Сопромат изгиб балки: Расчёт балки на изгиб — Задачи по сопротивлению материалов с решениями, примеры – Лекции и примеры решения задач технической механики

Сопротивление материалов. Изгиб.

Сопротивление материалов

Изгиб



Основные понятия об изгибе

Деформация изгиба характеризуется потерей прямолинейности или первоначальной формы линией балки (ее осью) при приложении внешней нагрузки. При этом, в отличие от деформации сдвига, линия балки изменяет свою форму плавно.
Легко убедиться, что на сопротивляемость изгибу влияет не только площадь поперечного сечения балки (бруса, стержня и т. д.), но и геометрическая форма этого сечения.

Поскольку изгиб тела (балки, бруса и т. п.) осуществляется относительно какой-либо оси, на сопротивляемость изгибу влияет величина осевого момента инерции сечения тела относительно этой оси.
Для сравнения — при деформации кручения сечение тела подвергается закручиванию относительно полюса (точки), поэтому на сопротивление кручению оказывает влияние полярный момент инерции этого сечения.

На изгиб могут работать многие элементы конструкций – оси, валы, балки, зубья зубчатых колес, рычаги, тяги и т. д.

В сопротивлении материалов рассматривают несколько типов изгибов:
— в зависимости от характера внешней нагрузки, приложенной к брусу, различают чистый изгиб и поперечный изгиб;
— в зависимости от расположения плоскости действия изгибающей нагрузки относительно оси бруса — прямой изгиб и косой изгиб.

***

Чистый и поперечный изгиб балки

Чистым изгибом называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только изгибающий момент (рис. 2).
Деформация чистого изгиба будет, например, иметь место, если к прямому брусу в плоскости, проходящей через ось, приложить две равные по величине и противоположные по знаку пары сил. Тогда в каждом сечении бруса будут действовать только изгибающие моменты.

Если же изгиб имеет место в результате приложения к брусу поперечной силы (рис. 3), то такой изгиб называется поперечным. В этом случае в каждом сечении бруса действует и поперечная сила, и изгибающий момент (кроме сечения, к которому приложена внешняя нагрузка).

Если брус имеет хоть одну ось симметрии, и плоскость действия нагрузок совпадает с ней, то имеет место прямой изгиб, если же это условие не выполняется, то имеет место косой изгиб.

При изучении деформации изгиба будем мысленно представлять себе, что балка (брус) состоит из бесчисленного количества продольных, параллельных оси волокон.
Чтобы наглядно представить деформацию прямого изгиба, проведем опыт с резиновым брусом, на котором нанесена сетка продольных и поперечных линий.

Подвергнув такой брус прямому изгибу, можно заметить, что (рис. 1):

— поперечные линии останутся при деформации прямыми, но повернутся под углом друг другу;
— сечения бруса расширятся в поперечном направлении на вогнутой стороне и сузятся на выпуклой стороне;
— продольные прямые линии искривятся.

Из этого опыта можно сделать вывод, что:

— при чистом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений;
— волокна, лежащие на выпуклой стороне растягиваются, на вогнутой стороне – сжимаются, а на границе между ними лежит нейтральный слой волокон, которые только искривляются, не изменяя своей длины.

Полагая справедливой гипотезу о не надавливании волокон, можно утверждать, что при чистом изгибе в поперечном сечении бруса возникают только нормальные напряжения растяжения и сжатия, неравномерно распределенные по сечению.
Линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения называется нейтральной осью. Очевидно, что на нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю.

***

Изгибающий момент и поперечная сила

Как известно из теоретической механики, опорные реакции балок определяют, составляя и решая уравнения равновесия статики для всей балки. При решении задач сопротивления материалов, и определении внутренних силовых факторов в брусьях, мы учитывали реакции связей наравне с внешними нагрузками, действующими на брусья.

Для определения внутренних силовых факторов применим метод сечений, причем изображать балку будем только одной линией – осью, к которой приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей).

Рассмотрим два случая:

1. К балке приложены две равные и противоположные по знаку пары сил.
Рассматривая равновесие части балки, расположенной слева или справа от сечения 1-1 (рис. 2), видим, что во всех поперечных сечениях возникает только изгибающий момент М_и, равный внешнему моменту. Таким образом, это случай чистого изгиба.

Изгибающий момент есть результирующий момент относительно нейтральной оси внутренних нормальных сил, действующих в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что изгибающий момент имеет разное направление для левой и правой частей балки. Это говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака изгибающего момента.

2. К балке приложены активные и реактивные силы (нагрузки и реакции связей), перпендикулярные оси (рис. 3). Рассматривая равновесие частей балки, расположенных слева и справа, видим, что в поперечных сечениях должны действовать изгибающий момент М_и и поперечная сила Q.

Из этого следует, что в рассматриваемом случае в точках поперечных сечений действуют не только нормальные напряжения, соответствующие изгибающему моменту, но и касательные, соответствующие поперечной силе.

Поперечная сила есть равнодействующая внутренних касательных сил в поперечном сечении балки.

Обратим внимание на то, что поперечная сила имеет противоположное направление для левой и правой частей балки, что говорит о непригодности правила знаков статики при определении знака поперечной силы.

Изгиб, при котором в поперечном сечении балки действуют изгибающий момент и поперечная сила, называется поперечным.



У балки, находящейся в равновесии вод действием плоской системы сил, алгебраическая сумма моментов всех активных и реактивных сил относительно любой точки равна нулю; следовательно, сумма моментов внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на балку правее сечения.

Таким образом, изгибающий момент в сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов относительно центра тяжести сечения всех внешних сил, действующих на балку справа или слева от сечения.

У балки, находящейся в равновесии под действием плоской системы сил, перпендикулярных оси (т. е. системы параллельных сил), алгебраическая сумма всех внешних сил равна нулю; следовательно сумма внешних сил, действующих на балку левее сечения, численно равна алгебраической сумме сил, действующих на балку правее сечения.

Таким образом, поперечная сила в сечении балки численно равна алгебраической сумме всех внешних сил, действующих справа или слева от сечения.

Так как правила знаков статики неприемлемы для установления знаков изгибающего момента и поперечной силы, установим для них другие правила знаков, а именно: Если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вниз, то изгибающий момент в сечении считается положительным, и наоборот, если внешняя нагрузка стремится изогнуть балку выпуклостью вверх, то изгибающий момент в сечении считается отрицательным (

рис 4,a).

Если сумма внешних сил, лежащих по левую сторону от сечения, дает равнодействующую, направленную вверх, то поперечная сила в сечении считается положительной, если равнодействующая направлена вниз, то поперечная сила в сечении считается отрицательной; для части балки, расположенной справа от сечения, знаки поперечной силы будут противоположными (рис. 4,b). Пользуясь этими правилами, следует мысленно представлять себе сечение балки жестко защемлённым, а связи отброшенными и замененными реакциями.

Еще раз отметим, что для определения реакций связей пользуются правилами знаков статики, а для определения знаков изгибающего момента и поперечной силы – правилами знаков сопротивления материалов.

Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют «правилом дождя», имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задерживается дождевая вода (знак положительный), и наоборот – если под действием нагрузок балка выгибается дугой вверх, вода на ней не задерживается (знак изгибающих моментов отрицательный).

***

Материалы раздела «Изгиб»:

Деформация кручения



№ вопроса	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Правильный вариант ответа	3	1	3	2	3	2	2	1	2	3

Прямой поперечный изгиб (задачи по сопромату)

Пример решения задачи «прямой поперечный изгиб» №1

Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб

Для консольной балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.12), требуется: построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов , подобрать балку круглого поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и проверить прочность балки по касательным напряжениям при допускаемом касательном напряжении кН/см2. Размеры балки м; м; м.

Расчетная схема для задачи на прямой поперечный изгиб

Рис. 3.12

Решение задачи «прямой поперечный изгиб»

Определяем опорные реакции

Горизонтальная реакция в заделке равна нулю, поскольку внешние нагрузки в направлении оси z на балку не действуют.

Выбираем направления остальных реактивных усилий, возникающих в заделке: вертикальную реакцию направим, например, вниз, а момент – по ходу часовой стрелки. Их значения определяем из уравнений статики:

.

Составляя эти уравнения, считаем момент положительным при вращении против хода часовой стрелки, а проекцию силы положительной, если ее направление совпадает с положительным направлением оси y.

Из первого уравнения находим момент в заделке :

кН·м.

Из второго уравнения – вертикальную реакцию :

кН.

Полученные нами положительные значения для момента и вертикальной реакции в заделке свидетельствуют о том, что мы угадали их направления.

Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов

В соответствии с характером закрепления и нагружения балки, разбиваем ее длину на два участка. По границам каждого из этих участков наметим четыре поперечных сечения (см. рис. 3.12), в которых мы и будем методом сечений (РОЗУ) вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Заменим ее действие на оставшуюся левую часть перерезывающей силой и изгибающим моментом . Для удобства вычисления их значений закроем отброшенную нами правую часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка с рассматриваемым сечением.

Напомним, что перерезывающая сила, возникающая в любом поперечном сечении, должна уравновесить все внешние силы (активные и реактивные), которые действуют на рассматриваемую (то есть видимую) нами часть балки. Поэтому перерезывающая сила должна быть равна алгебраической сумме всех сил, которые мы видим.

Приведем и правило знаков для перерезывающей силы: внешняя сила, действующая на рассматриваемую часть балки и стремящаяся «повернуть» эту часть относительно сечения по ходу часовой стрелки, вызывает в сечении положительную перерезывающую силу. Такая внешняя сила входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

В нашем случае мы видим только реакцию опоры , которая вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (относительно края листка бумаги) против хода часовой стрелки. Поэтому

кН.

Изгибающий момент в любом сечении должен уравновесить момент, создаваемый видимыми нами внешними усилиями, относительно рассматриваемого сечения. Следовательно, он равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые действуют на рассматриваемую нами часть балки, относительно рассматриваемого сечения (иными словами, относительно края листка бумаги). При этом внешняя нагрузка, изгибающая рассматриваемую часть балки выпуклостью вниз, вызывает в сечении положительный изгибающий момент. И момент, создаваемый такой нагрузкой, входит в алгебраическую сумму для определения со знаком «плюс».

Мы видим два усилия: реакцию и момент в заделке . Однако у силы плечо относительно сечения 1 равно нулю. Поэтому

кН·м.

Знак «плюс» нами взят потому, что реактивный момент изгибает видимую нами часть балки выпуклостью вниз.

Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь, в отличие от первого сечения, у силы появилось плечо: м. Поэтому

кН; кН·м.

Сечение 3. Закрывая правую часть балки, найдем

кН;

кН·м.

Сечение 4. Закроем листком левую часть балки. Тогда

кН;

кН·м.

Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь

кН;

кН·м.

Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим

.

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.12, б) и изгибающих моментов (рис. 3.12, в).

Под незагруженными участками эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по наклонной прямой вверх. Под опорной реакцией на эпюре имеется скачок вниз на величину этой реакции, то есть на 40 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим излом под опорной реакцией . Угол излома направлен навстречу реакции опоры. Под распределенной нагрузкой q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. В сечении 6 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы в этом месте проходит здесь через нулевое значение.

Определяем требуемый диаметр поперечного сечения балки

Условие прочности по нормальным напряжениям имеет вид:

,

где – момент сопротивления балки при изгибе. Для балки круглого поперечного сечения он равен:

.

Наибольший по абсолютному значению изгибающий момент возникает в третьем сечении балки: кН·см.

Тогда требуемый диаметр балки определяется по формуле

см.

Принимаем мм. Тогда

кН/см2 кН/см2.

«Перенапряжение» составляет

,

что допускается.

Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении балки круглого сечения, вычисляются по формуле

,

где – площадь поперечного сечения.

Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы равно кН. Тогда

кН/см2 кН/см2,

то есть условие прочности и по касательным напряжениям выполняется, причем, с большим запасом.

Пример решения задачи «прямой поперечный изгиб» №2

Условие примера задачи на прямой поперечный изгиб

Для шарнирно опертой балки, нагруженной распределенной нагрузкой интенсивностью кН/м, сосредоточенной силой кН и сосредоточенным моментом кН·м (рис. 3.13), требуется построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов и подобрать балку двутаврового поперечного сечения при допускаемом нормальном напряжении кН/см2 и допускаемом касательном напряжении кН/см2. Пролет балки м.

Пример задачи на прямой изгиб – расчетная схема

Рис. 3.13

Решение примера задачи на прямой изгиб

Определяем опорные реакции

Для заданной шарнирно опертой балки необходимо найти три опорные реакции: , и . Поскольку на балку действуют только вертикальные нагрузки, перпендикулярные к ее оси, горизонтальная реакция неподвижной шарнирной опоры A равна нулю: .

Направления вертикальных реакций и выбираем произвольно. Направим, например, обе вертикальные реакции вверх. Для вычисления их значений составим два уравнения статики:

; .

Напомним, что равнодействующая погонной нагрузки , равномерно распределенной на участке длиной l, равна , то есть равна площади эпюры этой нагрузки и приложена она в центре тяжести этой эпюры, то есть посредине длины.

Тогда

кН;

;

кН.

Делаем проверку: .

Напомним, что силы, направление которых совпадает с положительным направлением оси y, проектируются (проецируются) на эту ось со знаком плюс:

,

то есть верно.

Строим эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов

Разбиваем длину балки на отдельные участки. Границами этих участков являются точки приложения сосредоточенных усилий (активных и/или реактивных), а также точки, соответствующие началу и окончанию действия распределенной нагрузки. Таких участков в нашей задаче получается три. По границам этих участков наметим шесть поперечных сечений, в которых мы и будем вычислять значения перерезывающих сил и изгибающих моментов (рис. 3.13, а).

Сечение 1. Отбросим мысленно правую часть балки. Для удобства вычисления перерезывающей силы и изгибающего момента , возникающих в этом сечении, закроем отброшенную нами часть балки листком бумаги, совмещая левый край листка бумаги с самим сечением.

Перерезывающая сила в сечении балки равна алгебраической сумме всех внешних сил (активных и реактивных), которые мы видим. В данном случае мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН.

Знак «плюс» взят потому, что сила вращает видимую нами часть балки относительно первого сечения (края листка бумаги) по ходу часовой стрелки.

Изгибающий момент в сечении балки равен алгебраической сумме моментов всех усилий, которые мы видим, относительно рассматриваемого сечения (то есть относительно края листка бумаги). Мы видим реакцию опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Однако у силы плечо равно нулю. Равнодействующая погонной нагрузки также равна нулю. Поэтому

.

Сечение 2. По-прежнему будем закрывать листком бумаги всю правую часть балки. Теперь мы видим реакцию и нагрузку q, действующую на участке длиной . Равнодействующая погонной нагрузки равна . Она приложена посредине участка длиной . Поэтому

кН;

кН·м.

Напомним, что при определении знака изгибающего момента мы мысленно освобождаем видимую нами часть балки от всех фактических опорных закреплений и представляем ее как бы защемленной в рассматриваемом сечении (то есть левый край листка бумаги нами мысленно представляется жесткой заделкой).

Сечение 3. Закроем правую часть. Получим

кН;

кН·м.

Сечение 4. Закрываем листком правую часть балки. Тогда

кН;

кН·м.

Теперь, для контроля правильности вычислений, закроем листком бумаги левую часть балки. Мы видим сосредоточенную силу P, реакцию правой опоры и погонную нагрузку q, распределенную на бесконечно малой длине. Равнодействующая погонной нагрузки равна нулю. Поэтому

кН;

кН·м.

То есть все верно.

Сечение 5. По-прежнему закроем левую часть балки. Будем иметь

кН;

кН·м.

Сечение 6. Опять закроем левую часть балки. Получим

кН;

.

По найденным значениям строим эпюры перерезывающих сил (рис. 3.13, б) и изгибающих моментов (рис. 3.13, в).

Убеждаемся в том, что под незагруженным участком эпюра перерезывающих сил идет параллельно оси балки, а под распределенной нагрузкой q – по прямой, имеющей наклон вниз. На эпюре имеется три скачка: под реакцией – вверх на 37,5 кН, под реакцией – вверх на 132,5 кН и под силой P – вниз на 50 кН.

На эпюре изгибающих моментов мы видим изломы под сосредоточенной силой P и под опорными реакциями. Углы изломов направлены навстречу этим силам. Под распределенной нагрузкой интенсивностью q эпюра изменяется по квадратичной параболе, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке. Под сосредоточенным моментом – скачок на 60 кН ·м, то есть на величину самого момента. В сечении 7 на эпюре – экстремум, поскольку эпюра перерезывающей силы для этого сечения проходит через нулевое значение (). Определим расстояние от сечения 7 до левой опоры.

Перерезывающая сила

.

Отсюда

м.

Экстремальное значение изгибающего момента в сечении 7 равно:

кН·м.

Определяем требуемый момент сопротивления балки из условия прочности по нормальным напряжениям

Согласно эпюре , максимальный по алгебраической величине изгибающий момент возникает в третьем поперечном сечении балки: кН·см. Тогда

см3.

По сортаменту (см. прил. 1, табл. П1.3) подбираем двутавр № 30а, имеющий см3.

Проверяем прочность балки по наибольшим касательным напряжениям

Наибольшие касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении двутавровой балки, вычисляются по формуле

.

По сортаменту для выбранного нами двутавра определяем, что статический момент половины сечения относительно нейтральной оси см3, момент инерции относительно нейтральной оси см4, а толщина стенки см.

Согласно эпюре , наибольшее по алгебраической величине значение перерезывающей силы кН. Тогда

кН/см2 кН/см2,

то есть условие прочности по касательным напряжениям выполняется.

Варианты задач по теме «прямой поперечный изгиб» для самостоятельного решения

Условие задачи на прямой изгиб для самостоятельного решения

Для двух заданных схем балок (рис. 3.11) требуется:

1. построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов ;

2. подобрать из условия прочности по нормальным напряжениям ( кН/см2) балку круглого поперечного сечения для схемы a и балку двутаврового поперечного сечения для схемы б;

3. проверить прочность подобранных балок по касательным напряжениям (кН/см2).

Варианты расчетных схем

Рис. 3.11

Варианты исходных данных к задаче для самостоятельного решения «прямой поперечный изгиб»

Номер схемы (рис. 3.11)	l, м				M, кН·м	P, кН	q, кН/м
1	3	0,2	0,6	0,2	8	5	10
2	4	0,3	0,5	0,3	7	6	11
3	5	0,4	0,4	0,3	6	7	12
4	6	0,5	0,3	0,2	5	8	13
5	3	0,6	0,7	0,2	4	9	14
6	4	0,7	0,5	0,3	8	10	9
7	5	0,8	0,4	0,6	7	5	10
8	6	0,2	0,6	0,3	6	6	11
9	3	0,3	0,5	0,4	5	7	12
0	4	0,4	0,4	0,2	4	8	8

Что такое изгиб?

Привет! Сегодня будем о говорить о таком распространенном виде деформации как изгиб. Я рассказу, что это такое, а также какие его виды существуют. Также эта статья будет неким навигатором по другим ключевым статьям по данной теме.

Изгиб – это вид деформации при котором в поперечных сечениях, загруженного элемента, обязательно появляются изгибающие моменты, а также, чаще всего, поперечная сила. На этот вид деформации работает множество элементов строительных конструкций: балки, рамы, железобетонные плиты и т.д.

Какие виды существуют?

В зависимости от возникающих в поперечных сечениях силовых факторов, различают чистый и поперечный изгиб. При чистом в сечениях наблюдаются только моменты, а при поперечном, при действии нагрузки, в сечениях появляются и поперечные силы, и изгибающие моменты.

Данная статья является черновиком и будет редактироваться по мере развития сайта.

Понятие о деформации изгиба | ПроСопромат.ру

Изгибом называется деформация, при которой ось стержня и все его волокна, т. е. продольные линии, параллельные оси стержня, искривляются под действием внешних сил. Наиболее  простой случай изгиба получается тогда, когда внешние силы будут лежать в плоскости, проходящей через центральную ось стержня, и не дадут проекций на эту ось. Такой случай изгиба называют поперечным изгибом. Различают плоский изгиб и косой.

Плоский изгиб – такой случай, когда изогнутая ось стержня расположена в той же плоскости, в которой действуют внешние силы.

Косой (сложный) изгиб – такой случай изгиба, когда изогнутая ось стержня не лежит в плоскости действия внешних сил.

Работающий на изгиб стержень обычно называют балкой.         

При плоском поперечном изгибе балок в сечении с системой координат у0х могут возникать два внутренних усилия – поперечная сила Q_у и изгибающий момент М_х; в дальнейшем для них вводятся обозначения Q и M. Если в сечении или на участке балки поперечная сила отсутствует (Q=0), а изгибающий момент не равен нулю или М – const, то такой изгиб принято называть чистым.

Поперечная сила в каком-либо сечении балки численно равна алгебраической сумме проекций на ось у всех сил (включая опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения.

Изгибающий момент в сечении  балки численно равен алгебраической сумме моментов всех сил (включая и опорные реакции), расположенных по одну сторону (любую) от проведенного сечения относительно центра тяжести этого сечения, точнее, относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа через центр тяжести проведенного сечения.

Сила Q представляет равнодействующую распределенных по сечению внутренних касательных напряжений, а момент М– сумму моментов вокруг центральной оси сечения Х внутренних нормальных напряжений.

Между внутренними усилиями существует дифференциальная зависимость

которая используется при построении и проверке эпюр Q и M. 

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений. Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе. Поперечное сечение балки при изгибе искажается. За счет поперечной деформации размеры поперечного сечения в сжатой зоне балки увеличиваются, а в растянутой сжимаются.

Допущения для вывода формул. Нормальные напряжения 

1)  Выполняется гипотеза плоских сечений.

2)  Продольные волокна друг на друга не давят и, следовательно, под действием нормальных напряжений линейные растяжения или сжатия работают.

3)  Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.

4)  Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.

5)  Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.

6)  Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

При чистом изгибе балки на площадках в ее сечении действуют только нормальные напряжения, определяемые по формуле :

где у – координата произвольной точки сечения, отчитываемая от нейтральной линии — главной центральной оси х.

Нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю.

Характер эпюр нормальных напряжений для симметричных сечений   относительно нейтральной линии

Характер эпюр нормальных напряжений для  сечений, не обладающих симметрией относительно нейтральной линии

Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии.

Выберем некоторое сечение

Для любой точки сечения,назовем ее точкой К,  условие прочности балки по нормальным напряжениям имеет вид:

, где н.о. — это нейтральная ось

это осевой момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси. Его размерность см³, м³. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Условие прочности по нормальным напряжениям: 

 Нормальное напряжение равно отношению максимального изгибающего момента к осевому моменту сопротивления сечения относительно нейтральной оси.

Если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо использовать два условия прочности: для зоны растяжения с допускаемым напряжением на растяжение; для зоны сжатия с допускаемым напряжением на сжатие .

При поперечном изгибе балки на площадках в ее сечении действуют как нормальные, так и касательные напряжения.

В случае изгиба, когда присутствует поперечная сила, сечения не будут плоскими. Они будут искривляться. Но опытные данные показывают, что искривления небольшие, поэтому применяют формулу чистого изгиба для определения нормальных напряжений.

Для определения касательных напряжений используется выражение, называемое в отечественной литературе формулой Д.И.Журавского:, где — это статический момент площади отсеченной части.

Условие прочности по касательным напряжениям:

,  Максимальное касательное напряжение равно отношению: в числителе произведение максимального значения поперечной силы на статический момент площади отсеченной части; в знаменателе произведение осевого момента инерции относительно нейтральной оси на ширину рассматриваемого сечения.

Сопротивление материалов. Часть первая

Глава первая. Растяжение и сжатие в пределах упругости
1. Упругость 1
2. Закон Гука 2
8. Диаграмма растяжения 5
4. Допускаемое напряжение 7
5. Напряжение и деформация в стержне от собственного веса 12
6. Стержень равною сопротивления на растяжение 15
7. Статически неопределимые задачи на растяжение и сжатие 18
8. Начальные и температурные напряжения 24
9. Расширение кругового кольца 28
10. Напряжение в нити и в кабеле 32
Глава вторая. Совместные напряжения
11. Изменение напряжений при простом растяжении о изменением положения поперечного сечения 40
12. Растяжение или сжатие по двум взаимно перпендикулярным направлениям 44
13. Круг Мора 47
14. Деформация в случае простого растяжения 53
15. Деформация в случае растяжения или сжатия по двум взаимно перпендикулярным направлениям 54
16. Чистый сдвиг 55
17. Растяжение или сжатие по трем взаимно перпендикулярным направлениям 60
Глава третья. Кручение
18. Кручение круглого вала 64
19. Скручивание полого вала 70
20. Вал прямоугольного поперечного сечения или из прокатных профилей 73
21. Другие виды поперечного сечения 76
22. Винтовая пружина с небольшим шагом витка 78
23. Второстепенные напряжения при кручении 83
Глава четвертая. Напряжение при изгибе
24. Чистый изгиб призматических стержней 87
25. Различные виды поперечных сечений балок 97
26. Изгиб балок поперечными силами 102
27. Эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил 105
28. Скалывающие напряжения при изгибе 119
29. Распределение скалывающих напряжений в случае круглого поперечного сечения 127
30. Распределение скалывающих напряжений в двутавровых балках 129
31. Главные напряжения при изгибе 131
32. Напряжения в составных (клепаных) балках 137
33. Второстепенные напряжения при изгибе 144
Глава пятая. Прогиб балок
34. Определение прогибов помощью эпюры изгибающих моментов 147
35. Прогиб консоли 149
36. Прогиб балки опертой концами 157
37. Прогиб балок, имеющих консоли 168
38. Балки переменного поперечного сечения 172
39. Дифференциальное уравнение упругой линии 180
40. Влияние перерезывающей силы на прогиб балок 185
41. Изгиб балок в главной плоскости, не являющейся плоскостью симметрии 190
42. Изгиб балок, когда силы непараллельны ни одной из двух главных плоскостей изгиба 194
Глава шестая. Статически неопределимые задачи при изгибе
43. Лишние неизвестные 198
44. Валка, заделанная одним концом и опертая другим 201
45. Балка о обоими закрепленными концами 207
46. Рамы 212
47. Балки на трех опорах 220
48. Неразрезные многопролетные балки 223
Глава седьмая. Балки, материал которых не следует закону Гука. Балки из двух материалов
49. Чистый изгиб, когда материал не следует закону Гука 230
50. Изгиб прямоугольною стального стержня за пределом текучести 234
51. Балки из материалов, имеющих различные модули упругости при растяжении и сжатии 239
52. Балки из двух разных материалов 241
53. Железобетонные балки 244
54. Скалывающие напряжения в железобетонных балках 248
Глава восьмая. Напряжения от совместного действия осевых и изгибающих сил
55. Изгиб и сжатие или растяжение 249
56. Внецентренная нагрузка коротких стоек 253
57. Ядро сечения 257
58. Внецентренная нагрузка длинной стойки, действующая в главной плоскости 263
Глава девятая. Совместное действие изгиба и кручения
59. Совместный изгиб и кручение круглые валов 267
60. Совместный изгиб и кручение прямоугольных и эллиптических валов 273
61. Коленчатые валы 277
62. Kpучeниe двутавровых балок и швеллеров 282
63. Винтовая пружина с большим шагом витка 286
Глава десятая. Потенциальная энергия деформации
64. Потенциальная энергия упругой деформации растяжения 289
65. Растяжение, вызванное ударом 293
66. Потенциальная энергия упругой деформации при сдвиге и кручении 300
67. Потенциальная энергия упругой деформации изгиба 304
68. Изгиб при ударе 310
69. Общее выражение потенциальной энергии деформации 315
70. Теорема Кастильяно 317
71. Применение теоремы Кастильяно к решению статически неопределимых задач 327
72. Теорема о взаимности перемещений 337
73. Напряжения от неточности сборки и температурные напряжения в статически неопределимых системах 345
74. Исключительные случаи 347
ПРИЛОЖЕНИЕ. Моменты инерции плоских фигур
I. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, находящейся в ее плоскости 350
II. Полярный момент инерции плоской фигуры 353
III. Перенос оси 355
IV. Центробежный момент инерции, главные оси 356
V. Поворот оси. Нахождение главных осей 358

Нормальные напряжения при изгибе | ПроСопромат.ру

При выводе формулы для вычисления нормальных напряжений рассмотрим такой случай изгиба, когда внутренние силы в сечениях балки приводятся только к изгибающему моменту, а поперечная сила оказывается равной нулю. Этот случай изгиба носит название чистого изгиба. Рассмотрим средний участок балки, подвергающийся чистому изгибу.

В нагруженном состоянии балка прогибается так,что ее нижние волокна удлиняются,а верхние укорачиваются.

Поскольку часть волокон балки растягивается, а часть сжимается, причем переход от растяжения к сжатию происходит плавно, без скачков, в средней части балки находится слой, волокна которого только искривляются, но не испытывают ни растяжения, ни сжатия. Такой слой называют нейтральным слоем. Линия, по которой нейтральный слой пересекается с поперечным сечением балки, называется нейтральной линией или нейтральной осью сечения. Нейтральные линии нанизаны на ось балки. Нейтральная линия — это линия, в которой нормальные напряжения равны нулю.

Линии, проведенные на боковой поверхности балки перпендикулярно оси, остаются плоскими при изгибе. Эти опытные данные позволяют положить в основу выводов формул гипотезу плоских сечений (гипотеза Бернулли). Согласно этой гипотезе сечения балки плоские и перпендикулярные к ее оси до изгиба, остаются плоскими и оказываются перпендикулярными изогнутой оси балки при ее изгибе.

Допущения для вывода формул нормального напряжения: 1)   Выполняется гипотеза плоских сечений.   2)   Продольные волокна друг на друга не давят (гипотеза о ненадавливании) и, следовательно, каждое из волокон находится в состоянии одноосного растяжения или сжатия.  3)   Деформации волокон не зависят от их положения по ширине сечения. Следовательно, и нормальные напряжения, изменяясь по высоте сечения, остаются по ширине одинаковыми.   4)   Балка имеет хотя бы одну плоскость симметрии, и все внешние силы лежат в этой плоскости.   5)   Материал балки подчиняется закону Гука, причем модуль упругости при растяжении и сжатии одинаков.   6)   Соотношения между размерами балки таковы, что она работает в условиях плоского изгиба без коробления или скручивания.

Рассмотрим балку произвольного сечения, но имеющую ось симметрии.Изгибающий момент представляет собой результирующий момент внутренних нормальных сил, возникающих на бесконечно малых площадках и может быть выражен в интегральном виде:  (1), где y — плечо элементарной силы относительно оси х

Формула (1) выражает статическую сторону задачи об изгибе прямого бруса, но по ней по известному изгибающему моменту нельзя определить нормальные напряжения, пока не установлен закон их распределения. 

Выделим на среднем участке балки и рассмотрим участок  длиной dz, подвергающийся изгибу. Изобразим его в укрупненном масштабе.

К выводу формул при изгибе: а) участок балки до деформации; б) участок балки после деформации

Сечения, ограничивающие участок dz, параллельны друг другу до деформации, а после приложения нагрузки повернутся вокруг своих нейтральных линий на угол . Длина отрезка волокон нейтрального слоя при этом не изменится и будет равна:, где  -это радиус кривизны изогнутой оси балки. А вот любое другое волокно, лежащее ниже или выше нейтрального слоя, изменит свою длину. Вычислим относительное удлинение волокон, находящихся от нейтрального слоя на расстоянии у. Относительное удлинение — это отношение абсолютной деформации к первоначальной длине ,тогда:

 Сократим на и приведем подобные члены, тогда получим:(2) Эта  формула выражает геометрическую сторону задачи о чистом изгибе: деформации волокон прямо пропорциональны их расстояниям до нейтрального слоя. 

Теперь перейдем к напряжениям, т.е. будем рассматривать физическую сторону задачи. в соответствии с допущением о ненадавливании волокон используем закон Гука при осевом растяжении-сжатии:, тогда с учетом формулы (2) имеем (3),т.е.  нормальные напряжения при изгибе по высоте сечения распределяются по линейному закону. На крайних волокнах нормальные напряжения достигают максимального значения, а в центре тяжести сечения равны нулю. Подставим  (3) в уравнение (1) и вынесем за знак интеграла дробь  как постоянную величину, тогда имеем. Но выражение  — это осевой момент инерции сечения относительно оси х  — I_х. Его размерность см⁴, м⁴

Тогда ,откуда (4) ,где — это кривизна изогнутой оси балки, а — жесткость сечения балки при изгибе.

Подставим полученное выражение кривизны (4) в выражение (3) и получим формулу для вычисления нормальных напряжений в любой точке поперечного сечения: (5) 

Т.о. максимальные напряжения возникают в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии. Отношение  (6) называют осевым моментом сопротивления сечения. Его размерность см³, м³. Момент сопротивления характеризует влияние формы и размеров поперечного сечения на величину напряжений.

Тогда максимальные напряжения:  (7)

Условие прочности при изгибе: (8)

При поперечном изгибе действуют не только нормальные, но и касательные напряжения,т.к. имеется поперечная сила. Касательные напряжения усложняют картину деформирования, они приводят к искривлению поперечных сечений балки, в результате чего нарушается гипотеза плоских сечений. Однако исследования показывают, что искажения, которые привносят касательные напряжения, незначительно влияют на нормальные напряжения,подсчитанные по формуле (5). Таким образом ,при определении нормальных напряжений в случае поперечного изгиба теория чистого изгиба вполне применима.

Нейтральная линия. Вопрос о положении нейтральной линии. 

При изгибе отсутствует продольная сила, поэтому можно записать Подставим сюда формулу нормальных напряжений (3) и получим Так как модуль продольной упругости материала балки не равняется нулю и изогнутая ось балки имеет конечный радиус кривизны, остается положить, что  этот интеграл представляет собой статический момент площади поперечного сечения балки относительно нейтральной линии-оси х , и, поскольку он равен нулю, то нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Условие  (отсутствие момента внутренних сил относительно силовой линии) даст или с учетом (3) . По тем же соображениям (см. выше) . В подынтегральном выражении — центробежный момент инерции сечения относительно осей х и у  равен нулю, значит, эти оси являются главными и центральными и составляют прямой угол. Следовательно, силовая и нейтральная линии пр  прямом изгибе взаимно перпендикулярны. 

Установив положение нейтральной линии, несложно построить эпюру нормальных напряжений по высоте сечения. Ее линейный характер определяется уравнением первой степени.

Характер эпюры σ для симметричных сечений относительно нейтральной линии, М<0

Поперечная сила и изгибающий момент

Поперечным изгибом называется такой вид деформирования бруса, при котором внешние нагрузки действуют перпендикулярно к его продольной оси. Деформация изгиба заключается в искривлении оси бруса.

Брус с прямой осью, работающий на изгиб, называется балкой. Если плоскость действия внешних нагрузок проходит через ось балки и одну из главных центральных осей поперечного сечения, изгиб называется прямым. В этом случае ось балки искривляется в плоскости действия нагрузок и является плоской кривой.

В сечениях балки возникают два внутренних силовых фактора: изгибающий момент М_х и поперечная сила Q_y

Правила контроля построения эпюр Q и М при изгибе (рис. 6.1).

Дифференциальные зависимости между q, Q_y и М_х имеют вид:

1. В сечении, где приложена сосредоточенная сила, — на эпюре Q_y скачок по модулю равный этой силе, на эпюре М_х – излом навстречу силе.
2. В сечении, где приложена сосредоточенная пара сил m — на эпюре М_х скачок по модулю равный этой паре сил. На эпюре Q_y это не сказывается.
3. Если на участке имеется равномерно распределенная нагрузка q, то Q_y изменяется по линейному закону, М_х – по параболе, выпуклостью навстречу нагрузке q (М_х = М_экстр – в сечении, где Q_y меняет свой знак).

Рис. 6.1

Изгиб называется чистым, если в сечении балки возникает только изгибающий момент М_х.

Примеры решения задач >
Прочность и напряжения при изгибе >