положение представляет собой поле размером 1 g . Если в качестве точки отсчета для оси Z требуется горизонт, операнд можно инвертировать. Положительный угол означает, что соответствующая положительная ось акселерометра направлена ​​над горизонтом, тогда как отрицательный угол означает, что ось направлена ​​ниже горизонта.

   Поскольку используется функция арктангенса и отношение ускорений, применяются преимущества, упомянутые в примере с двумя осями, а именно постоянная эффективная инкрементальная чувствительность и возможность точного измерения углов для всех точек вокруг единичной сферы.

   Ошибка калибровки смещения и несоответствия чувствительности

   Анализ в этих указаниях по применению был выполнен в предположении, что использовался идеальный акселерометр. Это соответствует устройству без 0 g смещения и с идеальной чувствительностью (выражается как мВ/ g для аналогового датчика или LSB/g для цифрового датчика). Хотя датчики поставляются подрезанными, устройства имеют механический характер, а это означает, что любое статическое напряжение на детали после сборки системы может повлиять на смещение и чувствительность. Это, в сочетании с ограничениями заводской калибровки, может привести к ошибкам, превышающим допустимые пределы для приложения.

   Последствия ошибки смещения

   Чтобы продемонстрировать, насколько большой может быть ошибка, представьте себе сначала двухосевое решение с идеальной чувствительностью, но с 50-метровым г смещение по оси x. При 0° по оси абсцисс отсчитывается 50 м г , а по оси у — 1 г . Результирующий расчетный угол будет равен 2,9°, что приведет к ошибке 2,9°. При ±180° по оси x будет указано 50 м g , тогда как по оси Y будет указано -1 g . Это приведет к расчетному углу и ошибке -2,9 °. Ошибка между вычисленным углом и фактическим углом показана на рисунке 13 для этого примера. Ошибка из-за смещения может быть не только большой по сравнению с желаемой точностью системы, но и варьироваться, что затрудняет простую калибровку угла ошибки. Это становится более сложным, когда включено смещение для нескольких осей.

   Рис. 13. Расчетная угловая ошибка из-за смещения акселерометра.

   Последствия ошибки несоответствия чувствительности

   Основная составляющая ошибки из-за чувствительности акселерометра в двухосевом приложении измерения наклона возникает, когда существует разница в чувствительности между интересующими осями (в отличие от одноосного решения, где любое отклонение между фактической чувствительностью и ожидаемой чувствительностью приводит к ошибке). Поскольку используется соотношение осей x и y, большая часть ошибки устраняется, если чувствительности одинаковы.

   В качестве примера влияния несоответствия чувствительности акселерометра предположим, что используется двухосевое решение с идеальной подстройкой смещения, идеальной чувствительностью по оси Y и +5% чувствительностью по оси X. Это означает, что в поле 1 г по оси Y отображается 1 г , а по оси X — 1,05 г . На рис. 14 показана ошибка вычисленного угла из-за этого несоответствия чувствительности. Подобно ошибке смещения, ошибка из-за несоответствия чувствительности акселерометра варьируется во всем диапазоне поворота, что затрудняет компенсацию ошибки после расчета угла наклона. Дальнейшее искажение несоответствия путем изменения чувствительности по оси Y приводит к еще большей ошибке.

   Рис. 14. Ошибка расчета угла из-за несоответствия чувствительности акселерометра.

   Основные методы калибровки

   Когда ошибки из-за смещения и несоответствия чувствительности объединяются, ошибка может стать довольно большой и выйти далеко за допустимые пределы в приложении для измерения наклона. Чтобы уменьшить эту ошибку, необходимо откалибровать смещение и чувствительность, а откалиброванное выходное ускорение использовать для расчета угла наклона. При включении эффектов смещения и чувствительности выходной сигнал акселерометра выглядит следующим образом:

   где:
   A _OFF — ошибка смещения, в г .
   Усиление — усиление акселерометра, в идеале значение равное 1.
   A _{АКТУАЛЬНОЕ} — реальное ускорение, действующее на акселерометр, и желаемое значение в g .

   Простой метод калибровки заключается в предположении, что коэффициент усиления равен 1, и измерении смещения. Затем эта калибровка ограничивает точность системы некалиброванной ошибкой чувствительности. Простой метод калибровки можно выполнить, поместив интересующую ось в 0 g поле и измеряющий вывод, который будет равен смещению. Затем это значение следует вычесть из выходного сигнала акселерометра перед обработкой сигнала. Это часто называют калибровкой без поворота или калибровкой по одной точке, потому что типичная ориентация устройства помещает оси x и y в поле 0, g . Если используется трехосное устройство, по крайней мере один поворот или вторая точка должны быть включены для оси Z.

   Более точный метод калибровки заключается в использовании двух точек на каждой оси интереса (до шести точек для трехосевой модели).