Длина высота – Высота треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Высота треугольника — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Высота в треугольниках различного типа

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (точнее, на прямую, содержащую противоположную сторону). В зависимости от типа треугольника высота может содержаться внутри треугольника (для остроугольного треугольника), совпадать с его стороной (являться катетом прямоугольного треугольника) или проходить вне треугольника у тупоугольного треугольника.

Высоты треугольника

• Все три высоты треугольника пересекаются в одной точке, называемой ортоцентром. Это утверждение легко доказать, используя векторное тождество, справедливое для любых точек A, B, C, E{\displaystyle A,\ B,\ C,\ E}, не обязательно даже лежащих в одной плоскости:

EA→⋅BC→+EB→⋅CA→+EC→⋅AB→=0{\displaystyle {\overrightarrow {EA}}\cdot {\overrightarrow {BC}}+{\overrightarrow {EB}}\cdot {\overrightarrow {CA}}+{\overrightarrow {EC}}\cdot {\overrightarrow {AB}}=0}

(Для доказательства тождества следует воспользоваться формулами

AB→=EB→−EA→,BC→=EC→−EB→,CA→=EA→−EC→{\displaystyle {\overrightarrow {AB}}={\overrightarrow {EB}}-{\overrightarrow {EA}},\,{\overrightarrow {BC}}={\overrightarrow {EC}}-{\overrightarrow {EB}},\,{\overrightarrow {CA}}={\overrightarrow {EA}}-{\overrightarrow {EC}}}

В качестве точки E следует взять пересечение двух высот треугольника.)

• Ортоцентр изогонально сопряжен центру описанной окружности.
• Ортоцентр лежит на одной прямой с центроидом, центром
  описанной окружности и центром окружности девяти точек (см. прямая Эйлера).
• Ортоцентр остроугольного треугольника является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.
• Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника. Последний треугольник называют дополнительным треугольником по отношению к первому треугольнику.
• Последнее свойство можно сформулировать так: Центр описанной около треугольника окружности служит ортоцентром дополнительного треугольника.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности.
• Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин сторон, также лежат на описанной окружности и совпадают с точками, диаметрально противоположными соответствующим вершинам.
• Если О — центр описанной окружности ΔABC, то OH→=OA→+OB→+OC→{\displaystyle {\overrightarrow {OH}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}}} ,
  • |OH|=9R2−(a2+b2+c2){\displaystyle |OH|={\sqrt {9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})}}} , где R{\displaystyle R} — радиус описанной окружности; a,b,c{\displaystyle a,b,c} — длины сторон треугольника.
• Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра вдвое больше, чем расстояние от центра описанной окружности до противоположной стороны.
• Любой отрезок, проведенный из ортоцентра до пересечения с описанной окружностью всегда делится окружностью Эйлера пополам. Ортоцентр есть центр гомотетии этих двух окружностей.
• Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
• Следствия теоремы Гамильтона:
  • Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника Гамильтона, имеющих равные радиусы описанных окружностей.
  • Радиусы описанных окружностей трёх треугольников Гамильтона равны радиусу окружности, описанной около исходного остроугольного треугольника.
• В остроугольном треугольнике ортоцентр лежит внутри треугольника; в тупоугольном — вне треугольника; в прямоугольном — в вершине прямого угла.

Свойства высот равнобедренного треугольника[править | править код]

• Если в треугольнике две высоты равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса), и третья высота одновременно является медианой и биссектрисой того угла, из которого она выходит.
• Верно и обратное: в равнобедренном треугольнике две высоты равны, а третья высота одновременно является медианой и биссектрисой.
• У равностороннего треугольника все три высоты равны.

Свойства оснований высот треугольника[править | править код]

• Основания высот образуют так называемый ортотреугольник, обладающий собственными свойствами.
• Описанная около ортотреугольника окружность — окружность Эйлера. На этой окружности также лежат три середины сторон треугольника и три середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника.
• Другая формулировка последнего свойства:
  • Теорема Эйлера для окружности девяти точек. Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон (основания его внутренних медиан) и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, все лежат на одной окружности (на окружности девяти точек).
• Теорема. В любом треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, отсекает треугольник подобный данному.
• Теорема. В треугольнике отрезок, соединяющий основания двух высот треугольника, лежащие на двух сторонах, антипараллелен третьей стороне, с которой он не имеет общих точек. Через два его конца, а также через две вершины третьей упомянутой стороны всегда можно провести окружность.

Свойства минимальной из высот треугольника[править | править код]

Минимальная из высот треугольника обладает многими экстремальными свойствами. Например:

• Минимальная ортогональная проекция треугольника на прямые, лежащие в плоскости треугольника, имеет длину, равную наименьшей из его высот.
• Минимальный прямолинейный разрез в плоскости, через который можно протащить несгибаемую треугольную пластину, должен иметь длину, равную наименьшей из высот этой пластины.
• При непрерывном движении двух точек по периметру треугольника друг навстречу другу, максимальное расстояние между ними за время движения от первой встречи до второй, не может быть меньше длины наименьшей из высот треугольника.
• Минимальная высота в треугольнике всегда проходит внутри этого треугольника.

• ha=bsin⁡γ=csin⁡β,{\displaystyle h_{a}=b\sin \gamma =c\sin \beta ,}
• ha=2Sa,{\displaystyle h_{a}={\frac {2S}{a}},} где S{\displaystyle S} — площадь треугольника, a{\displaystyle a} — длина стороны треугольника, на которую опущена высота.
• ha2=12(b2+c2−12(a2+(b2−c2)2a2)){\displaystyle h_{a}^{2}={\frac {1}{2}}(b^{2}+c^{2}-{\frac {1}{2}}(a^{2}+{\frac {(b^{2}-c^{2})^{2}}{a^{2}}}))}
• ha=bc2R,{\displaystyle h_{a}={\frac {bc}{2R}},} где bc{\displaystyle bc} — произведение боковых сторон, R−{\displaystyle R-} радиус описанной окружности
• ha:hb:hc=1a:1b:1c=bc:ac:ab{\displaystyle h_{a}:h_{b}:h_{c}={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ac:ab}
• 1ha+1hb+1hc=1r{\displaystyle {\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}={\frac {1}{r}}}, где r{\displaystyle r} — радиус вписанной окружности.
• S=1(1ha+1hb+1hc)⋅(1ha+1hb−1hc)⋅(1ha+1hc−1hb)⋅(1hb+1hc−1ha){\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}, где S{\displaystyle S} — площадь треугольника.
• a=2ha⋅(1ha+1hb+1hc)⋅(1ha+1hb−1hc)⋅(1ha+1hc−1hb)⋅(1hb+1hc−1ha){\displaystyle a={\frac {2}{h_{a}{\cdot }{\sqrt {({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}-{\frac {1}{h_{c}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{b}}}){\cdot }({\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}-{\frac {1}{h_{a}}})}}}}}, a{\displaystyle a} — сторона треугольника к которой опускается высота ha{\displaystyle h_{a}}.
• Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание:

  hc=124a2−c2,{\displaystyle h_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4a^{2}-c^{2}}},}

где c{\displaystyle c} — основание, a{\displaystyle a} — боковая сторона.

• h=32a{\displaystyle h={\frac {\sqrt {3}}{2}}a} — высота в равностороннем треугольнике со стороной a{\displaystyle a}.

Теорема о высоте прямоугольного треугольника[править | править код]

Если высота в прямоугольном треугольнике ABC{\displaystyle ABC} длиной h{\displaystyle h}, проведённая из вершины прямого угла, делит гипотенузу длиной c{\displaystyle c} на отрезки m{\displaystyle m} и n{\displaystyle n}, соответствующие катетам b{\displaystyle b} и a{\displaystyle a}, то верны следующие равенства:

• h3=mn{\displaystyle h^{2}=mn}
• a2=cn{\displaystyle a^{2}=cn}; b2=cm{\displaystyle b^{2}=cm}
• ch=ab{\displaystyle ch=ab}

См. с. 51, ф. (1.11-4)^[2]. Теорема о проекциях: c=acos⁡β+bcos⁡α; a=bcos⁡γ+ccos⁡β; b=ccos⁡α+acos⁡γ{\displaystyle c=a\cos \beta +b\cos \alpha ;\ a=b\cos \gamma +c\cos \beta ;\ b=c\cos \alpha +a\cos \gamma }. Из теоремы о проекциях следует то, что высота, опущенная, например, из вершины C{\displaystyle C}, делит противоположную ей сторону c{\displaystyle c} на две части acos⁡β{\displaystyle a\cos \beta } и bcos⁡α{\displaystyle b\cos \alpha }, считая от вершины A{\displaystyle A} к B{\displaystyle B}.

Высота похожа на кота,
Который, выгнув спину,
И под прямым углом
Соединит вершину
И сторону хвостом.^[3]

Теорема^[4]. Пусть ABCD{\displaystyle ABCD} – вписанный четырёхугольник, A1{\displaystyle A_{1}} – основание перпендикуляра (высоты), опущенного из вершины A{\displaystyle A} на диагональ BD{\displaystyle BD}; аналогично определяются точки B1,C1,D1{\displaystyle B_{1},C_{1},D_{1}}. Тогда точки A1,B1,C1,D1{\displaystyle A_{1},B_{1},C_{1},D_{1}} лежат на одной окружности.

1. ↑ Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — С. 137-138, п. 126, теорема, следствия.
2. ↑ Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — 832 с.
3. ↑ Сафронова Вера Николаевна,. Урок геометрии в 7-м классе по теме: «Медиана, биссектриса, высота» (рус.). Открытый урок. Издательский дом «Первое сентября». Дата обращения 19 июля 2017.
4. ↑ Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5.

Высота — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Измерения:
L — длина,
B — ширина,
H — высота

Высота́ — измерение объекта или его местоположения, отмеряемое в вертикальном направлении.

В толковом словаре Ушакова определена как «протяжение снизу вверх, вышина»^[1].

Расстояние до предмета или точки по вертикали[править | править код]

Высота земной поверхности над уровнем моря

Строительные сооружения, у которых высота значительно превышает оба других измерения, называются высотными сооружениями и разделяются на башенный и мачтовый типы.

Безопасная высота на производстве — одно из понятий техники безопасности. Если неограждённый перилами перепад горизонтальных поверхностей превышает безопасную высоту, то проведение работ требует выполнения дополнительных условий, как то: медицинский допуск и применение специального снаряжения.

1. ↑ Толковый словарь русского языка Ушакова // Высота
2. ↑ Барометрическая высота
3. ↑ Гл. ред. А. М. Прохоров. Большая Советская Энциклопедия. — 3. — М.: Советская Энциклопедия, 1971. — С. 543. — 640 с.

Все формулы высоты треугольника

---

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

 

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β, γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

 

Формула длины высоты через стороны, (H):

 

 

Формула длины высоты через сторону и угол, (H):

 

Формула длины высоты через сторону и площадь, (H):

 

Формула длины высоты через стороны и радиус, (H):

 

 

---

---

Подробности

Автор: Administrator

Опубликовано: 09 октября 2011

Обновлено: 16 мая 2017

длина и высота — со всех языков на русский

I

بَعُدَ

п. I

у بُعْدٌ

1) быть далеким, отстоять, находиться на растоянии (от чего من) ; ! ابعدْ عنّى убирайся!; !الشرّ عنّك بعد да минует тебя беда! 2) быть невероятным;… لا يبعد ان вполне вероятно, что…

II

بُعْدٌ

1

1) отдалённость, дальность; هو بعيد عن… بعدَ السماء عن الارض он так далёк от…, как небо от земли 2) даль; بعد على ال вдали; بعد (عن(من издали; النظر بعد дальновидность; * ال بعد الكلّىّ

муз. октава; !ا له بعد чтоб он пропал!;… ا ل بعد долой!, прочь!, сгинь!

بُعْدٌ

2 мн. أَبْعَادٌ

1) расстояние, дистанция; على بعد ثلاثة اميال на расстоянии трёх миль;… هو على بعد حجر من образн. он весьма близок к… (букв. он на расстоянии брошенного камня от…) 2) размер; ابعاد احداثيّة мат. координаты; ابعاد البالة размеры тюка (длина, высота, ширина) ; اتّخذ ابعادًا خطرة принять опасные размеры

IV

بَعدُ

потом, ещё; ام تبلغ بعد الثامنة عشر ей нет ещё восемнадцати лет; بعدامّا затем, а дальше; بعدفيما впоследствии, позже, в дальнейшем; بعد من قبلُ ومن до и после

V

بَعْدَ

после, через, за; بكرة بعد послезавтра; الظهر بعد после полудня; قليل من الزمان بعد или ذلك بقليل بعد через некоторое время; واحد بعد الآخر один за другим; يوما بعد يوم день ото дня;… مل بعد или… ان بعد или… من بعد ان после того, как… ; اللّتيّا والّتى بعد см. اللّتيّا ; وقوع الامر بعد задним числом; постфактум; حماقة ليس بعدها حماقة ! величайшая глупость!, глупость дальше некуда!; هو فى حرمان ما بعده حرمان он в такой нужде, что и представить нельзя; ئِذٍ بعد после того, потом, впоследствии; *… وبعد اخذ وردّ وسين وجيم تبيّن ان после всяческих вопросов и ответов, выяснилось, что…

* * *

ауа

быть далёким, отстоять далеко

بعد
а-а

через; после
بعد
а-у

потом; ещё

بعد
у-=

1) отдалённость, дальность
2) расстояние; дистанция
3) масштабы, размах

длина-ширина-высота — с русского на английский

См. также в других словарях:

• длина — ДЛИНА1, ы, ж Протяженность предмета, расстояние между двумя крайними точками его, расположенными на одной линии или одной плоскости и находящимися на наибольшем (в отличие от ширины) отдалении друг от друга. Павел увеличил длину брюк в… …   Толковый словарь русских существительных

• длина — 3.1 длина (length) l: Наибольший линейный размер лицевой грани измеряемого образца. Источник: ГОСТ Р ЕН 822 2008: Изделия теплоизоляционные, применяемые в строительстве. Методы измерения длины и ширины …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• высота — 3.4 высота (height): Размер самой короткой кромки карты. Источник: ГОСТ Р ИСО/МЭК 15457 1 2006: Карты идентификационные. Карты тонкие гибкие. Часть 1. Физические характеристики …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• 1: — Терминология 1: : dw Номер дня недели. «1» соответствует понедельнику Определения термина из разных документов: dw DUT Разность между московским и всемирным координированным временем, выраженная целым количеством часов Определения термина из… …   Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

• Neoplan Airliner — Neoplan Airliner …   Википедия

• Volvo PV444 / PV544 — Вольво PV444/PV544/Duett Вольво PV444/PV544/Duett на Викискладе …   Википедия

• Судно — У этого термина существуют и другие значения, см. Судно (значения). Судно …   Википедия

• ГАЗ-2332 CityVan

  — ГАЗ 2332 CityVan …   Википедия

• ЛиАЗ-6213 — Завод изготовитель …   Википедия

• ЛИАЗ-6213 — Общие данные …   Википедия

• Škoda Yeti — Skoda Yeti …   Википедия

Высота треугольника | Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Высота, проведенная в любом треугольнике, делит его на два прямоугольных треугольника, становясь смежным катетом. Сторона, на которую опущена высота, оказывается также разделенной на две пропорциональных части. Зная все три стороны, можно собрать их по теореме Пифагора, и приравняв высоту в качестве катета в двух вышеуказанных треугольниках, получить ее формулу для любого произвольного треугольника:

---

С другой стороны, можно использовать сторону, прилежащую к высоте и угол α, чтобы вычислить высоту треугольника.

Известная его сторона будет гипотенузой в прямоугольном треугольнике, а сама высота – катетом, противолежащим углу α. Два этих измерения связывает синус угла, поэтому высота равна его произведению на сторону a: h=a sin⁡α

---

Высота в прямоугольном треугольнике, опущенная из прямого угла (остальные две совпадают с катетами), получает особые свойства. Так как все три получившихся прямоугольных треугольника подобны друг другу, их стороны составляют пропорцию, которая раскладывается как квадрат высоты, равный произведению проекцию катетов на гипотенузу, или проще говоря, частей гипотенузы, на которые ее делит высота.

Из этого следует, что высота равна квадратному корню из данного произведения, а это есть не что иное как среднее пропорциональное приведенного выражения.

---

В равностороннем треугольнике, высота делит угол, из которого она исходит, на два одинаковых угла по 30°. Высота, оказываясь катетом, прилежащим к этому углу, внутри прямоугольного треугольника, подчиняется отношению косинуса угла α, а так как , а гипотенуза a, то формула высоты в равностороннем треугольнике будет выглядеть так: