Формула расчетный изгибающий момент – 12 Расчет прочности нормальных сечений изгибаемых железобетонных элементов прямоугольного сечения с одиночной арматурой (предпосылки расчета, расчетные схемы, расчетные формулы).

Изгибающий момент — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 августа 2016; проверки требуют 5 правок. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 23 августа 2016; проверки требуют 5 правок.

Изгибающий момент — момент внешних сил относительно нейтральной оси сечения балки или другого твёрдого тела.

Изгибающий момент вычисляется, как произведение приложенной статической силы (включая реакции опор) на кратчайшее расстояние от вектора этой силы до нейтральной оси сечения. Если таких сил несколько, то изгибающие моменты от каждой силы складываются с учётом знака. Отсюда понятно, что в каждом сечении тела изгибающие моменты могут различаться.

Для сечения, находящегося в равновесии, изгибающий момент равен моменту внутренних сил относительно нейтральной оси сечения. Внутренние силы можно представить, если мысленно удалить часть тела по одну сторону от сечения и заменить её внешними силами так, чтобы оставшаяся часть находилась в равновесии.

Если других воздействий нет (прямой чистый изгиб), то сечение при деформации изгиба остается плоским и поворачивается на малый угол. В реальности изгибающий момент часто сочетается со сдвигающими, растягивающими, крутящими и другими внешними силами.

Определение изгибающего момента является очень важным для расчета конструкций на прочность. При изгибающем воздействии часть стержня (волокна), расположенная по одну сторону от нейтральной оси, растягивается, а другая — сжимается. Наибольшие напряжения возникают в крайних волокнах стержня. Если они превышают прочность материала, конструкция разрушается. Связь между внутренними напряжениями и изгибающим моментом была впервые математически выражена Ш. Кулоном в 1773 году

[1].

Простейшие случаи вычисления изгибающего момента[править | править код]

Для консоли длиной l с нагрузкой P на конце консоли изгибающий момент увеличивается от нуля на конце консоли до P*l.

Для консоли, равномерно загруженной нагрузкой q, изгибающий момент увеличивается от нуля на конце консоли до q l² / 2.

Для балки, изображенной на рисунке,

My(x=l/2)=F/2⋅l/2=Fl/4{\displaystyle M_{y}(x=l/2)=F/2\cdot l/2=Fl/4} .

• Волновой изгибающий момент; определяется на миделе судна, находящегося на волне
• Положительный изгибающий момент; в машиностроении принято считать положительным момент на сжатых волокнах балки, в строительстве — на растянутых
• Отрицательный изгибающий момент

1. ↑ Атапин В.Г. Сопротивление материалов / Учебник и практикум для академического бакалавриата. М.:Юрайт, 2016. — 342 с. ISBN:978-5-9916-5203-2

1. Расчет изгибаемых элементов на прочность

Производится по формуле:

σ=, где

М – максимальный изгибающий момент,

W_расч – расчетный момент сопротивления поперечного сечения.

Для наиболее распространенного прямоугольного сечения

; .

Подбор сечения изгибаемых элементов производится по этой же формуле, определяя

, затем, задавая один из размеров сечения (b или h), находят другой размер.

2. Расчет на устойчивость поской формы дефорирования элементов прямоугольного постоянного сечения

Производят по формуле:

σ=, где

М – максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке l_p,

W_бр – максимальный момент сопротивления брутто на рассматриваемом участке l_p,

φ_м – коэффициент устойчивости.

Коэффициент φ_м для изгибаемых элементов прямоугольного постоянного поперечного сечения шарнирно-закрепленных от смещения из плоскости изгиба, следует определять по формуле:

,где

l_p – расстояние между опорными сечениями элемента (расстояние между точками закрепления сжатого пояса),

b – ширина поперечного сечения,

h – максимальная высота поперечного сечения на участке l_p,

k_ф – коэффициент, зависящий от формы эпюры на участке

l_p (определяется по таблице СНиП II-25-80).

При расчете элементов переменной высоты сечения значение коэффициента φ_м следует умножать на коэффициент k_жм, а при подкреплении из плоскости изгиба в промежуточных точках растянутой кромки – на коэффициент k_пм.

Оба эти коэффициента определяются по СНиП.

При наличии точек закрепления растянутых зон n≥4, k_жм=1.

Проверку устойчивости плоской формы изгиба элементов постоянного двутаврового или коробчатого сечения следует производить в тех случаях, когда

l_p≥7b, где b – ширина сжатого пояса поперечного сечения. Расчет следует производить по формуле:

, где

φ – коэффициент продольного изгиба сжатого пояса,

R_c – расчетное сопротивление сжатию,

W_бр – момент сопротивления брутто, в случае фанерных стенок – приведенный момент сопротивления в плоскости изгиба элемента.

3. Проверка на скалывание при изгибе

Выполняется по формуле Журавского:

, где

Q – расчетная поперечная сила;

I_бр – момент инерции брутто рассматриваемого сечения;

S_бр – статический момент брутто сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси;

b – ширина сечения;

R_ск – расчетное сопротивление скалыванию при изгибе (для древесины I сорта R_ск=1,8 МПа для неклееных элементов, R_ск=1,6 МПа – для клееных элементов вдоль волокон).

В балках прямоугольного сечения при l/h≥5 скалывания не происходит, однако оно может быть в элементах других форм сечения, например, в двутавровых балках с тонкой стенкой.

4. Проверка изгибаемых элементов по прогибам

Определяется относительный прогиб, значение которого не должно превышать предельного значения, регламентированного СНиПом:

Наибольший прогиб f шарнирно-опертых и консольных изгибаемых элементов постоянного и переменного сечения следует определять по формуле:

, где

f₀ – прогиб балки постоянного сечения без учета деформаций сдвига (например, для однопролетной балки ;

h – наибольшая высота сечения;

k – коэффициент, учитывающий переменность высоты сечения, для балки постоянного сечения k=1;

с – коэффициент, учитывающий деформации сдвига от поперечной силы.

Значения коэффициентов k и с приведены в СНиП.

Клееные криволинейные элементы, изгибаемые моментом

М, уменьшающим их кривизну, следует проверять дополнительно на радиальные растягивающие напряжения по формуле:

σ_r=, где

σ₀ – нормальные напряжения в крайнем волокне растянутой зоны.

σ_i – нормальные напряжения в промежуточном волокне сечения для которого определяются радиальные растягивающие напряжения;

h_i – расстояние между крайними и рассматриваемыми волокнами;

r

i – радиус кривизны линии, проходящей через центр тяжетси эпюры нормальных растягивающих напряжений, заключенной между крайними и рассматриваемыми волокнами.

Косой изгиб

Возникает в элементах, оси сечений которых расположены наклонно к направлению нагрузок, как например, в брусчатых прогонах скатных покрытий.

q_x=qsinα;

q_y=qcosα;

M_x=Msinα;

M_y=Mcosα.

Вертикальная нагрузка q и изгибающие моменты М при косом изгибе под углом α раскладываются на нормальную (q_y) и скатную (q_x) составляющие.

Проверку прочности при косом изгибе производят по формуле:

σ=.

Подбор сечений косоизгибаемых элементов производят методом попыток. Расчет по прогибам производят с учетом геометрической суммы прогибов относительно каждой из осей сечения:

.

Растянуто-изгибаемые элементы

Работают одновременно на растяжение и изгиб. Так работают, например, растянутый нижний пояс фермы с межузловой нагрузкой; стержни, в которых растягивающие усилия действуют с эксцентриситетом относительно оси (такие элементы называют внецентренно-растянутыми). В сечениях растянуто-изгибаемого элемента от продольной растягивающей силы N возникают равномерные растягивающие напряжения, а от изгибающего момента М – напряжения изгиба. Эти напряжения суммируются, благодаря чему растягивающие напряжения увеличиваются, а сжимающие уменьшаются. Расчет растянуто-изгибаемых элементов производится по прочности с учетом всех ослаблений:

σ=, .

Отношение R_p/R_u позволяет привести напряжения растяжения и изгиба к единому значению для сравнения их с расчетным сопротивлением растяжению.

Сжато-изгибаемые элементы

Работают одновременно на сжатие и изгиб. Так работают, например, верхние сжатые пояса ферм, нагруженные дополнительно межузловой поперечной нагрузкой, а также при эксцентричном приложении сжимающей силы (внецентренно-сжатые элементы).

В сечениях сжато-изгибаемого элемента возникают равномерные напряжения сжатия от продольных сил N и напряжения сжатия и растяжения от изгибающего момента М, которые суммируются.

Искривление сжато-изгибаемого элемента поперечной нагрузкой приводит к появлению дополнительного изгибающего момента с с максимальным значением:

М_N=N·f, где

f – прогиб элемента.

Расчет на прочность сжато-изгибаемых элементов выполняют по формуле:

, где

М_д – изгибающий момент по деформированной схеме от действия поперечных и продольных нагрузок.

Для шарнирно-опертых элементов при симметричных эпюрах изгибающих моментов синусоидального, параболического и близких к ним очертаний:

, где

М – изгибающий момент в расчетном сечении без учета дополнительного момента от продольной силы;

ξ – коэффициент, изменяющийся от 1 до 0, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента, определяемый по формуле:

, где

φ – коэффициент продольного изгиба (коэффициент устойчивости) для сжатых элементов.

Кроме проверки на прочность, сжато-изогнутые элементы проверяются на устойчивость по формуле:

, где

F_бр – площадь брутто с максимальными размерами сечения элемента на участке l_p;

W_бр – максимальный момент сопротивления на рассматриваемом участке l_p;

n=2 – для элементов без закрепления растянутой зоны из плоскости деформирования,

n=1 – для элементов, имеющих закрепления в растянутой зоне из плоскости деформирования;

φ – коэффициент устойчивости для сжатия, определяемый по формуле:

, где

А=3000 – для древесины,

А=2500 – для фанеры;

φ_м – коэффициент устойчивости для изгиба, формула для определения этого коэффициента была дана раньше.

Поперечная сила и изгибающий момент.

В поперечных сечениях балки возникает поперечная сила Q и изгибающий моментM.

Разрежем балку на расстоянии Х. Заменим действие отброшенной части (правой) внутренними усилиями Q и M; рассмотрим левую часть балки. Q – поперечная сила — результирующая всех внутренних усилий алгебраически равна сумме всех сил, расположенных левее сечения. M – изгибающий момент результирующий момент всех внешних сил, численно равен алгебраической сумме моментов всех усилий, расположенных левее сечения. Составим уравнения равновесия для левой части:

→→

∑М_сечХ=0; →→;

Можно вместо левой части рассмотреть правую часть. Результат будет тот же, но с обратным знаком.

В связи с этим для того, чтобы в одном и том же сечении Q и M имели одинаковые знаки независимо от того какая часть рассматривается, примем следующее

ПРАВИЛО ЗНАКОВ (см. рисунок):

Поперечную силу будем считать положительной, если равнодействующая сила левее сечения направлена вверх, а правее сечения направлена вниз.

Изгибающий момент будет считаться положительным, если равнодействующий момент левых сил направлен по ходу часовой стрелки, а правых – против часовой стрелки.

Зависимость между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки.

Выделим из балки участок бесконечно малой длины так чтобы по границам этого участка и по самом участке сосредоточенные силы отсутствовали. Ввиду малости участка распределенную нагрузку примем равномерно распределенной. Составим уравнения равновесия: ; или

;;

Пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка, получаем:или

Продифференцировав последнее выражение по Х, получаем: ;или

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Внутренние усилия Q и M зависят от координатыХ,поэтому удобно иметь графики зависимостиQ и M от расстоянияХ,эти графики называютсяэпюрамипоперечных сил и изгибающих моментов. Построение эпюрQ и M рассмотрим на частных примерах.

Положительные изгибающие моментыбудем откладывать в сторону растянутых волокон.

Пример 1. Построить эпюры Q иM. 1) Определяем опорные реакции: ; 2) Разбиваем балку на участки. Рассмотрим отдельные участки. 3) Участок 1: (рассекаем на расстоянии Х1) Участок 2: (рассекаем на расстоянии Х2) при при .

Пример 2. Построить эпюры Q иM.

1. Определим опорные реакции:

Проверка

,

Следовательно, опорные реакции определены верно.

2) Построим эпюры QиM:

Участок I:

1. 

2. 

Участок II:

1. 

Участок III:

Идем справа налево Из подобия треугольников . находим:

1. 

2. 

3. 

Расчет балки на изгиб | Архитектурный журнал ADCity

Рассчитывать балку на изгиб можно несколькими вариантами:
1. Расчет максимальной нагрузки, которую она выдержит
2. Подбор сечения этой балки
3. Расчет по максимальным допустимым напряжениям (для проверки)
Давайте рассмотрим общий принцип подбора сечения балки на двух опорах загруженной равномерно распределенной нагрузкой или сосредоточенной силой.
Для начала, вам необходимо будет найти точку (сечение), в которой будет максимальный момент. Это зависит от опирания балки или же ее заделки. Снизу приведены эпюры изгибающих моментов для схем, которые встречаются чаще всего.

После нахождения изгибающего момента мы должны найти момент сопротивления Wx этого сечения по формуле приведенной в таблице:

Далее, при делении максимального изгибающего момента на момент сопротивления в данном сечении, мы получаем максимальное напряжение в балке и это напряжение мы должны сравнить с напряжением, которое вообще сможет выдержать наша балка из заданного материала.
Для пластичных материалов (сталь, алюминий и т.п.) максимальное напряжение будет равно пределу текучести материала, а для хрупких (чугун) – пределу прочности. Предел текучести и предел прочности мы можем найти по таблицам ниже.

Давайте рассмотрим пару примеров:
1. Вы хотите проверить, выдержит ли вас двутавр №10 (сталь Ст3сп5) длиной 2 метра жестко заделанного в стену, если вы на нем повисните. Ваша масса пусть будет 90 кг.
Для начала нам необходимо выбрать расчетную схему.

На данной схеме видно, что максимальный момент будет в заделке, а поскольку наш двутавр имеет одинаковое сечение по всей длине, то и максимальное напряжение будет в заделке. Давайте найдем его:
P = m * g = 90 * 10 = 900 Н = 0.9 кН

М = P * l = 0.9 кН * 2 м = 1.8 кН*м

По таблице сортамента двутавров находим момент сопротивления двутавра №10.

Он будет равен 39.7 см3. Переведем в кубические метры и получим 0.0000397 м3.
Далее по формуле находим максимальные напряжения, которые у нас возникают в балке.
б = М / W = 1.8 кН/м / 0.0000397 м3 = 45340 кН/м2 = 45.34 МПа

После того, как мы нашли максимальное напряжение, которое возникает в балке, то мы его может сравнить с максимально допустимым напряжением равным пределу текучести стали Ст3сп5 – 245 МПа.
45.34 МПа < 245 МПа – верно, значит данный двутавр выдержит массу 90 кг.

2. Поскольку у нас получился доволи-таки большой запас, то решим вторую задачу, в которой найдем максимально возможную массу, которую выдержит все тот же двутавр №10 длиной 2 метра.
Если мы хотим найти максимальную массу, то значения предела текучести и напряжения, которое будет возникать в балке, мы должны приравнять (б=245 Мпа = 245 000 кН*м2).

Далее по формуле б = М / W, находим максимальный момент.
М = б * W = 245 000 * 0.0000397 = 9.73 кН * м

Тогда по формуле M = P * L найдем P:
P = 9,73 кН/м / 2м = 4,87 кН = 487 кг

Итак, максимальная масса, которую выдержит двутавр №10 – 487 кг. Число это грубое, поскольку для простоты расчета мы не учитывали различные коэффициенты запаса, поэтому, чтобы подстраховаться, возьмите некий двукратный запас по прочности.

1. Расчет изгибаемых элементов на прочность по нормальным напряжениям

Производится по формуле

,

где

М – расчетный изгибающий момент,

W_расч – расчетный момент сопротивления поперечного сечения.

Для наиболее распространенного прямоугольного сечения

; .

Подбор сечения изгибаемых элементов производится по этой же формуле, определяя , затем, задавая один из размеров сечения (b или h), находят другой размер.

2. Расчет на устойчивость плоской формы деформирования элементов прямоугольного постоянного сечения

Производят по формуле

σ=,

где М – максимальный изгибающий момент на рассматриваемом участке l_p,

W_бр – максимальный момент сопротивления брутто на рассматриваемом участке l_p,

φ_м – коэффициент.

Коэффициент φ_м для изгибаемых элементов прямоугольного постоянного поперечного сечения шарнирно-закрепленных от смещения из плоскости изгиба, следует определять по формуле:

,

где

l_p – расстояние между опорными сечениями элемента (расстояние между точками закрепления сжатого пояса), а при закреплении сжатой кромки элемента в промежуточных точках от смещения из плоскости изгиба – расстояние между этими точками;

b – ширина поперечного сечения;

h – максимальная высота поперечного сечения на участке l_p;

k_ф – коэффициент, зависящий от формы эпюры изгибающих моментов на участке l_p (определяется по таблице 2, приложения 4 СНиП II-25-80).

При расчете элементов переменной высоты сечения значение коэффициента φ_м следует умножать на коэффициент k_жм, а при подкреплении из плоскости изгиба в промежуточных точках растянутой кромки – на коэффициент k_пм.

Оба эти коэффициента определяются по пункту 4.14 СНиП II-25-80.

Проверку устойчивости плоской формы изгиба элементов постоянного двутаврового или коробчатого сечения следует производить в тех случаях, когда l_p≥7b, где b – ширина сжатого пояса поперечного сечения. Расчет следует производить по формуле

,

где

φ – коэффициент продольного изгиба из плоскости изгиба сжатого пояса,

R_c – расчетное сопротивление сжатию,

W_бр – момент сопротивления брутто поперечного сечения, в случае фанерных стенок – приведенный момент сопротивления в плоскости изгиба элемента.

3. Проверка прочности на скалывание при изгибе

Выполняется по формуле Журавского

,

где

Q – расчетная поперечная сила;

I_бр – момент инерции брутто рассматриваемого сечения;

S_бр – статический момент брутто сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси;

b_расч – расчетная ширина сечения элемента;

R_ск – расчетное сопротивление скалыванию при изгибе (для древесины 1 сорта R_ск=1,8 МПа — для неклееных элементов, R_ск=1,6 МПа – для клееных элементов вдоль волокон).

В балках прямоугольного сечения при l/h≥5 скалывания не происходит, однако оно может быть в элементах других форм сечения, например, в двутавровых балках с тонкой стенкой.

4. Проверка изгибаемых элементов по прогибам

Определяется прогиб f, значение которого не должно превышать предельного значения f_u, установленного разд. 10 СНиП 2.01.07-85^*:

f≤ f_u.

Наибольший прогиб f шарнирно-опертых и консольных изгибаемых элементов постоянного и переменного сечения следует определять по формуле:

,

где

f₀ – прогиб балки постоянного сечения без учета деформаций сдвига (например, для однопролетной балки ;

h – наибольшая высота сечения;

k – коэффициент, учитывающий переменность высоты сечения, для балки постоянного сечения k=1;

с – коэффициент, учитывающий деформации сдвига от поперечной силы.

Значения коэффициентов k и с приведены в таблице 3, приложения 4 СНиП II-25-80.

Клееные криволинейные элементы, изгибаемые моментом М, уменьшающим их кривизну, следует проверять дополнительно на радиальные растягивающие напряжения по формуле

σ_r=,

где σ₀ – нормальные напряжения в крайнем волокне растянутой зоны;

σ_i – нормальные напряжения в промежуточном волокне сечения, для которого определяются радиальные растягивающие напряжения;

h_i – расстояние между крайними и рассматриваемыми волокнами;

r_i – радиус кривизны линии, проходящей через центр тяжести части эпюры нормальных растягивающих напряжений, заключенной между крайними и рассматриваемыми волокнами.

Косой изгиб

Рисунок 2.4 – Косой изгиб

Возникает в элементах, оси сечений которых расположены наклонно к направлению нагрузок, как например, в брусчатых прогонах скатных покрытий.

Вертикальная нагрузка q и изгибающие моменты М при косом изгибе под углом α раскладываются на нормальную (q_y) и скатную (q_x) составляющие q_x=qsinα;

q_y=qcosα;

M_x=Msinα;

M_y=Mcosα.

Проверку прочности при косом изгибе производят по формуле

σ=.

Подбор сечений косоизгибаемых элементов производят методом попыток. Расчет по прогибам производят с учетом геометрической суммы прогибов относительно каждой из осей сечения

.

Растянуто-изгибаемые элементы

В растянуто-изгибаемых элементах кроме изгибающего момента действует центрально приложенное усилие, которое растягивает стержень. Так работает, например, растянутый нижний пояс фермы с межузловой нагрузкой. В сечениях растянуто-изгибаемого элемента от продольной растягивающей силы N возникают равномерные растягивающие напряжения, а от изгибающего момента М – напряжения изгиба. Эти напряжения суммируются, благодаря чему растягивающие напряжения увеличиваются, а сжимающие уменьшаются. Расчет растянуто-изгибаемых элементов производится по прочности с учетом всех ослаблений

Рисунок 2.5 – Растянуто-изгибаемый элемент: а – расчетная схема и эпюры изгибающих моментов; б – эпюры напряжений

σ=,

где .

Отношение R_p/R_u позволяет привести напряжения растяжения и изгиба к единому значению для сравнения их с расчетным сопротивлением растяжению.

Подобным образом рассчитываются внецентренно-растянутые стержни, в которых растягивающие усилия действуют с эксцентриситетом относительно их геометрической оси.

Сжато-изгибаемые элементы

Сжато-изгибаемыми называются элементы, на которые одновременно действует изгибающий момент и центрально приложенное продольное сжимающее усилие. Так работают, например, верхние сжатые пояса ферм, нагруженные дополнительно межузловой поперечной нагрузкой.

В сечениях сжато-изгибаемого элемента возникают равномерные напряжения сжатия от продольных сил N и напряжения сжатия и растяжения от изгибающего момента М, которые суммируются.

Искривление сжато-изгибаемого элемента поперечной нагрузкой приводит к появлению дополнительного изгибающего момента с максимальным значением М_N=N·f,

где f – прогиб элемента с учетом дополнительного момента от продольной силы.

Расчет на прочность сжато-изгибаемых и внецентренно-сжатых элементов выполняют по формуле

,

где М_д – изгибающий момент от действия поперечных и продольных нагрузок, определяемый из расчета по деформированной схеме.

Рисунок 2.6 – Сжато-изгибаемый элемент: а – расчетная схема и эпюры изгибающих моментов; б – эпюры напряжений

Для шарнирно-опертых элементов при симметричных эпюрах изгибающих моментов синусоидального, параболического и близких к ним очертаний

,

где

М – изгибающий момент в расчетном сечении без учета дополнительного момента от продольной силы;

ξ – коэффициент, изменяющийся от 0 до 1, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента, определяемый по формуле:

,

где

φ – коэффициент продольного изгиба, определяемый по формуле (8) п.4.3 СНиП II-25-80

,

где А=3000 – для древесины; А=2500 – для фанеры.

Кроме проверки на прочность, сжато-изгибаемые элементы проверяются на устойчивость по формуле:

,

Где F_бр – площадь брутто с максимальными размерами сечения элемента на участке l_p;

W_бр – максимальный момент сопротивления на участке l_p;

n=2 – для элементов без закрепления растянутой зоны из плоскости деформирования;

n=1 – для элементов, имеющих закрепления в растянутой зоне из плоскости деформирования;

φ – коэффициент продольного изгиба, определяемый по формуле, указанной выше для гибкости участка элемента расчетной длиной l_p из плоскости деформирования;

φ_м – коэффициент, формула для определения этого коэффициента была приведена ранее.

5.3. Расчет балок на прочность. Условие прочности при изгибе

Формула (5.13) решает вопрос о величине и распределении нормальных напряжений по сечению. Она выведена в предположении наличия чистого изгиба, когда сечения остаются плоскими.

Исследования показали, что когда поперечная сила не равна нулю, сечения не только поворачиваются, но и несколько искривляются под влиянием касательных напряжений. Однако это искривление для двух смежных сечений таково, что оно не меняет установленного выше закона распределения деформаций волокон, заключающихся между этими сечениями. Поэтому формула (5.13) может быть применена и в том случае, когда поперечная силане равна нулю.

Для проверки прочности балки по нормальным напряжениям необходимо найти наиболее напряженные растянутые или сжатые волокна сечения. Для этого необходимо применить формулу (5.13) к опасному сечению, т.е. подставить в нее вместо изгибающего момента его наибольшее значение , которое назовем расчетным изгибающим моментом, а вместоподставить расстояние от нейтральной линии сечения до наиболее удаленных от нее точек. Тогда для наибольшего нормального напряжения получаем формулу:

. (5.14)

Обычно эту формулу преобразовывают, деля числитель и знаменатель на :

.

Величина называется осевым моментом сопротивления сечения и обозначается буквой. Измеряется осевой момент сопротивления единицами длины в третьей степени, например (см³). Физический смысл момента сопротивления состоит в следующем: чем больше , тем больший изгибающий момент может принять на себя балка, не подвергаясь опасности разрушения. Таким образом, величина момента сопротивления характеризуетвлияние формы и размеров поперечного сечения балки на ее способность сопротивляться внешним нагрузкам, не разрушаясь.

Максимальные напряжения, действующие в балке, могут быть найдены из выражения

. (5.15)

При симметричном относительно нейтральной линии сечении, например, прямоугольном, расстояния до крайних растянутых и сжатых волокон одинаковы и такое сечение имеет одно вполне определенное значение момента сопротивления относительно оси . Так, при высоте прямоугольника (Рис.5.7), равной

и .

Рис. 5.7

Если сечение несимметрично относительно нейтральной линии – тавр, мы получим два момента сопротивления: один для волокон А (Рис.5.7,б): и другой для волокон В:. Теперь в формулу (5.15) следует вводить: при вычислении напряжений в точке А и  при вычислении напряжений в точке В.

Запишем условие прочности при изгибе. Это условие выражает ту мысль, что наибольшее действительное напряжение должно быть не больше допускаемого:

(5.16)

Условие прочности (5.16) решает три задачи:

1. Задача проверочного расчета, заключающаяся в вычислении максимальных действительных напряжений в изгибаемой балке и сравнении этих напряжений с допускаемым. Если действительные напряжения не превышают допускаемой величины, считается, что прочность не нарушена и конструкцию можно эксплуатировать дальше.

2. Задача подбора величины допускаемой нагрузки. В результате решения этой задачи определяется допускаемое значение для расчетного изгибающего момента, а затем находятся допускаемые значения самих внешних нагрузок, функцией которых является расчетный изгибающий момент:

. (5.17)

3. Задача проектировочного расчета, заключающаяся в определении размеров поперечного сечения балки при известном расчетном изгибающем моменте и известном допускаемом напряжении:

. (5.18)

Здесь: требуемый момент сопротивления.

При расчете балок на прочность следует различать два случая. Первый случай, наиболее часто встречающийся при изгибе, когда материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию; в этом случае допускаемые напряжения для того и другого вида деформации равны между собой:

.

Тогда при симметричном сечении безразлично, проверять ли прочность растянутых или сжатых волокон, ибо для тех и других момент сопротивления и наибольшие действительные напряжения будут иметь одну и ту же величину. При несимметричном сечении в формулу (5.16) вместонадо подставить меньшее значение изи; оно будет относиться к наиболее удаленному волокну.

Второй случай имеет место, когда материал балки неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию; тогда вместо одного условия прочности мы получаем два: одно -–для растянутых, другое – для сжатых волокон:

; . (5.19)

В зависимости от того, чему лучше сопротивляется материал, что больше  ⁺или, приходится соответствующим образом конструировать сечение, выбирая его форму и размеры так, чтобыиудовлетворяли условию прочности.

Рассмотрим несколько примеров определения моментов сопротивления сечений и расчета балок на прочность.

Пример 5.2. У которой из фигур (Рис.5.8), имеющих одинаковую площадь, момент сопротивления относительно оси ,будет наибольшим? Определить наибольший момент сопротивления.

Рис.5.8

Решение:

В примере 4.8 были найдены моменты инерции каждого из сечений относительно центральной оси сечения .

Найдем моменты сопротивления:

для сечения круглой формы:

см³;

для сечения квадратной формы:

см³;

для сечения прямоугольной формы:

см³;

для сечения треугольной формы:

см³.

Таким образом, наибольший момент сопротивления оказался у сечения прямоугольной формы: см³.

Пример 5.3.На рисунке изображены поперечные сечения 4х балок (Рис.5.9), изготовленных из одинакового материала. Которая из балок является наиболее прочной?

Рис.5.9

Решение:

Наиболее прочной будет балка, у которой момент сопротивления относительно оси будет наибольший. Вычислим моменты сопротивлениядля каждого из сечений.

Квадратное сечение.

см³.

Прямоугольное сечение.

см³.

Круглое сечение.

см³;

Ромбовидное сечение. Рассматриваемое сечение получилось путем поворота горизонтальной оси квадратного сечения на 45⁰. В результате момент инерции сечения относительно осине изменился и может быть вычислен как для квадратного сечения:

см⁴.

Осевой момент сопротивления найдем, разделив момент инерции на :

см³.

Таким образом, наибольший момент сопротивления оказался у круглого поперечного сечения: см³. Следовательно, балка с круглым поперечным сечением обладает наибольшей прочностью.

Пример 5.4.Как изменится прочность балки, если поперечное сечение будет переведено из положения “I” в положение “II” (Рис.5.10)?

Рис.5.10

Решение:

1. Вычислим осевой момент сопротивлениядля положения сеченияI :

см³.

2. Вычислим осевой момент сопротивлениядля положения сеченияII:

см³.

3. Найдем отношение осевых моментов инерции для положения сеченияI

и II:

Таким образом, при переводе сечения из положения I в положениеII прочность балки уменьшается в 3 раза.

Изгибающий момент – внутренний силовой фактор

Здравствуйте. Здорово, что Вы проявляете интерес к нашему проекту SoproMats, спасибо! Эта статья будет посвящена внутреннему силовому фактору – изгибающему моменту. Фактору, который возникает в поперечных сечениях балок, работающих на изгиб. Здесь поделимся информацией как он обозначается, измеряется, определяется и т.д. В общем все, что нужно знать об изгибающем моменте. Также в конце статьи поделимся ссылочками, на важные материалы про изгибающий момент.

Что такое изгибающий момент?

Изгибающий момент – это внутренний силовой фактор, возникающий в элементах конструкций, деталях, работающих на изгиб: такие конструктивные элементы как балка, рама, плита и т.д.

Зачем нужен?

Зная изгибающий момент в сечении, а также геометрические размеры этого сечения, можно определить нормальное напряжение в его конкретной точке и исследовать ее напряженно-деформированное состояние. Определение изгибающих моментов является неотъемлемой частью любого прочностного расчета деталей, работающих на изгиб. Для наглядной визуализации распределения изгибающих моментов строят эпюры, которые позволяют выявить наиболее подверженные к разрушению места балки. Как правило, то сечение, в котором изгибающий момент имеет максимальное значение, является самым опасным у балки. За редкими исключениями. Поэтому так важно уметь определять эту величину.

Как обозначается?

Изгибающий момент обозначается буквой M с индексом, который указывает на название оси, относительного которой происходит изгиб. Обычно это ось x, поэтому в этой статье будем использовать такое обозначение — M_x.

Как определяется?

Для определения этой величины используется метод сечений. По которому считается, что если балка находится в равновесии, то и отдельные части балки также будут находится в равновесии, если действие каждой части друг на друга, заменить равными силовыми факторами. Используя этот метод в совокупности с уравнениями равновесия статики, можно определить изгибающий момент в любом сечении, более подробно посмотрим этот процесс на примере ниже.

В чем измеряется?

Данная величина измеряется в Н·м. В расчетах, в основном, используется размерность — кН·м, и этот вариант будем использовать в этой статье. Иногда считают в кгс·м и т·м.

Статьи про изгибающие моменты:

Как построить эпюру изгибающего момента? В материале этой статьи написано, как можно построить эпюру различными методами.